Rèn kỹ năng giải hpt, bpt và hình phẳng oxy
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.65 MB, 62 trang )
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
( )
(
)
( ) ( )
2
1
4 1 6 2 1 7 1
x x y y x y y
x y x y y
+ − + = +
+ + = + − + +
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
( )
( )
3 2
3 2 2
1 2 2 1 9 33 29
4 4 4 4 1 2
x x y x y y y y
x x y x y
+ + + − + − = − +
+ + + = + +
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC,
3 1
;
2 2
−
N
là điểm trên cạnh AC sao cho
1
4
=
AN AC
. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD
biết rằng đường thẳng DM có phương trình
1 0.
− =
x
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có M là điểm thuộc cạnh AC
sao cho
2
AM AB
=
, đường tròn tâm
(
)
0;3
I đường kính CM cắt đường thẳng BM tại D (D khác M), biết
đường thẳng CD:
3 13 0
x y
+ − =
và đường thẳng BC đi qua điểm
(
)
7;14
K . Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C và
điểm C có hoành độ dương.
Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
2 2 2 2
2
2
2 2 2 3
+ − + = + −
+ + = −
x x xy y xy xy y
x y x x y
Lời giải:
ĐK:
2 2
0; 0; 0; 0
x xy xy y x y
− ≥ − ≥ ≥ ≥
Từ phương trình (1) ta có
2 2 2 2
2
x x xy y xy xy y
+ − + = + −
( ) ( )
2 2
2 2
0
1
1 0 0
x y x y x y
x xy xy y
>
⇔ − + = ⇒ − = ⇒ =
− + −
Thay
x y
=
vào phương trình (2) ta có
2
2 2 2 3
x y x x y
+ + = −
( ) ( )
2
2
2 2 2 3 3 2 0
⇔ + + = − ⇔ + − + + =
x x x x x x x x x
2 2
1 5
1 5 1 5
1
2
2 2
2
1; 2
4 4
− ±
− + − +
+ =
=
= =
⇔ ⇒ ⇒ ⇒
+ =
= − =
= =
x x
x
x y
x x
x x
x y
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
( )
( )
2 2
1 5 1 5
; ; , 4;4
2 2
− + − +
=
x y
Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
2
2
2 2 4 2
2
16 4
− + + − + = +
− + = +
x y y x y y
x y y x
y
Lời giải:
Từ phương trình (1) ta có
2
2 2 4 2
x y y x y y
− + + − + = +
RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 1)
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
( )
2
0
1 1
2 0 2
2 4 2
2
>
⇔ − + = ⇔ =
− + +
− + +
x y x y
x y
x y y y
Thay
2
x y
=
vào phương trình (2) ta có
2
2
4 2x x x
y
+ = +
2
4
4 2x x x
x
⇔ + = +
4 4
2 8 0
x x
x x
⇔ + − + − =
Đặt
4
( 0)
t x t
x
= + >
2
2
2 0
0 ( )
=
⇒ − = ⇔
=
t
t t
t loai
Với
2
4
2 2 4 4 0 2 1
t x x x x y
x
= ⇒ + = ⇔ − + = ⇔ = ⇒ =
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
( ; ) (2;1)
x y
=
Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia BA
và trên cạnh BC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho
BE BF
=
, gọi
12 29
;
5 5
N
là giao điểm của 2
đường thẳng CE và AF, biết phương trình đường thẳng
: 5 0
EF y
− =
và
(
)
3;4
B
. Tìm tọa độ các đỉnh
của hình vuông ABCD.
Lời giải:
Dễ thấy
/ /
EF BD
(vì cùng tạo với AB góc
0
45
).
Khi đó:
EF AC
AF CE
CB AB
⊥
⇒ ⊥
⊥
( do F là trực tâm )
Phương trình
: 4 0
BD y
− =
, gọi
(
)
;4
I t
ta có:
IB IN
=
.
Khi đó:
( ) ( )
2 2
2
12 29
3 4 0 0;4
5 5
t t t I
− = − + − ⇔ = ⇒
Từ đó suy ra
(
)
3;4
D −
khi đó phương trình AC là :
0
x
=
Gọi
(
)
0;
A u
ta có:
( )
(
)
( )
2
1 0;1
. 0 9 4 0
7 0;7
u A
AB AD u
u A
= ⇒
= ⇔ − + − = ⇔
= ⇒
Vì A và B cùng phía với EF nên ta loại
(
)
0;7
A
Khi đó:
(
)
(
)
0;1 ; 0;7
A C
. Vậy
(
)
(
)
(
)
(
)
0;1 ; 3;4 ; 0;7 ; 3;4
A B C D −
là các điểm cần tìm.
Ví dụ 8. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
( )
( )
2
2 2 2
2
3 2 1
2 1
4 4 2 4 6 4 1
−
+ + + = +
− −
+ + − = + +
y
x y y x y
y y
xy x y x x
Lời giải
ĐK :
1
1; ; 2 1 0
4
y x y y
≥ ≥ − − − ≠
Xét phương trình (1) ta có
( )
2
2 2 2
2
3 2 1
2 1
y
x y y x y
y y
−
+ + + = +
− −
( )
2 2 2
2 2 2
2
0
2 2 1 2 1 0
2
2 0 2 0 2
1 1
x y y y x y
x y y x y y x
x y
>
⇔ + − + + − − =
⇔ + − + = ⇒ + − = ⇔ = +
+ + −
+16y
+8x
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Thay
2
2
y x
⇔ = +
vào phương trình 2 ta có
( )
4 4 2 4 6 4 1
xy x y x x
+ + − = + +
(
)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2
3 2
3 2
4 6 6 4 6 4 1
1 1 5 1 4 1 4 1 5 4 1
x x x x x
x x x x x x
⇔ + + + = + +
⇔ + + + + + = + + + + +
Xét hàm số
(
)
3 2
5
f t t t t
= + +
với
0
t
>
Ta có
2
3 2 5 0
t t
+ + >
với
0
t
∀ >
Suy ra hàm số đồng biến
(
)
f t
với
0
t
∀ >
Mà
( )
( )
2
2 6
1 4 1 1 4 1 2 0
0 2
x y
f x f x x x x x
x y
= ⇒ =
+ = + ⇒ + = + ⇒ − = ⇔
= ⇒ =
Đối chiếu điều kiện ban đầu thấy thỏa mãn, vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
(2;6)
và
(0;2)
Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm
của AB, N thuộc BD sao cho BN = 3ND, đường thẳng MC có phương trình
3 13 0
+ − =
x y và
(2;2)
N . Xác
định toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD, biết điểm C có hoành độ lớn hơn 3.
Lời giải:
Gọi I là tâm của hình vuông và
G BI CM
= ∩
suy ra G là trọng tâm tam
giác ABC. Đặt
2
AB a
=
ta có:
2 2 5
3 3
a
CG CM= = ;
2 2
BD a
= .
Khi đó
2 2
2 2 5 2 10
; ;
3 2 6 2
a a a a
GI IN GN CN CI IN= = ⇒ = = + =
Do vâỵ
2 2 2
0
1
cos 45
2 .
2
GC CN GN
GCN MCN
GC CN
+ −
= = ⇒ =
Ta có
( )
5
.sin ; 5
10
NC GCN d N CM NC= = ⇒ =
Gọi
(
)
(
)
;13 3 3
C t t t
− >
ta có
2
5
NC
=
( ) ( )
(
)
( )
2 2
4 4;1
2 11 3 5
3
t C
t t
t loai
= ⇒
⇔ − + − = ⇔
=
.
Vậy
(
)
4;1
C là điểm cần tìm.
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
( ) ( )
2
2 1 2 3 4 1
2 6 3 2
− + + − + + = −
+ − + + = + +
y x y x y x y y
x y x x y x
.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
( )
2 2
1 2 2 2 1 3 1 3 2 2
3 3 2 4 3
+ = + + − + + − + +
+ + = + +
x y x y x y x x y
x x x y
.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong
và trung tuyến qua đỉnh B là
1 2
: 2 0; : 4 5 9 0
d x y d x y
+ − = + − =
. Điểm
1
2;
2
M
thuộc cạnh AB và bán
kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
15
.
6
R = Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình đường chéo
: 2 4 0
BD x y
+ − =
, gọi I là điểm thuộc đường chéo BD, đường tròn
(
)
C
tâm I đi qua A và C cắt các
đường thẳng AB và AD lần lượt tại
(
)
3; 3
E
−
và
23 9
;
5 5
F
.Tìm toạ độ các đỉnh của hình thoi và viết
phương trình đường tròn
(
)
C
biết C có tung độ dương.
Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
2
4
3 1 1 3
4
3
1
− + = + −
−
− = + −
x y x y x
y
y x
x x
Lời giải:
ĐK:
1 4; 0
y x
− ≤ ≤ >
Từ phương trình (1) ta có
2
4
3 1 1 3
x y x y x
− + = + −
( )
2
4
0
3
1 0 1 0 1
1
x y x x y y x
x y
>
⇔ − + + = ⇒ − + = ⇒ = −
+ +
Thay
2
1
y x
= −
vào phương trình (2) ta có:
4
3
1
y
y x
x x
−
− = + −
2
5 3
1 1
x
x x
x x
−
⇔ − − = + −
( )
2
2
0
2
2 2 0 2 3
1 5
x
x x x x y
x
>
+
⇔ − + + + = ⇒ = ⇒ =
+ −
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
(
)
; (2;3)
=x y
Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
3 2 2 2
2
2 4 2 4 2 2
2
9 3 1
2
+ − + + = + +
−
+ = +
x x y xy y x y
x
x y
Lời giải:
ĐK:
2 4 0; 2
x y x
− + ≥ ≥
Từ phương trình (1) ta có
3 2 2 2
2 4 2 4 2 2
x x y xy y x y
+ − + + = + +
( )
2 2
0
1
2 2 0 2
2 4 2
x y x y x y
x y
>
⇔ − + + = ⇒ =
− + +
RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 2)
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Thay
2
x y
=
vào phương trình (2) ta có
2
2
9 3 1
2
x
x y
−
+ = +
(
)
( )
2 2
2
2
4 3 1 9 1 0 4 12 8 9 1 1 0
1 2
3 2 0
2 4
9
3 2 4 0
9
1 1
4 0, (3)
1 1
⇔ − − + − = ⇔ − + + − + − =
= ⇒ =
− + = ⇔
= ⇒ =
⇔ − + + = ⇔
− − −
+ =
− − −
y y y y y y y
y x
y y
y x
y y
y y
y y
Xét phương trình (3) ta có
9
4 0
1 1y y
+ =
− − −
Đặt
2
2
9
1 4 0 4 4 9 0
t y t t
t t
= − ⇒ + = ⇔ − + =
−
do
0
∆ <
nên phương trình (3) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là
(
)
{
}
; (2;1);(4;2)
=x y
Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn
( ) ( )
2
2
: 1 25
C x y
− + =
tâm I, trung tuyến AE và đường cao CD cắt đường tròn (C) lần lượt tại điểm thứ
2 là
(
)
2; 4
M
− −
và
(
)
4; 4
N
−
. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC và viết phương trình đường tròn
(
)
C
biết B có tung độ âm.
Lời giải:
Do tam giác ABC cân nên tâm I của đường tròn
(
)
C
thuộc trung
tuyến AE. Do I là trung điểm của AM nên
(
)
4;4
A
Phương trình đường thẳng AM:
4 3 4 0
x y
− − =
.
Gọi
H AM CD
= ∩
là trực tâm tam giác
ABC
.
Ta có :
BAE BCD
= ( cùng phụ với góc
ABC
) do đó
BN BM
=
Khi đó :
BN BM
=
, lại có
IN IM
=
nên IB là trung trực của MN
Phương trình IB là:
(
)
(
)
2
1 1; 25 1; 5
x B t t B
= ⇒ ⇒ = ⇒ −
.
Điểm C đối xứng với B qua AM nên
19 7
;
5 5
C
− −
Đáp số:
( ) ( )
19 7
4;4 ; 1; 5 ; ;
5 5
A B C
− − −
là các điểm cần tìm.
Ví dụ 8. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
2
4
2 5 4 2 2 3
3 6 5 2 1 2 2 2 2 1 0
+ + = + + +
− − − − + − − − =
x x y y x
y x x x x
Lời giải
ĐK:
2 3 0; 2
y x x
+ + ≥ ≥
Xét phương trình (1) ta có
2
2 5 4 2 2 3
x x y y x
+ + = + + +
( )
( ) ( )
2
2 2
0
2 1 2 2 3 0
1
1 2 0 1
2 2 3
x y x y x
x y y x
x y x
>
⇔ + − + + − + + =
⇔ + − + = ⇒ = +
+ + + +
Thay
( )
2
1
y x
= +
vào phương trình (2) ta có
4
3 6 5 2 1 2 2 2 2 1 0
y x x x x
− − − − + − − − =
( )
( ) ( )
( )
2
4
2
2
1 3 6 5 2 1 2 2 2 2 1 0
2 5 2 2 2 2 1 5 2 1 2 1
x x x x x
x x x x x x
⇔ + − − − + + − − − =
⇔ − + − + − = − + − + −
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Xét hàm số
2
( ) 5 2
f t t t t
= + + với
0
t
>
Ta có
1
'( ) 2 5 0
f t t
t
= + + >
0
t
∀ >
, suy ra hàm số
( )
f t
đồng biến
0
t
∀ >
Mà
( )
( )
2
1( )
2 2 1 2 2 1 6 5 0
5 36
=
− = + ⇒ − = − ⇔ − + = ⇔
= ⇒ =
x loai
f x f x x x x x
x y
Đối chiếu điều kiện ban đầu thấy thỏa mãn , vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
(
)
; (5;36)
=x y
Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại C có phân giác trong
AD với
7 7
;
2 2
D
−
thuộc BC. Gọi E, F là 2 điểm lần lượt thuộc các cạnh AB và AC sao cho AE = AF.
Đường thẳng EF cắt BC tại K. Biết
3 5
;
2 2
E
−
, F có hoành độ nhỏ hơn 3 và phương trình đường thẳng
: 2 3 0
AK x y
− − =
. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Lời giải:
Gọi I là giao điểm của AD và EF . Do tam giác AEF cân tại A có phân giác AI nên AI là phân giác đồng
thời là đường cao và trung tuyến.
Ta có:
EK AD
DF AK
AC KD
⊥
⇒ ⊥
⊥
.
Do đó đương thẳng DF qua
7 7
;
2 2
D
−
và vuông góc với AK. Ta có
7
: 2 0
2
DF x y
+ − =
.
Vì F thuộc DF nên ta gọi
7
; 2
2
F t t
−
Mặt khác I là trung điểm của EF nên
2 3 1 2
;
4 2
t t
I
+ −
Ta có:
3 2 11 2
; 3 , ; 4
4 4
− −
= − + = − +
t t
IE t ID t
Khi đó,
(
)
(
)
(
)
(
)
. 0 3 2 11 2 16 3 4 0
IE ID t t t t
= ⇔ − − + − − =
( )
( )
2
9 9 11
;
2 2 2
20 140 225 0
5 5 3
; 2; 2
2 2 2
t F loai
t t
t F I
−
= ⇒
⇔ − + = ⇔
−
= ⇒ ⇒ −
PT đường thẳng
( )
0 1
: 0 1; 1
2 3 0 1
x y x
AD x y A AD AK A
x y y
+ = =
+ = ⇒ = ∩ ⇒ ⇔ ⇒ −
− − = = −
Từ đó ta có
: 3 2 0, :3 2 0, :3 14 0
AF x y AE x y BC x y
+ + = + − = − − =
Ví dụ 10. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
( )
2
2 2
3 4 4
1
4
3 12 3 2 1
−
− + + =
+
+ + = + + −
y
x y x
x
y x y x
x
Lời giải:
ĐK:
0; 0
y x
> >
Xét PT(1):
2 2
3 4 4
1
y
x y x
x
−
− + + =
+
( ) ( )
(
)
(
)
2 2
3 3 2 1 4 4 2 0 1 2 4 4 2 0
x x x y x y x x y x x y
⇔ + + − + + + − = ⇔ + + − + + + − =
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
( )
(
)
( ) ( )
2
2 2
0
4 4 4 4
1
1 2 0 2 0
2 4 4 2 4 4
>
+ + − + +
+
⇔ + + − = ⇔ − + =
+ + + + + + + +
x x y x
x
x x y x y
x y x x y x
2 2
0
⇒ − = ⇔ =
x y y x
. Thế
2
y x
=
vào PT(2) ta được:
( )
( )
2
2 2 2
4 4
3 3 12 2 1 3 3 12 4 4 1
x x x x x x x x x
x x
+ + = + + − ⇔ + + = + + + −
Do
0
x
=
không là nghiệm của PT(2) nên chia cả hai vế của PT cho x ta được:
12 4 4 4 4 4
3 3 4 1 3 3 4 1
x x x x x x
x x x x x x
+ + = + + + − ⇔ + + = + + + −
Đặt
( )
2 2
4 4 4
1, 0 1 1
= + − > ⇒ = + − ⇒ + = +
t x t t x x t
x x x
⇒
PT(2)
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 3 2 2
2
2 0 2
3 1 3 1 4 3 5 6 0 2 3
3 0
− = ⇔ =
⇔ + + = + + ⇔ − + − = ⇔ − − + ⇔
− + =
t t
t t t t t t t t t
t t vn
Với
2
1 1
4 4
2 1 2 1 4 5 4 0
4 16
x y
t x x x x
x y
x x
= ⇒ =
= ⇒ + − = ⇔ + − = ⇔ − + =
= ⇒ =
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm là
(
)
(
)
(
)
{
}
; 1;1 , 4;16
=x y
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 5 2 4 9 6 2
2 2 4 14 20
+ − = + + + +
+ + + = − + −
x x y y x y x
x x y y x x
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
( )
2 2 2 2
2
6 8 6 2
1 3 6 1
+ + − + = + +
+ + + + + = + +
x y x xy y x y xy
x y x x y xy x
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD trên các cạnh AD, AB lấy lần lượt
các điểm
,
E F
sao cho
3
AB
AE AF= = , K là hình chiếu của F trên CD, đường thẳng AK cắt đường thẳng
BE tại
6 2
;
5 5
H
, biết điểm
(
)
1;2
F . Tìm toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi M là trung điểm của BC, G
là trọng tâm tam giác ABM, điểm
5 1
;
3 3
D
−
là điểm thuộc đoạn MC sao cho
GA GD
=
. Tìm toạ các
đỉnh của tam giác ABC biết A có hoành độ không dương và đường thẳng AG có phương trình
2 0
y
+ =
.
Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
2
4
3 2 3
2
3 2 3 3 4
−
+ + − = + +
+
+ + = + −
y y
xy x y y
y
y x xy x
Lời giải:
Từ phương trình (1) ta có
2
4
3 2 3
2
y y
xy x y y
y
−
+ + − = + +
+
( )
0
1
0
3 3
x y y x y
x y
>
⇔ − + = ⇒ =
+ + +
hay
2
y x
=
Thay
2
y x
=
vào phương trình (2) ta có
3 6 3 2 5 4
y x xy y x
+ + = + + +
( )
( ) ( )
( )
2 2
4 2 1 3 1 4
x x x x x x
⇔ + + + − = + + +
Đặt
2
4; 0
A x x A
= + + >
và
1; 0
B x B
= + >
2 3
A B AB
⇒ + =
(
)
(
)
2 2
4 4 9 4 0
⇔ + + = ⇔ − − =
A AB B AB A B A B
2
0
2
4 1( )
0 0
4 4 4 4
3 ( )
= ⇔ + + = +
⇔
= ⇒ =
= ⇔ + + = + ⇔
= −
A B x x x vn
x y
A B x x x
x loai
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
(
)
; (0;0)
=x y
Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
3 2
5 1 2
11 7
x xy x x x y
x y y
− + + + = +
− + =
Lời giải:
RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 3)
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
ĐK:
2
5 0
0
0 11
x y
x
y
− + ≥
≥
≤ ≤
Từ PT đầu ta có
3 2 3 2
5 1 2 5 2 1
x xy x x x y x xy x x y x
− + + + = + ⇔ − + − = − +
(
)
2
3 2 2
3 2 3 2
1
1 1
5 1 5 1
x x y
x xy x y x y x
x xy x x y x x xy x x y x
− +
− + − − − −
⇔ = ⇔ =
− + + + + − + + + +
( )
2
2
3 2
1 0
1
1
5 1
y x
x
y x
L
x xy x x y x
− − =
−
⇔ ⇒ = +
=
− + + + +
Thay vào PT dưới ta có
(
)
2 2 2 2
11 1 7 1 10 6 0
x x x x x x
− + + = + ⇔ − + − =
Đặt:
( ) ( )( )
2 2 2 2
3 3 10
6 4 4 6 4
4 10 11
t x y
t x x t t x t t t t t
t x y
= ⇒ = ± ⇒ =
= − ⇒ − = ⇒ − = ⇔ + − = ⇔
= ⇒ = ± ⇒ =
Kết hợp ĐK ta có:
( ) ( )
(
)
{
}
; 3;10 , 10;11
=x y
Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác ABC vuông tại B có phân giác trong
AD với
15 1
;
2 2
D
thuộc BC .Gọi E, F là 2 điểm lần lượt thuộc các cạnh AB và AC sao cho
AE AF
=
.
Đường thẳng EF cắt BC tại K. Biết điểm
11 3
;
2 2
F
, E có tung độ dương và phương trình đường thẳng
: 2 1 0
AK x y
− + =
. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC.
Lời giải:
Gọi I là giao điểm của AD và EF . Do tam giác AEF cân tại A có
phân giác AI nên: AI là phân giác đồng thời là đường cao và trung
tuyến.
Ta có:
KE AD
DE AK
AB KD
⊥
⇒ ⊥
⊥
. Do đó đương thẳng DE qua
15 1
;
2 2
D
và vuông góc với AK. Khi đó ta có phương trình
31
: 2 0
2
DE x y
+ − =
.Vì E thuộc DE nên ta gọi
31
; 2
2
E t t
−
Dễ thấy
( )
2
2
15
15 2 5
2
DE DF t t
= ⇔ − + − =
( )
( )
( )
2
17 17 3
;
2 2 2
2 15 4
13 13 5
; 6;2 : 8 0
2 2 2
t E loai
t
t E I AD x y
= ⇒ −
⇔ − = ⇔
= ⇒ ⇒ ⇒ + − =
Khi đó
(
)
5;3 :3 18 0; : 3 14 0; :3 22 0
A AD AK A AC x y AB x y BC x y
= ∩ ⇒ ⇒ + − = + − = − − =
Do vậy
( ) ( )
20
5;3 ; 8;2 ; ; 2
3
A B C
−
là toạ độ các điểm cần tìm.
Ví dụ 8. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
(
)
(
)
( )
3 3
4
3 1 2,
2 1 5 7 6 2 10.
x y x y xy
x y x y x
+ + + + =
+ + − + − = +
Lời giải.
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Điều kiện
1; 7
x y
≥ − ≤
.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
( ) ( )
3
3 3
3 2 2
x y xy x y x y x y x y
+ + + + + = ⇔ + + + =
.
Đặt
(
)
(
)
3 2
2 0 1 2 0 1 1
x y t t t t t t t y x
+ = ⇒ + − = ⇔ − + + = ⇔ = ⇒ = −
.
Phương trình thứ hai trở thành
(
)
4
2 1 5 6 6 1 10
+ + + + + = +
x x x x x
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4 2
3 2
3
3
2 1 4 5 6 15 6 6 9
2 1 2 5 6 3 3 3 3 3
2 3 5 3
3 1 2
1 2 6 3
3
2 5
1 2 1
1 2 6 3
⇔ + − + + − = − − −
⇔ + − + + − = − + + +
− −
⇔ + = − + +
+ + + +
=
⇔
+ = + +
+ + + +
x x x x x
x x x x x x
x x
x x
x x
x
x
x x
Để ý rằng
2 5 2 5
2, 1
2
1 2 6 3 5 3
x
x x
+ ≤ + < ∀ ≥ −
+ + + + +
và
( )
3
1 2 2, 1
x x
+ + ≥ ∀ ≥ −
.
Do đó
( )
3
2 5
1 2, 1
1 2 6 3
x x
x x
+ < + + ∀ ≥ − ⇒
+ + + +
(1) vô nghiệm.
Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm duy nhất
3
x
=
, hệ có nghiệm
3; 2
x y
= = −
.
Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có D(5; 1). Gọi M là
trung điểm BC và N thuộc AC sao cho AC = 4AN. Biết rằng MN: 3x − y − 4 = 0 và y
M
> 0. Tìm tọa độ
đỉnh C
Lời giải:
Gọi I là tâm hình vuông ABCD ta có:
1
tan tan
2
NDI MDC
= =
Do vậy
0
45
NDM IDC ICM= = = do đó tứ giác NDCM là tứ giác nội
tiếp suy ra
0
90
DNM DNM
= ⇒ ∆ vuông cân tại N.
Phương trình đường thẳng
: 3 8 0
DN x y
+ − =
(
)
2;2
N DN MN N⇒ = ∩ ⇒
, gọi
(
)
;3 4
M t t
−
ta có:
(
)
2 2
3;5
MN ND M= ⇒
Dễ thấy
2
KD KM
= −
( với K là trọng tâm tam giác BCD)
Khi đó
(
)
( )
5 2 3
11 11
;
3 3
1 2 5
K K
K K
x x
K
y y
− = − −
⇒
− = − −
Lại có:
( )
5 5 5 5 5 11 11
; ; 5;5
4 4 3 3 4 3 3
= ⇒ = − ⇔ − − = − − − ⇒
C C
KN
KN KC x y C
KC
Ví dụ 10. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
(
)
(
)
2 2
2 2
1 3 2 1
2 16 42 1 2 3
+ + + + + − =
− + = + −
x x x y y y
x y x
Lời giải:
ĐK:
3
2
x
≥
Xét phương trình (1) ta có
(
)
(
)
2 2
1 3 2 1
x x x y y y
+ + + + + − =
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
( ) ( )
2 2
2 2
1 1 1 1 1
x x x y y y
⇔ + + + + + = + +
Xét hàm số
2 2
( ) 1
f t t t t
= + +
với
(
)
0 1 ( )
t f x f y
> ⇒ + =
Ta có:
2
2
2
'( ) 2 1 0
1
t
f t t t
t
= + + + >
+
Suy ra hàm số
( )
f t
đồng biến với
0
t
∀ >
Mặt khác:
(
)
1 ( ) 1
f x f y x y
+ = ⇒ + =
.
Thay 1
x y
+ =
vào phương trình (2) ta có
( )
2 2 2
2 2 2
2
2
2 16 42 1 2 3 2 16 28 1 2 3
1
7 15 2 3 0 8 12 3 2 3 0 8 12 1 0
3 2 3
6 7
8 12 0
2 3
1
1 0
3 2 3
6 7
3 2 2 2
3
3
2
− + = + − ⇔ − + = + −
⇔ − + − − = ⇔ − + + − − − = ⇔ − + + =
− + −
= ⇒ =
− + =
⇔ ⇔ = ⇒ =
+ =
− + −
− +
⇔ = − ⇒ = −
≤ ≤
x y x x x x
x x x x x x x x x
x x
x y
x x
x y
x x
x x
x y
x
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
( )
( ) ( )
(
)
{
}
; 6; 7 ; 2; 3 ; 3 2; 2 2
= − −x y
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
2
2
2 2 2 3 3
1
1
2 3 2
+ + + + − =
− +
− + =
− +
x y x y x y y
x y
y x
y x
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
(
)
( )
3 2 3 2
2 2
9 2 1 3
+ + = + + + −
− + − + + =
x x x y y y xy x y
x x y x y
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đường thẳng AB đi qua điểm
(
)
5; 1
− −
E . Gọi
(
)
, 2; 2
−
M N lần lượt là trung điểm của BC và DC; H là giao điểm của AM và BN. Xác
định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết khoảng cách từ H đến đường thẳng AB bằng
8 2
5
và
hoành độ điểm A không âm.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có điểm
(
)
1;7
C
và nội tiếp
đường tròn
(
)
C
tâm
I
.Đường thẳng vuông góc với AI tại A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AIC tại
điểm thứ 2 là
(
)
2;6
K −
, biết điểm I có hoành độ dương và đường thẳng AI đi qua
(
)
0;2
E . Tìm toạ độ
các đỉnh A, B.
Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
( ) ( )( )
( ) ( )
2
2
1 2
1 3 4 1 1 (1)
1 2 1 3 3 (2)
−
+ + = + + −
+ − + − = + + +
x
y x x y
y x y y x x
Lời giải
ĐK:
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
3 0
1 2 0
1 2 0
x
x y y x
x y y x
+ ≥
⇔ − + − ≥
− + − ≥
(*)
Khi đó
2 2
(1) 3 3 4 1
y x x xy x y
⇔ + + + = + − + −
(
)
2 2
2 2 2
2
3
3 3 3 0 . 3 3 0
3
x x
y x x x x y y x y x
x x
+ −
⇔ + − + + + − − = ⇔ − + − + + =
+ +
(
)
(
)
2
2 2
2 2
3 3
3
3 3 0 3 0
3 3
y x x
y
x y x y x x
x x x x
− − +
⇔ − + − + + = ⇔ − − − + =
+ + + +
(
)
2
2
2
2
2
2
3 0
3
3
3 1 0
3
1
3
3 3
3
y x x
y x x
y x x
x x
x x
x x
− − + =
= + +
⇔ − − + − = ⇔ ⇔
=
+ +
+ + =
+ +
• TH1.
( )
2 2
2
2
3 0
3 3
3 3 3 3 1
3 9 6 1
3 3
x
x x
x x x x x
x x
x x
− ≥
≤ ≤
+ + = ⇔ + = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
= − =
+ = −
Th
ế
1
x
=
vào (2) ta được
( )
2 1 1 2
y y y
+ − = + +
RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 4)
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
( )
2
2
2
4
4 0
4
8
2 4 .
8
2 16 8
3
2 4
3
y
y
y
y y y y
y y
y
y y y
≤
− ≥
≤
⇔ − = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
− = −
=
− = −
Kết hợp với (*)
( )
8
; 1;
3
x y
⇒ =
là một nghiệm của hệ.
• TH2.
2
3.
y x x
= + +
Ta có
2 1 2 2
(2) 3 1 3 2 2 1 0
x
y x x xy y x
−
⇔ − + − − + − + − + =
( )
2
2 1
3 1 3 2 1 0.
x
y x y x x
−
⇔ − + − − + − − + =
Mà
(
)
2
2 2 2 1 2
3 3 3 1 3 3 2 1 0
x
y x x x x x x x x x
−
= + + ⇒ + + − + − − + + + − − + =
( )
2
1 2 1
1 3 2 1 3 0 1 1 3 3
x x
x x x x x
− −
⇔ − − + − + + = ⇔ − + − + =
Đặt
(
)
1 .
x t t− = ∈
ℝ
Phương trình mới
2
3 3
t
t t
+ + =
(3)
Với t
∀ ∈
ℝ
có
2 2 2
3 3 0, .
t t t t t t t
+ > = ≥ − ⇒ + + > ∀ ∈
ℝ
Do đó
(
)
(
)
(
)
2 2
(3) ln 3 ln 3 ln 3 ln3 0
t
t t t t t
⇔ + + = ⇔ + + − =
(4)
Xét hàm số
( )
(
)
2
ln 3 ln3 0
f t t t t
= + + − =
với t
∈
ℝ
có
( )
2
2 2 2 2 2
1 1 3 1
' . 1 . 0,
3 3 3 3 3
t t t
f t t
t t t t t t t
+ +
= + = = > ∀ ∈
+ + + + + + +
ℝ
(
)
f t
⇒ đồng biến trên
.
ℝ
Do đó trên
ℝ
phương trình
(
)
0
f t
=
nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy
nhất.
Mà
(
)
1 0 1
f t
= ⇒ =
là nghiệm duy nhất của (4).
Với
2
1 1 1 2 2 2 3 2 7.
t x x y= ⇒ − = ⇔ = ⇒ = + + = +
Kết hợp với (*)
( )
(
)
; 2;2 7
x y⇒ = + là một nghiệm của hệ.
Đ/s: Hệ có nghiệm
( )
( )
8
; 2;2 7 , 1; .
3
x y
= +
Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
( )
( )
2 2
2
2 2 4 (1)
1 2 1 4 3 (2)
+ + + − − = + +
− + + = − + −
x x y xy x y y
y x x y x
Lời giải:
ĐK:
(
)
2 2
0
2
4 1
x y xy x y
x
y
+ − − ≥
≥ −
− ≤ ≤
(*)
Khi
đó
( )
2 2
(1) 2 4 2 0
x y x y xy x y
⇔ + − + + + − − − =
(3)
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Với ĐK (*) thì
( )
2 2
2 0.
x y xy x y
+ − − + >
Từ (2)
( )
2
3
4 3 1 1 2 0 2 4 0.
4
x x y y x x x y
⇒ − = − + − + + ≥ ⇒ ≥ ⇒ + + + >
Do đó
(
)
(
)
(
)
( )
2 2
2 2
2 4 4
(3) 0
2 4
2
x y x y xy x y
x y
x y xy x y
+ − + + − − −
⇔ + =
+ + +
+ − − +
(4)
Ta có
( ) ( ) ( )
2
2 2
4 4 2
x y xy x y x y xy xy x y
+ − − − = − − + − −
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2
x y x y xy x y x y x y xy
= − − − + − − − = − − − − +
Do đó
(
)
(
)
( )
2 2
2 2
2
(4) 0
2 4
2
x y x y xy
x y
x y
x y xy x y
− − − − +
− −
⇔ + =
+ + +
+ − − +
( )
( )
2 2
1 2
2 0
2 4
2
x y xy
x y
x y
x y xy x y
− − +
⇔ − − + =
+ + +
+ − − +
(5)
Lại có
(
)
(
)
(
)
(
)
2 1 1 1 1 1 1
x y xy x y y x y
− − + = − + − + = + − +
Do
( )( ) ( )( )
3
; 1 1 1 0 1 1 1 0 2 0
4
x y x y x y x y xy
≥ ≤ ⇒ + − ≥ ⇒ + − + > ⇒ − − + >
( )
2 2
1 2
0.
2 4
2
x y xy
x y
x y xy x y
− − +
⇒ + >
+ + +
+ − − +
Khi đó
(5) 2 0 2.
x y y x
⇔ − − = ⇔ = −
Thế
2
y x
= −
vào (2) ta được
(
)
2
3 2 3 4 3
x x x x x
− + + = − + −
3 2
3 4 3 2 3 0
x x x x x
⇔ − + − − + − − =
(6)
Xét hàm số
(
)
3 2
3 4 3 2 3
f x x x x x x
= − + − − + − −
với
3
;3
4
x
∈
có
( ) ( )
2
2
1 1 2 3
' 3 6 4 3 1 1
2 2 2 3 2 2. 3
x x
f x x x x
x x x x
+ − −
= − + − + = − + +
+ − + −
Do
( ) ( )
3 3
2 3 2 1 0, ;3 2 3 0, ;3
4 4
x x x x x x x
+ − − = − > ∀ ∈ ⇒ + > − > ∀ ∈
3 3
2 3 , ;3 2 3 0, ;3
4 4
x x x x x x
⇒ + > − ∀ ∈ ⇒ + − − > ∀ ∈
( ) ( )
2
2 3 3 3
3 1 1 0, ;3 ' 0, ;3 .
4 4
2 2. 3
x x
x x f x x
x x
+ − −
⇒ − + + > ∀ ∈ ⇒ > ∀ ∈
+ −
(
)
f x
⇒ đồng biến trên đoạn
3
;3 .
4
Do
đó trên đoạn
3
;3
4
phương trình
(
)
0
f x
=
nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất.
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Mà
( )
3
2 ;3
4
2
2 0
x
f
∈
⇒ =
=
là nghiệm duy nhất của (6).
Với
2 0.
x y
= ⇒ =
Đã thỏa mãn (*).
Đ/s: Hệ có nghiệm là
(
)
(
)
; 2;0 .
x y =
Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường
phân giác trong của góc A là (AD) : x + y + 2 = 0; phương trình đường cao qua B là (BH): 2x – y + 1 = 0.
Cạnh AB đi qua điểm M(1; 1) và diện tích tam giác ABC là
27
.
2
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Lời giải:
Gọi N là điểm đối xứng của M qua đường phân giác AD, khi
đó N thuộc AC. Ta có
(
)
1; 1
⊥ ⇒ = −
MN
MN AD n
Phương trình (MN): 1(x – 1) – 1(y – 1) = 0 hay x – y = 0.
Gọi
( ) ( )
0
2 0
− =
= ∩ ⇒
+ + =
x y
I MN AD
x y
( )
1
1; 1
1
= −
⇔ ⇒ − −
= −
x
I
y
Do I là trung điểm của MN nên N(–3; –3).
Đường thẳng AC đi qua N(–3; –3) và vuông góc với (BH): 2x – y + 1 = 0 nên AC có phương trình
(AC): 1(x + 3) + 2(y + 3) = 0 ⇔ x + 2y + 9 = 0.
(
)
(
)
= ∩ ⇒
A AC AD tọa độ điểm A thỏa mãn hệ
( )
2 9 0 5
5; 7
2 0 7
+ + = =
⇔ ⇒ −
+ + = = −
x y x
A
x y y
Đường thẳng AB đi qua A và M nên có véc tơ chỉ phương
(
)
(
)
4;8 4 1; 2
= = − = − −
u AM
( )
1
:
1 2
= +
⇒
= −
x t
AB
y t
Mà
(
)
(
)
= ∩ ⇒
B AB BH tọa độ điểm B thỏa mãn hệ
1
2
1
1 1
1 2 ;2
2 2
2 1 0
2
= −
= +
= − ⇒ = ⇒
− + =
=
t
x t
y t x B
x y
y
Ta có
( )
;( )
1
4 9
27
2
.
5 2 5
+ +
= = =
B AC
BH d
Mà
2
1 27
. 2 5
27
2
2 5
∆
∆
= ⇒ = = =
ABC
ABC
S
S BH AC AC
BH
Gọi
( ) ( )
2 2
: 2 9 0 9 2 ; (14 2 ) ( 7 )
∈ + + = ⇒ − − ⇒ = + + − −
C AC x y C c c AC c c
Từ đó ta có
(
)
( )
2 2 2
5 1; 5
(14 2 ) ( 7 ) 2 5 5 70 225 0
9 9; 9
= − ⇒ −
+ + − − = ⇔ + + = ⇔
= − ⇒ −
c C
c c c c
c C
Do AD là phân giác trong của góc A nên B và C phải nằm về hai phía của đường thẳng AD.
Với
( ) ( )
1
1; 5 2 2 1 5 2 0
2
− ⇒ + + − + < ⇒
C
B, C nằm khác phía với (AD).
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Với
( ) ( )
1
9; 9 2 2 9 9 2 0
2
− ⇒ + + − + > ⇒
C
B, C nằm cùng phía với (AD).
Vậy tọa độ 3 đỉnh của tam giác ABC là
( ) ( )
1
5; 7 , ;2 , 1; 5 .
2
− −
A B C
Ví dụ 8. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
( ) ( )
( )
( )
3
2
2 2 3 2
1 1 7 3 2 1
3 2 1 1
− − + + − + = − −
+ − + + = − + + −
x x y x y x x y
x x x y x x x y
Lời giải:
ĐK:
2
1 0
2 1 0
x y
x x y
− + ≥
− + + ≥
(*). Khi đó
( ) ( )
(
)
( )
(
)
3
1 1 1 1 7 2 0
x x y x y x
⇔ − − + − + − + − =
( ) ( )
( )
2
3
3
1 1 7 8
1 . . 0
1 1
7 2 7 4
x y x
x x y
x y
x x
− + − + −
⇔ − + − =
− + +
+ + + +
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
2
3
3
1 1
0
1 1
7 2 7 4
x x y x x y
x y
x x
− − − −
⇔ + =
+ − +
+ + + +
( )( )
( )
2
3
3
1 1
1 0
1 1
7 2 7 4
x x y
x y
x x
⇔ − − + =
+ − +
+ + + +
(3)
Do
( )
(
)
2
2
3 3
3
7 2 7 4 1 7 3 0
x x x
+ + + + = + + + >
( ) ( )( )
1
3 1 0
x
x x y
x y
=
⇔ − − = ⇔
=
+) TH1.
1
x
=
thế vào (2) ta được
2
3
0
0
4
16
4
y
y
y y
y
y y
=
=
= ⇔ ⇔
=
=
Kết hợp với (*) ta có
(
)
(
)
; 1;0
x y = là một nghiệm của hệ.
+) TH2.
x y
=
thế vào (2) ta được
(
)
( )
2
2 2 3 2
3 1 2 1
x x x x x x
+ − + = − + −
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
3 3 3 7 8
7 8
1 1 3
3
x x x x
x
x x x x x
x x
+ + + − −
+
⇔ − + = ⇔ − + = + −
+
( )
(
)
( )
2
2
2
2 2
2
1 3
7 8 7 8
1 3 0 0
3 3
1 3
x x x
x x
x x x
x x
x x x
− + − +
+ +
⇔ − + − + + = ⇒ + =
+ +
− + + +
( )
2 2
2 2
7 8 7 8 1 1
0 7 8 0
3 3
3 1 3 1
x x
x
x x
x x x x x x
+ +
⇔ − = ⇔ + − =
+ +
+ + − + + + − +
2 2
7 8 0
3 3 1
x
x x x x
+ =
⇔
+ = + + − +
• Ta có
8 8
7 8 0 .
7 7
x x y
+ = ⇔ = − ⇒ = −
Thử lại thỏa mãn hệ đã cho.
• Lại có
( )
2 2 2 2 2
1 5
3 3 1 1 1 1 0 1
2
x x x x x x x x x x
±
+ = + + − + ⇔ − + − − + − = ⇔ − + =
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
2 2 2
1 5 6 2 5 3 5 1 5
1 1 0
2 4 2 2
x x x x x x
+ + + +
⇔ − + = ⇔ − + = = ⇔ − − =
1 3 2 5 1 3 2 5
.
2 2
x y
± + ± +
⇔ = ⇒ = Thử lại thỏa mãn hệ đã cho.
Đ/s:
( ) ( )
8 8 1 3 2 5 1 3 2 5
; 1;0 , ; , ; .
7 7 2 2
x y
± + ± +
= − −
Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn
(
)
2 2
:( 1) ( 1) 20
C x y
− + + =
. Biết rằng AC = 2BD, điểm B có hoành độ dương và thuộc đường thẳng
: 2 5 0
d x y
− − =
. Viết phương trình cạnh AB của hình thoi.
Lời giải:
Đường tròn (C) có tâm
(1; 1),
−
I bán kính
2 5
=R . Đặt
,( 0)
= >
BI x x
Do
2 2 2
= ⇒ = =
AC BD AI BI x
, Kẻ
2 5
⊥ ⇒ = =IH AB IH R
d
H
B
D
A
I
C
+) Trong tam giác AIB ta có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
5 ( 0)
4 20
+ = ⇔ + = ⇔ = >
x Do x
IA IB IH x x
Suy ra IB = 5. Gọi
( ;2 5), ( 0)
− >
B t t t
2 2
4 ( )
5 ( 1) (2 4) 25
2
( )
5
=
= ⇔ − + − = ⇔
−
=
t tm
Do IB t t
t ktm
+) Với
4 (4;3)
= ⇒
t B . Phương trình cạnh AB có dạng
2 2
( 4) ( 3) 0 ( 0)
a x b y a b
− + − = + ≠
Ta có
2 2
3 4
( ; ) 2 5
− −
= = ⇔ =
+
a b
d I AB IH R
a b
2 2
2
11 24 4 0
2
11
=
⇔ − + = ⇔
=
a b
a ab b
a b
+) Với
2 ,
=
a b
chọn
2, 1
= =
a b
, phương trình AB là:
2 11 0
+ − =
x y
+) Với
2
,
11
=
a b
chọn
2, 11
= =
a b , phương trình AB là:
2 11 41 0
+ − =
x y
Vậy phương trình cạnh AB là
2 11 0
+ − =
x y hoặc
2 11 41 0
+ − =
x y
Ví dụ 10. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
( )
( )
( )
2
2 2 2
2
9 3 2 3 1
2 1
21 9 3 7 5
−
+ + − − = + − −
+ −
+ = + + −
y
x x x y y
y y
xy x y x
Lời giải:
Từ phương trình (1) ta có
( )
( )
( )
2
2 2 2
2
9 3 2 3 1
2 1
y
x x x y y
y y
−
+ + − − = + − −
+ −
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
( )
( )
2 2 2
9 3 2 3 1 2 1
x x x y y y y
⇔ + + − − = + − − + −
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
3 2
3 2
2 2 2
3 3 6 3 1 1 6 1
x x x y y y
⇔ + − + + + = − − − + −
Xét hàm số
3 2
( ) 6
f t t t t
= − +
với
0
t
>
(
)
(
)
2
3 1
f x f y
⇒ + = −
Ta có
2
'( ) 3 2 6 0
f t t t
= − + >
với
0
t
∀ >
suy ra hàm số đồng biến với
0
t
∀ >
Mà
(
)
(
)
2 2 2
3 1 3 1 4
f x f y x y y x
+ = − ⇒ + = − ⇒ = +
Thay
2
4
y x
= +
vào phương trình (2) ta có
21 9 3 7 5
xy x y x
+ = + + −
( )
3 2 2
0
2
1
3 5 9 7 5 0 5 4 2 0
2 7 5
1 5
5 4 0
4 20
>
⇔ − − + − − = ⇔ − + + + =
+ + −
= ⇒ =
⇔ − + = ⇔
= ⇒ =
x x x x x x x
x x
x y
x x
x y
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
(
)
(
)
(
)
{
}
; 1;5 , 4;20
=x y
Ví dụ 11. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
(
)
4;6
B , gọi H là
điểm thuộc cạnh BC sao cho 2
HB HC
=
và
AH
vuông góc với BC, E là điểm thuộc cạnh AB sao cho
4
AB AE
=
, đường thẳng CE cắt đường cao AH tại
(
)
0;3
D . Biết trung điểm của AC thuộc đường thẳng
2 1 0
x y
+ − =
tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm AH.
Gọi
(
)
;1 2
N t t
− là trung điểm của AC ta có:
(
)
( )
( )
2 0 0
2 2 ;4 7
2 1 2 3 3
M
M
t x
DN MD M t t
t y
− = −
= ⇔ ⇒ − +
− − = −
Khi đó
(
)
4 4;8 8
A t t
− − +
Giải
( ) ( )( )
1
. 0 4 4 8 5 2 2
1
2
t
AD DN t t t t
t
= −
= ⇔ + + − − − − ⇔
−
=
+) Với
(
)
(
)
(
)
1 0;0 , 1;3 ; 2;6
t A N C= − ⇒ − −
+) Với
( ) ( )
1 1
;2 ; 2;4 ; 1;0
2 2
t N A C
= − ⇒ − −
.
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
3 2 3
2 2 2
2 3
1 1 2
+ =
+ − + − + + = − +
x xy y
y x x y x y
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
3 2 3 2
1 2 1 1 1
3 2 2 3 2 1 2 2 2
+ + + + + = − − + +
+ + + + − − = + −
x y x y x y y
x x y y y x xy
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD gọi M là trung điểm của AB gọi
(
)
6;3
H là hình chiếu vuông góc của D lên CM và
(
)
6;1
K là hình chiếu vuông góc của A trên
HD
. Tìm
toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết C có hoành độ lớn hơn 5.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có
4
3
AD AB
= , gọi
(
)
C
là đường
tròn đi qua 2 điểm B,C và tiếp xúc với cạnh AD tại E đồng thời cắt cạnh CD tại F, biết phương trình
đường thẳng EF là:
5 5 0
x y
− − =
, điểm
(
)
2; 3
A
− −
và điểm E có hoành độ nguyên. Tìm toạ độ các đỉnh
B,C,D và viết phương trình đường tròn
(
)
C
.
Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
2 2
4 10 8 2 8 2 0
3 11 2 2 1 6 8 8
− + + + + =
+ − = − + + −
x y x y
y x y y x
Lời giải:
ĐK :
2
8 2 0;6 8 8 0; 1
x y y x y
+ + ≥ + − ≥ ≥
Xét phương trình (1) ta có
2 2
4 10 8 2 8 2 0
x y x y
− + + + + =
( )
(
)
( )
2 2
2 2 2
2
0
4 2 2 8 2 3 0
2
2 4 0 2 0 2
8 2 3
x y x y y
x y x y y x
x y y
>
⇔ − + + + + − =
⇔ − + + = ⇒ − + = ⇔ = +
+ + +
Thay
2
2
y x
= +
vào phương trình (2) ta có
3 11 2 2 1 6 8 8
y x y y x
+ − = − + + −
( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
2
2 2
0
3 11 4 2 1 6 8 4 0
3 4 2 2 1 1 3 2 6 8 4 0
2 1
3 4 1 0
2 1 1 3 2 6 8 4
x x x x x
x x x x x x x
x x
x x x x x
>
⇔ + + − + − + + =
⇔ + + + − + + + − + + =
⇔ + + + =
+ + + + − + +
2
0 2
3 4 0
4 34
3 9
= ⇒ =
⇒ + = ⇔
= − ⇒ =
x y
x x
x y
Đối chiếu điều kiện ban đầu ta có nghiệm của hệ phương trình là
( ) ( )
4 34
; 0;2 , ;
3 9
= −
x y
Ví dụ 6*. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
3 3
3 32 2 2
6 8
3 3 2 3 2 6 12 32
+ + =
+ + + + + = − +
x y xy
x x x x x y
Lời giải.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 5)
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3 2
2
2 2
8 3 6 0 2 2 4 3 2 0
2
2 3 2 4 0
2 2 4 0 1
x y xy x y xy x y x y x y xy x y
x y
x y x y xy x y
x xy y x y
+ − − + + = ⇔ + − + + + + − + − =
+ =
⇔ + − + − + + + = ⇔
− + + + + =
Ta có
(
)
(
)
(
)
( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2
2 2
1 2 2 4 0 4 4 2 4 8 16 0
4 4 2 4 4 3 12 12 0
2 2 0 2
2 2 3 2 0
2 0 2
⇔ − − + + + = ⇔ − − + + + =
⇔ − − + − + + + + =
− + = = −
⇔ − + + + = ⇔ ⇔
+ = = −
x x y y y x x y y y
x x y y y y y
x y y
x y y
y x
Cặp nghiệm này không thỏa mãn hệ, loại.
Với
2
x y
+ =
ta thu được
3 3
2 2 2
3 3 2 3 2 6 12 8
x x x x x x
+ + + + + = + +
.
Ta có
2
2
2
2
3 3
3 3 0,
2 4
3 7
2 3 2 2 0,
4 8
x x x x
x x x x
+ + = + + > ∀ ∈
+ + = + + > ∀ ∈
ℝ
ℝ
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có
( )
( )
2 2
3
2 2
3
2 2
3 2 2
3
3 3 1 1 3 5
3 3 1.1. 3 3
3 3
2 3 2 1 1 2 3 4
2 3 2 1.1. 2 3 2
3 3
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + + + +
+ + = + + ≤ =
+ + + + + +
+ + = + + ≤ =
Từ đây dẫn đến
2 2 2
3 32 2 2
3 5 2 3 4 3 6 9
3 3 2 3 2 2 3
3 3 3
x x x x x x
x x x x x x
+ + + + + +
+ + + + + ≤ + = = + +
.
Ta lại có
( )
2
2 2 2
6 12 8 2 3 5 1 2 3
+ + = + + + + ≥ + +
x x x x x x x
.
Do đó phương trình có nghiệm khi các dấu đẳng thức đồng thời xảy ra, tức là
2 2
3 3 2 3 2 1
1
1 0
x x x x
x
x
+ + = + + =
⇔ = −
+ =
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
(
)
(
)
; 1;3
= −x y .
Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, trung tuyến
BM. Đường thẳng qua A vuông góc với BM cắt BC tại
(
)
5; 2
E
−
. Biết trọng tâm tam giác ABC là
(
)
3; 1
G
−
và điểm A có tung độ âm. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Lời giải:
Do tam giác ABC vuông cân tại A nên
AN BC
⊥
.
Lại có
AE BM G AN BM
⊥ ⇒ = ∩
là trực tâm tam giác ABE khi đó
EG AB
⊥
/ /
GE AC GNE
⇒ ⇒ ∆
vuông cân tại N
5
2
2
GE
GN⇒ = = .
Phương trình trung trực của GE là
19
2 0
2
x y
− − =
.
Gọi
(
)
3 2 3
19
;2 2
19
2
1 2 2 1
2
A
A
x t
N t t AG GN
y t
− = −
− ⇒ = ⇒
− − = − +
(
)
2 9; 4 16
A t t⇒ − + − + ta có:
( ) ( )
( )
( )
2 2
9
0; 2
2
2 10 2 6 4 17 10
7
2;2
2
t A
GA GN t t
t A
= ⇒ −
= = ⇔ − + − = ⇔
= ⇒
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Phương trình AB là
2 2 0; : 2 4 0
x y AC x y
− − = + + =
.
Mặt khác
9 1
; :3 13 0
2 2
N BC x y
− ⇒ + − =
Vậy
: 2 2 0; : 2 4 0; :3 13 0
AB x y AC x y BC x y
− − = + + = + − =
là các đường thẳng cần tìm.
Ví dụ 8. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
(
)
( )
2
2
2 24
4 1 0,
;
2 1
5 5 1 6.
y
x x y
x y
y
x y x y
+
− − + − =
∈
−
+ − + − + =
ℝ
.
Lời giải.
Điều kiện
2
5 5 0;1 0; 1;2 1
x y x y x y
+ − ≥ − + ≥ ≥ ≠
.
Ta có
6 6 6 6
5 5 1 1
6
5 5 1
x x
x y x y x
x y x y
− −
+ − − − + = = = −
+ − + − +
.
Kết hợp với phương trình thứ hai của hệ
( )
2
2
2
5 5 1 1
7 0
2 1 7
4 4 4 14 49
5 5 1 6
7
7
4 20 5
4 10 45
4 5 20
x y x y x
x
x y x
x y x x
x y x y
x
x
y y
y x x
y x
+ − − − + = −
− ≥
⇒ − + = − ⇔
− + = − +
+ − + − + =
≤
≤
⇔ ⇔ ⇒ ≥ ⇔ ≥
= − +
= − +
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
(
)
( )
(
)
(
)
( )
2 2
2
2 2
2 24 5 2 2 9
1 4 1 2 1 0 1 2 0 1
2 1 2 1
+ − + +
− − − + + + − = ⇔ − − + =
− −
y y y y
x x y x
y y
Vì
( )
(
)
(
)
2
2
2 2
2
5 2 2 9
2 2 9 1 8 0, 0, 5
2 1
y y y
y y y y y y
y
− + +
+ + = + + + > ∀ ∈ ⇒ > ∀ ≥
−
ℝ .
Vậy (1) có nghiệm khi và chỉ khi
( )
2
1 2
5 0 5
5 0
x
y x y
x
− =
− = ⇔ = =
− =
.
Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm
của AB,
∈
N BD
sao cho
3
=
BN ND
, Hlà hình chiếu vuông góc của N lên MC. Xác định toạ độ đỉnh C
của hình vuông ABCD, biết N(2; 2), H(4; 3) và điểm C có hoành độ dương.
Lời giải:
Gọi I là tâm của hình vuông và
= ∩
G BI CM
suy ra G là trọng tâm tam
giác ABC. Đặt
2
AB a
=
ta có:
2 2 5
3 3
a
CG CM= = ;
2 2
BD a
= .
Khi đó
2 2
2 2 5 2 10
; ;
3 2 6 2
a a a a
GI IN GN CN CI IN= = ⇒ = = + =
Do vậy
2 2 2
0
1
cos 45
2 .
2
GC CN GN
GCN MCN
GC CN
+ −
= = ⇒ = .
Khi đó tam giác NHC vuông cân tại C ta có
CH NH
=
, phương trình HC:
2 11 0
x y
+ − =
G
ọi
(
)
;11 2
C t t
− , ta có
( )
(
)
( )
2
2 2
5 5;1
5 4 5
3 3;5
t C
HC HN t
t C
= ⇒
= ⇔ − = ⇔
= ⇒
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Vậy,
(
)
(
)
5;1 ; 3;5
C C là các điểm cần tìm.
Ví dụ 10. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
(
)
( )
(
)
2 2
4 2 1 2 2 15
10 11 5 6 0
+ − − + = − +
− + + − =
x x y y y
y x x x
Lời giải:
ĐK :
6
; 1
5
x y
≥ ≥
Xét phương trình (1) ta có
(
)
( )
(
)
2 2
4 2 1 2 2 15
x x y y y
+ − − + = − +
( )
(
)
( ) ( ) ( )
3 2
3 2
3 2
2 4 8 3 1 2
2 4 1 2 1 4 1
x x x y y
x x x y y y
⇔ − + − = + − −
⇔ − + = − − − + −
Xét hàm số
3 2
( ) 2 4
f t t t t
= − +
với
(
)
0 ( ) 1
t f x f y
> ⇒ = −
Ta có
2
'( ) 3 4 4 0
f t t t
= − + >
với
0
t
∀ >
Mà
(
)
2
( ) 1 1 1
f x f y x y y x
= − ⇒ = − ⇔ = +
Thế
2
1
y x
= +
vào phương trình (2) ta được phương trình
2
10 12 5 6 0
x x x x
− + + − =
Đặt
5 6
u x
= −
( 0)
t
>
2 2
2 0
2 0 ( )
=
⇒ − − = ⇔
+ =
x u
u xu x
x u vn
Với
2
2 5
5 6 5 6 0
3 10
x y
x t x x x x
x y
= ⇒ =
= ⇔ = − ⇒ − + = ⇔
= ⇒ =
Đối chiếu với điều kiện ban đầu thì nghiệm của hệ phương trình đã cho là
(2;5)
và
(3;10)
Ví dụ 11. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD , điểm E thuộc cạnh BC,
phân giác góc
BAE
cắt cạnh BC tại
(
)
2;3
F
, đường thẳng qua F và vuông góc với AE cắt cạnh CD tại K,
biết phương trình đường thẳng AK là
3 23 0
x y
− − =
và điểm B thuộc tia Oy. Tìm tọa độ các đỉnh của
hình vuông ABCD biết A có tung độ âm.
Lời giải:
Gọi
M KF AE
= ∩
ta có:
AMF ABF
∆ = ∆
do vậy
AM AB AD
= =
.
Khi đó
AMK ADK
∆ = ∆
từ đó suy ra
0
45
KAF = .
Mặt khác :
( )
.sin ; 4 5
AF KAF d F AK AF= ⇒ =
Gọi
(
)
;3 23
A t t −
ta có:
( ) ( )
(
)
( )
2 2
10
2 3 26 80
6 6; 5
t loai
AF t t
t A
=
= − + − = ⇔
= ⇒ −
Gọi
(
)
(
)
0; 0
B u u
>
ta có:
( )( )
1
. 0 6.2 5 3 0
3
u
AB BF u u
u
=
= ⇔ − + + − = ⇔
= −
Khi đó:
(
)
0;1
B
ta có:
6 2
AB = và
2 2
BF = và do F thuộc cạnh BC nên ta có:
(
)
3 6;7
BC BF C= ⇒
Từ đó suy ra
(
)
12;1
D
và kết luận.
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
( )
3 3 2
8 2 9 1x x x x x− ≤ − − + + ∈
ℝ
.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình
2 2
10 50 3 2 5 2 3 5.
− − ≥ − + − −
x x x x x
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD , gọi E là trung điểm cạnh BC ,
phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE là
( )
2 2
3 1 5
2 2 2
x y C
− + − =
, biết đường thẳng DE
có phương trình:
3 9 0
x y
− − =
. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết D có tung độ âm.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có
(
)
5;3
A , trên tia đối của tia BC lấy
điểm
(
)
9;5
D sao cho
AB BD
=
, biết tâm đường tròn bàng tiếp góc A và tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC lần lượt thuộc các đường thẳng
4 2 0
x y
+ − =
và
4 28 0
x y
+ − =
. Tìm toạ độ các đỉnh
;
B C
.
Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải bất phương trình
2 3 2
3 12 5 1 2
− + ≤ − + −
x x x x x
.
Lời giải.
Điều kiện
( )
2
3 12 5 0
1 2
2 0
x x
x x
x x
− + ≥
≥ ⇔ ≥
− ≥
.
Bất phương trình đã cho tương đương với
( )
(
)
( )
2 3 2 2
3 12 5 2 1 2 1 1 2
− + ≤ + − − + − + + −
x x x x x x x x x x
( )( )
(
)
( ) ( )
[ ]
3 2 2
3 2 2 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 10 6 2 1 2 . 1 0
3 3 2 2 3 2. 0
3 2 3 2
1 3. 2 0
⇔ − + − + − − + + ≥
⇔ + + − − + + − + + + ≥
− + − +
⇔ − + ≥ ∗
+ + + +
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x
Đặt
( )
2
3 2
3 2
0
x x
t t
x x x
− +
= ≥
+ +
thì
[ ] [ ]
2 2 3 2 3
1
1 3 2 0 1 1 3 2 4 2 0 1
3
t t t t x x x x x x x∗ ⇔ − + ≥ ⇔ − ≤ ≤ ⇒ ≤ ⇔ − + ≤ + + ⇔ + + ≥ .
Nhận thấy [1] nghiệm đúng với
2
x
≥
. Kết luận nghiệm
[
)
2;S
= +∞
.
Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải bất phương trình
3 2 3
4 10 20 27 2
+ + + − − ≤
x x x x x
.
Lời giải.
Điều kiện
3 2
3
4 10 20 0
27 3
0
x x x
x x
x
+ + + ≥
≥ ⇔ ≥
≥
.
Bất phương trình đã cho tương đương với
RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 6)
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
( )
(
)
( )
( )
[ ]
3 2 3 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
4 10 20 4 27 4 3 3 9
4 6 47 4 3 . 3 9
3 3
3 3 3 9 4 3 . 3 9 3 4 1
3 9 3 9
x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
+ + + ≤ + − + − + +
⇔ + + ≤ − + +
− −
⇔ − + + + ≤ − + + ⇔ + ≤
+ + + +
Đặt
( )
2
2
3
0
3 9
x x
t t
x x
−
= ≥
+ +
thì
[ ]
( )( )
2
2
2
3
1 3 4 1 3 0 1 3 1 3
3 9
x x
t t t t t
x x
−
⇔ + ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
+ +
( )
[ ]
2 2
2 2
2
3 9 3
6 9 0
2
3 9 3 9
8 30 81 0
x x x x
x
x x x x
x x
+ + ≤ −
+ ≤
⇔ ⇔
− ≤ + +
+ + ≥
(Hệ vô nghiệm do
3
x
≥
).
Kết luận bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại
(
)
2;0
A − , gọi E là hình
chiếu của A trên BC và F là điểm đối xứng của E qua A, biết trực tâm tam giác BCF là
(
)
2;3
H − và trung
điểm của BC thuộc đường thẳng
: 4 4 0
d x y
− + =
. Tìm toạ độ các đỉnh B,C của tam giác ABC.
Lời giải:
Gọi K là trung điểm của BE dễ thấy AK là đường trung bình của tam giác
EFB khi đó ta có:
/ /AK BF AH
H
AE CK
⊥
⇒
⊥
là trực tâm tam giác AKC do
vậy
/ /
KH AC HK AB
⊥ ⇒
là HK là đường trung bình của
ABE
∆
.
Do vậy
(
)
2;6 : 6
E BC y
− ⇒ =
suy ra trung điểm của AB là
1
;6
2
M
.
Gọi
(
)
(
)
;6 1 ;6
B t C t
⇒ − ;
2
;6
2
t
K
−
Lại có:
( ) ( )
7
2
. 0 3 3 .6 0
6
2
t
t
CH AK t
t
=
+
= ⇔ − + − = ⇔
= −
Với
(
)
(
)
7 7;6 ; 6;6
t B C= ⇒ −
Với
(
)
(
)
6 6;6 ; 7;6
t B C= − ⇒ −
Đáp số:
(
)
(
)
7;6 ; 6;6
B C − hoặc ngược lại là các điểm cần tìm.
Ví dụ 8. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
4
4 4
2
2
3 4 3 2 ,
1
1 .
1
x y x y
y
x y
x
− − + − =
+
+ = +
+
Lời giải.
Điều kiện
3
; 0;3 0
4
x y x y
≥ ≥ − − ≥
.
Phương trình thứ hai tương đương
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 0
1 0 1 0
1 1 1 1
x y x y x y x x y
x y x y
x y x x y x
x y x y
− + + = + ⇔ − + + + − + =
− +
⇔ − + + = ⇔ − + + =
+ + + + + +
Vì
điều kiễn xác định dẫn đến
2
2 2
1 0
1 1
x y
x x y
x y
+
+ + > ⇒ =
+ + +
.
Phương trình thứ nhất trở thành
4 4 4
3 2 4 3 2
x x x
− + − = .
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
Điều kiện
3 3
4 2
x
≤ ≤
. Phương trình đã cho trở thành
4 4
3 3
2 4 2
x x
− + − =
.
Đặt
( )
4 4
3 3
2 ; 4 , 0; 0
a b a b
x x
− = − = ≥ ≥
, để ý
[
]
2; 0; 0 ; 0;2 4
a b a b a b ab
+ = ≥ ≥ ⇒ ∈ ⇒ ≤
.
Ta thu được hệ phương trình
( )
( )
( ) ( )( )
2 2
2
2 2
2
4 4
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 4
2
4 2 2 2
2
2 2
2 2 1 8 7 0 1 7 0
a ab b
a b
ab a b
a b
a b a b
ab a b a b ab ab ab
+ + =
+ =
⇔ ⇒ − − =
+ =
+ − =
⇔ − − = ⇔ − + = ⇔ − − =
Loại trường hợp
7
ab
=
. Với
(
)
(
)
2 2
1 3 2 4 3 9 18 9 0 1
ab x x x x x x
= ⇒ − − = ⇔ − + = ⇔ =
.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
1
x y
= =
.
Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm
của AB, N thuộc BD sao cho BN = 3ND, đường thẳng CN có phương trình
3 8 0
+ − =
x y và
(3;5)
M . Xác
định toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD, biết điểm C có hoành độ dương.
Lời giải:
Gọi I là tâm của hình vuông và
G BI CM
= ∩
suy ra G là trọng tâm tam giác
ABC. Đặt
2
AB a
=
ta có:
2 2 5
3 3
a
CG CM= = ;
2 2
BD a
= .
Khi đó:
2 2
2 2 5 2 10
; ;
3 2 6 2
a a a a
GI IN GN CN CI IN= = ⇒ = = + =
Do vâỵ
2 2 2
0
1
cos 45
2 .
2
GC CN GN
GCN MCN
GC CN
+ −
= = ⇒ =
Ta có:
( )
.sin ; 10 20
MC GCN d M CN NC= = ⇒ =
Gọi
( )
8
8 3 ;
3
C t t t
− <
ta có
2
20
MC
=
( ) ( )
(
)
(
)
( )
2 2
3 16;3
5 3 5 20
1 5;1
t C loai
t t
t C
= ⇒ −
⇔ − + − = ⇔
= ⇒
.
Vậy
(
)
5;1
C là điểm cần tìm.
Ví dụ 10. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
(
)
( )
2 2 2 2
2
2
2
5 1 5 1
3 8
3 2 1
3
+ + = + +
− −
= − −
−
y x x x y
x x x
y x x
x x
Lời giải:
ĐK :
1; 3; 0
x x y
≥ ≠ >
Xét phương trình (1) ta có
(
)
2 2 2 2
5 1 5 1
y x x x y
+ + = + +
2 2
2 2
1 1 1
5 5
x x x
y y y
⇔ + + = + +
Xét hàm s
ố
2 2
( ) 1
f t t t t
= + +
với
0
t
>
1
( )f x f
y
⇒ =
