Đề Thi HSG Toán 8 + Đ/án

UBND huyện Đông Hng Đề kiểm tra chọn nguồn HSG Môn Toán lớp 8
Phòng Giáo dục năm học 2005-2006
(Thời gian làm bài 90 phút)
Đề bài
Câu 1( 5điểm ) : Cho
=
A
[
]
9
7
:)
3
9
)(
81
5
1881
7
(
9
7
2
22
+
+
+


+
+

+
+
+
+
+
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
a. Rút gọn A.
b. Tìm các số nguyên x để A có giá trị là số nguyên.
Câu 2 (6điểm) Chứng minh rằng :
a. Nếu
( )
2
cba
++
= 3.(ab + bc +ca) thì a = b = c
b. Nếu
c
zyx
b
yxz
a

xzy
+
=
+
=
+
222222

và (a ; b ; c ; 2b + 2c a ; 2c +2a b ; 2a + 2b c đều khác 0)
Thì
cba
z
bac
y
acb
x
+
=
+
=
+
222222
Câu 3( 3điểm) Giải phơng trình :
120062005
20062005
=+
xx
Câu 4( 4điểm ) :
Cho ABC đều, trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho
BD = CE . Gọi O là trọng tâm của ADE, EO cắt AB tại K, I là trung điểm của CD .

a. Chứng minh : AOB KOI.
b. Tính các góc của OIB.
Câu 5( 2điểm) :
Cho hình thang ABCD(AB//CD) , Giao điểm hai đờng chéo là O. Đờng thẳng
qua O song song với AB, cắt AD và BC lần lợt tại M và N. Chứng minh :
MNCDAB
211
=+
đáp án , biểu điểm môn toán lớp 8 chọn nguồn HSG
Câu 1 (5điểm)
a.(2,5điểm) Rút gọn A.
=
( )
( )
( )
( )
9
7
:
3
9
9
5
3
9
)9(
7
9
7
2

2
222
2
2
+
+






+



+
+
+



+
+
+
+
x
x
x
x

x
x
x
x
x
x
x
x
( 0,5diểm)
=
( )
( )( )
( )( )
9
7
:
39
95
3
7
9
7
22
+
+

++
+
+
+
+
+
+
+
x
x
xx
xx
x
x
x
x
(0,5điểm)
=
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
9
7
:
39
959737
2
2

+
+
++
+++++++
x
x
xx
xxxxxx
(0,25điểm)
=
( )( )
( )( )
9
7
:
39
454631637
2
22
2
+
+
++
++++++
x
x
xx
xxxxxx
(0,5điểm)
=

( )( ) ( )
( )( )
9
7
:
39
3237
2
22
+
+
++
++++
x
x
xx
xxx
(0,25điểm)
=
( ) ( )
( )( )
7
9
39
93
2
2
+
+

++
++
x
x
xx
xx
(0,25điểm)
=
7
9
+
+
x
x
(0,25điểm)
b.(2,5 điểm) Tìm các số nguyên
x
để A có giá trị là số nguyên.
ĐK :
9x
;
3x
;
7x
(0,5điểm)
A =
7
9
+
+

x
x
= 1 +
7
2
+x
(0,5điểm)
Để A nguyên thì
7
2
+x
nguyên => Do x là số nguyên =>
x
+ 7 là ớc của 2 ;
2
= (
1
;
2
) (0,5điểm)
(0,5điểm)
x = -9 (loại) . Vậy với x

{
5
; -6 ; -8
}
thì A có giá trị là
số nguyên. (0,5điểm)
Câu 2 (6điểm)

a.(2,5 điểm) Chứng minh rằng : Nếu
( )
2
cba
++
= 3.(ab + bc +ca)
Thì a = b = c

( )
2
cba
++
= 3.(ab + bc +ca) (0,5điểm)
=> 2(a + b + c)
2
= 6(ab + bc +ca) (0,5điểm)
=> 2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
+ 4ab + 4bc + 4ca = 6ab + 6bc + 6ca (0,5điểm)
=> 2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
- 2ab 2bc 2ca = 0 (0,5điểm)

=> (a - b)
2
+ (b - c)
2
+ (c - a)
2
= 0 (0,25điểm)
Lập luận đợc a =b = c . (0,25điểm)
b.(3,5 điểm) Chứng minh rằng nếu
c
zyx
b
yxz
a
xzy
+
=
+
=
+
222222
Và a ; b ; c ; 2b + 2c a ; 2c +2a b ; 2a + 2b c đều khác 0
Thì
cba
z
bac
y
acb
x
+

=
+
=
+
222222
Đặt :
c
zyx
b
yxz
a
xzy
+
=
+
=
+
222222
=
k
(0,1điểm)
=>
k
c
zyx
b
yxz
a
xzy
=

+
=
+
=
+ 22
2
244
2
244
(0,25điểm)
x
+7 - 2 - 1 1 2
x -9 -8 -6 -5
A
ED
K
O
I
B
C
=>
k
cba
zyxyxzxzy
=
+
++++
22
22244244
(0,25điểm)

=>
k
cba
z
=
+ 22
9
=>
922
k
cba
z
=
+
(*) (0,25điểm)
Tơng tự : Đặt
k
b
yxz
a
xzy
c
zyx
=
+
=
+
=
+ 222222
(0,25điểm)

=>
k
b
yxz
a
xzy
c
zyx
=
+
=
+
=
+ 22
2
244
2
244
(0,25điểm)
=>
k
bac
yxzxzyzyx
=
+
++++
22
22244244
(0,25điểm)
=>

k
bac
y
=
+ 22
9
=>
922
k
bac
y
=
+
(**) (0,25điểm)
Tơng tự ta có :
922
k
acb
x
=
+
(***) (0,25điểm)
Từ (*) ; (**) ; (***) =>
cba
z
bac
y
acb
x
+

=
+
=
+
222222
(0,5điểm)
Câu 3( 3đ) : Giải phơng trình
120062005
20062005
=+
xx
x = 2005 ; x = 2006 Giá trị vế trái bằng giá trị vế phải và bằng 1. Vậy nghiệm của
phơng trình là x
1
= 2005 ; x
2
= 2006. (0,5điểm)
Ta xét các trờng hợp sau :
* Nếu x < 2005 thì
2005x
> 0 và
2006x
> 1
do đó
20062005
20062005 + xx
> 1 (0,5điểm)
* Nếu x > 2006 thì
2005x
> 1và

2006x
> 0
do đó
2006
2005
20062005 + xx
> 1 (0,5điểm)
* Nếu 2005 < x < 2006 thì 0 < x 2005 < 1
-1 < x 2006 < 0
=>
2005
2005x
<
2005x
= x 2005

2006
2006x
<
2006x
= 2006 - x (0,5điểm)
=>
20062005
20062005 + xx
< x 2005 + 2006 x = 1 .
=> PT vô nghiệm. (0,5điểm)
Vậy Phơng trình chỉ có hai nghiệm là x
1
= 2005 ; x
2

= 2006. (0,5điểm)
Câu 4( 4đ ) : Cho ABC đều, trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E
sao cho BD = CE . Gọi O là trọng tâm của ADE, EO cắt AB tại K, I là trung điểm
của CD .
a. Chứng minh : AOB KOI.
b. Tính các góc của OIB
ABC (AB = BC = CD)
D

AB ; E

AC
BD = CE ; O trọng tâm của ADE
EO x A = K ; ID = IC
a. Chứng minh : AOB KOI.
b. Tính các góc của OIB
(Vẽ hình , ghi GT + KL đúng cho 0,5 điểm)
a ) Chứng minh : AOB KOI(2 điểm)
Chứng minh KI là đờng trung bình của tam giác ADC => KI//AC (0,5 điểm)
=>
.

30

0
KAOAEKEKI
===
(3) và KI=
2
1

AC=
2
1
AB (4). (0,5 điểm)
CM tam giác AOK vuông ở K và có
0
30

=
KAO
=> OK=
2
1
OA. (5) (0,5 điểm)
Từ (3), (4), (5) có

OAB đồng dạng với

OKI (c,g,c) (0,5 điểm)
b). Tính các góc của OIB(1,5 điểm)
Từ

OAB đồng dạng với

OKI=>
IOKBOA

=
và
OB

OI
OA
OK
=
(0,25 điểm)
Từ đó chứng minh đợc:
IOBAOK

=
và
OB
OA
OI
OK
=
(0,25 điểm)
=>

KOA đồng dạng với

IOB (c,g,c) (0,5 điểm)
=> Tính đợc
000
60

;30

;90

===

IOBIBOBIO
. (0,5 điểm)
Câu 5(2điểm)
ABCD(AB//CD) A B
GT AC x BD = O M N
MN // AB ; MN x AC = O O
KL
MNCDAB
211
=+
D C
(Vẽ hình, ghi GT + KL đúng cho 0, 5 điiểm)
Chứng minh :
MNCDAB
211
=+
MN // AB //CD = > Theo Đ/Lý TaLét ta có :
AD
AM
CD
MO
=
;
DA
DM
AB
MO
=
=>
1==

+
=+=+
AD
AD
AD
DMAM
AD
DM
AD
AM
AB
MO
CD
MO
(0,5
điểm)
Tơng tự :
1=+
AB
NO
CD
NO
(0,25 điểm)
Vậy
CD
NOMO +
+
AB
NOMO +
= 2 <=>

2=+
AB
MN
CD
MN
(0,5 điểm)
Chia cả 2 vế cho MN =>
MNCDAB
211
=+

Điều phải chứng minh. (0,25 điểm)