BT phương trình đường thẳng-hh10

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
A. Kiến thức cơ bản:
1- Đường thẳng đi qua điểm M(x
0
;y
0
) và nhận véctơ
u
r
(a;b) làm véc tơ chỉ phương có phương trình
tham số:
0
0
x x at
y y bt
= +


= +


2 - PTTQ của đường thẳng có dạng: ax + by + c = 0
Đường thẳng qua M(x
0
;y
0
) và nhận véctơ
r
n
(a;b) làm VTPT có PTTQ: a(x- x

0
) + b(y - y
0
) = 0
3. Khoảng cách từ M(x
0
;y
0
) đến
∆
:ax + by + c = 0 là:
( )
0 0
2 2
ax by c
d M,
a b
+ +
∆ =
+

4. Đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt có VTCP là
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
u a ;b ,u a ;b= =
uur uur

. Khi đó ta có góc giữa 2 đt:
·
(
)
( )
1 1 2 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2
u .u
a a b b
cos d ,d cos u ,u
u . u
a b . a b
+
= = =
+ +
uur uur
uur uur
uur uur
B. Các ví dụ
Ví dụ 1 : Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát trong các trường hợp sau
a. Đi qua điểm A( -5;3) và B(-3;4)
b. Đi qua điểm M(-3;4) và có hệ số góc k = 3
Ví dụ 2 : Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát trong các trường hợp sau
a. Đi qua điểm M(-3;4) và song song với đường thẳng
1 3
4 2

x t
y t
= +


= −

b. Đi qua điểm M(-3;4) và vuông góc với đường thẳng
1 3
4 2
x t
y t
= +


= −

Ví dụ 3 : Cho ba điểm A(1;4) , B(3;-1) và C(6;2)
a. Chứng minh A,B,C là ba đỉnh của một tam giác
b. Lập phương trình đường cao AH và trung tuyến AM
Ví dụ 4 : Cho đường thẳng
∆
3 2
4 3
x t
y t
= − +


= +


và điểm A( 1;2)
a. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên
∆
b. Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua
∆
Ví dụ 5. Cho đường thẳng
∆
:
2 2
3
x t
y t
= +


= +

và điểm A(0;2)
a. Tìm trên
∆
điểm M cách A một khoảng bằng
20
b. Tìm trên
∆
điểm N sao cho AN ngắn nhất
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho hai điểm A(1;1), B(4,-3) và đường thẳng (d) có phương
trình x – 2y – 1 = 0. Tìm trên (d) điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 6
Ví dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho hai điểm A(3;1), B(-1,2) và đường thẳng (d) có phương
trình x – 2y – 1 = 0 .

a. Tìm trên (d) điểm M sao cho tam giác ABM cân tại M
b. Tìm trên (d) điểm N sao cho tam giác ABN vuông tại N
Ví dụ 8. Cho tam giác ABC có A(1;1) các đường cao hạ từ B và C lần lượt có phương trình
h
B
: 2x – y + 8 = 0 và h
C
: 2x + 3y – 6 = 0
a. Viết phương trình đường cao hạ từ A
b. Xác định tọa độ B, C
Ví dụ 9. Cho tam giác ABC có A(1;1) các đường trung tuyến hạ từ B và C lần lượt có phương trình
m
B
: 2x – y + 8 = 0 và m
C
: 2x + 3y – 6 = 0
a. Viết phương trình đường trung tuyến xuất phát từ A
1
b. Xác định tọa độ B, C
Ví dụ 10. Cho tam giác ABC có A(2; -1) các đường phân giác hạ từ B và C lần lượt có phương trình
l
B
: x – 2y + 8 = 0 và l
C
: x + y + 3 = 0
a. Viết phương trình đường phân giác kẻ từ A
b. Xác định tọa độ B, C
Ví dụ 11. Cho điểm P(2;2) và hai đường thẳng lần lượt có phương trình
d
1

2x – y + 1 = 0 và d
2
: x + 3y + 2 = 0
a. Lập phương trình đường thẳng đi qua M và tạo với d
1
góc 45
0
b. Lập phương trình đường thẳng đi qua M cắt d
1
tại A và d
2
tại B sao cho M là trung điểm của đoạn
AB.
Ví dụ 12. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông biết tọa độ một đỉnh là (-4;5) và một đường chéo có
phương trình 7x – y + 8 = 0
Ví dụ 13. Cho tam giác ABC đều đỉnh A(1; 2), cạnh BC có phương trình x – 2y + 5 = 0. Xác định tọa độ B, C
BÀI TẬP
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1: Lập phương trình TQ và TS của đường thẳng đi qua điểm M và có vtpt
n
r
biết:
a,
( ) ( )
− =
r
M 1; 1 ; n 2;1
b,
( ) ( )
= −

r
M 0;4 ; n 1;3
c,
( ) ( )
M 2; 3 , n 2;1− − = −
r
Bài 2: Lập PTTS và PTTQ của đường thẳng đi qua điểm M và có vtcp
u
r
biết:
a,
( ) ( )
M 1; 2 ; u 1;0− =
r
b,
( ) ( )
M 5;3 ; u 3;1= −
r
c,
( ) ( )
M 3; 7 , u 3;2− − =
r
Bài 3: Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B trong các trường hợp sau:
a,
( ) ( )
A 1;1 , B 2;1−
b,
( ) ( )
A 4;2 , B 1; 2− −
c,

( ) ( )
A 5;0 , B 1;1−
Bài 4: Lập phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB biết:
a,
( ) ( )
A 1;1 , B 3;1−
b,
( ) ( )
A 3;4 , B 1; 6−
c,
( ) ( )
−A 4;1 , B 1; 4
Bài 5: Lập phương trình đường thẳng (d) biết:
a, đi qua điểm M(2;-1) và có hệ số góc k = 2
c, đi qua điểm M(-3;-1) và tạo với hướng dương trục Ox góc 45
0
.
d, đi qua điểm M(3;4) và tạo với hướng dương trục Ox góc 60
0
.
Bài 6: Chuyển (d) về dạng tham số biết (d) có phương trình tổng quát:
a, 2x – 3y = 0; b, x + 2y – 1 = 0 c, 5x – 2y + 3 = 0
Bài 7: Chuyển (d) về dạng tổng quát biết (d) có phương trình tham số:
a,
=


= +

x 2

y 3 t
b,
= −


= +

x 2 t
y 4 t
c,
= +


= −

x 2 3t
y 1
Bài 8: Cho tam giác ABC biết A(-1;-2), B(4;-3) và C(2;3)
a, Lập phương trình đường trung trực cạnh AB
b, Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(3;7) và vuông góc với đường trung tuyến kẻ từ A của
tam giác ABC
Bài 9. Lập phương trình các cạnh và các đường trung trực của tam giác ABC biết trung điểm 3 cạnh BC, CA,
AB lần lượt là: M(2;3), N(4;-1), P(-3;5)
II. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC
Bài 1: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(2;2) và 2 đường cao (d
1
) và (d
2
) có phương trình là
( ) ( )

1 2
d : x y 2 0; d :9x 3y 4 0+ − = − + =
Bài 2: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh AB là x + y – 9 = 0, các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt
là (d
1
): x + 2y – 13 = 0 và (d
2
): 7x + 5y – 49 = 0. Lập phương trình cạnh AC, BC và đường cao thứ 3
Bài 3: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(1;-1) và 2 đường trung tuyến (d
1
) và (d
2
) có
phương trình là:
( ) ( )
1 2
d :3x 5y 12 0; d :3x 7y 14 0− − = − − =
Bài 4: Phương trình 2 cạnh của một tam giác là:
( ) ( )
1 2
d :x y 2 0; d : x 2y 5 0+ − = + − =
và trực tâm H(2;3).
Lập phương trình cạnh thứ 3
2
Bài 5: Xác định toạ độ các đỉnh và lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trung điểm của BC là
M(2;3), phương trình (AB): x – y – 1 = 0; phương trình (AC): 2x + y = 0
Bài 6: Xác định toạ độ các đỉnh và lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trọng tâm
4 2
G ;
3 3

 
 ÷
 
và
phương trình (AB): x – 3y + 13 = 0; phương trình (AC): 12x + y – 29 = 0
III. HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA ĐIỂM LÊN ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1: Lập phương trình đường thẳng (d
1
) đối xứng với đt(d) qua điểm I
a,
I( 3;1);(d) : 2x y 3 0− + − =
b,
I(1; 1);(d) : 3x 2y 1 0− + =
Bài 2: Lập phương trình đường thẳng (d
1
) đối xứng với đường thẳng (d) qua đt(
∆
) biết:
a,
(d) : x 2y 1 0;( ) : 2x y 3 0+ − = ∆ − + =
b,
(d) : 2x 3y 5 0;( ): 5x y 4 0+ + = ∆ − + =

Bài 3: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(0;3); phương trình 2 đường phân giác trong xuất
phát từ B và C lần lượt là
B c
(d ) : x y 0;(d ) : 2x y 8 0− = + − =
Bài 4: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh BC:
084 =−+ yx
và phương trình 2 đường phân giác trong

xuất phát từ B và C lần lượt là:
B C
(d ) : y 0;( d ) : 5x 3y 6 0= + − =
Bài 5: Cho tam giác ABC biết C(3;-3); phương trình đường cao và đường phân giác trong xuất phát từ A lần
lượt là
1 2
(d ) : x 2;(d ) : 3x 8y 14 0= + − =
IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1: Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng sau: a.
1 2
x 1 t x 2 u
(d ) : ;(d ) :
y 2 t y 5 u
= − = −
 
 
= + = +
 

Bài 2: Cho
0
22
≠+ ba
và 2 đt (d
1
) và (d
2
) có phương trình:
2 2
1 2

(d ) : (a b)x y 1;(d ) : (a b )x ay b− + = − + =
a, Tìm quan hệ giữa a và b để (d
1
) và (d
2
) cắt nhau, khi đó hãy xác định toạ độ giao điểm I của chúng
b, Tìm điều kiện giữa a và để I thuộc trục hoành
Bài 3: Cho 2 đường thẳng
2 2
1 2
(d ) : kx y k 0;(d ) : (1 k )x 2ky 1 k 0− + = − + − − =
a. CMR: đường thẳng (d
1
) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi k
b. CMR: (d
1
) luôn cắt (d
2
). Xác định toạ độ của chúng
V. GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
Bài 1: Tìm góc giữa 2 đường thẳng (d
1
) và (d
2
) trong các trường hợp sau:
a,
1 2
(d ) : 5x 3y 4 0;(d ) : x 2y 2 0+ − = + + =
b,
1 2

(d ) : 3x 4y 14 0;(d ) : 2x 3y 1 0− − = + − =
Bài 2: Cho 2 đường thẳng
0364:)(;0132:)(
21
=−+−=+− yxdyxd
a, CMR (d
1
) // (d
2
) b, Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
Bài 3: Lập phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi (d
1
) và (d
2
) biết:
a,
1 2
(d ) : 2x 3y 1 0;(d ) : 3x 2y 2 0+ − = + + =
b,
1 2
x 1 5t
(d ) : 4x 3y 4 0;(d ) :
y 3 12t
= −

+ − =


= − +

Bài 4: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(-2;3) và cách đều 2 điểm A(5;-1) và B(3;7)
Bài 5: Cho 2 đường thẳng
1 2
(d ) : 2x 3y 5 0;(d ) : 3x y 2 0− + = + − =
.Tìm M nằm trên Ox cách đều (d
1
) và (d
2
).
VI. CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Bài 1: Tìm trên trục hoành điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B nhỏ nhất biết:
a, A(1;2), B(3;4) b, A(-1;2), B(2;1) c, A(-2;-1), B(-1;-1).
Bài 2: Tìm trên (d) điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B nhỏ nhất biết:
a,
(d) : x y 0;A(3;2), B(5;1)− =
c,
(d) : x y 2 0;A(2;1),B(1;5)− + =

Bài 4: Cho đường thẳng
(d) : x 2y 2 0− − =
và 2 điểm A(1;2), B(2;5). Tìm trên (d) điểm M sao cho:
a, MA + MB nhỏ nhất b,
MA MB+
uuuur uuuur
nhỏ nhất
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a,

2 2
y x 4x 8 x 2x 2= + + + − +
b,
2 2
y x 2x 2 x 6x 10= + + + − +
3