De thi HSG THCS Tam Dao

TR NG THCS TAM O
Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thcs
Năm học 2010 - 2011
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang
Câu 1 (3 điểm). Cho 3 số a, b, c khác 0 thoả mãn:
1 1 1
2
a b c
+ + =
và
a b c abc
+ + =
.
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
2
a b c
+ + =
.
Câu 2 (3 điểm). Cho 3 số x, y, z thoả mãn:
2 2 2
3 3 3
1
1
1
x y z
x y z
x y z

+ + =


+ + =


+ + =

.
Tính giá trị biểu thức P = x
2008
+ y
2009
+ z
2010
.

Câu 3 (3 điểm). Cho biểu thức
5 3
5 4P n n n= +
.
a) Phân tích biểu thức P ra thừa số.
b) Chứng minh rằng P chia hết cho 120 với mọi số nguyên n.
Câu 4 (3 điểm). Tìm tt c cỏc nghiệm nguyên của phơng trình (x, y l cỏc n s)
2 2
6 5 4 8 0x xy y y+ + =
Câu 5 (6 điểm). Cho tam giỏc ABC vuông tại C, đờng cao CH. O là trung điểm
AB, đờng thẳng d đi qua C và vuông góc với OC. Gọi D, E lần lợt là chân các đờng
vuông góc kẻ từ A, B tới đờng thẳng d.
a) Chứng minh rằng: AH = AD; BH = BE .

b) Chứng minh rằng: AD.BE = CH
2
.
c) Chứng minh rằng: DH // BC.
d) Cho góc
ã
0
60ABC =
và BC = a. Tính diện tích hình thang vuông ABED theo
a.
Câu 6 (2 điểm). Cho hai s a, b tha món a
3
+ b
3
= 2. Chng minh rng:
0 < a + b 2.
.HT
TR NG THCS TAM O
đáp án Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thcs
Năm học 2010 - 2011
Môn thi: Toán
Câu Hớng dẫn giải Điểm
1(3)
Cho 3 số a, b, c khác 0 thoả mãn:
1 1 1
2
a b c
+ + =
(1)
và a+b+c=abc

(2)
.
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
2
a b c
+ + =
.
Từ giả thiết (1), bình phơng 2 vế ta đợc:
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 4
a b c ab bc ca

+ + + + + =
ữ


2 2 2
1 1 1 1 1 1
4 2
a b c ab bc ca

+ + = + +
ữ

(*)
Từ giả thiết (2), do abc0, nên chia 2 vế cho abc ta đợc:
1 1 1

1
ab bc ca
+ + =
. Thay vào (*) ta đợc:
1 1 1
2
a b c
+ + =
.
1,5
1,5
2(3)
Cho 3 số x, y, z thoả mãn:
(1)
2 2 2 (2)
3 3 3 (3)
1
1
1
x y z
x y z
x y z

+ + =

+ + =


+ + =

. Tính giá trị biểu thức
P=x
2008
+y
2009
+z
2010
.
Vì x
2
, y
2
, z
2
> 0, nên từ (2) x
2
, y
2
, z
2
< 1 -1 < x, y, z < 1
3 2
3 2
3 2
x x
y y
z z

x
3
+y
3
+z
3
< x
2
+y
2
+z
2
= 1. Nhng do (3)
3 2
3 2
3 2
x x
y y
z z

=

=

=

x, y, z chỉ có thể
là 0 hoặc 1
x
2008
=x, y
2009
=y, z
2010
=z P=x
2008
+y
2009
+z
2010
=x+y+z=1 (theo (1))
1
1
1
3(3)
Cho biểu thức
5 3
5 4P n n n= +
.
a) Phân tích biểu thức P ra thừa số.
b) Chứng minh rằng P chia hết cho 120 với mọi số nguyên n.
a) Ta có:
4 2 4 2 2
( 5 4) 4( 1)P n n n n n n n

= + =

( 2)( 1) ( 1)( 2)n n n n n= - - + +
b) Ta có 120 = 3.5.8
- Vì P là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên P chia hết cho 3 v 5.
- Nếu n chẵn thì n - 2 và n + 2 cũng chẵn nên P chia hết cho 8.
- Nếu n lẻ: n = 2p + 1 thì (n - 1)(n +1) = 4p(p + 1) chia hết cho 8
Vậy P chia hết cho 120 (do 3, 5 v 8 ụi mt nguyờn t cựng nhau)

1,5
0,5
0,5
0,5
4(3 Tìm tt c cỏc nghiệm nguyên của phơng trình (x, y l cỏc n s)
1đ
)
2 2
6 5 4 8 0x xy y y+ + =
Ta có :
2 2 2 2
6 5 4 8 0 ( ) (5 5 5 ) ( 1) 7x xy y y x xy x xy y y x y+ + = + + + + + =
( 1) 5 ( 1) ( 1) 7 ( 1)( 5 1) 7x x y y x y x y x y x y + + + + + = + + + =
1 1 1
5 1 7 1
1 1 2
5 1 7 2
1 7 10
5 1 1 2
1 7 7

5 1 1 1
x y x
x y y
x y x
x y y
x y x
x y y
x y x
x y y
+ = =



+ + = =



+ = =



+ + = =




+ = =

+ + = =


+ = =




+ + = =


2đ
5(6)
D
E
C
H
O
A
B
1đ
a) Xét 2 tam giác vuông : AHC và ADC có : AC chung
ã
ã
HAC OCA=
( OAC cân đỉnh O)
ã
ã
OCA CAD=

(so le trong, do OC // AD )
ã ã
HAC DAC =
Suy ra AHC = ADC AH = AD.
CM tơng tự BHC = BEC BH = BE
1đ
b) Trong tam giác vuông ABC ta có : CH
2
= HA.HB = AD.BE 1đ
c) Vì AC là phân giác trong của góc
ã
HAD
của tam giác cân AHD nên
AC DH, mặt khác AC BC suy ra DH // BC.
1đ
d) Ta có :
1
( ) ( ). . 2. .
2
ABED AD BE DE OC DE OC CES = + = =
OBC có OB = OC và
ã
0
60OBC =
nên OBCđều OC = BC = a.
Tam giác vuông BCE có BC = a và
ã
0
60CBE =
nên

0
3
.sin 60
2
a
CE BC= =
Do đó
2
( ) 3ABED aS =
2đ
6(2) Cho hai s a, b tha món a
3
+ b
3
= 2. Chng minh rng:
0 < a + b 2.
Ta cú:
a
3
+ b
3
> 0 a
3
> b
3
a > b a + b > 0 (1)
(a b)
2
(a + b) 0 (a
2

b
2
)(a b) 0 a
3
+ b
3
ab(a + b) 0
a
3
+ b
3
ab(a + b) 3(a
3
+ b
3
) 3ab(a + b)
2
⇒ 4(a
3
+ b
3
) ≥ (a + b)
3
⇒ 8 ≥ (a + b)
3
⇒ a + b ≤ 2 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ 0 < a + b ≤ 2.
Ghi ch: học sinh làm bài theo cách khác với đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối
đa.
……………… HẾT……………