bai tap ung dung tich phan

Thầy giáo: Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A
BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Bài 1: Tính diện tích các hình phẳng sau:
1.
y x x
x x y
2
2
1, 2, 0
ì
ï
= -
ï
ï
í
ï
ï =- = =
ï
î
2.
x
y
x
x x e y
ln
2
1, , 0
ì
ï
ï
=

ï
ï
í
ï
ï
ï
= = =
ï
î
3.
y y
x cos x
x x
2 2
1 1
,
sin
,
6 3
π π
ì
ï
ï
= =
ï
ï
ï
í
ï
ï

ï
= =
ï
ï
î
4.
x
y
y x x
2
3 , 0
ì
ï
=
ï
ï
í
ï
ï = - =
ï
î
5.
y x x
y x x
2
2
2
4
ì
ï

= -
ï
ï
í
ï
ï
=- +
ï
î
6.
y y x
x y
2
2 0
0
ì
ï
- + =
ï
ï
í
ï
ï + =
ï
î
7.
x y
x y
2
1 0

1 0
ì
ï
- + =
ï
ï
í
ï
ï + + =
ï
î
8.
y x x
y x
2
3 3
2 2
ì
ï
ï
= + -
ï
ï
í
ï
ï
ï
=
ï
î

9.
y x
y xsin
π
ì
ï
= -
ï
ï
í
ï
ï
=
ï
î
10.
x
y x y
y
x
2
2
,
27
27
ì
ï
ï
= =
ï

ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
11.
x
y x y
y
x
2
2
,
8
8
ì
ï
ï
= =
ï
ï
ï
ï

í
ï
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
12.
y xcos x
x x y
2 3
sin
0, , 0
2
π
ì
ï
=
ï
ï
ï
í
ï
ï
= = =
ï
ï
î

13.
x x
y e y e
x
,
1
-
ì
ï
= =
ï
ï
í
ï
ï =
ï
î
14.
x
y e y x
x
5
, ( 1)
1
ì
ï
= = +
ï
ï
í

ï
ï =
ï
î
15.
x x
y y
x x
2
3 12
1 2sin , 1
2
0,
2
π
π
ì
ï
ï
= - = +
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
= =
ï

ï
ï
î
16.
y x x
y x
2
2
3
ì
ï
=- +
ï
ï
í
ï
ï =-
ï
î
17.
y x
y x
2
2
ì
ï
=
ï
ï
í

ï
ï
=-
ï
î
18.
y x
y x
3
2 2
ì
ï
=
ï
ï
í
ï
ï
=-
ï
î
19.
y x
y x
2
2
16
16
ì
ï

=
ï
ï
í
ï
ï
=
ï
î
20.
( )
y x
y x
3
2
2
4
4
ì
ï
= -
ï
ï
í
ï
ï
=
ï
î
21.

x y
x y
2
2
2
1 3
ì
ï
=-
ï
ï
í
ï
ï
= -
ï
î
22.
y x
y x
2
2
3 0
4
ì
ï
+ =
ï
ï
í

ï
ï
=- -
ï
î
23.
y x x
y x
2
4 3
3
ì
ï
= - +
ï
ï
í
ï
ï
= -
ï
î
24.
y x x y
x x e
2
ln , 0
1,
ì
ï

= =
ï
ï
í
ï
ï = =
ï
î
25.
x
y y
x
x x e
ln
, 0
2
1,
ì
ï
ï
= =
ï
ï
í
ï
ï
ï
= =
ï
î

26.
{ }
x
y y x x2 , 3 , 0= = - =
27.
y y x x
x x
3
1
, 0, 1, 2
(1 )
ì ü
ï ï
ï ï
= = = =
í ý
ï ï
+
ï ï
î þ
28.
y x y
x x
lg , 0
1
10,
10
ì
ï
= =

ï
ï
ï
í
ï
ï
= =
ï
ï
î
29.
y x x
tiÕp tuyÕn t¹i A(0;-3), B(3;0)
2
4 3
ì
ï
= - +
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
30.
y x
y x
2
2

1
5
ì
ï
= -
ï
ï
í
ï
ï
= +
ï
î
31.
y x x y x
y x mx
2 2
2
,
2
ì
ï
=- + =
ï
ï
í
ï
ï
= + -
ï

î
32.
y x y cos x
x trôc Oy
3 3
sin ,
0 ,
4
π
ì
ï
= =
ï
ï
ï
í
ï
ï
£ £
ï
ï
î
33.
( )
{ }
y x x y y
2
1 ; sin ;0 1
π
= + = £ £

34.
{ }
y x x y
2 2 2
6 ; 16= + =
35.
x
x y y
x
4
1
; ; 0
2
1
ì ü
ï ï
ï ï
= = =
í ý
ï ï
-
ï ï
î þ
1
Thầy giáo: Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A
Bài 2: Tính tỉ số mà (P): y
2
= 2px(p > 0) chia đường tròn (C): x
2
+ y

2
= 8p
2
.
Bài 3: Cho hàm số: y =
x
x
2
2
1+
(C). Tìm b để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các
đường thẳng y = 1, x = 0, x = b bằng
4
π
.
Bài 4: Cho (P): y = x
2
+ 2. Xét hình bị chặn dưới bởi một tiếp tuyến bất kỳ của (P) và các gt
x = 0, x = 1 , y = 0. tìm các tiếp tuyến để hình nói trên có diện tích lớn nhất.
Bài 5: Cho hình phẳng:
y tgx y
x x
, 0
0,
3
π
ì
= =
ï
ï

ï
ï
í
ï
= =
ï
ï
ï
î
a. Tính diện tích hình phẳng trên.
b. Tính thể tích vật tròn xoay khi cho hình trên quay quanh Ox.
Bài 6: Tính thể tích vật tròn xoay khi cho hp
{ }
y x x y x x eln , 0, 1,= = = =
quay quanh Ox.
Bài 7: Tính thể tích vật tròn xoay khi cho hp
x
y y y
2
, 2, 4
2
ì ü
ï ï
ï ï
= = =
í ý
ï ï
ï ï
î þ
quay quanh Oy.

B ài 8: Tính thể tích vật tròn xoay khi cho đ ư ờng tr òn: x
2
+ (y - 2)
2
= 1 quay quanh Ox.
B ài 9: Tính thể tích vật tròn xoay khi cho hp
{ }
y x y x
2 2
4 , 2= - = +
quay quanh Ox.
B ài 10: Tính thể tích vật tròn xoay khi cho các hp sau quay quanh Ox.
1.
{ }
y x y x
2
,= =
2.
y y x x x x
4 4
0, 1 cos sin , ,
2
π
π
ì ü
ï ï
ï ï
= = + + = =
í ý
ï ï

ï ï
î þ
3.
{ }
x
y xe y x, 0,0 1= = £ £
4.
x
y y
x
2
2
1
,
21
ì ü
ï ï
ï ï
= =
í ý
ï ï
+
ï ï
î þ
5.
y y x x x x
6 6
0, cos sin , , 0
2
π

ì ü
ï ï
ï ï
= = + = =
í ý
ï ï
ï ï
î þ
6.
{ }
y x y x
2
2 , 2 4= = +
Bài 11: Xét hàm số: y = x
2
trên [0; 1]. Cho m thuộc [0;1]. Gọi S
1
:
{ }
y m y x x
2 2
, , 0= = =
;
S
2
:
{ }
y m y x x
2 2
, , 1= = =

. Chứng minh:
S S
1 2
1 2
4 3
£ + £
B ài 12: Cho (P): y = 8 – 3x + 2x
2
, (P’): y = 2+ 9x – 2x
2
.
1. Tìm a, b đ ể y = ax + b l à tiếp tuyến chung của 2 (P) tr ên. Xác định toạ độ tiếpđiểm
2. T ính di ện t ích hp gi ới h ạn b ởi 2 (P) v à tiếp tuyến tr ên.
B ài 13: Cho (P): y
2
= x.(C) l à đ ư ờng tr òn t âm C(2; 0), bk R.
1. X đ R đ ể (P) ti ếp x úc (C). t ìm toạ độ ti ếp đi ểm T, T’.
2. Vi ết phương trình tiếp tuyến chung c ủa 2 đ ư ờng tren.
3. t ính di ện t ích tam giác cong ch ắn b ởi (P) v à 2 tiếp tuyến tr ên.
B ài 14: Chứng minh r ằng đường thẳng x + 2 = 2y ti ếp x úc v ới y
2
= 2x. T ính di ện t ích
hp g i ới h ạn b ởi 2 đ ư ờng tr ên v à Ox.
B ài 15: Cho y = x
2
+ 1 v à d: y = mx + 2
1. Chứng minh khi m bi ến thi ên d c ắt (P) t ại 2 đi ểm ph ân bi ệt
2. X đ m đ ể hp gi ới h ạn b ởi (P) v à d nh ỏ nh ất.
2
Thầy giáo: Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A

3