Ôn tập lượng giác ( Công thức )

CÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
2
2
2
2
1
1 tan ( )
cos 2
1
1 cot ( )
sin
k
k
π
α α π
α
α α π
α
+ + = ≠ +
+ + = ≠
2
2
2
tan
sin ( )
1 tan 2
k
α π
α α π
α
+ = ≠ +

+
1. Cơng thức cơ bản:
2 2
cos sin 1
tan .cot 1( )
2
k
α α
π
α α α
+ + =
+ = ≠

2.Giá trò lượng giác của các cung liên quan đặc biệt :( sin bù -cos đối - phụ chéo – tan hơn π )
a. Hai cung đối nhau (
α
,-
α
)
* cos(-
α
) = cos
α
* sin(-
α
) = -sin
α
* tan(-
α
) = -tan

α
* cot(-
α
) = -cot
α
b. Hai cung bù nhau (
α
,
π
-
α
)
* sin(
π
-
α
) = sin
α
* cos(
π
-
α
) = -cos
α
* tan(
π
-
α
) =-tan
α

* cot(
π
-
α
) = -cot
α
c. Hai cung hơn kém nhau
π
:
* sin(
π
+
α
) = - sin
α
* cos(
π
+
α
) = -cos
α
* tan(
π
+
α
) = tan
α
* cot(
π
+

α
) = cot
α
d. Hai cung phụ nhau:(
α
,
2
π
-
α
)
* sin(
2
π
-
α
) = cos
α
* cos(
2
π
-
α
) = sin
α
* tan(
2
π
-
α

) = cot
α
* cot(
2
π
-
α
) = tan
α
e. Hai cung hơn kém nhau
2
π
(
α
,
2
π
+
α
)
* sin(
2
π
+
α
) = cos
α
* cos(
2
π

+
α
) = -sin
α
* tan(
2
π
+
α
) = -cot
α
*cot(
2
π
+
α
) = -tan
α
3. Cơng thức cộng – nhân
a. Cơng thức cộng góc
tan tan
tan( )
1 tan tan
tan tan
tan( )
1 tan tan
a b
a b
a b
a b

a b
a b
+
+ + =
−
−
+ − =
+
( , )a b k
π
≠
cot cot 1
cot( )
cot cot
cot cot 1
cot( )
cot cot
a b
a b
a b
a b
a b
a b
−
+ + =
+
+
+ − =
−
sin( ) sin cos cos sin

sin( ) cos sin sin cos
a b a b a b
a b a b a b
+ + = +
+ − = −
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
a b a b a b
a b a b a b
+ + = −
+ − = +

( , )
2
a b k
π
π
≠ +
b. Công thức hạ bậc
( )
( )
3
3
3
5
5
3cos cos 3
cos
4
3sin sin 3

sin
4
3sin sin 3
tan
3cos cos 3
1
+sin a sin5a – 3sin3a 10sina
16
1
+cos a cos5a 5cos3a 10cosa
16
a a
a
a a
a
a a
a
a a
+
+ =
−
+ =
−
+ =
+
= +
= + +
( )
( )
2

2
2
2
4
4
1 cos 2
cos
2
1 cos 2
sin
2
1 cos 2
tan ( )
1 cos 2 2
1 cos 2
cot a
1 cos 2
1
+sin a cos4a 4cos2a 3
8
1
+cos a cos4a 4cos2a 3
8
a
a
a
a
a
a a k
a

a
a
π
π
+
+ =
−
+ =
−
+ = ≠ +
+
+
+ =
−
= − +
= + +

c. Công thức nhân đôi
2 2 2 2
sin 2 2 sin .cos
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
a a a
a a a a a
+ =
+ = − = − = −

d. Công thức nhân ba
3
3
sin 3 3sin 4 sin

cos 3 4cos 3cos
a a a
a a a
+ = −
+ = −
2
2
2 tan
tan 2 ( )
1 tan 4 2
cot 1
cot 2 ( )
2 cot 2
a k
a a
a
a k
a a
a
π π
π
+ = ≠ +
−
−
+ = ≠
3
3
2
2
3 tan tan

tan 3 ( )
1 3tan 6 3
cot 3cot
+ cot3a
3cot 1
a a k
a a
a
a a
a
π π
−
+ = ≠ +
−
−
=
−
e. Công thức chia đôi: Đặt t = tan
2
a
(a
≠
π
+k2
π
)
2
1
2
sin

t
t
a
+
=+

2
2
1
1
cos
t
t
a
+
−
=+

2
1
2
tan
t
t
a
−
=+
4. Công thức biến đổi
a) Biến đổi tích thành tổng b) Biến đổi tổng thành tích
)]sin()[sin(

2
1
sincos
)]sin()[sin(
2
1
cossin
)]cos()[cos(
2
1
sinsin
)]cos()[cos(
2
1
coscos
bababa
bababa
bababa
bababa
−−+=+
−++=+
−−+−=+
−++=+

2
sin
2
cos2sinsin
2
cos

2
sin2sinsin
2
sin
2
sin2coscos
2
cos
2
cos2coscos
baba
ba
baba
ba
baba
ba
baba
ba
−+
=−+
−+
=++
−+
−=−+
−+
=++
Đặc biệt: sina + cosa =
2
sin







π
+
4
a
=
2
cos






−
π
a
4
sina – cosa =
2
sin







π
−
4
a
= -
2
cos






π
+
4
a
c) Cơng thức liên quan đến tan và cot
ba
ba
ba
a
aa
ba
ab
ba
ba
ba
ba

sincos
)cos(
cottan
2sin
2
cottan
coscos
)sin(
cotcot
coscos
)sin(
tantan
−
=++
=++
±
=±+
±
=±+

ba
ba
ba
aaa
ba
ba
ba
ba
ba
ba

sincos
)cos(
cottan
2cot2cottan
coscos
)cos(
tantan1
coscos
)cos(
tantan1
+−
=−+
−=−+
+−
=−+
−
=++
HỆ THỨC LƯNG
Tam giác thường ( các đònh lý) :
Hàm số Cosin
bcCosAcba 2
222
−+=
bc
acb
CosA
2
222
−+
=

Hàm số Sin
R
SinC
c
SinB
b
SinA
a
2
===
R
a
SinARSinAa
2
,2 ==
Hàm số Tan
ba
ba
BA
Tan
BA
Tan
+
−
=
+
−
2
2
Các chiếu

cCosBbCosCa
+=
Trung tuyến
4
)(2
222
2
acb
m
a
−+
=
H
B
C
A
Phân giác
2 .
2
a
A
bc Cos
l
b c
=
+
Diện tích
•
cba
chbhahS

2
1
2
1
2
1
===
•
abSinCacSinBbcSinAS
2
1
2
1
2
1
===
•
prS
=
•
R
abc
S
4
=
•
))()(( cpbpappS −−−=
Chú ý:
•
2

)(
2
)(
2
)(
C
Tancp
B
Tanbp
A
Tanap
p
S
r −=−=−==
•
SinC
c
SinB
b
SinA
a
S
abc
R
2224
====
• a, b, c : cạnh tam giác
• A, B, C: góc tam giác
• h
a

: Đường cao tương ứng với cạnh a
• m
a
: Đường trung tuyến vẽ từ A
• R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác.
•
2
cba
p
++
=
Nữa chu vi tam giác.
Hệ thức lượng tam giác vuông:
2
.AH BH CH
=
. .AH BC AB AC
=
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
•
BCBHAB .
2
=
•
CBCHAC .
2
=

•
•
222
ACABBC
+=
• MỘT SỐ BÀI TÓAN CẦN NHỚ
• Cho tam giác ABC :
• 1/.
222
4
C
Cos
B
Cos
A
CosSinCSinBSinA =++
• 2/.
222
41
C
Sin
B
Sin
A
SinCosCCosBCosA +=++
• 3/.
TanCTanBTanATanCTanBTanA
=++
( tam giác ABC không vuông)
• 4/.

2
.
2
.
2222
C
Cot
B
Cot
A
Cot
C
Cot
B
Cot
A
Cot =++
• 5/.
1
2
.
22
.
22
.
2
=++
A
Tan
C

Tan
C
Tan
B
Tan
B
Tan
A
Tan
• 6/.
CosCCosBCosACSinBSinASin 22
222
+=++
• 7/.
CosCCosBCosACCosBCosACos 21
222
−=++
• 8/.
SinCBASin
=+
)(
•
CosCBACos
−=+
)(
;
22
C
Cos
BA

Sin
=
+
•
22
C
Sin
BA
Cos
=
+
;
22
C
Cot
BA
Tan =
+
• 9/.
8
33
≤SinCSinBSinA
• 10/.
8
1
≤CosCCosBCosA
• 11/.
8
33
2

.
2
.
2
≤
C
Cos
B
Cos
A
Cos
• 12/.
8
1
2
.
2
.
2
≤
C
Sin
B
Sin
A
Sin
• 13/.
4
3
222

≥++ CCosBCosACos
• 14/.
9
4
222
≤++ CSinBSinASin
• 15/.
9
222
≥++
CTanBTanATan
• 16/.
1
2224
3
222
<++≤
C
Sin
B
Sin
A
Sin
• 17/.
4
9
222
2
222
≤++<

C
Cos
B
Cos
A
Cos
• 18/.
1
222
222
≥++
C
Tan
B
Tan
A
Tan
• 19/.
9
222
222
≥++
C
Cot
B
Cot
A
Cot
• 20/.
2

33
222
≤++
CSinBSinASin

• 21/.
2
3
222 −≥++ CCosBCosACos