CĐ rút gọn biểu thức - Toán 9

các dạng bài tập rút gọn biểu thức.
I . Lý thuyết
A. N hững hằng đẳng thức
1) (a+b)
2
= a
2
+ 2ab +b
2

2)(a-b)
2
= a
2
- 2ab + b
2

3)a
2
- b
2
= (a-b)(a+b)
4)a
2
+ b
2
= (a+b)
2
- 2ab = (a-b)
2

+ 2ab
5)(a+b)
3
= a
3
+3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
= a
3
+ b
3
+ 3ab(a+b)
6)(a-b)
3
= a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
= a
3
- b
3

- 3ab(a-b)
7)a
3
+ b
3
= (a+b)(a
2
- ab + b
2
) = (a+b)
3
- 3ab(a+b)
8)a
3
- b
3
= (a-b)(a
2
+ ab + b
2
) = (a-b)
3
+ 3ab(a-b)
9)(a+b+c)
2
= a
2
+ b
2
+ c

2
+ 2ab + 2bc + 2ca
10) (a+b+c)
3
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3(a+b)(b+c)(c+a)
B. Các công thức biến đổi căn thức
1)
2
A A=
2)
.AB A B=
(với A
0

và B
0

)
3)
A A
B
B
=
( với A

0

và B
0
>
)
4)
=
2
a b a b
( với B
0

)
5)
=
2
a b a b
( với A
0

và B
0

)

=
2
a b a b
(với A

0

và B
0

)
6)
=
1A
A B
B b
(với A.B

0 và B

0 )
7)
=
A A B
B
B
( với B > 0 )
8)
( )
=


m
2
C A B

C
A b
A B
(với A

0 và A

B
2
)
9)
( )
=


mC A B
C
A B
A B
(với A

0 , B

0 và A

B )
II .bài tập áp dụng
bài tập 1. Tính
a, A =
( )

2
1 1 15
6 5 120
2 4 2
+
b, B =
( )
3 2 3 2 2
3 3 2 2
3 2 1
+
+ +
+
1

c)
( ) ( )
4 15 5 3 4 15
+
hớng dẫn
a, A =
( )
2
1 1 15
6 5 120
2 4 2
+
=
( )
1 1 30

11 2 30 4.30
2 4 4
+
=
11 30 30 11
30
2 2 2 2
+ =
b, B =
( )
3 2 3 2 2
3 3 2 2
3 2 1
+
+ +
+
=
( )
3 2 2 2 2 1 3 3 2 2+ + +
= 3
c)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
4 15 5 3 4 15 5 3 4 15 4 15+ = +
=
( )
5 3 4 15
+
=
( ) ( )

2
5 3 4 15 +
=
( ) ( )
8 2 15 4 15 +
=
2
bài tập 2. Tính
a)
2
(1 2)
e) E =
17 12 2 3 2 2 3 2 2 + + +
b)
3 2 2
f) F =
4 7 4 7+
c)
7 4 3+
g) G =
4 2 3 4 2 3 +
d)
2 3
h) H =
21 6 6 21 6 6+ +
hớng dẫn
a) =
2 1
vì 1 <
2

b) =
2 1
c) = 2+
3
d) =
2
4 2 3 ( 3 1) 3 1
2 2
2

= =
e) E =
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 2 2 2 1 2 1 + + +
= 3- 2
2
+
2
- 1 +
2
+ 1 = 3
f) Cách 1
F =
( ) ( )
2 2
7 1 7 1
8 2 7 8 2 7
2 2 2 2
+

+
=
=
7 1 7 1
2 2
+

=
2
Cách 2 : Phơng pháp Bình phơng hai vế
Có F > 0 . Nên F
2
= 4 +
7
+ 4 -
7
- 2
( ) ( )
4 7 4 7+
= 8 - 2
16 7
= 2

F =
2
g) Cách 1
G =
3
- 1 - (
3

+ 1 ) = -2
Cách 2 :Phơng pháp Bình phơng hai vế
Chú ý : G < 0
h) Cũng có hai cách nh trên
Đáp số H =
( ) ( )
2 2
3 3 2 3 3 2+ +
= 6
2
bài tập 3 : Chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị là số nguyên .
2

a) A =
( ) ( )
57 3 6 38 6 57 3 6 38 6+ + + +
b) B =
2 3 5 13 48
6 2
+ +
+
c) C =
5 3 29 12 5
hớng dẫn
a) A =
( ) ( )
2 2
57 6 3 6 38 93 12 7 92 6 28 1+ + = + = Z
b) B =
2

2 3 5 (2 3 1)
6 2
+ +
+
=
2 3 4 2 3
6 2
+
+
=
2 2 3
1
6 2
+
=
+
Z
c) C =
( )
2
5 3 2 5 3 5 6 2 5 1 = = Z
bài tập 4 : So sánh A và 2B với
A =
10 24 40 60+ + +
B =
2 3 6 8 16
2 3 4
+ + + +
+ +
hớng dẫn

Ta có A =
( ) ( )
2 2
2 2
( 2) 3 ( 5) 2 6 2 10 2 15 2 3 5 2 3 5+ + + + + = + + = + +
B =
( ) ( )
2 3 4 2 2 3 4
1 2
2 3 4
+ + + + +
= +
+ +
Vậy 2B = 2 + 2
2 2 2 4= + +
Suy ra A > 2B
bài tập 5 : Rút gọn biẻu thức
a) A =
2 3
5 3 6 3
+
+
b) B =
1 1 1

2 3 3 4 2008 2009
+ + +
+ + +
hớng dẫn
Sử dụng phơng pháp trục căn thức

a) A =
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 5 3 3 6 3 2 5 3 2 6 3
5 6
5 3 6 3
5 3 5 3 6 3 6 3
+ +
+ = + = +

+ +
b) B =
( ) ( )
( 2 3) 3 4 2008 2009 2009 2 + + + + + + =
bài tập 6 : Tính
a) N =
( )
2
1 2008 2009 2 2008 +
b) M =
4 10 2 5 4 10 2 5 +
3

c) P =
2 3 2 3
2 2 3 2 2 3
+ −

+
+ + − −
híng dÉn
a) N =
( ) ( ) ( )
2
1 2008 2008 1 2008 1 2008 1 2007− + = − + =
b) Ph¬ng ph¸p “ B×nh ph¬ng hai vÕ”
M
2
= 6 - 2
( )
2
5 5 1= −

⇒
M = 1 -
5
v× M < 0
c) Cã 2
±

( )
2
3 1
3
2
±
=
P =

2 3 2 3 2 3 2 3
2
3 1 3 1 3 3 3 3
2 2
2 2
 
+ − + −
+ = +
 ÷
 ÷
+ − + −
 
+ −
=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 3 3 3 2 3 3 3
2
3 3 3 3
 
+ − + − +
 ÷
 ÷
+ −
 
=
3 3 3 3
2 2
6
 

+ + −
=
 ÷
 ÷
 
bµi tËp 7 : CMR
a)
( )
1 1 1 1

2
3 2 4 3 1n n
+ + + +
+
< 2 víi n
≥
1vµ n
∈
N
b)
2 1 3 2 36 35

2 1 3 2 36 35
− − −
+ + +
+ + +
<
5
12

híng dÉn
a) Ta cã
( )
( )
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1
k k k
k k k k
k k k k k k
 
  
 
= = − = − +
 ÷
 ÷
 ÷ ÷
 ÷
+ +
+ + +
 
  
 
=
1 1 1 1
1 2
1 1 1
k
k k k k k
 

   
+ − < −
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
+ + +
   
 
¸p dông víi k
{ }
1;2;3; ;n∈
ta cã
1 1
2 1
2
2
 
< −
 ÷
 
(1)
1 1 1
2
3 2 2 3
 
< −
 ÷
 
(2)
…………………….

( )
1 1 1
2
1 1n n n n
 
< −
 ÷
+ +
 
(n)
Céng vÕ víi vÕ n B§T trªn ta cã
( )
1 1 1 1

2
3 2 4 3 1n n
+ + + +
+
<
1
2 1
1n
 
−
 ÷
+
 
< 2.
b) XÐt biÓu thøc
4

( )
1
1
n n
n n
+
+ +
với n

N
*

Vì (n+1) +n = 2n + 1 =
( ) ( )
2
2 2
2 1 4 4 1 4 4 2 1n n n n n n n+ = + + > + = +
( )
1 1
1
2 . 1
n n
n n
<
+ +
+
( )
+ +
< + >

+ +
+
+
<
+ +
+
1 1
( 2 0)
1
2 1
1 1 1
( 1)
2 2 1
n n n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
áp dụng BĐT với n
{ }
1;2; ;36
ta có
2 1 3 2 36 35

2 1 3 2 36 35

+ + +
+ + +

<
+ + +
1 1 1 1 1 1

2 1 2 2 2 2 2 3 2 35 2 36
=
=
1 1 5
2 2.6 12
L u ý :Ta có thể dùng BĐT cô si (n+1) + n > 2
( )
1n n+
Tổng quát
2 1 3 2 1 1 1

2 1 3 2 ( 1)
2 1
n n n
n n
n
+ +
+ + + <
+ + + +
+
bài tập 8 : Rút gọn biểu thức
a) A=
+

6 5 4
3

45 30 5
3 1
a a a
a
với a <
1
3
b) B =
+

2
4
1 2
1
m m
m
hớng dẫn
a) A =
( )
( )
+ = = =

4 2 2
3 3 3
5 9 6 1 5 3 1 5 1 3 3 5
3 1 3 1 3 1
a a a a a a
a a a
vì 3a <1 nên 3a - 1 < 0
b) Điều kiện m

1
B =
( )

>

=


<


4 1
4
1
1
4( 1)
m
m
m
m
bài tập 9 : Cho biểu thức
A =


+
ữ
ữ
ữ

+


1 1 2
:
1
1 1
a
a
a a a a
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị A biết a = 4 +2
3
c) Tìm a để A < 0 .
hớng dẫn
a) Điều kiện
< 0 1a
5

Khi đó ta có A =
( ) ( ) ( )

ữ ữ
+
ữ ữ
+
+

1 1 2

:
1 1
1 1 1
a
a a
a a a a
A =
+
=
+
1 1 1
:
( 1) ( 1)( 1)
a a a
a a a a a
b) a = 4 +2
3
=
( )
+
2
2 1
A =
+
=
+
2 2 2
2
2 1
c) Với

< 0 1a
thì A < 0 khi

< < <
1
0 1 0 1
a
a a
a
Kết hợp với điều kiện ta có A< 0 khi 0 < a < 1
bài tập 10 : Cho biểu thức
P =
5 2 4
1 .
2 3
x x
x
x x

+ +

+
ữ
ữ
ữ
+



a) Rút gọn P

b) Tìm x để P > 1 .
hớng dẫn
a) Điều kiện
0 4x
Khi đó P =
3 3 2 4 4
.
2 3 2
x x x x x x
x x x

+ + +
=
ữ ữ
ữ ữ
+

b) Với
0 4x

ta có P > 1 khi
4 4 2
1 1 0 0
2 2 2
x x
x x x

> > >

2 0 4x x < <
Vậy P >1 khi 0
x
< 4 .
L u ý : Từ
4
1 4 2
2
x
x x
x

> >

???
Nhiều học sinh kết luận x < 4 sai ???
bài tập 11 : Cho biểu thức
A =
2 2 1
1 :
1
1 1
a a
a
a a a




ữ

ữ
ữ

+ +


với
0 1a
a) Rút gọn A
b) Tìm a để gia trị của a đạt GTLN .
hớng dẫn
a) A =
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
1 1 1
1 2 2 1
: .
1
1
1 1 1 1
a a a a
a a a a a
a
a
a a a a a

+ +

+ +
ữ
=
ữ
ữ
ữ


+ + +



= -(a-
a
+1)
b) A = -(a-
a
+1) = -
2
1
( )
2
a
-
3 3
4 4


6

A
max
=
3
4

khi
1 1
2 4
a a= =
t/m.
bài tập 12 : Cho biểu thức
y =
2
2
1
1
x x x x
x x x
+ +
+
+
a) Rút gọn y. Tìm x để y = 2
b) Cho x > 1 . CMR y -
y
= 0
c) Tìm GTNN y.
hớng dẫn
a) Đkxđ x > 0

*A =
( ) ( )
( )
( )
3
1
1 2 1
1 2 1 1
1 1
x x
x x x x x
x
x x x x x

+
+


+ = +
+ +
=
( )
1 2 1 1x x x x x+ + =
* y = 2
1
2 2 0
2
x
x x x x
x

=
= =

=



2 4x x = =
t/m.
b) y = x-
( )
1x x x=
với x > 1 thì y > 0 do đó
0y y y y= =
c) y = x -
2
1 1 1
2 4 4
x x


=
ữ

y
min
=
1 1 1
4 2 4

x x

= =
t/m
bài tập 13 : Cho biểu thức
P =
1 1
:
1
1 1
x x x x
x
x x

+


ữ
ữ
ữ




a) Rút gọn P
b) Tìm P bết
x
=
1
4

c)Tìm x để P =3.
hớng dẫn
a) ĐKXĐ
< 0 1x
Khi đó ta có P =
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1
1 1
1 1 1
. .
1 1
1 1
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x x

+ +

+

ữ
=
ữ
ữ
ữ

+


=
2 x
x

L u ý : Nhiều học sinh thực hiện phép chia ở biểu thức
1
1
x
x


do đó bài toán trở nên phức tạp
hơn.
b) Với
< 0 1x
và
x
=
1
4

1
4
x =
thay vào P ta có
7

P =
2 x
x

=
1
2
2
6
1
4

=
c) P =3


2 x
x

= 3

3x+
x
-2 = 0
1
2 4
2
3 9
3

x
x x
x

=

= =

=


t /m
bài tập 14 : Cho biểu thức
P =
1 1 1 1
:
1 2
1 1
a
a
a a a




ữ
ữ
ữ

+ +

a) Rút gọn P
b) Tìm a để P nhận giá trị nguyên .
hớng dẫn
a) Đkxđ

0 1a
Khi đó ta có
P =
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1 2 1
: :
2
1
1 1 1 1 2 1
a a
a a a
a
a a a a a a a
+


=
ữ
+
+ + + + +
=

( )
( ) ( ) ( )
1
1 2
:
1
1 1 2 1
a a
a a
a a
a a a a


=
+
+ + +
b) Có P nhận giá trị nguyên thì

0 1a
Nếu a = 0 có P = 0 là giá trị nguyên . Vậy a = 0 là giá trị t/m
Nếu
< 0 1a
ta có a -
1 0a a+ >
P > 0 . Lại có theo BĐT Côsi .
P =
2 2
2
1
1

1
2 . 1
a
a
a
a
< =
+


Do đó 0 < P < 2 . mà P
Z

P =1

2
1
a
a a +
=1
3 5 7 5
3 1 0
2 2
a a a a

+ = = =
KL : a = 0 hoặc a =
7 5
2

bài tập 15 : Cho biểu thức
P =
:
a b ab
a b
ab a ab b


+
ữ
ữ

+


a) Rút gọn P
b) Tìm a, b nguyên để P =
1
2
.
hớng dẫn
a) Đkxđ
0ab
a b
>




8

Khi đó ta có P =
( ) ( )
( ) ( )
. .
a ab b b ab a
a b a ab ab b ab ab a b
ab ab
ab b ab a ab ab
ab a ab b
+ +
+ +
=
+
+
=
( )
( )
.
ab a b
a b a b
ab ab
ab a b
+
+
=

b) Giả sử có a, b nguyên và
0ab
a b

>




. khi đó P =
1
2

( )
1
2
2
a b
a b ab
ab
+
= + =
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 4 2 2 4a b b a b = =
(*)
Do có a, b nguyên và
0ab
a b
>




2 2a b

Nên từ (*)
2 1
2 4
a
b
=



=

hoặc
2 4
2 1
a
b
=


=

hoặc
2 1
2 4
a
b
=

=

hoặc
2 4
2 1
a
b
=


=

3
6
a
b
=



=

hoặc
6
3
a
b
=

=

hoặc
1
2
a
b
=


=

(loại ) hoặc
2
1
a
b
=


=

(loại)
KL :
3
6
a
b
=

=

hoặc
6
3
a
b
=


=

L u ý : Với ĐK
0ab
a b
>




ta chỉ có thể dùng P
2
quy đồng . Nêú đặt nhân tử chung rồi chia tử
cho mẫu là sai .
bài tập 16 : Cho biểu thức
Cho biểu thức A =
1 1 8 1
:
9 1

3 1 3 1 3 1
x x x
x
x x x

+
+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm x để A < 1 .
hớng dẫn
a) Đkxđ
1
0
9
x
Khi đó ta có P =
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 3 1 3 1 8
1
:
3 1
3 1 3 1
x x x x
x

x
x x
+ +
+
+
+
=
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 1 3 1 8 1 3 3 3 1
: .
3 1 1
3 1 3 1 3 1 3 1
x x x x x x x x x
x x
x x x x
+ + + + + +
=
+ +
+ +
=
( )
( ) ( )
3 1
3 1 3
.
1 3 1
3 1 3 1
x x
x x
x x

x x
+
+
=
+
+
b) Với
1
0
9
x
.Ta có P < 1
3 3 1
1 1 0 0 3 1 0
3 1 3 1 3 1
x x
x
x x x
< < < <

9

1 1
3 1
3 9
x x x < < <
Kết hợp với điều kiện ta có P < 1
1
0
9

x
<
bài tập 17 : Cho biểu thức
A =
2
3
2 4 1 1
1
1 1
a
a
a a
+


+
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm GTLN củu A .
hớng dẫn
a) Đkxđ
0 1a
Ta có A =
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

2 2 2
2
2 2
2 4 1 1 1 1
2 4 1 1
1 1 1 1
1 1
a a a a a a a
a
a a a a a a
a a
+ + + + + +
+
=
+ + + +
+
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2
2 2
2 4 2 1
2 1
2
1

1 1 1 1
a a a
a
a a
a a a a a a
+ + +

= =
+ +
+ + + +
b) Với
0 1a
. Ta có a
2
+ a + 1 =
2
1 3 3
0
2 4 4
a

+ + >
ữ

Và A=
2
2
1 a a+ +
nên A
max

(a
2
+a+1)
min
. Ta có (a
2
+a+1)
min
=
3
4

1 1
0
2 2
a a + = =
kt/m
Kl : không có giá trị của a để A
max
.
bài tập 18 : Cho biểu thức
P =
1 2 2
: 1
1
1 1
x x
x

x x x x x


ữ ữ
ữ ữ
+
+

Với
0 1x

a) Rút gọn P
b) Tìm x để P < 0 .
hớng dẫn
a) Với
0 1x

.Ta có
P =
( ) ( )
1 2 1 2
:
1
1
1 1
x x x
x
x
x x x

+
ữ

ữ
+

+

=
( )
( )
1 2 1 2
:
1
1
1 1
x x x
x
x
x x

+
ữ

ữ
+

+

=

1 2 1 1
.
( 1)( 1) 1 2 1
x x x
x x x x x
+ +
=
+ +
b) Với
0 1x
.Ta có P < 0 khi
1
1x
< 0
1 0 1x x < <
Kết hợp với điều kiện ta có P < 0 khi 0

x < 1 .
bài tập 19 : Cho biểu thức
10

P =
1 2
1 : 1
1
1 1
x x
x
x x x x x

+
ữ ữ
ữ ữ
+
+

Với
0 1x

a) Rút gọn P
b) Tìm x nguyên để M = P -
x
nhận giá trị nguyên .
hớng dẫn
a) Với
0 1x

P =
( ) ( )
1 1 2
: 1
1
1 1 1
x x x
x
x x x x

+ +

ữ

ữ
+
+ +

=
( )
( )
1 1 2
: 1
1
1
1 1
x x x
x
x
x x

+ +
ữ

ữ
+

+

=
( )
( )
1 2 1
: 1

1
1 1
x x x x
x
x x
+ + +

+
+
=
( )
( )
( )
2
1
1
: 1
1
1 1
x
x x
x
x x

+ +

+
+
=
1 1

. 1
1
1
x x x
x
x
+ + +

+

=
2
1
x
x
+

b) Với
0 1x
Có M = P -
x
=
2
1
x
x
+

-
x

=
2 3
1
1 1
x
x x
+
= +

Để M
Z
thì
3 3
1 1
1 1
x Q
x x
+

Z Z
Ta có
p
x
q
=
với p ; q

N và q

0 , (p;q) = 1

Khi đó x =
2
2
p
q
Z
nên
( )
2 2
; 1p q p q p q q q = =M M
x p N =
Từ đó M
Z
1x Z
hay
1x
là ớc của 3
1 1
1 3
x
x

=


=



{ }

0;4;16x
t/m
L u ý : + ƯCLB(a;b) = (a;b)
+ a
M
b thì ƯCLN(a;b) = b
+ Để M
Z
thì
3
1 1
1
x
x
+

Z Z
là sai .Chẳng hạn
1x
=0,5


M = 7
Z
.
bài tập 20 : Cho x ; y thoả mãn
(
)
(
)

2 2
1 1 1x x y y+ + + + =
. Tính giá trị của biểu thức
a) A = x + y
b) B = x
2009
+ y
2009
c) C =
(
)
(
)
2 2
1 1x y y x+ + + +
hớng dẫn
a)Nhân hai vế của
(
)
(
)
2 2
1 1 1x x y y+ + + + =
với x -
2
1x +
11


(

)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
1 1 1 1. 1x x x x y y x x+ + + + + = +

( )
(
)
(
)
2 2 2 2
1 1 1x x y y x x

+ + + = +

(
)
(
)
2 2
1. 1 1y y x x + + = +
2 2
1 1y y x x + + = + +
(1)
Tơng tự nhân hai vế với y -

2
1y +
ta có

2 2
1 1x x y y+ + = + +
(2)
Cộng vế với vế (1) và (2) ta có x + y = 0 hay A = 0
b) Từ x + y = 0

x = -y

x
2009
= - y
2009


x
2009
+ y
2009
= 0 hay B = 0.
c) Ta có x = - y nên C =
(
)
(
)
2 2
1 1x y y x+ + + +

=
(
)
(
)
2 2
1 1 1x x y y+ + + + =
.
bài tập 21 : Cho biểu thức : A =
1 1 2
:
2
a a a a a
a
a a a a

+ +

ữ
ữ

+

a) Với những giá trị nào của a thì A xác định .
b) Rút gọn biểu thức A .
c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên .
hớng dẫn
a) Đkxđ
0
1

2
a
a
a
>







b) Khi đó ta có A =
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 1 1 1
2
:
2
1 1
a a a a a a
a
a
a a a a

+ + + +
+
ữ

ữ

+

=
( )
1 1
2
:
2
a a a a
a
a
a
+ + +
+

=
2
2.
2
a
a

+
c) Với
0
1
2

a
a
a
>







Ta có A =
2
2.
2
a
a

+
= 2 -
8
2a +
Để A
( )
8 2a +MZ
mà a + 2

Z
và a > 0 nên a + 2 > 2
2 4 2

2 8 6
a a
a a
+ = =



+ = =

Đối chiếu với điều kiện ta lấy a = 6 .
bài tập 22 : Cho biểu thức :
1 1 1 1 1
A= :
1- x 1 1 1 1x x x x

+ +
ữ ữ
+ +

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của A khi x =
7 4 3+
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất .
12

hớng dẫn
a) Đkxđ 0 < x

1
Khi đó ta có A =

( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1
1 1 1
:
1
1 1 1 1
x x
x x
x
x x x x

+
+ +
ữ ữ
+
ữ ữ

+ +

=
( ) ( )
( ) ( )
1 1
2 1 1 1
.
2 1 1
1 1
x x

x x x x
x x
+
+ = +

+
=
( )
1
. 1x x
b)Ta có x =
7 4 3+
=
( )
2
2 3+
nên A =
( ) ( )
1 1 1
. 1 2 3 7 4 3
x x
x x
= =

+ +
=
1 5 3 3
2
5 3 3

=
+
c) Với 0 < x

1 Ta thấy A < 0 khi x > 1 . Nếu A có GTNN thì GTNN của A phải nhỏ hơn 0
khi đó x < 1 . Đặt
1( 0)x

= + >
. Ta có
A =
2
1


+
nếu

càng nhỏ thì A càng nhỏ , A nhỏ hơn bao nhiêu cũng đợc . Vậy A không
có giá trị nhỏ nhất .
L u ý : + Một số HS sử dụng BĐT
2
2
a b
ab
+


ữ

;a b
Ta có
( )
2
1 1
. 1
2 4
x x
x x

+
=
ữ



A
( )
1
4
1x x


1
4
x =
t/m là sai ??
Lu ý rằng x = 9 thì A =
1
6

< 4 .
+ Biểu thức P =
m
n
đạt GTNN (GTLN) khi m là số dơng(âm) còn n > 0 .
bài tập 23 : Cho biểu thức:
2 2 1
1
2 1
x x x
Q
x
x x x

+ +
= ì
ữ

+ +

(với 0 < x

1 )
a) Chứng minh
1
2

=
x

Q
b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.
hớng dẫn
a) với 0 < x

1 ta có
Q =
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 1 2 2 1
1
.
1 2 1
x x x x x
x
x
x x x
+ + +
+
+ +
13

=
( )
( )
( )
2 2 2 2 4 2

1
.
1 2 1
x x x x x x x x x x
x
x
x x x
+ − − − + + − − −
+
− + +
=
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 1 . 1
2 2 1 2
.
1
1 1 1 1
x x x
x x x
x
x
x x x x
+ +
+ +
= =

−
− + − +
b) víi 0 < x
≠
1 ta cã
Q
( )
2
2 1
1
x
x
∈ ⇒ ∈ ⇔ −
−
MZ Z
cã (x-1)
{ } { }
1 1; 2 1;0;2;3x x∈ ⇒ − ∈ ± ± ⇔ ∈ −Z
§èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn ta cã gi¸ trÞ x nguyªn lín nhÊt ®Ó Q nhËn gi¸ trÞ nguyªn lµ x = 3 .
14