DE THI HSG Toan 9 ( Danh cho HS chuyen Toan)

Phũng GD- T Tam Dng
Trng THCS Tam Dng
-----o0o-----
KHO ST I TUYN
Mụn: Toỏn 9
Thi gian lm bi: 120 phỳt
-----------------------
Bi 1: 2,5 im
a/ Rút gọn biểu thức:

( ) ( )

+ +


=
+
3 3
2
2
2 4 x 2 x 2 x
A
4 4 x
với
2 x 2
b/ Cho trớc số hữu tỉ m sao cho
3
m
là số vô tỉ.
Tìm các số hữu tỉ a, b, c để:
3 2

3
a m b m c 0+ + =
.
Bi 2: 2 im
Tỡm s t nhiờn m, bit rng khi b i 3 ch s tn cựng bờn phi ca nú thỡ c
mt s mi cú giỏ tr bng
3
m
.
Bi 3: 2,5 im
Cho ABC cú ba gúc nhn. K cỏc ng cao AH, BI, CK. Chng minh rng:
a/ S
ABC

=
2
1
AB.AC.SinA
b/ S
HIK
= ( 1- cos
2
A - cos
2
B - cos
2
C).S
ABC
Bi 4: 1,5 im
Gi a, b, c l di ba cnh ca mt tam giỏc khụng cú gúc tự v x, y, z l cỏc s bt

kỡ. Chng minh rng:
2
c
2
b
2
a
2
2z
2
2y
2
2x
2
c
2
z
2
b
2
y
2
a
2
x
++
++
++
Bi 5: 1,5 im
Cho mt hỡnh vuụng v 9 ng thng, trong ú c mi ng thng u chia hỡnh

vuụng thnh hai t giỏc cú t s din tớch l
3
2
. Chng minh rng trong s 9 ng thng
ú cú ớt nht 3 ng thng ng quy.
-------------------------------------
Giỏm th khụng gii thớch gỡ thờm
HNG DN CHM
KHO S T I TUYN TO N 9
------------------
Câu Phần Nội dung trình bày Điểm
Câu 1
2,5
điểm
1)
1,5điểm
Đặt
a 2 x; b 2 x (a, b 0)
= + =
2 2 2 2
a b 4; a b 2x
+ = =
0.25
( )
( )
( )
3 3 2 2
2 ab a b 2 ab a b a b ab
A
4 ab 4 ab

+ + + +
= =
+ +
0.25
( ) ( )
( )
2 ab a b 4 ab
A 2 ab a b
4 ab
+ +
= = +
+
0.25
( )
A 2 4 2ab a b
= +
0.25
( )
( ) ( ) ( )
2 2
A 2 a b 2ab a b a b a b
= + + = +
0.25
2 2
A 2 a b 2x A x 2
= = =
0.25
2)
1,0điểm
3 2

3
a m b m c 0+ + =
(1)
Giả sử có (1)
3 2
3
b m c m am 0 (2)
+ + =
Từ (1), (2)
2 2
3
(b ac) m (a m bc)
=
0.25
Nếu
2
a m bc 0
2
3
2
a m bc
m
b ac

=

là số hữu tỉ. Trái với giả thiết!
2 3
2 2
b ac 0 b abc

a m bc 0 bc am

= =



= =


0.25
3 3
3
b a m b a m
= =
. Nếu b

0 thì
3
b
m
a
=
là số hữu tỉ. Trái với giả thiết!
a 0;b 0
= =
. Từ đó ta tìm đợc c = 0.
0.25
Ngợc lại nếu a = b = c = 0 thì (1) luôn đúng. Vậy: a = b = c = 0
0.25
Câu

2
2
D thy s cn tỡm cú t 4 ch s tr lờn. Gi s sau khi b i 3 ch s tn cựng
abc
ca s m ta c s x, thỡ m = 10
3
x +
abc
0,5
Theo bi ra ta cú: x =
3
1000 abcx
+

x
3
= 1000x +
abc
x(x
2
1000) =
abc
(*)
0,25
- Nu x 33 thỡ VT ca (*) s ln hn hoc bng 33. Vy x < 33
0,25
- Nu x 31 thỡ x
2
96, nờn x(x
2

1000) < 0 <
abc
0,25
Vy x = 32 suy ra
abc
= 768
0,25
T õy: m = 10
3
.32 + 768 = 32768 . S ny tho món yờu cu bi
0,5
Cõu
3
2.5
a)
1 im
- V hỡnh chớnh xỏc, vit GT, KT
- Ta cú S
ABC
=
ACBI.
2
1
Trong tam giỏc vuụng ABI thỡ sinA =
AABBI
AB
BI
sin.
=
0,25

0.25
0.25
Câu
4
1,5đ
Câu
5
1.5đ
b)
1,5điểm
Vậy: S
ABC
=
ACBI.
2
1
=
AACAB sin..
2
1
b) Ta có
==
AC
AK
AB
AI
S
S
ABC
AIK

.
cos
2
A ⇒ S
AIK
= S
ABC
.cos
2
A
Chứng minh tương tự: S
BKH
= S
ABC
.cos
2
B; S
CIH
= S
ABC
.cos
2
C
Mà S
HIK
= S
ABC
– ( S
AIK
+ S

BKH
+ S
CIH
)
= ( 1- cos
2
A - cos
2
B - cos
2
C).S
ABC
Với a
2
+ b
2
+ c
2
> 0 ta có: (a
2
+ b
2
+ c
2
)(
2
2
2
2
2

2
c
z
b
y
a
x
++
) =
= x
2
(2 +
2
222
a
acb
−+
) + y
2
(2 +
2
222
b
bca
−+
) + z
2
(2 +
2
222

c
cba
−+
)
= 2x
2
+2y
2
+2z
2
+x
2
(
2
222
a
acb
−+
) + y
2
(
2
222
b
bca
−+
) + z
2
(
2

222
c
cba
−+
) (*)
Giả sử a ≤ b ≤ c thì c
2
– a
2
≥ 0 và c
2
– b
2
≥0
Với c là cạnh lớn nhất mà góc ACB nhọn hoặc tù, nên ta kẻ đường cao BH, khi
đó c
2
= BH
2
+ HA
2
≤ BC
2
+ CA
2
= a
2
+ b
2
Từ các BĐT trên suy ra biểu thức cuối cùng của (*) không âm, từ đó có ĐPCM

Mỗi đường thẳng chia hình vuông thành 2 tứ giác phải cắt hai cạnh đối của hình
vuông. Gọi M, E, N, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CB, CD, DA
Giả sử đường thẳng d như thế cắt cạnh BC tại P, cắt cạnh AD tại Q và cắt MN tại
O
1
thoả mãn điều kiện
3
2
=
CDQP
ABPQ
S
S
Khi đó:
3
2
2:).(
2:).(
1
1
==
+
+
NO
MO
CDCPDQ
ABAQAP
Suy ra:
5
2

1
=
MN
MO
. Vậy d luôn đi qua điểm O
1

cố định
Tương tự như vậy ta cũng chứng minh được: O
2
; O
3
; O
4

là các điểm cố định
Vì chỉ có 4 điểm mà có 9 đường thẳng đi qua chúng nên theo nguyên tắc Đirichle
ít nhất phải có 3 trong số 9 đường thẳng trên cùng đi qua một trong 4 điểm cố
định trên
O
1
M
N
F
E
C
B
A
D
P

Q
O
3
O
2
O
4
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5