Chuyên đề học sinh giỏi năm học 2014 - 2015 Một số biện pháp tổ chức bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS

PHÒNG GD&ĐT NINH HÒA
TỔ BỘ MÔN TOÁN
CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2014 - 2015
MỘT SỐ BIỆN PHÁP TỔ CHỨC BỒI DƯỠNG
MỘT SỐ BIỆN PHÁP TỔ CHỨC BỒI DƯỠNG
HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS
HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS
A. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:
1. Thuận lợi:
- Đối tượng bồi dưỡng là những học sinh khá giỏi, có khả năng học tập tự giác, tích cực
và tự lực; khả năng tư duy sáng tạo cao và đã được tuyển chọn từ các trường THCS.
- Được sự quan tâm, động viên kịp thời cả về tinh thần lẫn vật chất của gia đình và nhà
trường và của lãnh đạo Phòng GDĐT
2. Khó khăn:
- Nội dung bồi dưỡng: Vì đối tượng bồi dưỡng ở đây không phải là học sinh lớp chuyên,
trường chuyên mà là học sinh ở các trường đại trà nên không có chương trình dành cho lớp
chuyên, thiếu định hướng và thiếu tính liên thông trong hệ thống chương trình. Tất cả giáo viên
dạy bồi dưỡng đều phải tự soạn, tự nghiên cứu và tự sưu tầm tài liệu.
- Học sinh: Một số không yên tâm khi theo học lớp bồi dưỡng HSG, vì phải mất nhiều thời
gian, ảnh hưởng đến sức khỏe và kết quả học tập chung.
- Giáo viên dạy bồi dưỡng: Vẫn phải hoàn thành nhiệm vụ công tác tại trường, thực hiện
giảng dạy như các giáo viên khác, đôi khi còn kiêm nhiệm nhiều công tác khác như: chủ nhiệm,
tổ trưởng bộ môn, … Đó là một thực tế, vì lãnh đạo nhà trường lúc nào cũng muốn giao công tác
cho những giáo viên tốt, giỏi, có uy tín. Vì vậy, việc đầu tư cho công tác bồi dưỡng HSG cũng có
phần bị hạn chế.
B. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:
Để công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán có hiệu quả, giáo viên phải làm được những
công việc sau:
1. Phát hịên, tuyển chọn HSG: thông qua kỳ thi HSG cấp thị xã.
2. Phân loại học sinh: thông qua kết quả thi HSG cấp thị xã, giáo viên tiến hành phân loại học

sinh để xây dựng chương trình và nội dung bồi dưỡng.
3. Xây dựng kế hoạch và nội dung bồi dưỡng: Việc xây dựng kế hoạch và nội dung bồi dưỡng
môn Toán cho học sinh giỏi là khâu hết sức quan trọng, nó là vấn đề cốt lõi để hoạt động bồi
dưỡng môn Toán cho HSG đi đúng hướng theo chương trình. Trong kế hoạch cần thể hiện rõ
một số vấn đề như:
- Mục tiêu của kế hoạch.
- Thời gian thực hiện: Để chương trình bồi dưỡng HSG có hiệu quả, vấn đề thời gian bồi
dưỡng cũng góp phần không nhỏ. Kế hoạch bồi dưỡng phải rải đều trong tuần, trong tháng,
không nên dạy dồn ở tuần cuối, tháng cuối trước khi thi. Cụ thể: một tuần 3 buổi, mỗi buổi 4 tiết
(rải đều trong tuần); chúng tôi tiến hành trong 12 tuần.
- Xây dựng chương trình, nội dung bồi dưỡng: Dựa vào kế hoach tổ chức thi HSG cấp
tỉnh, hàng năm chúng tôi đã đưa ra một số chuyên đề cơ bản sau:
1. Biến đổi đồng nhất thức
2. Biến đổi căn thức
3. Phương trình – Bất phương trình
4. Hệ phương trình
5. Phương trình bậc hai – định lý viét (nếu cần)
6. Bất đẳng thức – Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
7. Số học
8. Tam giác – Tứ giác
9. Các bài toán về đường tròn
10. Diện tích tam giác – đa giác
11. Cực trị trong hình học
- Cơ sở vật chất thiết bị có liên quan.
- Các lực lượng giáo dục tham gia.
- Chỉ tiêu về số và chất lượng cần đạt.
4. Tổ chức bồi dưỡng: GV tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi phải biết hướng dẫn cho HS
phương pháp tự học, biết độc lập suy nghĩ, sáng tạo khi giải quyết vấn đề. Giúp học sinh chủ
động chia sẽ với GV và các bạn trong lớp những bài tập, những ý tưởng mà các em chưa thông
hiểu .Qua thực tế tiết học bồi dưỡng môn Toán cần bao gồm các bước cơ bản sau đây

- Bước 1: Kiểm tra, nhận xét kết quả học tập ở nhà.
- Bước 2: Hệ thống hóa, mở rộng kiến thức đang học theo từng chủ đề.
- Bước 3: Nâng cao kiến thức Toán cần bồi dưỡng cho học sinh.
- Bước 4: Tổng kết và giao nhiệm vụ học tập ở nhà.
Ngoài những công việc trên thì việc giảng dạy là quan trọng nhất. Khi giảng dạy phải dạy
cho học sinh theo từng dạng toán, theo từng chuyên đề, ở mỗi dạng toán phải nêu bật cho học
sinh cách làm và khai thác bài toán ở nhiều khía cạnh khác nhau.
2
Và sau đây chúng tôi xin đưa ra một số ví dụ nhằm nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt
hoá, tổng quát hoá một bài toán; từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh hoạt cho các
em HS; giúp cho HS nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức hơn một cách lôgic, khoa học, tạo hứng
thú khoa học yêu thích bộ môn toán hơn.
VÍ DỤ 1:
KHAI THÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A = a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc
Giải:
( ) ( ) ( )
( )
2
2
a b c c 3ab a b c
3 3
2 2 2
A=(a+b) + c - 3ab(a+b)-3abc = (a+b+c) a+b

= a+b+c (a +b +c -ab-bc-ca)
 
− + + − + +
 
Khai thác bài toán:
* Từ kết quả trên ta có ngay bài toán:
Bài 1: Chứng minh rằng: Nếu a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c và ngược lại.
Bài 2: Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa a
3
+b
3
+c
3
= 3abc thì đó là tam giác đều.
Bài 3: Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của A là số
dương.
Bài 4: Cho a, b, c là các số nguyên thoả mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a
3
+b
3
+c
3
chia hết
cho 3abc.

* Nhận xét: Nếu thay a = x – 3; b = 2x + 1; c = 2 – 3x thì a + b + c = 0. Sử dụng kết quả trên
ta có (x – 3)
3
+ (2x + 1)
3
+ (2 – 3x)
3
= 3(x – 3)(2x + 1)(2 – 3x). Ta đến với bài toán:
Bài 5: Giải phương trình: (x – 3)
3
+ (2x + 1)
3
= (2 – 3x)
3
.
* Nhận xét: Nếu thay a = x – y; b = y – z ; c = z – x thì a + b + c = 0. Theo kết quả trên ta có a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc; suy ra (x – y)
3
+(y – z)
3
+ (z – x)
3
= 3(x – y)(y – z)(z – x). Nên ta có bài toán
sau:
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x – y)

3
+(y – z)
3
+ (z – x)
3
* Nhận xét: Nếu thay
1 1 1
a = , b = , c =
x y z
thì
3 3 3
1 1 1 1 1 1 3
+ + = 3. . . =
x y z x y z xyz
. Ta biến đổi giả thiết
và kết luận của bài toán:
1 1 1
+ + = 0
x y z
=> xy + xz + yz = 0

3 3 3 2 2 2
3 1 1 1 yz xz xy
3 = xyz. = xyz. + + = + +
xyz x y z x y z
 
 ÷
 
Ta có bài toán rất hay như sau:
3

Bài 7: a) Biết
1 1 1
0
a b c
+ + =
(a,b,c khác 0). Tính giá trị của biểu thức Q =
2 2 2
bc ca ab
+ +
a b c
b) Cho x, y, z là các số khác 0 thoả mãn xy + xz + yz = 0. Tính giá trị của biểu thức:
2 2 2
yz xz xy
P = + +
x y z
* Nhận xét: Ta thấy với a + b + c = 0 thì
3 3 3 2 2 2
3abc a + b + c a b c
3 = = = + +
abc abc bc ac ab
. Ta có một số
bài toán:
Bài 8: Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức:
a)
2 2 2
a b c
M = + +
bc ac ab
.
b)

2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c
N = + +
a - b -c b - c -a c -a - b
c)
a - b b -c c -a c a b
P = + + + +
c a b a - b b - c c- a
  
 ÷ ÷
  
Bài 9: Cho a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc và abc
≠
0. Tính giá trị của biểu thức
a b c
Q 1 1 1
b c a
   
= + + +
 ÷ ÷ ÷
   
Bài 10: Cho a
3

+ b
3
+ c
3
= 3abc và a + b +c
≠
0. Tính giá trị của biểu thức:
2 2 2
2
a + b + c
A =
(a + b +c)
* Nhận xét : Suy luận và phát triển thành các bài toán hay và khó hơn:
Thay c bởi c + d vào a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc ta được:
a
3
+ b
3
+ (c+d)
3
= 3ab(c+d)
<=> a
3
+ b

3
+ c
3
+d
3
= 3ab(c+d) - 3cd(c+d)
<=> a
3
+ b
3
+ c
3
+d
3
= 3(c+d)(ab-cd)
Ta đến với bài toán:
Bài 11: Chứng minh rằng nếu a+b+c+d = 0 thì a
3
+ b
3
+ c
3
+d
3
= 3(c + d)(ab – cd).
* Nhận xét: Nếu thay a = 2 – x, b = – (y + 2), c = x + y thì a + b + c = 0. Ta đến với bài toán:
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên (Tìm các cặp số nguyên x,y thỏa)
(x + y)
3
= (x – 2)

3
+ (y + 2)
3
+ 6
Bài 13: Tìm giá trị của k để x
3
+ y
3
+z
3
+kxyz chia hết cho x + y + z với mọi x, y, z
* Tiểu kết: Trong quá trình giảng dạy và học tập toán, việc khai thác, tìm hiểu sâu thêm kết
quả của bài toán là rất quan trọng và rất có ích.
4
VÍ DỤ 2:
Trong chuyên đề biến đổi căn thức, một phép biến đổi đơn giản nhưng đã giúp ta giải
quyết nhiều bài toán một cách hiệu quả, đó là trục căn thức ở mẫu. Học sinh hiểu được việc nhân
biểu thức liên hợp nhằm trục căn ở mẫu và giải toán một cách dễ dàng. Và chúng tôi xin hệ thống
lại như sau:
I. Tính giá trị biểu thức:
Bài tập 1: Rút gọn biểu thức:
a) A =
nn +−
++
+
+
+
+
+ 1
1

43
1
32
1
21
1
b) B =
1009999100
1

4334
1
3223
1
22
1
+
++
+
+
+
+
+
c) C =
10099
1

43
1

32
1
21
1
−
+−
−
+
−
−
−
Bài tập 2: Tính: A =
139
4
13
2
333
+−
−
−

Bài tập 3: Cho
(
)
(
)
2 2
2012 . 2012 2012a a b b+ + + + =
, Hãy tính tổng a + b.
Bài tập 4: Cho

(
)
(
)
2 2
2013 . 2013 2013x x y y+ + + + =
, Hãy tính giá trị biểu thức
T = x
2013
+ y
2013
II. Giải phương trình:
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm
0
x
như vậy phương trình luôn đưa
về được dạng tích
( )
( )
0
0x x A x− =
ta có thể giải phương trình
( )
0A x =
hoặc chứng minh
( )
0A x =
vô nghiệm, chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh giá
( )
0A x =

vô nghiệm
Bài tập 1: Giải phương trình:
( ) ( )
2
2 1 2x x x x x+ + − =
(1)
HD: ĐK
2; 1x x≤ − ≥
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 3
1 2 2 2
1 2 1 2
x x x x x
x x
x x x x x x x x
− − − −
⇔ = ⇔ =
− − + − − +
Nếu x
≥
1 ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
1 2
3

2
2 1 2 3
2
1 2 2
x x x x
x x x
x x x x x
−

− − + =
−

⇒ − = +


− + + =

5
Giải (3) ta tìm được x
Nếu x
≤
-2 ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
1 2
3
2
2 1 2 4

2
1 2 2
x x x x
x x x
x x x x x

− − + =

⇒ − = − +


− + + = −

Giải (4) ta tìm được x
Bài tập 2:. Giải phương trình sau:
( )
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − +
HD: Ta nhận thấy:
( ) ( )
( )
2 2
3 5 1 3 3 3 2 2x x x x x− + − − − = − −

( ) ( )
( )
2 2
2 3 4 3 2x x x x− − − + = −
Ta có thể trục căn thức 2 vế:

( )
2 2
2 2
2 4 3 6
2 3 4
3 5 1 3 1
x x
x x x
x x x x
− + −
=
− + − +
− + + − +
Dễ dàng nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài tập 3: Giải phương trình sau:
2 2
12 5 3 5x x x+ + = + +
HD: Để phương trình có nghiệm thì:
2 2
5
12 5 3 5 0
3
x x x x+ − + = − ≥ ⇔ ≥
Ta nhận thấy: x = 2 là nghiệm của phương trình, như vậy phương trình có thể phân
tích về dạng
( ) ( )
2 0x A x− =
, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm, tách, nhân lượng
liên hợp như sau:

( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
12 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
2 1
2 3 0 2
12 4 5 3
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
− −
+ − = − + + − ⇔ = − +
+ + + +
 
+ +
⇔ − − − = ⇔ =
 ÷
+ + + +
 
Dễ dàng chứng minh được:
2 2
2 2 5

3 0,
3
12 4 5 3
x x
x
x x
+ +
− − < ∀ >
+ + + +
Bài tập 4: Giải phương trình:
2 33
1 1x x x− + = −
HD: ĐK
1x
≥
Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình, nên ta biến đổi phương trình
( )
( )
( )
( )
2
2 3
3
2 3
2 2
3
3
3 3 9
3
1 2 3 2 5 3 1

2 5
1 2 1 4
x x x
x
x x x x
x
x x
 
− + +
+
 
− − + − = − − ⇔ − + =
 
− +
− + − +
 
 
6
Ta chứng minh:
( )
(
)
2
2
2 2 23 3
3
3 3
1 1 2
1 2 1 4 1 1 3
x x

x x x
+ +
+ = + <
− + − + − + +
2
3
3 9
2 5
x x
x
+ +
<
− +
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
Bài tập 5: Giải phương trình sau:
2 2
2 2
3 3
3 3
x x
x
x x x x
+ −
+ =
+ + − −
HD: ĐK:
2
3x ≥
Nhân với lượng liên hợp của từng mẫu số của phương trình đã cho ta được:
( )

(
)
( )
(
)
2 2 2 2
3 3 3 3 3.x x x x x x x− + − − + − − =
( ) ( )
3 3
2 2
3 3 3 3.x x x⇒ − + + =

( ) ( )
( )
3 3
3
2 2 4 2
0
3 3 2 3 27
x
x x x x
>


⇒

− + + + − =


( )

( )
( )
2 4
2
4 3 2 4
4 3 4 4
0 ; 9 2 0
0
2 ( 3) 9 2
4( 3) 9 2
x x x
x
x x x
x x x

> − ≥
>

 
⇒ ⇒
 
− = −
− = −
 


Giải hệ trên ta tìm được
2x =
Bài tập 6: Giải phương trình:
( )

2
2
2
9
3 9 2
x
x
x
= +
− +
HD: ĐK:
9
2
0
x
x

≥ −



≠

Pt
( )
( ) ( )
2
2
2 2
2 3 9 2

9
3 9 2 3 9 2
x x
x
x x
+ +
⇔ = +
− + + +

( )
2
2
2 18 2 6 9 2
9
4
x x x
x
x
+ + +
⇔ = +

6 9 2 0x⇔ + =

9
2
x⇔ = −
là nghiệm
VÍ DỤ 3:
Khi dạy và học chuyên đề tam giác và tứ giác, có rất nhiều kiến thức đã được dùng để giải
toán. Một kiến thức tuy đơn giản nhưng vô cùng phức tập và phong phú khi dụng nó, đó là hệ

7
thức:
2 2 2
1 1 1
h a b
= +
. Ở đây chúng tôi sẽ khai thác đơn vị kiến thức này từ một bài toán ở SGK
nhằm giới thiệu cho HS cách hệ thống bài tập theo chủ đề, khai thác để phát triển tư duy cho HS,
kiến thức trọng điểm của chủ đề, của bài tập. Cụ thể như sau:
Bài toán 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt
nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L.
Chứng minh rằng:
a) Tam giác DIL là tam giác cân
b) Tổng
2 2
1 1
DI DK
+
không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
* Nhận xét: Nếu bỏ đi câu a thì bài toán trở nên khó khăn hơn nhiều. Và càng khó khăn hơn khi
bỏ bớt giả thiết bài toán. Ta có bài toán sau:
Bài toán 1.1: Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các cạnh BC và
CD (hoặc đường thẳng chúa các cạnh đó) tại các điểm E và F. Chứng minh rằng
2 2 2
1 1 1
AFAE AD
+ =
* Nhận xét: Nếu tứ giác ABCD là hình chứ nhật, AB = 2BC thì ta có bài toán sau:
Bài toán 1.2: Cho hình chứ nhật ABCD, AB = 2BC. Trên cạnh BC lấy điểm E. Tia AE
cắt đường thẳng CD tại F. Chứng minh

2 2 2
1 1 1
AE 4AB AF
= +
* Nhận xét: nếu AD = t.AB (t>0) thì ta có bài toán tổng quát sau:
Bài toán 1.3: Cho hình chứ nhật ABCD, AD = t.AB (t > 0). Trên cạnh BC lấy điểm M.
Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại P. Chứng minh
2
2 2 2
1 1
AM
t
AB AP
= +
Có dáng dấp của bài toán 1.2, nhưng tứ giác không là hình chữ nhật, ta có bài toán sau:
Bài toán 2: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết khoảng cách từ O
tới mõi cạch hình thoi là h, AC = m; BD = n. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
4h m n
= +
Từ đó khai thác một số bài toán sau:
Bài toán 2.1: Cho hình thoi ABCD với ∠A = 120
0
. Tia Ax tạo với tia AB một góc BAx
bằng 15
0
và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 4

AN 3AM AB
+ =
8
Bài toán: 2.2: Cho tam giác ABC có AB = 1cm; ∠A = 105
0
; ∠B = 60
0
. Trên cạch BC lấy
điểm E sao cho BE = 1cm. Vẽ ED//AB (D∈ AC). Chứng minh rằng
2 2
1 1 4
AD 3AC
+ =
Bài toán 2.3: Cho hình thoi ABCD có
·
0
120BAD =
. Tia Ax tạo với tia AB một góc
·
0
15BAx =
và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. Tính giá trị của biểu thức
2
2 2
1 1
T AB
AM AN
 
= +
 ÷

 
Bài toán 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Một đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam
giác cắt cácc cạnh AB; AC lần lươt tại M và N. Chứng minh rằng:
+ ≥
VÍ DỤ 4:
Khi dạy chuyên đề “CÁC BÀI TOÁN DIỆN TÍCH ĐA GIÁC”
Trong chương trình toán phổ thông, học sinh nhiều lần “làm quen” với khái niệm diện
tích đa giác. Từ cuối cấp I, học sinh đã biết các công thức tính diện tích tam giác và diện tích các
tứ giác dạng đặc biệt. Đến lớp 8, khi học sinh biết dùng phương pháp suy diễn, tổng hợp để xây
dựng các công thức tính diện tích các đa giác và nhờ có thêm một loạt công cụ mới (các đoạn
thẳng tỉ lệ, định lý Thalès, tam giác đồng dạng,…) thì các bài toán về diện tích đa giác càng trở
nên phong phú, đa dạng và sâu sắc hơn. Bởi vậy có thể tìm thấy các biểu thức nêu lên mối quan
hệ giữa diện tích đa giác với số đo các yếu tố của nó (cạnh, góc, các đường trong đa giác), quan
hệ diện tích giữa hai đa giác, quan hệ diện tích đa giác và diện tích các đa giác thành phần được
chia ra bởi đa giác ban đều. Các bài toán diện tích đa giác đã được lựa chọn nhiều trong các kỳ
thi học sinh giỏi toán. Ở chương trình hình học lớp 8, chương diện tích, kiến thức đa số chỉ dừng
ở mức độ tính toán diện tích các hình thông qua các công thức đã học. Các bài toán sau đây, phần
nào định hướng cho các anh (chị) giảng dạy và tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi.
I/ Tính chất, công thức, các bài toán cơ bản:
1/ Tính chất: (Hình học lớp 8)
2/ Công thức diện tích các hình: (Hình học lớp 8)
3/ Các bài toán cơ bản
Bài toán 1: Nếu hai tam giác ABC và ADE (chung
đỉnh A), có hai đáy BC và DE cùng nằm trên một đường
thẳng mà BC = k.DE (k > 0)
thì S
ABC
= k.S
ADE
9

h
H
C
E
B
D
A
Kết quả suy từ công thức: S=
1
a.h
2
, với cạnh đáy a thay đổi, còn chiều cao AH = h
(không đổi)
Bài toán 2: Nếu hai tam giác ABC và DBC (chung đáy BC) với hai đường cao AH và DK thì:
ABC
DBC
S AH
S DK
=
. Đặc biệt: Nếu AD // BC thì: S
ABC
= S
DBC
Nếu AD cắt BC tại E thì:
ABC
DBC
S AH AE
S DK DE
= =

Bài toán 3: Cho tam giác ABC. Hai điểm D và E thuộc các cạnh AB và AC (không trùng các
điểm A, B, C) thì:
ADE
ABC
S AD.AE
S AB.AC
=
Vẽ DH và BK cùng vuông góc AC (H, K ∈ AC)
Do DH // BK ⇒
DH AD
BK AB
=
(hệ quả Thalès)
ADE
ABC
1
DH.AE
S
2
1
S
BK.AC
2
=
=
DH AE AD.AE
.
BK AC AB.AC
=
II/ Tính diện tích đa giác, đẳng thức và tỉ số diện tích hai đa giác:

Các bài toán sau đây giải được dựa trên các công thức đã học và các bài toán cơ bản
nêu ở phần trên. Ở phần này chúng tôi đưa ra trên 30 bài toán từ dễ đến khó. Ví dụ như sau:
Bài toán 1: Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy K sao cho
KB 1
KC 2
=
, trên cạnh AC lấy H sao
cho
HA 1
HC 3
=
. Gọi O là giao điểm của AK và BH. Biết S
ABC
=
S. Tính S
AOB
?
HD: Vẽ KE // BH (E ∈ AC)
Bài toán tổng quát: K ∈
[ ]
BC
với
KB m
KC n
=
; H ∈
[ ]
AC
với
HA p

HC q
=
10
D
E
K
H
C
B
A
O
K
E
H
C
B
A
E
K
H
D
C
B
A
Bài toán 2: Cho hình bình hành ABCD có diện tích S. Gọi M là trung điểm BC, AM cắt đường
chéo BD tại Q. Tính S
MQDC
theo S
Bài toán 3: Trên các cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao
cho:

AM BN CP
k
MB NC PA
= = =
(k > 0)
a/ Biết S
ABC
= S. Tính S
MNP
theo S và k.
b/ Tìm k biết S
MNP
=
1
S
4
Bài toán 4: Cho tam giác ABC cân tại C, cạnh AB =
3
, đường cao CH =
2
. Gọi M là
trung điểm HB, N là trung điểm BC; AN cắt CM tại K, O là giao điểm CH và AN.
a/ Tính S
AOH
b/ Chứng minh: KA = 2.KM
Bài toán 5: Cho hình thoi ABCD có tâm O. Đường trung trực AB cắt BD và AC lần lượt tại O
1
và O
2
. Biết rằng O

1
B = a, O
2
A = b. Tính diện tích hình thoi theo a và b.
Bài toán 6: Một hình thang có các đường chéo vuông góc với nhau. Tính diện tích hình thang
đó nếu biết rằng độ dài của một trong các đường chéo của nó bằng 5 và đường cao bằng 4.
Bài toán 7: Cho hình bình hành ABCD, M là điểm bất kỳ trên cạnh CD, AM cắt BD tại O.
Chứng minh rằng: S
ABO
= S
DMO
+ S
BMC
.
Bài toán 8: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB và AC lấy hai điểm M và N tương ứng sao cho
AM =
2
MB
3
, AN =
3
NC
2
, O là giao điểm của CM và BN. Chứng minh: S
BOC
= S
AMON
Bài toán 9: Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AE, BM và CF.
1/ Chứng minh rằng tồn tại một tam giác với độ dài ba cạnh là độ dài các đoạn AE, BM, CF.
2/ Tính diện tích tam giác có độ dài ba cạnh là độ dài các đoạn AE, BM, CF theo S = S

ABC
Bài toán 10: Cho tứ giác lồi ABCD, M và N là trung điểm AB và CD, AN cắt MD tại P, BN cắt
MC tại Q. Chứng minh: S
MPNQ
= S
APD
+ S
BQC
Bài toán 11: Trên cạnh AB và CD của tứ giác ABCD lấy các điểm M và N sao cho
AM CN
k
AB CD
= =
(k > 0). Các đoạn thẳng AN và DM cắt nhau tại E, các đoạn thẳng BN và CM
cắt nhau tại F. Chứng minh: S
MENF
= S
ADE
+ S
BCF

11
* Tiểu kết: Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát triển
một bài toán sẽ giúp cho HS khắc sâu được kiến thức. Quan trọng hơn là nâng cao được tư
duy cho các em HS, giúp HS có hứng thú hơn khi học toán.
C. KẾT LUẬN:
Chúng tôi xin mạnh dạn đưa ra một số giải pháp để góp phần làm tốt nhiệm vụ BDHSG như sau:
I. Về phía GV:
1. Muốn có HSG phải có Thầy giỏi, vì thế người thầy phải luôn luôn có ý thức tự rèn luyện, tích
lũy tri thức và kinh nghiệm, trau dồi chuyên môn, luôn xứng đáng là “người dẫn đường tin cậy”

cho học sinh noi theo.
2. Biên soạn chương trình, nội dung bồi dưỡng rõ ràng, cụ thể, chi tiết cho từng mảng kiến thức.
3. Để chương trình BDHSG có hiệu quả nhà trường có kế hoạch BDHSG ngay từ trong hè, liên
tục và đều đặn, không dồn ép ở tháng cuối trước khi thi.
4. Việc tuyển chọn và bồi dưỡng HSG được tiến hành từ đầu năm học. Cơ sở của việc tuyển
chọn của chúng tôi là: căn cứ vào kết quả thi HSG cấp trường, cấp thị xã và các thành tích, kết
quả học tập của HS ở các năm học trước.
5. Bản thân mỗi GV phải coi chất lượng mũi nhọn là của mình; là trách nhiệm, là nhiệm vụ trọng
tâm trong năm học, để từ đó có kế hoạch cho mỗi giai đoạn trong quá trình BDHSG.
6. Giáo viên tham gia BDHSG phải biết hướng dẫn học sinh phương pháp tự học, biết độc lập
suy nghĩ, sáng tạo khi giải quyết vấn đề. Giáo viên phải nhạy bén trong việc lựa chọn phương
pháp cũng như việc lựa chọn tài liệu giảng dạy. Đặc biệt, GV phải có tâm huyết với nghề, say mê
công việc bồi dưỡng học sinh giỏi.
7. Giáo viên dạy HSG cần xây dựng kế hoạch dạy học cho mình theo từng tháng. Sau mỗi tháng,
tự mình đánh giá và rút kinh nghiệm cho tháng dạy tiếp theo. Giáo viên cần nắm rõ năng lực
từng học sinh, biết được điểm mạnh, điểm yếu của từng em để có hướng giúp các em phát huy
điểm mạnh, khắc phục điểm yếu.
8. Giáo viên dạy bồi dưỡng cần phối hợp chặt chẽ với phụ huynh học sinh, với giáo viên chủ
nhiệm trong việc dạy đối tượng HSG để tạo mọi điều kiện giúp các em phát huy hết năng lực của
mình.
9. Trình độ học sinh, là thời gian xuyên suốt từ lớp dưới lên lớp trên. Vậy nên phải trang bị cho
HS những kiến thức từ cơ bản đến nâng cao. Và cũng nên cố gắng đầu tư thời gian cho công tác
BDHSG; lấy thời gian, lấy cường độ để lấp dần mọi khó khăn, đem tâm huyết của mình để xây
thành hành trang kiến thức cho học sinh.
12
10. Cần khai thác tài nguyên mạng thường xuyên, cập nhật liên tục các chuyên đề qua sách báo,
học hỏi ở bạn bè, đồng nghiệp, tìm một số địa chỉ hay để học sinh tự học tự nghiên cứu
II. Về phía học sinh cần:
1. Việc chuẩn bị bài trước khi đến lớp: Học sinh chuẩn bị bài trước khi đến lớp, làm bài tập về
nhà, tìm hiểu nội dung kiến thức mới trong buổi học bồi dưỡng tiếp theo mà giáo viên yêu cầu

trong buổi học trước. Qua việc chuẩn bị bài trước giúp học sinh hiểu biết sơ bộ về kiến thức mới.
Trong quá trình chuẩn bị thường gặp những vấn đề khó, lúc nghe giảng dễ dàng tiếp thu hơn.
Việc chuẩn bị bài trước hoặc tìm hiểu một vấn đề nào đó có thể bồi dưỡng khả năng tự học, xây
dựng thói quen chủ động trong học tập, dần dần biến thành quá trình tự mày mò, nghiên cứu.
Để thực hiện tốt điều này, GV phải soạn phần tự học cho HS, có chuẩn bị trước các bài
tập và hướng dẫn HS làm ở nhà, đồng thời giao khối lượng bài mới hoặc một vấn đề mới nào đó
để HS tự tìm hiểu.
2. Tổ chức cho HS nghe giảng trên lớp: HS giỏi toán thường tập trung cao độ, GV cần chuẩn bị
các kiến thức, hệ thống bài tập theo chủ đề, khai thác để phát triển tư duy cho HS, kiến thức
trọng điểm của chủ đề, của bài tập
3. Việc học và làm bài ở nhà của HS: Học và tự học là khâu quan trọng nhất để học sinh giỏi
môn Toán, để giúp cho HS có được định hướng ở phần này như đã nói ở trên, GV phải soạn phần
tự học cho HS, có chuẩn bị trước các bài tập và hướng dẫn HS làm ở nhà, đồng thời giao khối
lượng bài mới hoặc một vấn đề mới nào đó để HS tự tìm hiểu và tất nhiên, GV phải kiểm tra.
III. Về phía nhà trường và Phòng GDĐT:
1. Tuyển chọn và bồi dưỡng giáo viên giỏi để dạy toán cho học sinh giỏi.
- Những giáo viên dạy bồi dưỡng Toán phải là những người có trình độ năng lực, chuyên
môn nghiệp vụ cao, có nhiệt huyết với công việc, có kĩ năng sư phạm, kĩ năng tự tìm tòi, học hỏi,
tự bồi dưỡng, có tinh thần cầu tiến, có sức khỏe tốt và có kinh nghiệm dạy học toán cho học sinh
giỏi.
- Hình thức bồi dưỡng giáo viên thông qua hội thảo, hội thi, chuyên đề, bồi dưỡng thông
qua sinh hoạt chuyên môn, tự học
2. Huy động gia đình, cộng đồng xã hội cùng tham gia công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
Kết quả bồi dưỡng học sinh giỏi còn phụ thuộc rất nhiều vào gia đình và các lực lượng
giáo dục trong xã hội. Vì vậy nhà trường và ngành GDĐT cần có kế hoạch hoạt động để thu hút
các lực lượng này quan tâm tạo điều kiện và cùng tham gia vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
Cụ thể là:
13
+ Tạo niềm tin cho các bậc phụ huynh, cho con em mình tham gia vào các lớp bồi dưỡng
HSG, các cấp lãnh đạo.

+ Tham mưu với các cấp chính quyền địa phương.
+ Tuyên truyền sâu rộng trong xã hội.
3. Tổ chức đánh giá và khen thưởng công tác bồi dưỡng học sinh giỏi: Ngoài chế độ khen thưởng
quy định của UBND tỉnh, ngành GDĐT cũng cần phải thực hiện tốt công tác xã hội hóa giáo dục
để biểu dương, khích lệ phong trào HSG, tạo điều kiện để nâng cao chất lượng giáo dục mũi
nhọn của ngành.
- Với học sinh: Những học sinh có thành tích cao trong đợt thi HSG các cấp sẽ được tuyên
dương kịp thời và nhận phần thưởng xứng đáng với thành tích đạt được. Việc này khích lệ rất lớn
tới phong trào học tập trong nhà trường.
- Với giáo viên: Những giáo viên có thành tích trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đều
nhận được những phần thưởng xứng đáng về vật chất và tinh thần với công sức bỏ ra dành cho
công tác giáo dục. Đây là công việc cần thiết để đẩy mạnh phong trào thi đua “dạy tốt học tốt”
trong tập thể sư phạm nhà trường.
D. KIẾN NGHỊ:
Phòng và Sở GDĐT cần thường xuyên mở các chuyên đề về bồi dưỡng học sinh giỏi, để
từ đó rút ra một hệ thống về nội dung, chương trình và phương pháp bồi dưỡng thống nhất cho
toàn tỉnh.

Với mục đích là để việc bồi dưỡng HSG môn toán ngày càng có hiệu quả, những biện
pháp đề xuất này chắc chắn còn có nhiều hạn chế và thiếu sót, mong quý thầy cô góp ý, bổ sung
để được hoàn chỉnh hơn.
Ninh Hòa, ngày 05 tháng 10 năm 2014
TỔ BỘ MÔN TOÁN
14