Bài tập phương trình đồng dư

BÀI TẬP VỀ
PHƯƠNG TRÌNH
ĐỒNG DƯ
Bài tập về phương trình đồng dư
Giải phương trình:
Do nên phương
trình luôn có nghiệm duy
nhất.
Ta tìm một số nguyên k sao
cho chia hết cho 12.
Chọn
≡
(12,23) 1=
7 23k+
k 7=
12x
7.24(mod23)
⇒
≡
x 14(mod 23)⇒
≡
1/ 12x 7 (mod 23)
Vậy số nghiệm của
phương trình ban đầu là
≡
2x 9(mod11)
x 1(mod11)
⇔
⇒ −
≡
≡

x 1(mod33)
x 10(mod33)
x 21(mod33)
−
≡
≡
≡
2/ 6x 27 (mod 33)
≡
⇔
Ta có
Áp dụng tính chất bắc cầu của quan hệ đồng dư
Ta được phương trình tương đương (mod 11)
Chia hai vế cho 2 (vì (2,11) = 1)
3x 1 (mod 11) .
Lấy
Lại có (17,11) =1
phương trình có nghiệm duy nhất x 4 (mod 11)
≡
17x 6x(mod11)
13 2(mod11)
≡


≡

6x 2≡
≡
3x 11t 1⇒ = +
x 4,t 1= =

≡
3/ 17x 13 (mod 11)
≡
≡
≡
100
a.a 69⇔ ≡
≡
2a 69⇒ ≡
2a 4⇔ ≡ −
a 2⇔ ≡ −
a 71⇔ ≡
4/ Tìm số dư trong phép chia a cho 73 biết rằng
a
100
(mod 73), a
101
Ta có
a
101
69 (mod 73)
(mod 73)
(mod 73) (mod 73)
(mod 73)
(mod 73) (vì (2,73)=1)
Vậy a chia cho 73 có số dư là 71
2
69 (mod 73)
Lại có a
100

2
(mod 73)
q 1 p 1
p q 1
− −
+ ≡
q 1
p
−
≡
≡
p 1
q 0(modq)
−
⇒ ≡
q 1 p 1
p q 1(mod p)
− −
⇒ + ≡
p 1
q 1
−
≡
≡
q 1
p 0(mod p)
−
⇒ ≡
q 1 p 1
p q 1(mod q)

− −
⇒ + ≡
⇒
q 1 p 1
p q 1
− −
+ ≡
5/ CM: Cho p, q là các số nguyên tố khác nhau thì
Ta có
q là số nguyên tố, (p,q)=1, theo định lý Fermat:
1 (mod p)
0 (mod q)
p là số nguyên tố, (p,q)=1, theo định lý Fermat:
(mod q)
0 (mod p)
(1),(2)
(2)
(vì (p,q)=1)
(mod pq)
(mod pq)
q
(1)
p
p 2 p
p (p 2) 0(mod 2p 2)
+
+ + ≡ +
p 1(mod 2),p 2 1(mod 2)≡ + ≡
p 2 p
p (p 2) 0(mod 2)

+
+ + ≡
p 1(mod p 1),p 2 1(mod p 1)≡ − + + ≡ +
p 2 p
p (p 2) 0(mod p 1)
+
+ + ≡ +
p 2 p
p (p 2) 0(mod 2p 2)
+
⇒ + + ≡ +
6/ Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố lẻ thì ta có
Ta có
suy ra
(1)
suy ra
(2, p+1)=1, (1),(2)

Lại có
(2)
≡
≡
12 12
a 1(mod7) a 1 0(mod 7)⇒ ≡ ⇒ − ≡
7/ CM: Nếu (a,7)=1 thì a
12
-1
Vì (a,7)=1 nên theo định lý Fermat, ta có a
6
1(mod 7)

0 (mod 7)
≡
⇒
4
(a,2 ) (a,3) (a,5) 1⇒ = = =
2 4
(3) 2
a 1(mod3) a 1(mod3)(1)
(a,3) 1
ϕ =

⇒ ≡ ⇒ ≡

=

2 4
(5) 4
a 1(mod5) a 1(mod5) (2)
(a,5) 1
ϕ =

⇒ ≡ ⇒ ≡ ⇒

=

a⇒
4 2
a 1 (a 1)(a 1)(a 1)− = + − +
4 4 4 4
(a 1) (2.4.2) 2 a 1(mod 2 )(3)⇒ − = ⇒ ≡M

4
(1),(2),(3) a 1 0(mod 240)⇒ − ≡
8/ Nếu (a, 240)=1 thì a
4
-1
240=3.5.2
4
Ta có (a, 240)=1
a không phân tích ra thừa số nguyên tố 2, 3, 5
Ta có

Ta có (a, 240) =1 là số lẻ
2 số lẻ liên tiếp số chẵn
0 (mod 240)