Bài tập điều kiện môn toán A3

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
CHƯƠNG TRÌNH ðÀO TẠO ðẠI HỌC TỪ XA
*********************








BÀI TẬP ðIỀU KIỆN


Môn : TOÁN A3

Họ tên : Nguyễn Thiện Thành
Mã sinh viên : 206223351
Lớp sinh viên : CN206A3














Tp. H
ồ Chí Minh,02/2008
Nguyễn Thiện Thành – Lớp CN206A3
Trang 2/7

CÂU HỎI

CÂU 1.
a) Phát biểu và chứng minh ñiều kiện cần của hàm f(x,y) ñạt cực trị tại (x
0
,y
0

)
b) Tính
S
xzdydz yxdzdx zydxdy
+ +
∫∫
,
S là phía ngoài biên của hình chóp x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1
c)
Giải phương trình vi phân :
y" + 2y' +5y = 2xe
-x
cos2x

CÂU 2.
a) ðịnh nghĩa tích phân mặt loại 2. Nêu công thức. Áp dụng tính
S
xyzdxdy
∫∫
, S là
mặt ngoài của phần hình cầu xác ñịnh bởi x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0
b) Tìm cực trị của hàm số z = x
2
+ xy + y

2
+ x – y + 1
c)
Giải phương trình vi phân :
y" + y = cos
2
x
Nguyễn Thiện Thành – Lớp CN206A3
Trang 3/7

BÀI GIẢI

CÂU I.
1)
a. ðịnh nghĩa:
Cho hàm số z = f(x,y) xác ñịnh trong một miền nào ñó, M
0
(x
0
,y
0
) là một ñiểm trong
D.
Ta nói rằng f(x,y) ñạt cực trị tại M
0
nếu với mọi ñiểm M trong một lân cận nào ñó
của M
0
, nhưng khác M
0

, hiệu số f(M) – f(M
0
) có dấu không ñổi. Nếu f(M) – f(M
0
) > 0 , ta
có cực tiểu; nếu f(M) – f(M
0
) < 0 , ta có cực ñại.
b. ðiều kiện cần của hàm f(x,y) ñạt cực trị tại (x
0
,y
0
):
Nếu hàm số f(x,y) ñạt cực trị tại M
0
(x
0
,y
0
) và mà tại ñó có các ñạo hàm riêng tồn tại
thì các ñạo hàm riêng bằng 0
* Chứng minh:
Giả sử f(x,y) ñạt cực trị tại M
0
(x
0
,y
0
).
Vì f ñạt cực trị tại M

0
nên

nếu giữ y = y
0
thì hàm một biến số
0
( , )
f x y
ñạt cực trị tại x
= x
0
, vì ñạo hàm riêng
'
0 0
( , )
f x x y
tồn tại.
Tương tự, hàm một biến số
0
( , )
f x y
ñạt cực trị tại y = y
0
, vì ñạo hàm riêng
'
0 0
( , )
f y x y

tồn tại.
Theo ñịnh lý Fermat, ta có:
0
0
( , )
0
x x
df x y
dx
=
=
hay
0 0
( , ) 0
f
x y
x
∂
=
∂

0
0
( , )
0
y y
df x y
dy
=
=

hay
0 0
( , ) 0
f
x y
y
∂
=
∂

Những ñiểm mà tại ñó các ñạo hàm riêng bằng 0 gọi là ñiểm dừng (hay ñiểm tới hạn)
của hàm số. Như vậy ñiểm dừng chưa chắc là ñiểm cực trị.
2) ðặt
(
)
{
}
, , : 0, 0, 0, 1
V x y z x y z x y z
= ≥ ≥ ≥ + + ≤

Các hàm số P(x,y,z) = xz, Q(x,y,z) = yx, P(x,y,z) = zy liên tục cùng với các ñạo hàm
riêng cấp một của chúng trong miền V. Do ñó theo công thức Gauss – Ostrogradski, ta
ñược:
( )
S V
I xzdydz yxdzdx zydxdy x y z dxdydz
= + + = + +
∫∫ ∫∫∫

Chiếu V lên mặt phẳng Oxy ta ñược tam giác :
1
0, 0
x y
x y
+ ≤


≥ ≥


Nguy
ễ
n Thi
ệ
n Thành – L
ớ
p CN206A3
Trang 4/7

Do
ñ
ó
1
1
1 1 1 1
2
0 0 0 0 0
0
1

( )
2
z x y
x y
x x
z
I dx dy x y z dz dx xz yz z dy
= − −
− −
− −
=
 
= + + = + +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 1
2
0 0
1
(1 ) (1 ) (1 )
2
x
I dx x x y y x y x y dy
−
 
= − − + − − + − −
 
 

∫ ∫

1 1
0 0
1
(1 ) (1 )
2
x
I dx x y x y x y dy
−
 
 
= − − + + − −
 
 
 
 
∫ ∫

( )
1 1 1 1
2
0 0 0 0
1 1
(1 ) 1 1 ( )
2 2
x x
I dx x y x y dy dx x y dy
− −
 

= − − + + = − +
 
∫ ∫ ∫ ∫

1
1
1
1 1
2
3 4
0
0 0
0
0
1 1 1 1 1
(1 ) ( )
2 3 2 4 6 24
x
x
I x dx x y dx x
−
 
 
= − − + = − − +
 
 
∫ ∫

1 1 1 1 1
2 4 6 24 8

I
= − − + =


3) ðặt y = e
-x
z. Thế vào phương trình ñã cho, ta ñược:
"
4 2 cos 2
z z x x
+ =
(1)
ðây là một phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số không ñổi, nhưng vế phải ñơn
giản hơn vế phải của phương trình ñã cho.
Phương trình ñặc trưng của (1) là
2
4 0
k
+ =
, nó có hai nghiệm phức liên hợp là
2
k i
= ±
. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất ứng với (1) là
1 2
cos 2 sin 2
z C x C x
= +

Vế phải của (1) có dạng

1
( ) cos , 2
P x x i i
β β
± = ±
là nghiệm của phương trình ñặc trưng,
do ñó ta tìm một nghiệm riêng của (1) có dạng
[( )cos2 ( )sin 2 ]
Z x Ax B x Cx D x
= + + +

Ta có :
' 2 2
[2 2( ) ]cos 2 [ 2 2( ) ]sin 2
Z Cx A D x B x Ax C B x D x
= + + + + − + − +

" 2 2
[ 4 4(2 ) 2( 2 )]cos 2 [ 4 4(2 ) 2( 2 )]sin 2
Z Ax C B x A D x Cx A D x C B x
= − + − + + + − − + + −

Thế vào phương trình (1) ta ñược ñồng nhất thức
8 cos 2 8 sin 2 2( 2 )cos2 2( 2 )sin 2 2 cos 2
Cx x Ax x A D x C B x x x
− + + + − =

Do ñó 8C = 2, A = 0, A + 2D = 0, C – 2B = 0
Suy ra
1 1

, 0, 0,
4 8
C A D B
= = = =

Vậy :
2
cos 2 sin 2
8 4
x x
Z x x
= +

Nghiệm tổng quát của phương trình (1) là
Nguy
ễ
n Thi
ệ
n Thành – L
ớ
p CN206A3
Trang 5/7

2
1 2
cos 2 sin 2 cos 2 sin 2
8 4
x x
z C x C x x x
= + + +

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình ñã cho là
2
1 2
cos2 sin 2 cos 2 sin 2
8 4
x x
x x
y e z e C x C x x x
− −
 
= = + + +
 
 

CÂU II.
1)
a. ðịnh nghĩa:
Cho mặt cong S ñã ñịnh hướng theo phía trên hoặc phía dưới. Tức là véctơ pháp
tuyến
( )
n M
r
lập với trục 0z một góc nhọn (hoặc góc tù) và hàm R(x,y,z) xác ñịnh trên S.
Chia mặt cong S thành n mảnh không dẫm lên nhau ΔS
i
,
1,
i n
=

. Ký hiệu ñường
kính của mảnh thứ i là d
i
,
1,
i n
=
. Gọi ΔD
i
là hình chiếu của ΔS
i
lên mặt toạ ñộ Oxy kèm
theo dấu xác ñịnh theo quy tắc : S ñịnh hướng theo phía trên thì ΔD
i
có dấu dương, còn S
ñịnh hướng theo phía dưới thì ΔD
i
có dấu âm,
1,
i n
=
.
Lấy tuỳ ý M
i
(x
i
, y
i
, z
i

) ∈ ΔS
i
,
1,
i n
=

Lập tổng
1
( , , )
n
n i i i i
i
I R x y z D
=
= ∆
∑
gọi là tổng tích phân mặt loại hai của hàm R(x, y, z)
lấy trên mặt cong S ñã ñịnh hướng ứng với một cách chia và một cách chọn M
i
∈ ΔS
i
,
1,
i n
=
.
Nếu khi n → ∞ sao cho max d
i
→ 0 mà I

n
hội tụ về số I không phụ thuộc cách chia S
và cách chọn M
i
∈ ΔS
i
thì số I gọi là tích phân mặt loại 2 của biểu thức R(x,y,z)dxdy
trên mặt cong S ñã ñịnh hướng và ký hiệu :
( , , )
S
I R x y z dxdy
=
∫∫

Tương tự, nếu chiếu lên các mặt phẳng Oyz và Ozx và thêm các hàm P(x,y,z),
Q(x,y,z) xác ñịnh trên S thì ta gọi :
( , , ) ( , , ) ( , , )
S
I P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy
= + +
∫∫
(1)
là tích phân mặt loại hai của các hàm P, Q, R, chính xác hơn là của biểu thức
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy lấy trên mặt cong S ñã ñịnh hướng.
Người ta chứng minh ñược rằng nếu S là mặt ñịnh hướng liên tục mà véctơ pháp
tuyến tương ứng biến thiên liên tục và nếu các hàm số P, Q, R liên tục trên mặt S thì tích
phân mặt (1) tồn tại.
Chú ý :
Nguy
ễ

n Thi
ệ
n Thành – L
ớ
p CN206A3
Trang 6/7

* Theo ñịnh nghĩa, nếu ñổi hướng (phía ngược lại của S) thì tích phân mặt loại hai sẽ
ñổi dấu.
* Công thức (1) mô tả thông lượng của trường véctơ
F Pi Qj Rk
= + +
r
r
r r
qua mặt cong
S ñã ñịnh hướng.
b. Công thức tính:
Giả sử R(x,y,z) liên tục trên mặt cong ñịnh hướng S trơn cho bởi phương trình
z = z(x, y), (x, y) ∈D .
Khi ñó
( , , ) ( , , ( , ))
S S
I R x y z dzdy R x y z x y dxdy
= = ±
∫∫ ∫∫

Dấu + khi lấy tích phân mặt loại hai theo phía trên của mặt S.
Dấu – khi lấy tích phân mặt loại hai theo phía dưới của S.
c. Áp dụng :

Gọi S
1
là phần của mặt S nằm trên mặt phẳng z = 0 phương trình của nó là
2 2
1
z x y
= − −

Gọi S
2
là phần của mặt S nằm dưới mặt phẳng z = 0 phương trình của nó là
2 2
1
z x y
= − − −

Vì véctơ pháp tuyến của S
1
làm với Oz một góc nhọn, véctơ pháp tuyến của S
2
làm
với Oz một góc tù, nên ta có:
1
2 2
1
S D
xyzdxdy xy x y dxdy
= − −
∫∫ ∫∫

trong ñó D là hình chiếu của S lên mặt phẳng xOy, ñó là miền xác ñịnh bởi x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 1,
x ≥ 0, y ≥ 0.
Tương tự, ta có:
2
2 2
1
S D
xyzdxdy xy x y dxdy
= − −
∫∫ ∫∫

Do ñó
2 2
2 1
S D
I xyzdxdy xy x y dxdy
= = − −
∫∫ ∫∫

Chuyển sang tọa ñộ cực , ta dược:
1
2
3 2
0 0

2 sin cos 1
I d r r dr
π
ϕ ϕ ϕ
= −
∫ ∫

Nhưng
2
2
2
0
0
1 1
sin cos sin
2 2
d
π
π
ϕ ϕ ϕ ϕ
= =
∫

ðặt
sin ,0
2
r t t
π
= ≤ ≤
, ta có

2
cos , 1 cos
dr tdt r t
= − =
, do ñó
Nguy
ễ
n Thi
ệ
n Thành – L
ớ
p CN206A3
Trang 7/7

1
2 2
3 2 3 2 3 5
0 0 0
2 4 2 2
1 sin cos (sin sin ) .
3 5 3 15
r r dr t tdt t t dt
π π
− = = − = − =
∫ ∫ ∫

Vậy
1 2 2
2. .
2 15 15

I
= =


2) Hàm số z = x
2
+ xy + y
2
+ x – y + 1 xác ñịnh
2
( , )
x y R
∀ ∈
.
* Tìm ñiểm dừng:
'
'
2 1 0
2 1 2 1 1
2 1 2 4 2 1
2 1 0
x
y
z x y
x y x y x
x y x y y
z x y

= + + =
= − − = − − = −

  

⇒ ⇒ ⇒
   
= − + = − + =
= + − =
  



Ta có 1 ñiểm dừng M
0
(-1,1)
*
"
2
xx
A z
= =
,
"
1
xy
B z
= =
,
"
2
yy
C z

= =
,
2
1 4 3 0
B AC
∆ = − = − = − <

Vậy M
0
là ñiểm cực trị. ðó là ñiểm cực tiểu vì A > 0.
Giá trị cực tiểu là z
min
= z(M
0
) = z(-1,1) = 0
3)