GIẢI PHÁP MỚI ĐỂ ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM XUỐNG MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MÔN: TOÁN
GIẢI PHÁP MỚI ĐỂ ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU
CỦA MỘT ĐIỂM XUỐNG MẶT PHẲNG TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Giáo viên: Nguyễn Văn Lưu
Tổ: Toán – Tin
Trường: THPT Gia Viễn A
Ninh Bình, tháng 05 năm 2014
1
MỤC LỤC
Nội dung Trang
Vị trí của nội dung sáng kiến trong chương trình 2
Phần I: Giải pháp cũ thường làm trong việc giảng dạy các bài
toán về góc và khoảng cách trong hình học không gian
4
I. Nội dung về góc và khoảng cách trong hình học không gian ở
các tài liệu giáo khoa hiện hành
4
II. Hạn chế của giải pháp cũ 4
Phần II: Những giải pháp mới để ứng dụng hình chiếu vuông
góc của một điểm xuống mặt phẳng trong hình học không gian
6
I. Những giải pháp mới 6
II. Những giải pháp mới trong các nội dung cụ thể 7
1. Hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng 7
1.1. Khái niệm hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt
phẳng
7

1.2. Cách dựng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống
mặt phẳng.
7
1.3. Một số trường hợp đặc biệt tìm hình chiếu vuông góc của
một điểm xuống mặt phẳng
8
2. Ứng dụng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt
phẳng trong các bài toán về góc
11
2.1. Ứng dụng trong bài toán về góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng
11
2.2. Ứng dụng tròn bài toán về góc giữa hai mặt phẳng 15
3. Ứng dụng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt
phẳng trong các bài toán về khoảng cách
20
3.1. Khoảng cách giữa hai điểm hay độ dài đoạn thẳng 20
3.2. Khoảng cách giữa điểm và đường thẳng 23
3.3. Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng 27
3.4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 34
Phần III: Kết quả thực nghiệm và hiệu quả kinh tế của sáng
kiến
43
KẾT LUẬN 45
2
VỊ TRÍ CỦA NỘI DUNG SÁNG KIẾN TRONG CHƯƠNG TRÌNH
Hình học không gian chiếm vai trò quan trọng trong chương trình Toán
THPT. Nội dung về hình học không gian được trình bày trong toàn bộ chương
trình hình học 12 và hình học 11, trong đó hình học không gian thuần túy được
trình bày trong học kỳ I hình học 12 và toàn bộ chương trình hình học 11. Qua

nhiều lần thay sách với nhiều thay đổi song hình học không gian vẫn là nội dung
bắt buộc trong các đề thi Tốt nghiệp THPT, GDTX. Trong chương trình trước
đây cũng như trong những năm 2002 tới nay (khi thi theo đề chung), trong các
đề thi Đại học, Cao đẳng thì hình học học không gian là phần bắt buộc và không
thể thiếu. Trong đó, có hai phần là hình học không gian thuần túy và hình học
giải tích trong không gian. Mặc dù hình học giải tích trong không gian là phần
ứng dụng giải tích vào hình học không gian, tuy nhiên cách phân tích vấn đề
cũng như giải bài tập đều sử dụng hình học không gian thuần túy.
Với các đề thi Đại học, Cao đẳng gần đây; câu hình học không gian thuần
túy có hai phần, một phần tương đối dễ với học sinh, phần còn lại là câu phân
loại học sinh khá. Đa số học sinh hiểu đề và không khó khăn để giải phần đầu
tiên chủ yếu là tính thể tích khối đa diện. Tuy nhiên phần thứ hai liên quan đến
nhiều yếu tố hình học không gian như yếu tố về góc, về độ dài, về khoảng cách
giữa các yếu tố trong không gian. Do đó, chỉ một phần các em dự thi có thể làm
được và chủ yếu là các học sinh khá, giỏi môn Toán. Hơn nữa, hình học không
gian thuần túy vốn là phần cần khả năng tưởng tượng, phân tích, phán đoán và
tư duy tốt nên học sinh thường gặp nhiều khó khăn trong giải quyết các bài toán
hình học không gian thuần túy.
Trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh các năm gần đây thì hình học
không gian luôn là phần kiến thức trọng tâm và không thể thiếu. Đây cũng là câu
hỏi phân loại mức độ tư duy của các học sinh giỏi. Để làm được các bài toán đó,
không những cần nắm chắc các kiến thức cơ bản mà còn có hệ thống liên kết
chặt chẽ các kiến thức trong hình học không gian.
Trong hình học không gian thuần túy, góc và khoảng cách giữa các yếu tố
trong không gian, các quan hệ vuông góc là nội dung trọng tâm. Trong đó các
quan hệ vuông góc sẽ xoay quanh quan hệ đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng. Nếu bài toán chỉ dừng lại ở việc tìm hình chiếu vuông góc của một điểm
xuống mặt phẳng, đa số học sinh có thể làm được do kiến thức đã được rèn
luyện và hệ thống khá rõ ràng. Tuy nhiên để áp dụng nó trong các bài tập khác
thì đa số học sinh còn lúng túng do không hiểu vận dụng như thế nào. Nguyên

3
nhân chính là sự liên hệ các kiến thức trên của học sinh còn kém, sự tư duy
tưởng tượng và phán đoán còn yếu.
Ngoài ra, việc trình bày các kiến thức cơ bản để giải các bài tập đó còn
chưa đầy đủ, các kiến thức được trình bày đơn lẻ, còn nằm rải rác và các bài tập
còn ít ở SGK, SBT cũng như các sách tham khảo, hệ thống các bài tập còn dài
trải và học sinh thường lúng túng khi giải bài tập mà chỉ biết làm theo các bài
tập mẫu có sẵn.
Từ kinh nghiệm bản thân trong các năm giảng dạy ban KHTN, các lớp
học sinh trình độ khá và đều nhau, các lớp luyện thi đại học cũng như sự tìm tòi,
tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu Toán và trên internet, tôi lựa chọn đề tài:
“GIẢI PHÁP MỚI TRONG ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM
XUỐNG MẶT PHẲNG TRONG CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG
GIAN” với mong muốn giúp đỡ các em học sinh nắm bắt được cách nhận dạng
cũng như cách giải dạng toán này nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và
học, tạo sự tự tin cho học sinh trong các kỳ thi.
Cấu trúc của sáng kiến gồm trang, ngoài phần mở đầu và kết luận, ở phần
nội dung của sáng kiến gồm 3 phần:
Phần I: GIẢI PHÁP CŨ THƯỜNG LÀM TRONG VIỆC GIẢNG DẠY CÁC
BÀI TOÁN VỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG
GIAN.
Phần II: NHỮNG GIẢI PHÁP MỚI ĐỂ ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU VUÔNG
GÓC CỦA MỘT ĐIỂM XUỐNG MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN.
Phần III: KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM VÀ HIỆU QUẢ KINH TẾ CỦA SÁNG
KIẾN.
4
Phần I.
GIẢI PHÁP CŨ THƯỜNG LÀM TRONG VIỆC GIẢNG DẠY CÁC BÀI
TOÁN VỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG

GIAN
I. Nội dung về góc và khoảng cách trong hình học không gian ở các tài liệu
giáo khoa hiện hành:
Trong các tài liệu giáo khoa hiện hành (Sách giáo khoa và Sách bài tập cơ
bản và nâng cao), kiến thức về góc và khoảng cách trong hình học không gian
được trình bày ở học kỳ II sách giáo khoa Hình học 11. Về tổng thể, tài liệu giáo
khoa đã trình bày các khái niệm cơ bản, các trường hợp đặc biệt cũng như hệ
thống các ví dụ và bài tập minh họa cho các kiến thức về góc và khoảng cách
trong hình học không gian. Tuy nhiên một số dạng toán còn chưa được đưa ra
(khoảng cách giữa hai điểm), một số dạng toán chỉ đưa ra cách giải chung nhất
mà thông thường không thể áp dụng ngay trong bài học (khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng…), một số dạng toán còn không có hoặc
rất ít các ví dụ minh họa cũng như bài tập rèn luyện (góc giữa đường thẳng và
mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng…)
II. Hạn chế của giải pháp cũ:
Ở phần trên đã trình bày một số nội dung cơ bản về góc và khoảng cách
trong hình học không gian ở các tài liệu giáo khoa hiện hành. Sau một thời gian
nghiên cứu các nội dung trên, cũng như đọc qua rất nhiều tài liệu tham khảo và
dự giờ nhiều giáo viên khác, tôi nhận thấy trong cách giảng dạy cũ còn một số
hạn chế như sau:
Hạn chế 1: Các bài toán cũng như cách giải nêu ra còn khá tổng quan,
chưa rõ ràng chi tiết theo từng bước cụ thể chi tiết nên làm học sinh khó tiếp thu.
Một số dạng toán còn chưa được nêu đầy đủ trong các tài liệu giáo khoa do
lượng thời gian có hạn trong chương trình. Tuy nhiên trong các đề thi vẫn xuất
hiện những dạng toán đó làm cho học sinh lúng túng, không định hướng được
cách giải.
Hạn chế 2: Các bài toán cơ bản nêu trong các tài liệu giáo khoa đã nêu ra
một số cách giải tổng quát để học sinh áp dụng. Tuy nhiên thực tế giảng dạy cho
thấy chỉ một số ít học sinh có thể áp dụng được cách giải đó. Còn đa số học sinh
cảm thấy lúng túng, có thể hiểu cách giải nhưng không biết áp dụng, bắt đầu từ

đâu và áp dụng thế nào để giải bài toán. Trong các tài liệu giáo khoa cũng đã
nêu ra một số ví dụ và bài tập để minh họa cho phương pháp và học sinh rèn
5
luyện. Tuy nhiên, thông thường học sinh chỉ biết áp dụng một cách máy móc để
giải các bài tập tương tự, khi gặp bài toán khác vẫn gặp những lúng túng như
ban đầu. Nguyên nhân là học sinh chưa hiểu để giải bài toán đó, ta phải trải qua
các bước nào, ý nghĩa của từng bước trong bài toán, chưa hình thành được lối tư
duy để giải quyết các bài toán.
Hạn chế 3: Hệ thống bài tập trong các tài liệu giáo khoa cũng như trong
các tài liệu tham khảo thường viết theo các bài trong sách giáo khoa. Do đó nội
dung các bài tập còn dàn trải, mang tính giới thiệu là chủ yếu. Số lượng câu hỏi
và bài tập cho từng nội dung cụ thể còn khá ít, các câu hỏi và bài tập chuyên sâu
cho học sinh khá, giỏi, học sinh chuẩn bị thi vào đại học, cao đẳng trình bày
chưa hệ thống và chưa đủ về số lượng và chất lượng. Do đó học sinh chưa có tư
duy hệ thống về các dạng bài tập, kỹ năng giải cũng hạn chế.
Hạn chế 4: Hình học không gian là nội dung mà học sinh mới làm quen
trong chương trình phổ thông. Do đó các em phải tiếp cận với rất nhiều các khái
niệm, định nghĩa, tính chất, định lý mới cũng như một hệ thống hoàn toàn mới
các dạng bài tập. Các kiến thức đó được trình bày trong từng bài học cụ thể.
Theo cách dạy thông thường, giáo viên chỉ cung cấp các kiến thức của từng bài
cụ thể, việc liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức trên còn bị xem nhẹ. Từ đó dẫn
đến học sinh phải nhớ quá nhiều kiến thức mới, không có lối suy nghĩ mạch lạc
kết nối các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán. Do đó việc tiếp thu các
kiến thức về hình học không gian gặp rất nhiều khó khăn.
Hạn chế 5: Để dạy các kiến thức về góc và khoảng cách trong hình học
không gian, giáo viên thường nhấn mạnh và chọn quan hệ “đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng” làm nền tảng chủ đạo. Hầu hết mọi bài toán đều sử dụng
quan hệ đó. Tuy nhiên việc áp dụng quan hệ đó để giải bài tập của học sinh còn
lúng túng và gặp nhiều khó khăn. Nguyên nhân do để giải được bài tập phải qua
rất nhiều bước sử dụng quan hệ trên và bài làm không phải lúc nào cũng “tự

nhiên”.
Như vậy có thể thấy rằng nếu giáo viên chỉ giảng dạy theo các tài liệu
giáo khoa hiện hành thì làm cho học sinh khó tiếp thu các kiến thức về góc và
khoảng cách trong hình học không gian, dẫn đến tâm lý ngại học và nghĩ rằng
chúng quá khó và chỉ dành cho học sinh giỏi. Ngoài ra, kiến thức các em được
học không đủ để các em tham gia các kì thi học sinh giỏi hoặc thi tuyển sinh đại
học, cao đẳng. Và học sinh thường mất điểm ở câu hỏi này, một điểm mất rất
đáng tiếc. Do đó những yêu cầu của giải pháp mới cần phải đạt được và chi tiết
hóa trong các nội dung của sáng kiến sẽ được trình bày trong phần tiếp theo.
6
Phần II.
NHỮNG GIẢI PHÁP MỚI ĐỂ ỨNG DỤNG HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC
CỦA MỘT ĐIỂM XUỐNG MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG
GIAN
I. Những giải pháp mới:
Để khắc phục những hạn chế của giải pháp cũ, giúp học sinh và các thầy
cô giáo có cách tiếp cận tốt hơn với các ứng dụng của hình chiếu vuông góc của
một điểm xuống mặt phẳng trong hình học không gian, tôi đưa ra các giải pháp
sau:
Giải pháp 1: Đưa ra các nguyên tắc cơ bản và một số trường hợp thường
gặp để dựng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng. Từ đó
chuyển nội dung trọng tâm từ “đường thẳng vuông góc vơi mặt phẳng” sang
nội dung trọng tâm “hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng”.
Với nội dung này, học sinh dễ nhớ và áp dụng hơn.
Giải pháp 2: Hệ thống hóa thành một số dạng bài tập cơ bản về góc và
khoảng cách trong hình học không gian, hoàn thiện và bổ sung các dạng toán
thường gặp trong các đề thi Đại học Cao đẳng mà trong các tài liệu giáo khoa
chưa trình bày. Với mỗi dạng bài tập đều đưa ra phương pháp giải ứng dụng
hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng với các bước áp dụng cụ
thể. Qua đó học sinh có kiến thức tổng hợp, hệ thống và tư duy mạch lạc để giải

các bài toán.
Giải pháp 3: Bổ sung các câu hỏi bài tập bằng một hệ thống các bài tập
trong các đề thi Đại học Cao đẳng chính thức của BGD và các đề thi thử Đại học
ở các trường THPT để học sinh bổ sung kiến thức, rèn luyện kỹ năng. Qua đó
dần làm quen với các dạng đề thi, từ đó học sinh tự tin và đạt kết quả cao hơn
trong các kỳ thi.
Giải pháp 4: Mỗi dạng đều phải có các ví dụ đặc trưng minh họa cho
phương pháp, đồng thời phải có hệ thống các ví dụ khác để minh họa nhiều
trường hợp thường gặp khi giải quyết dạng toán đó. Cuối mỗi dạng toán là các
bài tập áp dụng đa dạng và có nhiều câu hỏi khó, hay phục vụ nâng cao kiến
thức cho học sinh giỏi.
Chương tiếp theo sẽ là nội dung chính của sáng kiến, khắc phục được các
hạn chế của phương pháp cũ cũng như giải quyết trọn vẹn được các yêu cầu đặt
ra ở trên trong các nội dung kiến thức cụ thể.
7
II. Những giải pháp mới trong các nội dung cụ thể:
1. Hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng.
Để ứng dụng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng, trước
hết ta tìm hiểu khái niệm cũng như cách dựng hình chiếu vuông góc của một
điểm xuống mặt phẳng. Qua đó học sinh có thể hiểu cách tư duy mạch lạc theo
trình tự cụ thể để giải quyết bài toán. Ngoài ra, để học sinh có thể thuần thục
hơn trong làm bài, ta đưa ra một số trường hợp thường gặp trong bài toán dựng
hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng.
1.1. Khái niệm hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng.
Trong không gian, cho điểm A và mặt phẳng (α). Hình chiếu vuông góc
của A xuống mặt phẳng (α) là điểm H nằm trên mặt phẳng (α) sao cho AH ⊥
(α).
Do đó, nếu điểm A nằm trên (α) thì hình chiếu của A trên (α) là chính nó.
Vì vậy trong toàn bộ nội dung về sau, ta luôn quy định
( )

A
α
∉
. Ngoài ra, hình
chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (α) luôn tồn tại duy nhất.
Hình chiếu vuông góc của một điểm có tính chất hình học rất thú vị. Nếu
M là điểm bất kỳ trên (α) thì AM ≥ AH hay H là điểm thỏa mãn khoảng cách từ
A đến một điểm bất kỳ trên (α) là nhỏ nhất.
1.2. Cách dựng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng.
Để dựng hình chiếu vuông góc H của điểm A trên mặt phẳng (α), ta thường
dựng đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (α). Khi đó, H chính là
giao điểm của đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α).
Tuy nhiên, việc dựng đường thẳng ∆ thông thường là khó khăn. Do đó, việc
xác định điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (α) thông
thường được xác định thông qua các bước sau:
Bước 1: Qua điểm A, dựng mặt phẳng (β) vuông góc với mặt phẳng (α).
Bước 2: Xác định d là giao tuyến của mặt phẳng (α) và (β).
8
α
H
A
M
Bước 3: Trong mặt phẳng (β), từ A kẻ đường thẳng ∆ vuông góc với d tại H.
Khi đó H là điểm cần dựng.
1.3. Một số trường hợp đặc biệt tìm hình chiếu vuông góc của một điểm xuống
mặt phẳng.
Trong phần trên, ta đã có các bước cơ bản để dựng hình chiếu vuông góc của
một điểm xuống mặt phẳng. Tuy nhiên, việc dựng mặt phẳng (β) là không hề
đơn giản trong một số trường hợp cụ thể. Do đó, để việc dựng hình chiếu vuông
góc của điểm A xuống mặt phẳng (α) đơn giản và cụ thể hơn, ta tìm hiểu một số

trường hợp đặc biệt và thường gặp sau:
Dạng I: Tồn tại hai mặt phẳng (β) và (γ) qua A cùng vuông góc với mặt
phẳng (α).
Khi đó giao tuyến ∆ của (β) và (γ) qua A và ∆ ⊥ (α). Hình chiếu vuông góc H
của A xuống (α) là giao điểm của ∆ và (α).
Dạng II: Tồn tại đường thẳng a ⊥ (α) (A không thuộc đường thẳng a).
Dựng mặt phẳng (β) chứa A và a. Tìm giao tuyến d của mặt phẳng (α) và (β).
Trong mặt phẳng (β), từ A kẻ đường thẳng ∆ vuông góc với d và cắt d tại H. Khi
đó H là điểm cần dựng.
9
∆
d
A
α
β
H
α
∆
H
β γ
Dạng III: Tồn tại mặt phẳng (β) qua A và vuông góc với mặt phẳng (α).
Tìm giao tuyến d của (α) và (β). Trong mặt phẳng (β), qua A dựng đường
thẳng ∆ vuông góc với d và cắt d tại H. Khi đó H là điểm cần dựng.
Dạng IV: Tồn tại điểm M và đường thẳng d (M ∉ d) nằm trong mặt phẳng
(α) sao cho AM ⊥ d.
Trong mặt phẳng (α), từ M kẻ đường thẳng d’ ⊥ d. Từ A dựng đường thẳng
AH vuông góc với d’ tại H. Khi đó H là điểm cần dựng.
Dạng V: Tồn tại các điểm M, N, P phân biệt nằm trên mặt phẳng (α) sao cho
AM = AN = AP (hay AM, AN, AP tạo với mặt phẳng (α) các góc bằng nhau).
10

d
∆
a
A
H
β
α
d
∆
A
H
β
α
d
H
d'
A
M
α
Hình chiếu vuông góc H của điểm A xuống mặt phẳng (α) là tâm đường tròn
ngoại tiếp của ∆MNP.
Dạng VI: Tồn tại hai điểm M, N phân biệt nằm trên mặt phẳng (α) sao cho
AM = AN (hay AM, AN tạo với mặt phẳng (α) các góc bằng nhau).
Gọi I là trung điểm của MN. Trong mặt phẳng (α), kẻ đường thẳng d qua I,
vuông góc với MN. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. Khi đó H là
điểm cần dựng.
Dạng VII: Tồn tại các điểm M, N, P phân biệt sao cho AM, AN, AP đôi một
vuông góc với nhau tại A.
Hình chiếu vuông góc H của điểm A xuống mặt phẳng (α) là trực tâm
∆MNP. Hoặc ta gọi I là hình chiếu của M trên đường thẳng NP, H là hình chiếu

của A trên MI. Khi đó H là điểm cần dựng.
Dạng VIII: Tồn tại các điểm M, N, P phân biệt sao cho các mặt bên (AMN),
(ANP), (AMP) tạo với mặt phẳng đáy (α) (hay chính là mặt phẳng (MNP)) các
góc bằng nhau.
Hình chiếu vuông góc H của điểm A xuống mặt phẳng (α) là tâm đường tròn
nội tiếp của ∆MNP.
11
d
I
M
N
A
H
α
H
P
N
M
A
I
α
Dạng IX: Tồn tại các điểm M, N, P phân biệt sao cho các mặt bên (AMN),
(ANP) tạo với mặt phẳng đáy (α) (hay chính là mặt phẳng (MNP)) các góc bằng
nhau.
Hình chiếu vuông góc H của điểm A xuống mặt phẳng (α) nằm trên đường
phân giác trong của góc
MNP∠
.
2. Ứng dụng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng trong các
bài toán về góc.

2.1. Ứng dụng trong bài toán về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Trong không gian, cho đường thẳng d và mặt phẳng (α). Trường hợp d song
song hoặc nằm trong (α) thì góc giữa d và (α) là 0
0
. Do đó, ta chỉ xét trường hợp
đường thẳng d và mặt phẳng (α) cắt nhau. Khi đó, góc giữa đường thẳng d và
mặt phẳng (α) được xác định thông qua các bước sau:
Bước 1: Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (α).
Bước 2: Trên đường thẳng d, chọn một điểm A khác M sao cho dễ dàng dựng
hình chiếu vuông góc H của A xuống mặt phẳng (α).
Bước 3: Chứng minh góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) là
AMH
∠
.
Việc tính góc đó cũng rất đơn giản do đó là một góc nhọn trong ∆AMH
vuông tại H. Điều quan trọng là việc chọn điểm A thích hợp. Để làm rõ hơn, ta
xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết
rằng ∆ABC đều cạnh a.
a/ Tính SA biết rằng góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) là 60
0
.
b/ Xác định và tính góc giữa SM và mặt phẳng (ABC), với M là trung điểm
của cạnh BC.
c/ Xác định và tính góc giữa AC và mặt phẳng (SBC).
d/ Xác định và tính góc giữa BC, SC và mặt phẳng (SAB).
Giải:
a/ Do SB cắt mặt phẳng (ABC) tại B. Do SA ⊥ (ABC) nên góc giữa SB và
mặt phẳng (ABC) là
0

60SBA
∠ =
. Xét ∆SAB vuông tại A, ta có
.tan 3SA AB SBA a
= =
.
b/ Tương tự như trên, góc giữa SM và mặt phẳng (ABC) là góc
SMA
∠
. Xét
∆SMA vuông tại A,
3
; 3
2
a
AM SA a
= =
nên
tan 2
SA
SMA
AM
= =
.
12
c/ AC cắt mặt phẳng (SBC) tại C. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên
SM. Khi đó H là hình chiếu vuông góc của A trên (SBC). Do đó góc giữa AC và
(SBC) là
ACH
∠

. Xét ∆ACH vuông tại H. Ta có AC = a,
2 2
. 3 3
sin
15 15
SA AM a
AH ACH
SA AM
= = ⇒ =
+
.
d/ BC cắt mặt phẳng (SAB) tại B. Gọi N là trung điểm của cạnh AB. Khi đó
CN ⊥ AB nên N là hình chiếu vuông góc của C trên mặt phẳng (SAB). Do đó
góc giữa BC và mặt phẳng (SAB) là
0
60CBN
∠ =
.
SC cắt mặt phẳng (SAB) tại S. Hình chiếu vuông góc của C xuống mặt phẳng
(SAB) là N nên góc giữa SC và (SAB) là
CSN
∠
.
Ta có
2 2
3 13 13
; tan
2 2
3
a a SN

CN SN SA AN CSN
CN
= = + = ⇒ = =
.
Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O. Biết rằng
SA = 2a và góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) là 45
0
.
a/ Tính độ dài cạnh AB.
b/ Gọi M là điểm trên cạnh CD sao cho CM = 3MD. Xác định và tính góc
giữa SM và mặt phẳng (ABCD).
c/ Gọi N là trung điểm cạnh SD. Xác định và tính góc giữa AN và mặt phẳng
(ABCD).
d/ Xác định và tính góc giữa AC và mặt phẳng (SAB).
13
S
B
C
M
A
H
N
Giải:
a/ Do S.ABCD là hình chóp đều nên O là hình chiếu vuông góc của S xuống
(ABCD). Do đó góc giữa SA và (ABCD) là
0
45SAO
∠ =
. Do SA = 2a nên
2 2 2 2SO OA a AC a AB a

= = ⇒ = ⇒ =
.
b/ Do O là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) nên góc giữa SM và
(ABCD) là
SMO
∠
.
Xét ∆SOM vuông tại O,
2 2
5
2, 2. . .sin
2
a
SO a OM OC CM OC CM OCM
= = + − =
. Vậy
2 10
tan
5
SO
SMO
OM
= =
.
c/ Gọi P là trung điểm của cạnh OD. Khi đó NP // SO hay P là hình chiếu
vuông góc của N trên (ABCD). Do đó góc giữa AN và (ABCD) là
NAP
∠
. Xét
∆APN vuông tại P,

2 2
10 1
; tan
2 2
2 5
SO a a NP
NP AP OA OP NAP
AP
= = = + = ⇒ = =
.
d/ Góc giữa AC và (SAB) là góc giữa OA và (SAB). Gọi E là trung điểm của
AB, khi đó OE ⊥ AB. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên SE. Khi đó H
là hình chiếu vuông góc của O trên (SAB). Do đó góc giữa AC và (SAB) là
14
A
B
C
D
O
S
M
N
P
E
H
OAH
∠
. Xét ∆OAH vuông tại H,
2 2
. 6 1

2, sin
3
3
SO OE a OH
OA a OH OAH
OA
SO OE
= = = ⇒ = =
+
.
Ví dụ 3: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết góc giữa MN và mặt
phẳng (ABCD) là 60
0
. Xác định và tính góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).
Giải:
Do S.ABCD là hình chóp đều nên hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD)
là O. Gọi H là trung điểm của OA. Khi đó MH // SO nên H là hình chiếu vuông
góc của M trên (ABCD). Do MN cắt (ABCD) tại N nên góc giữa MN và
(ABCD) là
0
60MNH
∠ =
. Ta có
3 3 2 10
;
2 4 4 4
a a a
CN CH AC NH
= = = ⇒ =

.
Xét ∆MHN vuông tại H ta có
0
30 30
.tan60
4 2
a a
MH NH SO
= = ⇒ =
.
Dễ thấy rằng AC ⊥ (SBD). Gọi Q là trung điểm của OB, P là trung điểm của
SO. Khi đó NQ // MP // AC nên P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N
trên (SBD). Gọi I là giao điểm của MN và PQ. Khi đó I là giao của MN và
(SBD). Do đó góc giữa MN và (SBD) là
MIP
∠
. Dễ thấy MPNQ là hình bình
hành nên I là trung điểm của PQ. Ta có
2 2
;
2 4 4
2 2 2
OA a SB a a
MP IP
= = = = =
. Khi đó
1
tan
2
MP

MIP
IP
= =
.
15
A
B C
D
O
S
N
M
P
Q
H
I
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BA =
a. ∆SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Gọi M, N là
trung điểm của SA, BC. Tính độ dài cạnh SB biết góc giữa MN và (ABC) bằng
60
0
.
Bài 2: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa AB’ và mặt phẳng
(ABC) là 60
0
. Gọi M là trung điểm đoạn thẳng B’C’.
a/ Tính côsin góc giữa đường thẳng AI và mặt phẳng (A’B’C’), với I là giao
điểm của BC’ và B’C.
b/ Tính góc giữa đường thẳng AM và mặt phẳng (A’BC).

c/ Tính côsin góc giữa AN và (BCC’B’), với N là điểm trên cạnh BB’ sao cho
BN = 2NB’.
d/ Gọi P là trung điểm đoạn thẳng AA’. Tính góc giữa đường thẳng A’I và
mặt phẳng (MB’C’).
Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có
0
10
' , 2, , 135
4
a
AA AC a BC a ACB
= = = ∠ =
. Hình chiếu vuông góc của C’ lên
mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của cạnh AB. Tính góc tạo bởi đường
thẳng C’M và mặt phẳng (ACC’A’).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
2a
,
∆SAC có
, 3SA a SC a
= =
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính
côsin góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC).
Bài 5: Cho ∆ABC vuông tại A có cạnh AB = a nằm trong mặt phẳng (α);
cạnh
2AC a
=
và tạo với mặt phẳng (α) một góc 60
0
. Chứng minh rằng đường

thẳng BC tạo với mặt phẳng (α) góc 45
0
.
2.2. Ứng dụng trong bài toán về góc giữa hai mặt phẳng.
Trong chương trình sách giáo khoa đã đưa ra hai phương pháp xác định góc
giữa hai mặt phẳng (α) và (β). Cách thứ nhất là xác định hai đường thẳng d và d’
lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng; khi đó góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa
d và d’. Cách thứ hai là xác định mặt phẳng (P) vuông góc với giao tuyến ∆ của
hai mặt phẳng, xác định giao tuyến a và b của (P) lần lượt với (α) và (β); khi đó
góc giữa a và b là góc giữa hai mặt phẳng.
Tuy nhiên, trên thực tế học sinh rất lúng túng trong việc xác định góc giữa
hai mặt phẳng. Do với cách thứ nhất, việc xác định các đường thẳng vuông góc
16
với các mặt phẳng đã khó, việc xác định góc giữa hai đường thẳng bất kỳ đó
cũng không phải đơn giản. Với cách thứ hai, việc xác định mặt phẳng (P) vuông
góc với giao tuyến là khá trừu tượng.
Do đó, để học sinh có cách nhìn rõ ràng hơn, qua đó có thể giải quyết được
bài toán về góc giữa hai mặt phẳng, ta xét hai cách tường minh hơn như sau:
Cách 1: Chọn trong không gian một điểm M sao cho từ M có thể dựng được
A và B lần lượt là hình chiếu vuông góc của M xuống (α) và (β). Khi đó góc
giữa (α) và (β) là
·
AMB
(nếu là góc nhọn) hoặc
·
0
180 AMB
−
(nếu góc
·

AMB
tù).
Cách 2: Trên mặt phẳng (α) chọn điểm A sao cho dựng được H là hình chiếu
vuông góc của A xuống mặt phẳng (β). Xác định giao tuyến ∆ của hai mặt
phẳng. Từ A kẻ AI vuông góc với ∆ (I ∈ ∆). Khi đó góc giữa hai mặt phẳng là
·
AIH
.
Mặc dù hai cách trên đây chỉ là các trường hợp đặc biệt tuy nhiên đó lại là
các trường hợp thông dụng và hay gặp phải trong các đề thi. Để là rõ hơn, ta xét
các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Xác định và tính góc giữa mặt phẳng (SBC)
và (ABC) biết:
a/ ∆ABC đều cạnh a và SA = a.
b/ ∆ABC vuông tại B, biết rằng SA = BC = a, AC = 2a.
c/ ∆ABC cân tại C, biết rằng AC = 2a,
0
120ACB
∠ =
, SA = a.
Giải:
Do (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) nên giao tuyến của hai mặt
phẳng là SA ⊥ (ABCD) hay hình chiếu vuông góc của S xuống (ABCD) là A.
17
S
A
B
C
M

N
Giao tuyến của (SBC) và (ABC) là đường thẳng BC. Do đó để dựng góc giữa
(SBC) và (ABC), ta chỉ cần tìm hình chiếu của A xuống đường thẳng giao tuyến
BC.
a/ Gọi M là trung điểm của BC, khi đó AM ⊥ BC. Do đó góc giữa (SBC) và
(ABC) là
SMA
∠
. Xét ∆SMA vuông tại A,
3 2
; tan
2
3
a
SA a AM SMA= = ⇒ =
.
b/ Do AB ⊥ BC nên góc giữa (SBC) và (ABC) là
0
45SBA
∠ =
(do ∆SAB
vuông cân tại A).
c/ Do ∆ABC cân tại C,
0
120ACB
∠ =
nên hình chiếu của A xuống BC là
điểm N nằm ngoài đoạn thẳng BC về phía C (như hình vẽ). Do đó góc giữa
(SBC) và (ABC) là
SNA

∠
. Xét ∆SAN vuông tại A,
3 2
; tan
2
3
a SA
SA a AN SNA
AN
= = ⇒ = =
.
Chú ý: Ngoài cách giải trên, các bạn có thể tìm hiểu việc giải bài toán
theo cách 1.
Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = 2a. Gọi M là trung điểm của
BC.
a/ Tính độ dài SA, biết rằng góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là 45
0
.
b/ Xác định và tính góc giữa mặt phẳng (ABCD) và (SAM).
c/ Xác định và tính góc giữa mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Giải:
18
E
A
D
C
B
O
M
S

H
G
Q
N
P
a/ Do (SBC) và (ABCD) cắt nhau theo giao tuyến BC, hình chiếu vuông
góc của S xuống (ABCD) là tâm O của hình vuông ABCD, OM ⊥ BC nên góc
giữa (SBC) và (ABCD) là
0
45SMO
∠ =
. Xét ∆SMO vuông tại O,
0
.tan 45OM a SO OM a
= ⇒ = =
. Do đó
2 2
3SA SO OA a
= + =
.
b/ Tương tự ý a, (SAM) cắt (ABCD) theo giao tuyến AM, O là hình chiếu
của S xuống (ABCD). Gọi H là hình chiếu của O xuống AM. Khi đó góc giữa
(SAM) và (ABCD) là
SHO
∠
. Gọi G là giao của OB và AM, khi đó G là trọng
tâm ∆ABC nên
1 2
3 3
a

OG OB
= =
. Xét ∆SHO vuông tại O, SO = a,
2 2
2 .
3
5
a OG OA a
OG OH
OG OA
= ⇒ = =
+
. Do đó
tan 5
SO
SHO
OH
= =
.
c/ Mặt phẳng (SBC) và (SCD có giao tuyến là đường thẳng SC. Rõ ràng
việc dựng hình chiếu vuông góc của điểm B xuống mặt phẳng (SCD) là tương
đối khó (chân đường vuông góc sẽ nằm ngoài ∆SCD), và việc dựng tiếp theo
cách 2 là khó khăn trong cách dựng cũng như tính toán. Do đó, ở đây là sử dụng
cách 1, và điểm thuận lợi cho cả hai mặt phẳng là điểm O.
Gọi N là trung điểm của cạnh CD. Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của
điểm O xuống SM và SN. Do ABCD là hình vuông, SO ⊥ (ABCD) chứa BC và
CD nên P, Q chính là hình chiếu vuông góc của điểm O xuống mặt phẳng (SBC)
và (SCD). Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là góc giữa hai
đường thẳng OM và ON.
Xét ∆OMN cân tại O (do tính cân xứng của hình chóp đều),

2
2
BD
MN a
= =
. Do ∆SOM có SO = OM = a, SO ⊥ OM nên P là trung điểm
của đoạn thẳng SM. Khi đó
2
2
SM a
OP
= =
. Do đó
0
, 60
2
2 2
MN a a
PQ OM ON MON
= = = = ⇒ ∠ =
. Vậy góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (SCD) là 60
0
.
Chú ý: Qua ví dụ 2, ta thấy việc áp dụng cách 1 hay cách 2 phụ thuộc vào
vị trí của hai mặt phẳng và cách nhìn vị trí điểm thuận lợi với mặt phẳng. Tuy
nhiên, ở một số trường hợp cụ thể với các vị trí của hai mặt phẳng đặc biệt, ta có
thể dựng góc giữa hai mặt phẳng theo một cách khác. Ví dụ câu 2c, ta có thể lợi
19
dụng tính chất SC ⊥ BD, do đó gọi I là hình chiếu của B trên SC thì I là hình

chiếu của D trên SC. Từ đó ta có thể thấy việc xác định cũng như tính góc đơn
giản hơn nhiều so với cách làm trên. Hơn nữa với cách trên, ta phải có vị trí của
P và Q đặc biệt thì việc tính góc thực hiện đơn giản, còn nếu có vị trí tùy ý thì
cách vừa trình bày ở trên ta sẽ thấy tính hiệu quả hơn hẳn. Do đó, ta không nên
quá máy móc trong cách làm bài mà phải tùy thuộc vào đề bài cụ thể để có cách
giải hay và tối ưu nhất!
Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Xác định và tính góc giữa mặt
phẳng (ABC) và (A’BC) biết rằng:
a/ ∆ABC cân tại A, AA’ = AB = AC = a,
0
120BAC
∠ =
.
b/ ∆ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a,
' 3AA a
=
.
c/ ∆ABC vuông tại B, AC = 2BC = 2a, AA’ = a.
Giải:
Giao tuyến của (A’BC) và (ABC) là đường thẳng BC. Do lăng trụ đứng nên
hình chiếu vuông góc của A’ xuống (ABC) là A. Do đó để xác định góc giữa
(A’BC) và (ABC), ta cần xác định hình chiếu của điểm A xuống BC.
a/ Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Do ∆ABC cân tại A nên AM ⊥ BC. Do
đó góc giữa (A’BC) và (ABC) là
'A MA
∠
. Xét ∆A’AM vuông tại A,
' , tan ' 2
2
a

AA a AM A MA
= = ⇒ =
.
20
B’
B
A
A’
C’
C
M
H
b/ Tương tự như trên, gọi H là hình chiếu của A xuống BC. Do đó góc giữa
(A’BC) và (ABC) là
'A HA
∠
. Xét ∆A’AH vuông tại A,
3 ' 2
' ; tan '
2
3
a AA
AA a AH A HA
AH
= = ⇒ = =
.
c/ Do AB ⊥ BC nên tương tự như trên, góc giữa (A’BC) và (ABC) là
'A BA
∠
. Xét ∆A’BA vuông tại A, ta có

0
' 1
' , 3 tan ' ' 30
3
AA
AA a AB a A BA A BA
AB
= = ⇒ = = ⇒ ∠ =
.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD, AB = 2a,
0
60BAD
∠ =
. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng
tâm H của ∆ABD. Biết ∆SAC vuông tại đỉnh S, tính góc giữa hai mặt phẳng
(SAC) và (SBC).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 4a. M là
trung điểm của BC, H là trung điểm AM và SH ⊥ (ABC). Góc giữa mặt phẳng
(SAB) và (ABC) bằng 60
0
. Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC).
Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với
AB = AC = a,
0
120BAC
∠ =
, cạnh bên BB’ = a, gọi I là trung điểm của CC’.
Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có các cạnh bên SA = SB = SD = a,

đáy ABCD là hình thoi có góc ∠BAD = 60
0
và mặt (SDC) tạo với (ABCD) một
góc 30
0
. Tính V khối chóp S.ABCD.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB = 2a,
0
120BAC
∠ =
. Biết
0
90SBA SCA
∠ = ∠ =
, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABC) là 45
0
. Tính V khối chóp S.ABC theo a, góc giữa mặt phẳng (SAB) và
(ABC).
Bài 6: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông
tại B, AB = 1, AA’ = 2,
2BC
=
. Mặt phẳng (P) đi qua A vuông góc với A’C.
Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (ABC).
Bài 7: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác
đều cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’ = b. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng
(ABC) và mặt phẳng (A’BC). Tính tanα theo a và b.
Bài 8: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB =
2, BC = 4. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với

21
trung điểm của cạnh AC. Góc giữa mặt phẳng (BCC’B’) và (ABC) bằng 60
0
.
Tính độ dài AA’.
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm I,
đường chéo BD = a. Đường thẳng SC vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính độ dài
SC theo a để mặt phẳng (SAB) và (SAD) tạo với nhau góc 60
0
.
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
D, AB = 2a, AD = CD = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SD tạo với đáy
góc 45
0
. Gọi ϕ là góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD). Tính tanϕ.
3. Ứng dụng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng trong
các bài toán về khoảng cách.
3.1. Khoảng cách giữa hai điểm hay độ dài đoạn thẳng.
Cho hai điểm A, B phân biệt bất kỳ. Để tính khoảng cách giữa hai điểm A, B
hay độ dài đoạn thẳng AB; ta có thể tính dễ dàng được nếu vị trí của hai điểm A,
B là thuận lợi. Tuy nhiên, nếu vị trí của hai điểm A, B là bất kỳ thì việc tính độ
dài AB còn phụ thuộc rất nhiều vào hình ban đầu và vị trí của A và B.
Thông thường ta sẽ đặt đoạn thẳng AB vào một đa giác (thường là tam giác
hoặc tứ giác), sau đó dựa vào tính chất đa giác đó để tính độ dài đoạn thẳng AB.
Tuy nhiên đa giác đó được dựng như thế nào, có nguyên tắc cơ bản để dựng
không? Tất nhiên không thể có nguyên tắc cơ bản cho mọi trường hợp. Tuy
nhiên, ta có thể áp dụng cách sau đây có thể giải được đa số các bài toán về tính
độ dài đoạn thẳng AB:
Bước 1: Tìm mặt phẳng (α) chứa điểm B sao cho có thể dễ dàng tìm hình
chiếu vuông góc của điểm A xuống mặt phẳng (α).

Bước 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (α). Tính độ
dài đoạn thẳng AH và HB.
Bước 3: Khi đó xét ∆AHB vuông tại H, ta có:
2 2
AB AH HB
= +
.
Để làm rõ hơn phương pháp trên, ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AB = a và đường thẳng A’B tạo
với đáy một góc 60
0
.
a/ Gọi P là trung điểm của cạnh CC’, Q là điểm trên cạnh A’B’ sao cho A’Q
= 2QB’. Tính độ dài đoạn thẳng PQ.
a/ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và B’C’. Tính độ dài
đoạn thẳng MN.
c/ Gọi E là điểm trên cạnh B’C sao cho B’E = 2EC, F là trung điểm của cạnh
AA’. Tính độ dài đoạn thẳng EF.
22
Giải:
Góc giữa A’B và mặt phẳng (ABC) là
0
' 60 ' 3A BA AA a
∠ = ⇒ =
.
a/ Do lăng trụ đứng nên hình chiếu vuông góc của P trên (A’B’C’) là C’. Do
đó
2 2
' 'PQ PC C Q
= +

mà
2 2 0
3 7
' ; ' ' ' ' 2 ' . ' '.cos60
2 3
a a
C P C Q B Q B C B Q B C
= = + − =
nên
55
6
a
PQ
=
.
b/ Gọi M’ là trung điểm của cạnh A’C’. Do đó MM’ // AA’ hay hình chiếu
của M trên (A’B’C’) là M’. Do đó
2 2
13
' '
2
a
MN MM M N
= + =
.
c/ Ta dựng hình chiếu của điểm E trên (ABB’A’). Gọi K là trung điểm của
cạnh AB. Khi đó CK ⊥ AB nên CK ⊥ (ABB’A’) hay K là hình chiếu vuông góc
của C trên (ABB’A’). Gọi G là trọng tâm ∆ABB’. Khi đó EG // CK hay G là
hình chiếu vuông góc của điểm E trên (ABB’A’).
23

A
C
M
A’
N
C’
P
B
B’
E
K
Q
M’
F
G
Ta có
3 2 3
2 3 3
a a
CK EG CK= ⇒ = =
,
2 2 0
7
' ' 2 ' . ' .cos30
6
a
GF A F A G A F A G= + − =
nên
2 2
19

6
a
EF EG FG
= + =
.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông cân tại B, AB = a. Tam giác
SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của các cạnh SC và AB. Tính độ dài MN theo a.
Giải:
Gọi H là trung điểm của cạnh AC. Do ∆SAC đều và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy nên SH ⊥ (ABCD). Gọi I là trung điểm của cạnh HC. Khi đó
MI // SH hay I là hình chiếu vuông góc của M trên (ABC). Ta có
3 3
2 4
a a
SH MI
= ⇒ =
. Ngoài ra
2 2 0
10
2 . .cos45
4
a
NI AN AI AN AI
= + − =
nên
2 2
13
4
a

MN MI NI
= + =
.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đường
thẳng vuông góc với (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa (ABC) và
(SBC) bằng 60
0
. Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SB vuông
góc với đáy, BC = a, SB = 2a. Gọi M và N là trung điểm của AB, SC. Tính độ
dài đoạn thẳng MN theo a.
Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
0
120ABC
∠ =
. Điểm A’ cách đều các điểm A, B, D. Góc giữa đường thẳng AA’
24
S
N
M
C
B
A
I
H
và mặt phẳng (ABCD) là 60
0
. Gọi M là trung điểm đoạn thẳng A’B’, N là điểm
trên cạnh AD sao cho AN = 2ND.

a/ Tính độ dài đoạn thẳng CM.
b/ Tính độ dài đoạn thẳng B’N, độ dài đoạn thẳng C’M.
3.2. Khoảng cách giữa điểm và đường thẳng.
Cho điểm A và đường thẳng d không qua A. Để tính khoảng cách từ A đến
đường thẳng d, nguyên tắc cơ bản là tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A
xuống đường thẳng d. Khi đó
( )
;d A d AH
=
. Đó là cách tính trực tiếp nếu việc
dựng điểm H là dễ dàng và độ dài đoạn thẳng AH là tính được.
Tuy nhiên với vị trí bất kỳ của A và d thì hai yếu tố trên không phải lúc nào
cũng thực hiện đơn giản. Do đó với một số trường hợp, ta có thể áp dụng cách
tính gián tiếp đơn giản sau:
Bước 1: Dựng mặt phẳng (α) chứa d sao cho có thể dễ dàng tìm H là hình
chiếu vuông góc của A trên (α).
Bước 2: Trong mặt phẳng (α), dựng I là hình chiếu vuông góc của H trên d.
Bước 3: Khoảng cách cần tìm là:
2 2
AI AH HI
= +
.
Ngoài ra, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song cũng được tính
theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Cụ thể, nếu a // b thì khoảng cách giữa
hai đường thẳng a và b là khoảng cách từ một điểm A bất kỳ trên a đến đường
thẳng b, ký hiệu là
( ) ( )
; ;d a b d A b
=
.

Để làm rõ hơn phương pháp, ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau
tại S biết
; 2; 3SA a SB a SC a
= = =
.
a/ Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng AC.
b/ Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.
Giải:
25
S
H
C
A
B
I