Tiểu luận môn xác suất thống kê Các quy luật phân phối

LỜI MỞ ĐẦU
Xác suất thống kê là môn học có lịch sử phát triển lâu đời. Lý thuyết xác
suất là bộ môn toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên. Sự ra đời của lý
thuyết xác suất bắt đầu từ những thư từ trao đổi giữa hai nhà toán học vĩ đại
người Pháp là Pascal (1623 - 1662) và Fermat (1601 - 1665) xung quanh cách
giải đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò chơi cờ bạc mà một nhà quý
tộc Pháp đặt ra cho Pascal.
Năm 1812, nhà toán học Pháp Laplace đã dự đoán rằng “Môn khoa học
bắt đầu từ việc xem xét các trò chơi may rủi này sẽ hứa hẹn trở thành một đối
tượng quan trọng nhất của tri thức loài người”.
Ngày nay lí thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học quan trọng,
được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội,
công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, …
Việc học tập Bộ môn Xác suất và thống kê giúp cho sinh viên có được
những bài học và ứng dụng thực tế về Đại số tổ hợp, lý thuyết xác suất, phép
thử, biến cố, xác suất, đại lượng ngẫu nhiên, quy luật phân phối xác suất, vector
ngẫu nhiên, giá trị kỳ vọng, phương sai…
Nhóm nhận thấy khi học Bộ môn Xác suất và thống kê giúp ích rất nhiều
cho sinh viên chúng em không những trong thời điểm hiện tại mà còn về sau này
khi giải quyết những vấn đề trong cuộc sống. Nhóm xin gởi lời cảm ơn đặc biệt
đến Thầy Nguyễn Văn Phú, Thầy đã tận tình giảng dạy chúng em và giúp đỡ
nhóm hoàn thành tốt bài tập này./.
Trang 1
DANH SÁCH NHÓM 6
GVHD: Ths. Nguyễn Văn Phú
Lớp: BK10HTĐ
  
Trang 2
STT MSSV Họ và tên Ghi chú
1
410BK240 Võ Minh Sang

2
410BK259
Đoàn Thanh Tài
3
410BK083
Dương Hoàng Hiếu
4
410BK104
Phạm Ngọc Huy
5
410BK365
Nguyễn Thanh Tú
6
410BK165
Nguyễn Đình Lực
7
410BK195
Lê Nhân
8
410BK181
Nguyễn Khoa Nam
9
410BK186
Phạm Ngọc Kim Ngân
10
410BK235
Nguyễn Văn Quyết
NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

Mục lục:
Lời mở đầu Trang 2
Danh sách nhóm Trang 3
Trang 3
Nhận xét của GVHD Trang 4
Mục lục Trang 5
Chương I: Đại cương về xác suất Trang 6

A. Tóm tắt lý thuyết Trang 6
B. Bài tập Trang 7
C. Bài làm Trang 8
Chương II: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên Trang 11
A. Tóm tắt lý thuyết Trang 11
B. Bài tập Trang 14
C. Bài làm Trang 15
Chương III: Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên Trang 18
A. Tóm tắt lý thuyết Trang 18
B. Bài tập Trang 20
C. Bài làm Trang 21
Chương IV: Các quy luật phân phối Trang 24
A. Tóm tắt lý thuyết Trang 24
B. Bài tập Trang 28
C. Bài làm Trang 29
Chương V: Lý thuyết mẫu Trang 30
A. Tóm tắt lý thuyết Trang 30
B. Bài tập Trang 32
C. Bài làm Trang 33
Chương VI: Lý thuyết ước lượng Trang 34
A. Tóm tắt lý thuyết Trang 34
B. Bài tập Trang 36
C. Bài làm Trang 37
Chương VII: Kiểm định giả thuyết thống kê Trang 38
A. Tóm tắt lý thuyết Trang 38
B. Bài tập Trang 41
C. Bài làm Trang 42
Trang 4
CHƯƠNG I
ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT

A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa xác suất:
- Định nghĩa cổ điển: xác suất của biến cố A là một số P(A):
P (A)
Ở đây n là số biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử, m là số
biến cố thuận lợi cho A (nghĩa là nó xuất hiện thì A xuất hiện).
- Định nghĩa thống kê của xác suất: P(A) .
Ở đây là tần suất xuất hiện A khi lặp lại phép thử n lần.
- Định nghĩa hình học của xác suất: P(A) .
Ở đây hình học H biểu diễn tất cả các kết cục đồng khả năng của phép thử; các
kết cục thuận lợi cho A được biểu diễn bằng hình G là độ đo của các hình này,
chẳng hạn như độ dài, diện tích,thể tích.
- Xác suất có các tính chất đơn giản: 0
2. Giải tích tổ hợp:
- Quy tắc cộng: Để làm việc A có thể thực hiện theo một trong hai khả năng:
Khả năng 1: có n cách.
Khả năng 2: có m cách
Suy ra số cách làm việc A là m + n.
- Quy tắc nhân: Để làm việc A phải qua 2 bước:
Bước 1: có n cách.
Bước 2: có m cách
Suy ra số cách làm việc A là m.n.
- Tổ hợp: Một tổ hợp chập k của n phần tử là một bộ phận gồm k phần tử (lấy từ n
phần tử) có hai tính chất: khác nhau, không kể thứ tự.
Số tổ hợp chập k của n phần tử:
- Chỉnh hợp: Một chỉnh hợp chập k của n phần tử là một bộ gồm k phần tử (lấy từ
n phần tử) có 2 tính chất: khác nhau, kể thứ tự.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: :
- Hoán vị: Một hoán vị của n phần tử là một cách sắp thứ tự n phần tử, vì vậy nó
là một chỉnh hợp chập n của n phần tử. Số hoán vị của n phần tử .

- Nhị thức Newton:
Công thức nhị thức Newton:
Tam giác Pascal:
3. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất của biến cố:
- Công thức cộng xác suất:
+ P(A+B)=P(A)+P(B) (2 biến cố xung khắc)
+ P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A.B)  P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)
+ [P(AB)+P(AC)+P(BC)]+P(ABC)
- Công thức nhân xác suất:
+ P(A.B)=P(A).P(B) (2 biến cố độc lập)
+ P(A.B)=P(A).P(B/A) 
1 2 1 2 1 1 2 1
( ) ( ). ( / ) ( / )
n n n
p A A A p A p A A p A A A A
−
=
Trang 5
- Công thức bernuolli: cho 2 biến cố A và
+
( )
x x n x
n n
p x C p q
−
=
, p=p(A), q=1-p
- Công thức xác suất đầy đủ:
+
1 1 2 2

( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / )
n n
p F p A p F A p A p F A p A p F A= + + +
- Công thức Bayes:
( . ) ( ). ( / )
( / )
( ) ( )
i i i
i
p A F p A p F A
p A F
p F p F
= =
B. BÀI TẬP:
1.7 Để lập 700 bảng đăng ký, mỗi bảng gồm ba ký số, cần phải dùng ít nhất bao
nhiêu số nếu:
a) Các chữ số có thể trùng nhau trong một bảng.
b) Các chữ số không thể trùng nhau trong một bảng.
1.8 Có bao nhiêu trường hợp ta nhận được các số khác nhau khi tung cùng một
lúc:
a) Hai súc sắc?
b) Ba súc sắc?
1.9 Cho P(x, y, z) là diểm trong không gian ba chiều với các tọa độ nguyên
dương chỉ gồm một chữ số. Hỏi:
a) Có bao nhiêu điểm như vậy?
b) Có thể lấy một hệ gồm nhiều nhất mấy điểm như vậy sao cho không có bất cứ
hai điểm nào cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với trục Ox?
c) Có bao nhiêu hệ gồm một số điểm như vậy mà trong mỗi hệ không có bất cứ
hai điểm nào cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục Ox?
1.10 Trên mặt phẳng có 10 điểm, trong đó có 4 điểm thẳng hàng, ngoài ra không

có bất cứ điểm nào nữa thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh tại các
điểm đã cho?
1.11 Tính tổng:
a)
1 1

k k k
k k k m
C C C
+ + −
+ + +
b)
0 1
1 1

2 1
k
k n n
C C C
n
+ + +
+
c)
( )
2
0
n
i
n
i

C
=
∑
1.12 Một lô bóng đèn, trong đó có sáu bóng 110V và 14 bóng 220V. Hỏi:
a) Có mấy cách lấy một lúc bốn bóng đèn từ lô ra.
Trang 6
b) Có mấy cách lấy một lúc bốn bóng đèn sao cho trong đó có hai bóng 110V.
c) Có mấy cách lấy một lúc bốn bóng đèn sao cho trong đó có ít nhất hai bóng
110V.
C. BÀI LÀM:
1.7 Gọi 3 ký số của mỗi bảng là: a
1
a
2
a
3
a) Gọi số chữ số cần dùng là: x
• a
1
có x cách chọn.
• a
2
có x cách chọn.
• a
3
có x cách chọn.
⇒ Số cách chọn 3 ký số là: x.x.x = x
3
Điều kiện:
3

3
700 700 8,9x x
≥ ⇔ ≥ ≈
Vậy x
min
= 9.
b) Gọi số chữ số cần dùng là: y
Mỗi cách chọn 3 ký số là một chỉnh hợp chập 3 của y phần tử:
3
!
( 2)( 2)
( 3)!
y
y
A y y y
y
= = − −
−
Điều kiện:
min
( 2)( 2) 700 (1)
9
9
9 10
10
10
1: 9
(1) 504 700
2: 10
(1) 720 700

y y y
y x
y
Do y
y
y
TH y
TH y
− − ≥
≥ =
=


⇒ ≤ ≤ ⇒


=
≤


=
⇒ ≥
=
⇒ ≥
<
Vậy y = 10
1.8 a) Gọi các số hiện ra khi tung cùng 1 lúc 2 con súc sắc lần lượt là: a
1
a
2

• a
1:
có 6 cách chọn.
• a
2
có 5 cách chọn.
Vậy số trường hợp xảy ra: 6.5 = 30 trường hợp.
b) Gọi các số hiện ra khi tung cùng 1 lúc 3 con súc sắc lần lượt là: a
1
a
2
a
3
• a
1:
có 6 cách chọn.
• a
2:
có 5 cách chọn.
• a
3
: có 4 cách chọn.
Vậy số trường hợp xảy ra: 6.5.4 = 120 trường hợp.
1.9 N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
a) P(x, y, z)
• x: có 9 cách chọn, x∈ N.
Trang 7
(loại)
(nhận)
• y: có 9 cách chọn, x∈ N.

• z: có 9 cách chọn, x∈ N.
Vậy số điểm thỏa yêu cầu: 9.9.9 = 729 điểm.
b) Không có bất cứ 2 điểm nào cùng nằm trong 1 mặt phẳng vuông góc với trục
Ox ⇒ các điểm đó có tọa độ x khác nhau.
Vì x xó 9 cách chọn và x∈N nên có thể lấy một hệ gồm nhiều nhất 9 điểm như
vậy.
c) Gọi hệ thỏa yêu cầu bài toán là:
1 1
2 2
9 9
(1, , )
(2, , )

(9, , )
y z
y z
y z







+ y
1
có 9 cách chọn.
+ y
2
có 9 cách chọn.

…
+ y
9
có 9 cách chọn.
+ z
1
có 9 cách chọn.
+ z
2
có 9 cách chọn.
…
+ z
9
có 9 cách chọn.
Vậy số hệ = (9
9
)
2
= 9
18
hệ.
1.10 Chọn tam giác có 3 đỉnh tại các điểm đã cho tương đương với việc chọn ba
điểm không thẳng hàng từ các điểm đã cho.
Bước 1: Chọn ba điểm tuỳ ý từ 10 điểm đã cho:
3
10
C
cách.
Bước 2: Chọn ba điểm thẳng hàng từ 10 điểm đã cho. Vì có 4 điểm thẳng hàng
nên sẽ có:

3
4
C
cách.
Vậy số cách chọn thỏa đề bài:
3 3
10 4
116C C
− =
cách chọn.
1.11 a) Áp dụng Công thức Pascal:
Trang 8
1
1
1 1
1 1 2
1 1
2 2 3
1 1
2 2 1
1 1
1 1
1 2 1


k k
k k
k k k
k k k
k k k

k k k
k k k
k m k m k m
k k k
k m k m k m
k k k k k
k k k k m k m
C C
C C C
C C C
C C C
C C C
C C C C C
+
+
+ +
+ + +
+ +
+ + +
+ +
+ − + − + −
+ +
+ − + − +
+ + + − +
=
+ =
+ =
+ =
+ =
+ + + + =

b) Ta có:

0 0
0 0
1 1
0
0 0
1
1
0
(1 ) . (1 ) .
(1 )
.
1 1
(1 ) 1 1
. .
1 1 1
n n
x x
n k k n k k
n n
k k
x x
n k
n
k
n
k
n
n

k k
n
k
x x C x dx x C dx
x x
C
n k
x
x C
n n k
= =
+ +
=
+
+
=
+ = ⇔ + =
+
⇔ =
+ +
+
⇔ − =
+ + +
∑ ∑
∫ ∫
∑
∑
Thế x = 1 vào, ta được:
1
0

1 2 1
.
1 1
n
n
k
n
k
C
k n
+
=
−
=
+ +
∑
c) Ta có: (1+x)
n
.(1+x)
n
= (1+x)
2n
Gọi a là hệ số đứng trước x
n
0 0 1 1 2 2
0
0 1 1 2 2 0
0
2
0

2
2
2 2
0
2
2
0
(1 )
(1 )
( )
(1 )
( )
n
n k k n n
n n n n n
k
n
n k n k n n n n
n n n n n
k
n
i
n
i
n
n k k n
n n
k
n
i n

n n
i
x C x C x C x C x C x
x C x C x C x C x C x
a C
x x C a C
C C
=
− − −
=
=
=
=

+ = = + + + +



+ = = + + + +

⇒ =
• + = ⇒ =
⇒ =
∑
∑
∑
∑
∑
1.12 a) Chọn 4 bóng từ 20 bóng là một tổ hợp chập 4 của 20 phần tử.
Vậy số cách chọn =

4
20
4845C
=
cách.
Trang 9
b) Chọn 2 bóng 110V từ 6 bóng ⇒ có
2
6
C
cách.
Chọn 2 bóng 220V từ 14 bóng ⇒ có
2
14
C
cách.
Vậy: Số cách chọn =
2 2
6 14
. 1365C C
=
cách.
c) TH1: 2 bóng 110V, 2 bóng 220V
Số cách chọn = 1365.
TH2: 3 bóng 110V, 1 bóng 220V
Số cách chọn =
3 1
6 14
. 280C C =
.

TH3: 4 bóng 110V, 0 bóng 220V
Số cách chọn =
4 0
6 14
. 15C C
=
.
Vậy số cách chọn tổng cộng là: 1365+280+15=1660 cách.
Trang 10
CHƯƠNG II
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN. VECTƠ NGẪU NHIÊN
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
2.1 Đại lượng ngẫu nhiên:
1. Định nghĩa và phân loại:
* ĐN: Một đại lượng nhận giá trị bằng số mà con số đó phụ thuộc vào kết cục
của một phép thử ngẫu nhiên nào đó, được gọi là một ĐLNN.
Người ta thường dùng các chữ cái hoa X, Y, …,Z để chỉ ĐLNN
x, y,…,z để chỉ các giá trị mà ĐLNN X có thể nhận.
* Phân loại: ĐLNN X được gọi là rời rạc nếu tập các giá trị của nó là một tập
hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị "cách quãng nhau".
2. Bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc:
a) Quy luật phân phối xác suất:
ĐN: Quy luật PPXS của ĐLNN là sự tương ứng giữa các giá trị có thể có của nó
và các xác suất tương ứng với các giá trị đó.
b) Bảng và hàm phân phối xác suất: với k =1,2,…
Các xác suất của ĐLNN X thường được sắp thành bảng sau đây, gọi là bảng
phân phối xác suất của X.
X X
1
X

2
… X
n
P P
1
P
2
… P
n
Định lý: Giả sử X là ĐLNN rời rạc có bảng PSXS
X X
1
X
2
… X
n
P P
1
P
2
… P
n
Ta có:

2.2 Hàm phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất:
1. Hàm phân phối xác suất:
ĐN: Hàm PPXS của ĐLNN X, kí hiệu là F(x), là xác suất để ĐLNN X nhận giá
trị nhỏ hơn x, với x là một số thực bất kì.
- Cho X là một ĐLNN rời rạc thì hàm PPSX của X được định nghĩa bằng công
thức: F(x) =

* Các tính chất của hàm phân phối xác suất:
- Tính chất 1: Hàm PPSX luôn nhận giá trị trong [0;1]
- Tính chất 2: Hàm PPSX là hàm không giảm, tức là với x
2
> x
1
thì F(x
2
) F(x
1
)
* Hệ quả:
0
- Tính chất 3:
Hệ quả: Nếu đại lượng ngẫu nhiên X chỉ nhận giá trị trong đoạn [a;b] thì với

2. Hàm mật độ xác suất:
- ĐN: .
- Tính chất 1:
Trang 11
- Tính chất 2:
- Tính chất 3:
- Tính chất 4:
2.3 Vectơ ngẫu nhiên:
2.3.1 Khái niệm vectơ ngẫu nhiên: Z = (X
1
, X
2
, , X
n

).
2.3.2 Vectơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều:
1. Bảng phân phối xác suất đồng thời:
Cho X = {x
1
, x
2
, x
m
}; Y = {y
1
, y
2
, y
n
}.
Đặt p
ij
= P(X=x
i
, Y =y
i
); , , ta có bảng sau đây gọi là bảng phân phối xác suất
đồng thời của Z = (X,Y):
X
X
y
1
y
1

y
n
x
1
p
11
p
12
p
1n
x
2

x
m
p
m1
p
m2
p
mn
Ta có:
2. Phân phối lề của X và Y:
Đặt :
Ta được bảng phân phối xác suất của X:
X x
1
x
2
… x

m
P
x
p
1
p
2
p
m
Đặt :
Ta được bảng phân phối xác suất của Y:
X y
1
y
2
… y
n
P
Y
q
1
q
2
q
n
3. Phân phối có điều kiện:
Bảng phân phối xác xuất của X với điều kiện là:
X x
1
x

2
… x
m
P
Y/y
i



Bảng phân phối xác xuất của X với điều kiện là:
X x
1
x
2
… x
n
P
Y/x
i



4. Điều kiện độc lập của X và Y:
X và Y độc lập
5. Hàm phân phối của (X,Y):

2.3.3 Vectơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều:
1. Hàm mật độ đồng thời:
Tính chất:
i) f(x,y) 0

Trang 12
ii)
iii)
2. Mật độ lề của X và Y:
Cho vectơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ đồng thời là f(x,y).
Khi đó: là hàm mật độ của X;
là hàm mật độ của Y.
3. Mật độ có điều kiện:
Hàm mật độ của X với điều kiện Y = y là:
Hàm mật độ của Y với điều kiện X = x là:
4. Điều kiện độc lập của X và Y:
Hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y gọi là độc lập nếu: f(x,y) = f
x
(x).f
y
(y)
Trong trường hợp này, với mọi khoảng A, B R, ta có:
Tức là xác suất của tích bằng tích của các xác suất.
5. Hàm phân phối của (X,Y):
2.4 Hàm đại lượng ngẫu nhiên:
2.4.1 Hàm của 1 đại lượng ngẫu nhiên:
1. Trường hợp rời rạc:
2. Trường hợp liên tục:

2.4.2 Hàm của 2 đại lượng ngẫu nhiên:
1. Trường hợp rời rạc:
2. Trường hợp liên tục:

B. BÀI TẬP:
2.10 Hàm phân phối của biến ngẩu nhiên X có dạng:

Với giá trị nào của A và B thì hàm F(x) là hàm liên tục?
a) Tính
1 1
( )
2 2
P X− < <
b) Tính mật độ phân phối f(x) của X.
2.11 Cho biến ngẫu nhiên X xó hàm phân phối
a) Tìm hàm mật độ ϕ(x)
Trang 13
khi x ≥ 2
khi -2 < x < 2
khi x ≤ -2
khi x < 0
khi 0 ≤ x ≤
khi x >
b) Tính
( ).
6 4
P X
π π
≤ ≤
2.12 Cho biến ngẫu hiên X có hàm mật độ
a) Tìm hệ số a và xác suất
(0 ).
4
P X
π
≤ ≤
b) Tìm hàm phân phối F(x).

Trang 14
khi x∈
khi x∉
C. BÀI LÀM:
2.10 a) Với các giá trị nào của A và B thì F(x) là hàm liên tục
(1)
(2)

b) Tính
1 1
( )
2 2
P X− < <

1 1
( )
2 2
P X− < <
= F( – F(-)=
=
c) Mật độ phân phối f(x):
Ta có: f(x) = F’(x)
(Với (arcsin
Xét tính liên tục của f(x) tại x = -2 và x = 2:
Áp dụng L’Hospital
⇒ F’(2)
Tương tự F’(-2)
Vậy f(x) = F’(x) =
2.11 F(=
a) Hàm mật độ:

f(
b)Tính P ( )

( ) ( ) ( )
6 4 4 6
3
sin 2.( ) sin 2.( ) 1
4 6 2
P X F F
π π π π
π π
≤ ≤ = −
= − = −
2.12
a) Ta có:

2
2
2
2
1
( ) 1 cos . 1 sin 1 2 1
2
x dx a x dx a x a a
π
π
π
π
ϕ
+

+∞
−
−∞
−
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇒ =
∫ ∫
Trang 15
khi x ≥ 2
khi -2 < x < 2
khi x ≤ -2
khi x∈
khi x∉
b)

( )
2
2
2 2
( ) ( )
:
2
( ) ( ) 0
:
2 2
1 1 1
( ) ( ) ( ) cos sin sin 1
2 2 2
x
x
x

x x
F x x dx
x
F x x dx
x
F x x dx x dx xdx x x
π
π
π π
ϕ
π
ϕ
π π
ϕ ϕ
−∞
−∞
−
−∞
−
− −
=
• < −
= =
• − ≤ <
= + = = = +
∫
∫
∫ ∫ ∫
( )
2 2

2 2
2
2
2
2
:
2
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
cos sin 1
2 2
0
1
( ) sin 1
2
1
x
x
F x x dx x dx x dx
xdx x
F x x
π π
π π
π
π
π
π
π
ϕ ϕ ϕ
−

−∞
−
−
−
• ≥
= + +
= = =



⇒ = +




∫ ∫ ∫
∫
Trang 16
khi x∈
khi x∉
khi x
khi
khi x
CHƯƠNG III
CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
3.1 Kỳ vọng:
1. Định nghĩa:
2. Tính chất của kỳ vọng:
Với mọi đại lượng ngẫu nhiên X, Y và hằng số C ta có:

i) E(C) = C
ii) E(X+Y) =E(X) + E(Y)
iii) E(CX) = CE(Y)
iv) E(XY) = E(X)E(Y) nếu X và Y độc lập.
3.2 Phương sai:
1. Định nghĩa phương sai: D(X) = E[(X-E(X))
2
]
Ký hiệu: = E(X), thì: D(X) = E[()
2
] = E()
2
2. Tính chất của phương sai:
i) D(X) 0, D(C) = 0
ii) D(CX) = C
2
D(X)
iii) D(X) = E(X
2
) - (E(X))
2
iv) D(X+Y) = D(X) + D(Y) nếu X và Y độc lập.
D(X+C) = D(X).
3.3 Một số đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên:
1. Mode của đại lượng ngẫu nhiên: mod(X) =
2. Trung vị của đại lượng ngẫu nhiên: P(X<m) và P(X>m)
3. Moment trung tâm:
4. Hệ số bất đối xứng. Hệ số nhọn.
* Hệ số đối xứng của X là số
Khi: thì phân phối đối xứng

thì phân phối lệch về bên phải
thì phân phối lệch về bên trái
* Hệ số nhọn của X là:
Khi: có độ nhọn cao hơn phân phối chuẩn
có độ nhọn thấp hơn phân chuẩn.
3.4 Đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên hai chiều và nhiều chiều:
3.4.1 Kỳ vọng: E(Z) = (E(X), E(Y)) R
2
3.4.2 Kỳ vọng của hàm một vectơ ngẫu nhiên:
1. Trường hợp rời rạc: E(Z) =
2. Trường hợp liên tục: E(Z) =
4.3.3 Kỳ vọng có điều kiện:
1. Trường hợp rời rạc:
E(X/Y = y
i
) =
E(Y/X = x
i
) =
Trang 17
2. Trường hợp liên tục:
E(X/y) = E(X/Y = y) =
E(Y/x) = E(Y/X = x) =
3.4.4 Covarian. Ma trận tương quan.
Ta có covarian của Z là: cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
Biến đổi đơn giản: cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
Trường hợp rời rạc: E(XY) =
Trường hợp liên tục: E(XY) =
Từ định nghĩa ta có: D(X) = cov(X,X)
Ta gọi ma trận tương quan là:

D(X,Y) =
3.4.5 Hệ số tương quan:
Ta gọi số: R
xy
= là hệ số tương quan giữa X và Y.
Định lý 3.4: Với mọi (X,Y), ta có:
i) |R
xy
| 1
ii) R
xy
= 1 nếu và chỉ nếu X và Y tương quang tuyến tính, tức là tồn tại các
số A,B,C sao cho AX + BY = C.
3.4.6 Vài đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên nhiều chiều:
Cho vectơ ngẫu nhiên n chiều: Z = (X
1
, X
2
, , X
n
)
1. Kỳ vọng:
Ta gọi kỳ vọng của Z là vectơ n chiều: E(Z) = (E(X
1
), E(X
2
), E(X
n
))
2. Momen bậc k:

Ta gọi momen hỗn hợp bậc k của (X
1
, X
2
, , X
n
) đối với (a
1
, a
2
, a
n
) là số
E[(X
1
- a
1
)
k
1
((X
2
- a
2
)
k
2
(X
n
- a

n
)
k
n
]
Trong đó: k
1
+ k
2
+ + k
n
= k
nếu: (a
1
, a
2
, a
n
) = (0,0, ,0) thì momen gọi là momen gốc.
nếu: (a
1
, a
2
, a
n
) = (E(X
1
), E(X
2
), , E(X

n
)) thì momen gọi là momen trung
tâm.
3. Ma trận tương quan:
Ta gọi ma trận tương quan hay ma trận hiệp phương sai của Z là:
D(X
1
, X
2
, ,X
n
) = Ma trận tương quan là ma trận đối xứng.
B: BÀI TẬP:
3.15 Cho các biến ngẫu nhiên X
1
, X
2
, …, X
n
; Y
1
, Y
2
, …, Y
n
có phương sai đều
bằng 1:
cov(X
i
, X

j
) = p
1
; cov(Y
i
, Y
j
) = p
2
; cov(X
i
, Y
j
) = p
3
Tìm hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên:
u = (X
1
+ X
2
+ … + X
n
) và v = (Y
1
+ Y
2
+ … + Y
n
)
3.16 Một hộp đựng ba bi đỏ, hai bi xanh và một bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra từng

bi cho đến khi gặp bi đỏ thì dừng lại. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số bi xanh, Y
là biến ngẫu nhiên chỉ số bi vàng đã lấy ra.
Trang 18
a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y.
b) Tính hệ số tương quan giữa X và Y.
c) Tính cov(X, Y).
d) Tìm D(X, Y).

Trang 19
C: BÀI LÀM:
3.15
cov(X
i
, X
j
) = p
1
; cov(Y
i
, Y
j
) = p
2
; cov(X
i
, Y
j
) = p
3
u = (X

1
+ X
2
+ … + X
n
) và v = (Y
1
+ Y
2
+ … + Y
n
)
R
uv
=
Ta có:
1
1
3
2 2 2
1
2
1
.
( ) ( )
( ) ( ), ( ) ( )
( ). ( ) ( ). ( )
( ) ( ). ( ) cov( ) . .
( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )
( ( )) ( ). ( )

n
m
i j
i
j
i j
i j
i j
i j
m
i i j
i i j
m
i i j
i i j
u v X Y
E uv E X Y
E u E X E v E Y
E u E v E X E Y
E uv E u E v X Y m n p
D u E u E u E X E X Y
E X E X E Y
=
=
= ≠
= ≠
• =
• =
• = =
⇒ =

⇒ − = =
 
• = − = +
 
 
 
− +
 
 
∑
∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑ ∑
∑ ∑
[ ]
1
1
1
( ) cov( , ) ( 1)
1 ( 1)
m
i i j
i i j
D X X Y m m m p
m m p
= ≠
= + = + −
= + −

∑ ∑
Tương tự:
[ ]
2
( ) 1 ( 1)D u n n p
• = + −
Vậy:
[ ] [ ] [ ] [ ]
3 3
1 2 1 2
1 ( 1) . 1 ( 1) 1 ( 1) . 1 ( 1)
uv
p mn p mn
R
m m p n n p m p n p
= =
+ − + − + − + −
3.16
Một hộp
a) Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số bi xanh
X={0, 1, 2}
Gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ số bi vàng
Y={0, 1}
Bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y
Trang 20
Y
X
0 1 p
x
0 P

11
P
12
1 P
21
P
22
2 P
31
P
32
p
y
+ P
11
=P(X=0, Y=0)=
+ P
12
=P(X=0, Y=1)=
+ P
21
=P(X=1, Y=0)=
+ P
22
=P(X=1, Y=1)=
+ P
31
=P(X=2, Y=0)=
+ P
32

=P(X=2, Y=1)=
Vậy:
Y
X
0 1 p
x
0 1/2 1/10 3/5
1 1/5 1/10 3/10
2 1/20 1/20 1/10
p
y
3/4 1/4 1
c) Ta có:
1 1 1
( , ) 1.1. 2.1.
10 20 5
E X Y = + =
X 0 1 2
p
x
3/5
3/1
0
1/1
0
3 3 1 1
( ) .0 .1 .2
5 10 10 2
E X⇒ = + + =
X 0 1

p
x
3/4 1/4
Trang 21
3 1 1
( ) .0 .1
4 4 4
E Y⇒ = + =
⇒ cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) =
1 1 1 3
.
5 2 4 40
− =
b) D(X) = E(X
2
) - (E(X))
2
=
2
2 2 2
1 3 1 1 9
0 . 1 . 2 .
5 10 10 2 20
 
+ + − =
 ÷
 
D(Y) = E(Y
2
) - (E(Y))

2
=
2
2 2
3 1 1 3
0 . 1 .
4 4 4 16
 
+ − =
 ÷
 
3
cov( , ) 1
40
( ). ( ) 9 3 15
.
20 16
XY
X Y
R
D X D Y
⇒ = = =
d) D(X,Y) =
Trang 22
CHƯƠNG IV
CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
4.1 Các phân phối rời rạc:
1. Phân phối nhị thức:

Trường hợp này ta ký hiệu XB(n,p).
Định lý 4.1: Nếu X là số lần thành công trong dãy n phép thử Bernoulli với xác
suất thành công p thì XB(n,p).
Định lý 4.2: Nếu XB(n,p) thì E(X) = np và D(X) = npq.
2. Phân phối siêu bội:
Định lý 4.3: Nếu XH(N,M,n) thì: E(X) = np, D(X) = npq
trong đó p = , q = 1 - p
3. Phân phối Poisson:
Đại lượng ngẫu nhiên X = {0, 1, 2, , n, } gọi là có phân phối Poisson nếu tồn
tại số sao cho:
Định lý 4.4: Nếu XP(a) thì E(X) = D(X) = a
4.2 Các phân phối liên tục:
4.2.1 Phân phối đều: f(x) = ký hiệu XU(a,b).
Định lý 4.5: E(X) = , D(X) =
4.2.2 Phân phối mũ: f(x) = ký hiệu XE().
Định lý 4.6: Nếu XE() thì E(X) = , E(X) =
4.2.3 Phân phối chuẩn:
1. Phân phối chuẩn: f(x) =
Định lý 4.7: Nếu XN( thì E(X) = , D(X) =
2. Phân phối chuẩn chuẩn tắc: f(x) =
Định lý 4.8 Nếu XN( thì Y =
3. Tích phân Laplace: Hàm Gauss: F(u) =
Tích phân Laplace:
Giữa hàm phân phối Gauss và tích phân Laplace có mối liên hệ:
F(u) = hay Hàm là hàm số lẻ.
Định lý 4.9: Nếu X N(0,1) thì:
i) P(
ii) P(
Nếu XN( thì:
iii) P(

iv) P(
Định lý 4.10: Nếu XN( thì: P(
4.2.4 Phân phối "khi bình phương":
Trang 23
- Đại lượng ngẫu nhiên X
2
gọi là phân phối "khi bình phương" n bậc tự do
nếu:
X
2
= X
1
2
+ X
2
2
+ + X
n
2
trong đó X
1
, X
2
, X
n
là các đại lượng ngẫu nhiên độc
lập có phân phối chuẩn chuẩn tắc.
- Trong trường hợp này ta ký hiệu: X
2
X

2
(n)
Ký hiệu: là hàm gama dt
Định lý 4.11 Cho X X
2
(n) khi đó
i) Hàm mật độ của X
2
là
ii) E(X
2
) = n; D(X
2
) = 2N
4.2.5 Phân phối Student:
Đại lượng ngẫu nhiên T gọi là phân phối Student n bậc tự do nếu T = trong đó:
UN(0,1) và VX
2
(n)
Trường hợp này ta ký hiệu: TT(n)
Định lý 4.12 Cho TT(n). Khi đó
i)Hàm mật độ của T là
ii) E(T) = 0; D(T) =
4.3 Các định lý giới hạn:
1- Định lý Chebyshev
Định lý 4.13 (Bất đẳng thức Chebyshev). Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên.
Khi đó, với mọi ,ta có:
Định lý 4.14 (Chebyshev). Cho là các đại lượng ngẫu nhiên đôi một độc lập, có
phương sai bị chặn đều (tồn tại với mọi ). Khi đó với mọi , ta có:
2-Định lý Bernoulli:

Định lý 4.15 (Bernoulli) Nếu là số lần thành công trong dãy
phép thử Bernoulli với xác suất thành công thì:
3-Định lý giới giạn trung tâm:
Với các đại lượng ngẫu nhiên ta đặt:
Định lý 4.16(Liapounov). Nếu các đại lượng ngẫu nhiên đơi một độc lập và
thì
với mọi là tích phân Laplace.
Theo định lí,nếu n khá lớn,ta có:
hay
Ta thường sử dụng trường hợp riêng sau đây.
Định lý 4.17 Nếu thì mọi thì, với khá lơn,ta có:
hay
Trang 24
Trong thống kê ta thường coi là khá lớn.
4.4 Các công thức gần đúng
1-Phân phối siêu bội và phân phối nhị thức
Định lý 4.18 Cho .Nếu cố định và thì với , ta có:
Theo định lý 4.18, nếu khá lớn so với thì có thể coi:
tức là ta có công thức gần đúng:
2- Phân phối nhị thức và phân phối Poisson:
Định lý 4.19 Cho . Nếu và khi thì với ta có:
Theo định lý 4.19, nếu khá bé và khá lớn thì thì có thể coi ,tức là có công thức
gần đúng:
3- Phân phối nhị thức và phân phối chuẩn:
Định lý 4.20 (Định lý Moivre - Laplace địa phương). Cho .Nếu
sao cho bị chặn khi thì:
trong đó khi và là hàm mật độ Gauss.
Theo định lý 4.20,khi khá lớn ta có công thức gần đúng:
Định lý 4.21 (Định lý Moivre - Laplace tích phân).Với giả thiết như trong định
lý 4.20 ta có:

trong đó khi và là tích phân Laplace.
Theo định lý 4.21,khi khá lớn ta có công thức gần đúng:
Hai công thức gần đúng sau cùng này thường chỉ sử dụng khi không quá gần
0 hoặc 1,vì trong trường hợp đó sai số là lớn.
Trang 25