TIỂU LUẬN cơ kết cấu NÂNG CAO áp dụng “limit analysis” cho bài tóan kết cấu ứng suất phẳng, phương pháp đường tốc độ bất liên tục

b
0,6b
t
t
t
h
L1
L2
λP0
λq0
L1
K
b
b
a
a
P
P
Tấm tròn tựa đơn trên chu vi chịu tải phân bố trên đường tròn
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
ĐỀ BÀI
A. LÝ THUYẾT
1. Áp dụng “limit analysis” cho bài tóan kết cấu ứng suất phẳng, phương pháp đường tốc độ bất
liên tục.
2. Trình bày tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr-Coulomb trong mặt phẳng độ lệch ứng suất.
B. BÀI TOÁN DẦM
1. Tính vị trí trục trung hòa đàn hồi và trục trung hòa dẻo của tiết diện đã cho. Suy ra mômen
giới hạn đàn hồi Me, và momen chảy dẻo Mp ứng với lúc tiết diện bị chảy dẻo hoàn toàn.
2. Phân tích đàn dẻo bằng phương pháp ma trận độ cứng (hoặc PTHH) theo sơ đồ và dữ kiện
được phân công.Từ đó suy ra hệ số tải trọng giới hạn, λ
gh

.
3. Vẽ biểu đồ quan hệ giữa hệ số tải trọng - chuyển vị của K (điểm đặt của P) khi tăng từ 0 
λ
gh
.
4. Tìm tải trọng giới hạn bằng phương pháp tổ hợp cơ cấu.
5. Nhận xét – Kết luận.
P
0
(kN)
1
C. BÀI TOÁN TẤM CHỊU UỐN
Xác định tải trọng giới hạn cho các tấm tròn hoặc vành khăn hoặc chữ nhật chịu uốn theo số
liệu được phân công
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 1
a(m)
2.1
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
BÀI LÀM
A. LÝ THUYẾT
1. Áp dụng “limit analysis” cho bài tóan kết cấu ứng suất phẳng, phương pháp đường tốc
độ bất liên tục.
 Phương pháp đường tốc độ bất biến liên tục
a. Phương pháp tỉnh: ( sử dụng các đường bất liên tục về ứng suất )
- Tưởng tượng các khối có ứng suất không đổi sao cho giữa các khối sự truyền của các vectơ
ứng suất là tuyệt đối liên tục.
- Sắp xếp sao cho trường ứng suất thỏa mãn tiêu chuẩn chảy dẽo.
- Trường ứng suất này phải cân bằng với tải trọng bên ngoài, hệ số tải trọng tương ứng tạo
nên một cận dưới .

- Cực đại hóa đối với các tham số hình học định bởi các khối.
b. Phương pháp động: ( sử dụng các đường bất liên tục về vận tốc )
- Tưởng tượng một tập hợp các đường trượt có thể và khả dĩ động.
- Tính toán công suất tiêu tán dẽo, , dọc theo các đường bất liên tục vận tốc trên.
- Tính toán công suất bên ngoài, , cần thiết để tạo ra các đường này.
- Cân bằng công suất tiêu tán dẽo và công suất bên ngoài ta tìm được cận trên của hệ số tải
trọng , .
- Cực đại hóa các hệ số đối với các thông số hình học xác định các đường trượt để có lời
giải xấp xỉ của lời giải chính xác bởi cận trên.
c. Áp dụng trường hợp ứng suất phẳng:
• Quan hệ tĩnh học:
- Ứng suất:
- Phương trình cân bằng:
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 2
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
trong V
trên S
t
- Tiêu chuẩn chảy dẻo:
: Von Mises
: Tresca
• Quan hệ động học:
- Biến dạng:
: Tính không nén được
- Tiêu tán năng lượng:
Với :
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 3
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

 Bài Toán kết cấu ứng suất phẳng
Một tấm phẳng bề rộng L. bề dày e, có vết nứt chiều dài a nằm song song với bề rộng và chịu kéo
bởi lực phân bố đều theo phương dài ( như hình vẽ ).
Trường ứng suất hợp lệ
a. Phương pháp tĩnh học: ( Theo tiêu chuẩn Tresca )
- Giả định trường ứng suất có dạng như hình vẽ
- Sự cân bằng theo phương dọc trục:
: hệ số tải trọng giới hạn
b. Phương pháp động học:
• Cơ cấu trượt:
- Tấm trượt dọc theo mặt phẳng AB và CD, vuông góc với mặt phẳng và tạo ra góc α.
- Vận tốc trượt trên mặt phẳng v.
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 4
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
- Với α=45
o
:
* Kết hợp với Von Mises:
+ Năng lượng tiêu tán:
+ Công ngoại lực:
+ Từ đó :
* Kết hợp với Tresca:
+ Năng lượng tiêu tán:
+ Công ngoại lực:
+ Từ đó :
• Cơ cấu nhổ:
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 5
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

* Kết hợp với Von Mises:
+ Năng lượng tiêu tán:
+ Công ngoại lực:
+ Từ đó :
* Kết hợp với Tresca:
+ Năng lượng tiêu tán:
+ Công ngoại lực:
+ Từ đó :
* Nhận xét: nếu so sánh với phương pháp tĩnh thì sử dụng tiêu chuẩn Tresca là lời giải chính
xác.
2. Trình bày tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr-Coulomb trong mặt phẳng độ lệch ứng suất.
Tiêu chuẩn Mohr – Cloumb, ra đời năm 1900, có thể được xem như là 1 sự tổng quát hóa
của Tiêu chuẩn Tresca. Lý thuyết của Mohr áp dụng được cho những biến dạng dẻo đầu tiên của
cả vật liệu dẻo, vật liệu dòn. Để tiện lợi, trong phần này ta dùng thuật ngữ “ phá hỏng” để chỉ
trường hợp này hay trường hợp kia của hiện tượng này. Cả hai tiêu chuẩn được dựa trên sự giả
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 6
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
định rằng ứng suất cắt lớn nhất là phương pháp duy nhất của sự phá hỏng sắp xảy ra. Tuy nhiên,
trong khi Tiêu chuẩn Tresca giả định rằng giá trị tới hạn (giới hạn) của ứng suất cắt là một hằng
số, Tiêu chuẩn Mohr cho rằng sự phá hỏng của ứng suất cắt giới hạn trong một mặt phẳng là
một hàm của ứng suất đơn trong cùng một mặt phẳng tại một điểm, tức là:
(2.1)
Trong đó, là một hàm xác định bằng thực nghiệm (kinh nghiệm).
Dưới dạng Mohr là đồ thị biểu diễn tình trạng của ứng suất. Công thức (2.1) có nghĩa
là sự phá hủy của vật liệu sẽ xảy ra nếu bán kính của vòng tròn lớn nhất chính là tiếp tuyến
đường cong bao được biểu diễn như (Hình 2.1).
Tương phản với Tiêu chuẩn Tresca, nó xem rằng Tiêu chuẩn Mohr cho phép tác động (hiệu
quả) của ứng suất chính hoặc ứng suất thủy tĩnh.
Hình thức đơn giản nhất của đường bao Mohr là một đường thẳng, được minh họa ở

(Hình 2.2). Công thức cho đường bao thẳng thì được biết như là công thức của Coulomb, có từ
năm 1773;
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 7
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
(2.2)
Trong đó, là hệ số dính của đất và là góc ma sát trong; cả hai đều là những hằng số vật
liệu được xác định bằng thực nghiệm.
Tiêu chuẩn phá hoại liên kết với công thức (2.2) sẽ được gọi là Tiêu chuẩn Mohr – Coulomb.
Trong trường hợp đặc biệt của những vật liệu không ma sát, mà cho trong công thức
(2.2) làm giảm ứng suất cắt lớn nhất của Tiêu chuần Tresca, , và hệ số dính của đất trở nên
bằng với ứng suất chảy dẻo trong lực cắt thuần túy .
Từ công thức (2.2) và thêm điều kiện: , Tiêu chuẩn Mohr – Coulomb có thể được
viết như sau:
(2.3)
Hoặc có thể viết gọn lại như sau:
(2.4)
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 8
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
Nếu chúng ta định nghĩa:
(2.5)
Và:
(2.6)
Khi đó công thức (2.4) được viết gọn hơn là:
; Trong đó: (2.7)
Rõ ràng từ công thức (2.7) cho rằng: là cường độ trong lực kéo đơn, trong khi là cường
độ trong lực nén đơn.
Đôi khi để cho thuận tiện, ta đưa ra 1 tham số m, và đặt:
(2.8)

Sau đó, công thức (2.7) có thể được viết trong độ dốc – phần bị chắn (phần bị chắn dốc), từ:
; Trong đó: (2.9)
Tương tự như vậy với những gì chúng ta đã xây dựng cho tiêu chuẩn Tresca, ,
quỹ tích điểm phá hủy cho Tiêu chuẩn Mohr – Coulumb trong mặt phẳng có thể được
phát họa dựa trên công thức (2.9) cho một vài giá trị của m. Quỹ tích những điểm phá hoại là
những hình lục giác bất kỳ như biểu diễn ở (Hình 2.3).
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 9
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
Để chứng minh hình dạng bề mặt phá hủy của không gian 3 chiều của Tiêu chuẩn Mohr –
Coulumb, chúng ta dùng lại công thức sau:
(2.10)
Và viết lại công thức (2.4) dưới dạng như sau:
(2.11)
Hoặc đồng nhất rút ra từ các biến:
(2.12)
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 10
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
Với:
Trong không gian ứng suất chính điều này đưa ra một lục giác hình chóp không đều. Những
kinh tuyến của nó là những đường thẳng (Hình 2.4a) và mặt phẳng cắt ngang của nó trong mặt
phẳng là một hình lục giác không đều (Hình 2.4b).
Chỉ có hai độ dài đặc trưng được yêu cầu vẽ hình lục giác này, những độ dài và , mà
có thể nhận được trực tiếp từ công thức (2.12) với , và .
Dùng công thức (2.5) và (2.6), chúng ta có các hình thức thay thế sau đây cho và trên mặt
phẳng :
(2.14)
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 11

TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
(2.15)
Và tỷ lệ của các độ dài được cho bỡi:
(2.16)
Một họ những mặt cắt ngang của Mohr – Coulomb trong mặt phẳng cho một giá trị của
được thể hiện trong (Hình 2.5), ở đó ứng suất đã được chuẩn hóa với các cường độ nén . Rõ
ràng, những hình lục giác biểu diễn trong (Hình 2.3) là các giao điểm của hình chóp với mặt
phẳng tọa độ . Khi (hoặc sự tương đương, khi , hoặc ), hình lục giác
trở nên giống hệt (đồng nhất) với hình lục giác của Tiêu chuẩn Tresca, vì nó phải.
Để có được một xấp xỉ tốt hơn khi những ứng suất kéo xảy ra, thì đôi khi cần thiết để kết hợp
Tiêu chuần Mohr – Coulomb với một ngưỡng lực kéo tối đa. Cần lưu ý rằng tiêu chuẩn này kết
hợp là một tiêu chuẩn ba tham số. Chúng ta cần hai trạng thái ứng suất để xác định các giá trị của
và và một trạng thái để xác định ứng suất kéo cực đại.
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 12
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
Morh-Coulomb trong không gian ứng suất chính Morh-Coulomb trong mặt phẳng độ lệch
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 13
400
240
10
10
10
6000
338.6
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
B. BÀI TOÁN DẦM
1. Xác định vị trí trục trung hòa đàn hồi và dẻo
1.1. Xác định vị trí trục trung hòa đàn hồi

Tiết diện có một trục đối xứng, trục trung hòa đàn hồi xác định như sau:
Gọi y
c
là khoảng cách từ trục trung hòa của tiết diện đến cạnh dưới của tiết diện (hình vẽ
dưới)
Gọi S
x
là moment tĩnh tiết diện đối với trục đi qua biên dưới của tiết diện
Ta có:
trong đó: : diện tích tiết diện thứ i
: khoảng cách từ trọng tâm tiết diện thứ i đến cạnh dưới tiết diện.
Khi đó moment tĩnh của tiết diện là:
Diện tích tiết diện F:
Tọa độ trọng tâm trục trung hòa đàn hồi:
Vậy trục trung hòa cách mép dưới tiết diện một khoảng y
c
= 0.3386 m.
Tính moment đàn hồi M
e
:
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 14
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
Trong đó :
Vậy

1.2. Xác định vị trí trục trung hòa dẻo
Khi tiết diện đã hoàn toàn hóa dẻo, hợp lực của các nội lực phải bằng không nên trục trung
hòa dẻo phải chia đôi tiết diện làm hai phần bằng nhau.
Gọi y

p
là khoảng cách từ trục trung hòa dẻo đến điểm O
Ta có :
Moment chống uốn dẻo hay môđun dẻo M
P
của tiết diện được tính như sau:

2. Phân tích đàn dẻo bằng phương pháp ma trận độ cứng
Bước 1:
Thực hiện phân tích đàn hồi trên dầm đã cho ban đầu.
Phân tích đàn hồi kết cấu
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 15
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
2m 2m 2m
P
K
o
0
0
1
1
2
v
1
v
2
3
0
v

3
5
0
v
6
4
v
4
v
5
2 3 4
q
o
a. Ma trận độ cứng phần tử :
Bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc ma trận độ cứng của các phần tử dầm chưa có khớp ở đầu nào
của dầm, có dạng :
• Phần tử 1,2: L
1
= L2 = 2m
• Phần tử 3,4: L
1
= L2 = 1m
b. Ma trận độ cứng tổng thể :
Thực hiện ghép nối phần tử:
c. Vectơ tải phần tử :
• Phần tử 1:
• Phần tử 2:
• Phần tử 3:
• Phần tử 4:
d. Vectơ tải tổng thể :

e. Phương trình cân bằng tại nút:
f. Chuyển vị tổng thể atij các nút:
Bước 2:
Xác định nội lực nút phần tử
• Phần tử 1:
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 16
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
• Phần tử 2:
• Phần tử 3:
Để tìm được nội lực chính xác của các phần tử trong trường hợp phần tử có lực phn bố tc
dụng cần cộng thm thnh phần nội lực do tải trọng ny qui đổi về 2 nút ( 2 đầu phần tử ) khi xem tất cả
các nút được gắn cứng.
• Phần tử 4:
Để tìm được nội lực chính xác của các phần tử trong trường hợp phần tử có lực phn bố tc
dụng cần cộng thm thnh phần nội lực do tải trọng ny qui đổi về 2 nút ( 2 đầu phần tử ) khi xem tất cả
các nút được gắn cứng.
Với M
P
= 778.4 KN.m
Ta có hệ số tải trọng là:
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 17
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
Vậy khớp dẻo đầu tiên hình thành tại nút 1.
2m 2m 2m
P
K
o
q

o
Bước 3:
Chuyển vị và nội lực ở giai đoạn này xác định bằng cách nhân với giá trị . Khi đó ta
được:
a. Chuyển vị:
Chuyển vị tại điểm K lúc nút 1 bắt đầu chảy dẻo:
b. Nội lực trong các phần tử:
• Phần tử 1:
• Phần tử 2:
• Phần tử 3:
• Phần tử 4:
c. Vecơ tải trọng
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 18
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
Bước 4:
Thực hiện phân tích đàn hồi với kết cấu thay đổi. Phần tử thứ nhất có một đầu
khớp bên trái, phần tử còn lại có độ cứng không thay đổi :
a. Ma trận độ cứng phần tử :
• Phần tử 1:
• Phần tử 2:
• Phần tử 3,4:
b. Ma trận độ cứng tổng thể :
c. Vectơ tải tổng thể
d. Độ gia tăng về chuyển vị :
e. Độ gia tăng nội lực trong các phần tử:
• Phần tử 1:
• Phần tử 2:
• Phần tử 3:
Nội lực do tải trọng ngoài gây ra:

Khi đó nội lực trong phần tử 3 như sau:
• Phần tử 4:
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 19
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
Nội lực do tải trọng ngoài gây ra:
Khi đó nội lực trong phần tử 4 như sau:
Với M
P
= 778.4 kN.m
Ta có hệ số tải trọng là:
Vậy khớp dẻo đầu tiên hình thành tại nút 2.
2m 2m 2m
P
K
o
q
o
Bước 5:
Chuyển vị và nội lực ở giai đoạn này xác định bằng cách nhân với giá trị . Khi đó ta
được:
a. Độ gia tăng về chuyển vị :
b. Độ gia tăng nội lực trong các phần tử:
• Phần tử 1:
• Phần tử 2:
• Phần tử 3:
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 20
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
• Phần tử 4:

c. Vecơ tải trọng
d. Vecơ tải trọng tích lũy giai đoạn này
Bước 6 :
Độ tích lũy chuyển vị nội lực
a. Chuyển vị tích lũy:
Chuyển vị tại điểm K lúc nút 1 bắt đầu chảy dẻo:
b. Nội lực tích lũy:
• Phần tử 1:
• Phần tử 2:
• Phần tử 3:
• Phần tử 4:
Bước 7:
Thực hiện phân tích đàn hồi với kết cấu thay đổi. Phần tử thứ nhất có hai đầu dẻo
ở hai đầu.
a. Ma trận độ cứng phần tử :
• Phần tử 1:
• Phần tử 2:
• Phần tử 3,4:
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 21
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
b. Ma trận độ cứng tổng thể :
(bỏ hàng và cột bằng 0( hàng 2 và cột 2))
c. Vectơ tải tổng thể
d. Giải hệ phương trình
e. Độ gia tăng chuyển vị tổng thể:
f. Độ gia tăng nội lực trong các phần tử
• Phần tử 1: tại thanh 1 đã hóa dẻo ở 2 đầu nên độ gia tăng nội lực bằng 0.
• Phần tử 2:
• Phần tử 3:

Nội lực do tải trọng ngoài gây ra:
Khi đó nội lực trong phần tử 3 như sau:
• Phần tử 4:
Nội lực do tải trọng ngoài gây ra:
Khi đó nội lực trong phần tử 4 như sau:
Do nút 1 và nút 2 đã hóa dẻo nên ta không xét hệ số tải trọng tại nút 1 và nút 2.
Hệ số tải trọng tại các nút được chia cho moment dẻo “còn lại”, nút 3, 4.
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 22
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
Vậy khớp dẻo đầu tiên hình thành tại nút 3
2m 2m 2m
P
K
o
q
o
Bước 8:
Chuyển vị và nội lực ở giai đoạn này xác định bằng cách nhân với giá trị . Khi đó ta
được:
a. Chuyển vị:
b. Độ tích lũy chuyển vị
Chuyển vị tại điểm K lúc nút 1 bắt đầu chảy dẻo:
c. Nội lực trong các phần tử:
• Phần tử 2:
• Phần tử 3:
• Phần tử 4:
d. Vecơ tải trọng
e. Độ tích lũy nội lực
• Phần tử 2:

• Phần tử 3:
• Phần tử 4:
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 23
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
f. Vectơ tải trọng tích lũy trong giai đoạn này:
Đến đây thì cơ cấu phá hủy.
Hệ số tải trọng giới hạn là:
3. Vẽ biểu đồ quan hệ giữa hệ số tải trọng - chuyển vị của K (điểm đặt của K) khi tăng từ 0
.
Chuyển vị tại K:
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 24
-θ
-θ
-θ
-θ
2θ
2θ
TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
0
1
2
3
4
5
6
Bieu do quan he giua he so tai trong lamda-chuyen vi cua K
lamda

chuyen vi y(x10
-
3)(m)
4. Tìm gi trị hệ số tải trọng giới hạn bằng phương pháp phân tích trực tiếp (Limit
Analysis):
P
q
K
o
o
P
o
q
o
- Số tiết diện nguy hiểm: m = 4
- Số bậc siêu tĩnh: h = 2
HV: TRẦN THANH TUẤN
MSHV: 10210255 Trang 25