BÀI TẬP KHOẢNG CÁCH, ĐỐI XỨNG KG

Phan Huy Hoàng
BÀI TẬP
MẶT PHẲNG
ĐƯỜNG THẲNG
- 1 -
Phan Huy Hoàng
BÀI TẬP MẶT PHẲNG
Bài 1: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;3)
a. Xác định tọa độ D để ABCD là hbh
b. Lập ptmp(ABC)
Bài 2: Lập ptmp(P) qua I(2;6;-3) và song song mp tọa độ
Bài 3: Lập phương trình mp(Q)
a. Chứa Ox và điểm P(4;-1;2)
b. Chứa Oy và điểm A(1;4;-3)
Bài 4: Trong mpOxyz cho hai đường thẳng ∆ và ∆’ có p.trình:
∆ :
x t
y t
z t
= +
= − −
=





3
2
2
; ∆’ :

x y
x z
− + =
− − − =



5 0
2 3 2 5 0
a. Tìm vtcp của mỗi đường thẳng và tính góc giữa hai đt
b. Viết phương trình mp(α) chứa ∆ và song song với ∆’.
Bài 5: Viết phương trình mp chứa đường thẳng:
4 0
2 5 2 0
x y z
x y z
+ + − =


− + − =

và ssong đt :
2 1 5
1 2 2
x y z− − −
= =
.
Bài 6: Cho 3 đt d
1
:

5 2
14 3
x t
y t
z t
=


= −


= −

; d
2
:
1 4
2
1 5
x h
y h
z h
= −


= +


= +


;
a. CMR: d
1
và d
2
chéo nhau.
d. Tìm p.tr hai mp (P) // (Q) và lần lượt đi qua d
1
và d
2
.
Bài 7 : Cho đt d:
2 4 3 0
2 3 2 3 0
x y z
x y z
+ − + =


+ − + =

và mp(P): 2x-y+4z+8 = 0.
a. Viết p.trình mp(Q) qua d và vuông góc với (P).
b. Viết p.tr giao tuyến giữa (P) và (Q).
Bài 8 : Lập pt mp(α) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với các
mp: 2x – y + 3z – 1 = 0 và x + 2y + z = 0.
Bài 9 : Lập pt mp(α) đi qua hai điểm A(1; –1; –2) B(3; 1; 1) và
vuông góc với mp x – 2y + 3z – 5 = 0.
Bài 10 : Cho mp(α) : 2x – 2y – z – 3 = 0. Lập ptmp(β) song
song với mp(α) và cách mp(α) một khoảng d=5

- 2 -
Phan Huy Hoàng
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
Bài 1: Viết p.trình mặt phẳng đi qua điểm (3; –2; 1) và vuông
góc với đường thẳng:
3 2 2 8 0
2 3 7 0
x y z
x y z
+ − + =


− + + =

.
Bài 2: Lập p.trình các giao tuyến của mp: 5x – 7y + 2z – 3 = 0
với các mặt phẳng tọa độ. Tìm giao điểm của mặt phẳng đã
cho với các trục tọa độ.
Bài 3: Cho đường thẳng a có p.trình:
x z
y z
− − =
− =



2 3 0
2 0
và mp(α) có
phương trình: z + 3y – z + 4 = 0.

a/ Tìm giao điểm H của a và mp(α).
b/ Lập ptđt ∆ nằm trong mp(α), đi qua điểm H và vuông
góc với đường thẳng a.
Bài 4: Cho đt a:
x y z
z y z
+ − − =
− + + =



2 6 0
2 3 13 0
và mp(α): 3x–2y +3z+16 = 0
a/ Tìm giao điểm M của đường thẳng a và mp(α).
b/ Gọi ϕ là góc giữa a và mp(α) .Hãy tính sinϕ .
c/ Lập pttq của đường thẳng a’, với a’ là hình chiếu vuông
góc của đường thẳng a trên mp(α).
Bài 5: Cho mp(α) có p.trình: 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và mp(β) có
p.trình: 3x – 5y – 2z – 1 = 0.
a/ Hãy viết p.trình tham số của đ.thẳng d đi qua điểm M(1;
4; 0) và song song với (α) và (β).
b/ Lập phương trình của mp(γ) chứa đường thẳng d và đi
qua giao tuyến của hai mp (α) và (β).
c/ Lập p.trình của mp(P) đi qua M và vuông góc với (α) và
(β).
Bài 6: Cho mp(α) có phương trình: 2x – 3y + 3z – 17 = 0 và hai
điểm A(3; –4; 7), B(–5; –14; 17).
a/ Viết p.trình tham số của đ.thẳng d đi qua A và vuông góc
với (α).

b/ Hãy tìm trên α một điểm M sao cho tổng các khoảng
cách từ M đến A và B là bé nhất.
- 3 -
Phan Huy Hoàng
Bài 7: Cho đường thẳng d có phương trình:
2 6 0
4 2 8 0
x y z
x y z
− + − =
+ − − =



.
a/ Hãy tìm giao điểm của đường thẳng a với các mp tọa độ.
b/ Hãy tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
c/ Gọi M là giao điểm của đt a với mp(α) có
pt: x + y – z + 12 = 0. Hãy tính tọa độ của M.
d/ Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng d và mpα nói trên.
Hãy tính sinϕ.
Bài 8: Trong mpOxyz cho hai đường thẳng ∆ và ∆’ có p.trình:
∆ :
x t
y t
z t
= +
= − −
=






3
2
2
; ∆’ :
x y
x z
− + =
− − − =



5 0
2 3 2 5 0
a/ Tìm vectơ chi phương của mỗi đường thẳng và tính góc
giữa hai đường thẳng đó.
b/ Viết phương trình mp(α) chứa ∆ và song song với ∆’.
c/ Chứng minh ∆ và ∆’ chéo nhau. Tính kcách giữa chúng.
Bài 9: Viết phương trình mp chứa đường thẳng:
4 0
2 5 2 0
x y z
x y z
+ + − =


− + − =


và ssong đt :
2 1 5
1 2 2
x y z− − −
= =
.
Bài 10: Viết ptđt d nằm trong mặt phẳng: y + 2z = 0 và cắt hai
đường thẳng:
1
4
x t
y t
z t
= −


=


=

;
2
4 2
1
x t
y t
z
= −



= +


=

.
Bài 11: Viết p.trình đ.thẳng song song với đường thẳng:
3
1
5
x t
y t
z t
=


= −


= +

và cắt hai đường thẳng:
2 1 0
4 3 0
x y z
x y z
− − + =



− + − =

;
1 2 2
1 4 3
x y z− + −
= =
.
- 4 -
Phan Huy Hoàng
Bài 12: Viết ptđt d đi qua điểm (1;–1; 1) và cắt hai đường thẳng:
1 0
2 3 0
x y z
y z
+ + − =


+ − =

;
1 3
2 1 1
x y z− −
= =
−
.
Bài 13: Cho hai đường thẳng:
d:

1 1 2
2 3 1
x y z+ − −
= =
; d’:
2 2
1 5 2
x y z− +
= =
−
.
a/ CMR: d và d’ chéo nhau.
b/ Viết p.trình đường thẳng vuông góc chung của d và d’.
Bài 14: Với giá trị nào của k thì đường thẳng:
2 1 0
1 0
kx y z
x ky z
+ − + =


− + − =


nằm trong mpOyz.
Bài 15: Cho 3 đt d
1
:
5 2
14 3

x t
y t
z t
=


= −


= −

; d
2
:
1 4
2
1 5
x h
y h
z h
= −


= +


= +

; d
3

:
4 7 0
5 4 35 0
x y
x z
− − =


+ − =

a/ CMR: d
1
và d
2
chéo nhau.
b/ CMR: d
1
và d
3
cắt nhau. Tìm tọa độ gđiểm của chúng
c/ Tìm góc nhọn giữa d
1
và d
2
.
Bài 16: Cho đt d:
5 2 3 5 0
4 5 15 0
x y z
x y z

− + − =


+ + + =

và ba
mp (P): x + y – z – 7 = 0;
(Q): 2x – 3y – z –10 = 0;
(R): x + y + 2z – 4 = 0
a. CMR: d ⊥ (P), d ⊂ (Q), d // (R).
b. Tìm ptđt qua điểm chung của (P), (Q), (R) và đồng thời
cắt d và cắt đường thẳng:
1 1 1
x y z
= =
− −
.
Bài 17: Cho đt d:
2 4 3 0
2 3 2 3 0
x y z
x y z
+ − + =


+ − + =

và mp(P): 2x – y+4z+8 = 0.
a/ CMR: d cắt (P). Tìm giao điểm A của chúng.
b/ Viết p.trình mp(Q) qua d và vuông góc với (P).

c/ Viết p.trình tham số của giao tuyến giữa (P) và (Q).
- 5 -
Phan Huy Hoàng
KHOẢNG CÁCH.
Bài 1: Tìm khoảng cách:
a. Từ điểm A(3; –6; 7) đến mp(β): 4x – 3z –1 = 0.
b. Giữa mp(α): 2x – 2y + z – 1 = 0 và
mp(β) :2x – 2y + z + 5 = 0.
c. Từ điểm M(4; 3; 0) đến m.phẳng xác định bởi ba điểm
A(1; 3; 0), B(4; –1; 2) và C(3; 0; 1).
d. Từ gốc tọa độ đến mp(β) đi qua P(2; 1; –1) và nhận

(1; 2;3)n
→
= −
làm pháp véc tơ.
Bài 2: Tìm khoảng cách từ điểm P(2,3,-1) đến:
a. Đường thẳng a có phương trình :
x t
y t
z t
= +
=
= − −





5 3

2
25 2
.
b. Đường thẳng b có phương trình:
2 2 3 0
3 2 2 17 0
x y z
x y z
− + = =
− + + =



.
Bài 3: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng:
(P): 2x – y + 4z + 5 = 0 (Q): 3x + 5y – z – 1 = 0
Bài 4: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a.
1 3 4
2 1 2
x y z− + −
= =
−
;
2 2 1
4 2 4
x y z+ + +
= =
− −
b.

2 1 0
4 0
x z
x y
− − =


− − + =

;
3 2 0
3 3 6 0
x y
y z
+ − =


− − =

Bài 5: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
(P): x + y – z + 5 = 0; (Q): 2x + 2y - 2z + 3 = 0
Bài 6: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:
d
1
: 2 – x = y – 3 = z; d
2
:
1 2
2 2
1 2

x t
y t
z t
= −


= +


= − +

.
Bài 7: Tính khoảng cách giữa đường thẳng d song song với
mp(P): y + 4z + 17 = 0: d:
2 3 6 10 0
5 0
x y z
x y z
+ + − =


+ + + =

- 6 -
Phan Huy Hoàng
Bài 8: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
d:
5 0
3 6 0
x y z

x y
− − − =


− + =

; d’:
2 5 0
4 2 5 4 0
y z
x y z
+ − =


− + − =

Bài 9: Cho hai đ.thẳng d:
2 3 2 0
3 2 0
x y
x z
− − =


+ + =

và d’:
2 3 9 0
2 1 0
x y

y z
− + =


+ + =

.
a. CMR: d // d’. Tính khoảng cách giữa d và d’.
b. Viết p.trình mặt phẳng (P) chứa d và d’.
c. Tính khoảng cách từ điểm (2; 3; 2) đến (P).
Bài 10: Cho hai đt d:
0
4 0
x y
x y z
+ =


− + + =

; d’:
3 1 0
2 0
x y
y z
+ − =


+ − =


.
a. CMR: d và d’ chéo nhau.
b. Tính khoảng cách giữa d và d’.
c. Tìm p.tđt qua I(2;3;1) và cắt cả hai đ.thẳng d và d’.
Bài 11: Tìm góc tạo bởi đường thẳng:
3 1 2
2 1 1
x y z+ − −
= =
với các
trục tọa độ.
Bài 12: Tìm góc tạo bởi các cặp đường thẳng sau:

1 2 2
3 1 4
x y z− + +
= =
;
2 1 0
2 3 2 0
x y z
x z
+ − − =


+ − =

Bài 13: Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối của tứ diện có các
đỉnh:A(3; –1; 0), B(0; –7; 3), C(–2; 1; –1) và D(3; 2; 6).
Bài 14: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(1; –1; 2) trên mặt

phẳng (P): 2x – y + 2z + 12 = 0.
Bài 15: Tìm điểm đối xứng của điểm M(2; –3; 1) qua mặt phẳng
(P): x + 3y – z + 2 = 0.
Bài 16: Lập ptđt vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxz và cắt hai
đt:
4
3
x t
y t
z t
=


= − +


= −

và
1 2
3
4 5
x t
y t
z t
= −


= − +



= −

.
Bài 17: Tìm điểm đ.xứng của điểm M(2; –1; 1) qua đt:
1 2
1
2
x t
y t
z t
= +


= − −


=

- 7 -
Phan Huy Hoàng
HÌNH CHIẾU.
Bài 1: Cho hai điểm M(1;1;1), N(3;–2; 5) và
mp(P): x + y –2z –6 = 0.
a. Tính khoảng cách từ N đến mp(P).
b. Tìm hình chiếu vuông góc của M trên mp(P).
c. Tìm p.t hình chiếu vuông góc của đ.t MN trên mp(P).
Bài 2: Tìm p.t hình chiếu vuông góc của đ.t trên m.p(P)
a. d:
2 2 1

3 4 1
x y z− + −
= =
; (P): x + 2y + 3z + 4 = 0
b.
2 3 0
3 3 0
x y
x z
− − =


− − =

; (P): x + 2y + z – 5 = 0
Bài 3: Cho điểm M(–1; –1; –1) và đ.thẳng d:
2 1 0
1 0
x y z
x y z
+ − + =


− + − =

.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên d và
trên mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0. Tính HK.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(–1; 2;3), B(0; 4;4),
C(2; 0; 3) và D(5; 5; –4).

a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của D trên mp(ABC).
b. Tính thể tích của tứ diện.
Bài 5: Cho3điểm A(–1; 2; 3), B(–2; 1; 1) và C(5; 0; 0). Tìm tọa
độ hchiếu vuông góc C’ của C trên đt: AB.
Bài 6: Cho hai đường thẳng d:
4
6 2
x t
y t
z t
=


= +


= +

và d’:
6 3
1
x h
y h
z h
=


= − +



= − +

.
a. Tìm phương trình đường vuông góc chung của d và d’.
b. Gọi K là hình chiếu của điểm I(1; –1; 1) trên d’.
Tìm ptts của đt qua K, vgóc với d và cắt d’.
- 8 -