DE THI HSG HUYEN NAM SACH (CO DAP AN)

ubnd huyện nam sách
phòng giáo dục và đào tạo
kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
môn thi: Toán lớp 9
Thời gian làm bài 120 phút (không tính thời gian phát đề)
Ngày thi 11 tháng 01 năm 2011

Câu 1 (2,5 điểm):
a/ Tính giá trị của biểu thức: P =
14 6 5 14 6 5+ +
b/ Rỳt gn biu thc
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
x x x x
+ +

+
với x 0; x 4; x 9
c/ Cho
3 2 ; 3 2x y= + =
. Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính giá trị của biểu
thức A = x
5
+ y
5
.
Câu 2 (2 điểm):
a/ Giải phơng trình:
2 1 4x x + =
b/ Tìm m để hệ phơng trình

4 10
4
mx y m
x my
+ =


+ =


có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x > 0; y > 0.
Câu 3 (1 điểm):
Cho hàm số y = (a 1)x + a với a 1.
Tìm a để đồ thị của hàm số trên cắt trục tung tại điểm A, cắt trục hoành tại điểm
B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 2.
Câu 4 (3 điểm):
Cho đờng tròn (O; R). Từ một điểm A nằm ngoài đờng tròn, kẻ các tiếp tuyến
AB và AC vuông góc với nhau (B và C là các tiếp điểm). M là một điểm trên cung nhỏ
BC, tiếp tuyến tại M cắt AB và AC lần lợt tại E và F
a/ Tính số đo góc EOF ?
b/ Biết EF =
5
6
R
, tính diện tích tam giác OEF và diện tích tam giác AEF.
c/ Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC sao cho EF có độ dài nhỏ nhất.
Câu 5 (1,5 điểm):
a/ Cho a; b; c là các số nguyên, biết rằng a + b + c chia hết cho 6.
Chứng minh a
3

+ b
3
+ c
3
chia hết cho 6.
b/ Chứng minh
2 2
4 2 10 26x x x+ + + +
Hết
Họ và tên: SBD
Chữ kí GT 1:
Đề thi chính thức
Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2010-2011
môn: toán 9; ngày thi 11/1/2011
Câu Đáp án Điểm
Câu 1
(2,5 đ)
a/
( ) ( )
2 2
14 6 5 14 6 5 3 5 3 5+ + = + +
3 5 3 5 3 5 3 5 6+ + = + + =
0,5
0,5
b/
2 9 3 2 1 2 9 3 2 1
5 6 2 3 ( 2)( 3) 2 3
2 9 ( 3)( 3) (2 1)( 2)
( 2)( 3)
x x x x x x

x x x x x x x x
x x x x x
x x
+ + + +
= +
+
+ + +
=

2
( 2)( 3)
x x
x x

=

3
1
)3)(2(
)2)(1(

+
=

+
=
x
x
xx
xx

0,25
0,25
0,25
0,25
c/ Tính đợc x + y = 6 và xy = 7
Tính đợc x
2
+ y
2
= 22
Và x
3
+ y
3
= 90
Tính đợc x
5
+ y
5
= (x
2
+ y
2
)(x
3
+ y
3
) x
2
y

2
(x + y) = 1686
HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết đến
0,25 đ
0,25
0,25
Câu 2
(2 đ)
a/ Đa đợc về dạng
1 2 4x x+ =
ĐK có nghiệm x 2
Biến đổi về PT (x 3)(4x 5) = 0
Tìm đợc x = 3 (thoả mãn); x =
5
4
(loại)
HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết đến
0,25 đ
0,25
0,25
0,25
0,25
b/
Từ pt (2) ta có x= 4- my Thay vào (1) => m (4-my) + 4y = 10- m
=> 4m m
2
y + 4y = 10- m <=> (4-m
2
)y = 10-5m
<=> (2-m)(2+m)y =5(2-m) (*)

Để hệ pt có nghiệm duy nhất thì pt (*) có nghiệm duy nhất
=> (2- m)(2+m)

0 => m


2
=> y =
5
2 m+
; x=
8
2
m
m

+
Giải điều kiện y > 0 tìm đợc m > -2
Với m > -2 và x > 0 tìm đợc m < 8.
Kết luận -2 < m < 8 và m

2
HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết
đến 0,25 đ
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 3
(1 đ)

a/ Tìm đợc OA = a; OB =
1
a
a
;
diện tích của tam giác OAB có diện tích bằng 2 =>
a

1
a
a
= 4
0,25
0,25
Đa đợcvề PT : a
2
= 4(1 a)
Tìm đợc a = 2
và
2 2 2; 2 2 2a a= =
0,25
0,25
Câu 4
(3 đ)
a/
CM đợc
ã
ã
1
2

MOE MOB=
;
ã
ã
1
2
MOF MOC=
=>
ã
ã
1
2
EOF BOC=
Chứng minh đợc
ã
0
90BOC =
=>
ã
0
45EOF =
b/
Tính đợc diện tích tam giác OEF =
2
5
12
R
Chứng minh S
OEF
=

1
2
S
OBEFC
=> S
OBEFC
=
2
5
6
R
Ta có S
ABOC
= R
2
=> S
OEF
=
2
1
6
R
c/ Đặt AE = x vàAF = y Suy ra
2 2
EF x y= +

Chu vi tam giác AEF = 2a.
2 2
2x y x y a+ + + =

( )
2
2 2
2( )x y x y+ +
suy ra
2 2
2. x y x y+ +

( ) ( )
2 2 2 2
2 1 2 . 1 2a x y x y x y EF= + + + + + = +

Vậy EF có dộ dài nhỏ nhất bằng
2
1 2
a
+
khi x = y vậy M là chính giữa
cung BC
0,5
0,25
0,25
0,75
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5
(1,5 đ)

a/ Ta có: (a
3
+ b
3
+ c
3
) (a + b + c )
= a(a-1)(a+1) + b(b-1)(b+1) + c(c-1)(c+1)
Tích của 3 STN liên tiếp chia hết cho 2 và 3 nên chia hết cho 6
Từ đó suy ra a
3
+ b
3
+ c
3
chia hết cho 6.
0,25
0,25
0,25
b/Chứng minh đợc
2 2 2 2 2 2
( ) ( )a b c d a c b d+ + + + + +
Từ đó suy ra
2 2 2 2 2 2
4 2 10 2 ( 1) 3 26x x x x x+ + + + = + + +
0,25
0,25
0,25
O
M

A
C
B
E
F
DÊu = x¶y ra khi x =
5
2
−