ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN HÌNH HỌC VI PHÂN 2

1












ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN
HÌNH HỌC VI PHÂN 2
2

CHƯƠNG 1
Mặt chính qui (đa tạp 2 chiều)
Số tiết: 15 (lý thuyết: 12 tiết; bài tập: 03 tiết)
A. MỤC TIÊU
- Sinh viên hiểu được các khái niệm mới: Mặt chính qui, mặt khả vi, mặt tiếp xúc, vi phân của
một ánh xạ, cách đổi tham số hóa, các phương pháp chứng minh mặt chính qui, dạng cơ bản thứ
nhất.
- Sinh viên vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học giải các bài tập về mặt chính qui, vi phôi và
cách xác định tham số hóa.
- Sinh viên hiểu rõ vai trò của môn hình học vi phân đối với các môn học khác, tích cực, chủ
động tham gia các hoạt động của môn học, có phương pháp học tập tích cực sáng tạo.

B. NỘI DUNG
1.1. Mặt chính qui

Có thể hình dung mặt chính qui trong
3
ℝ
như sau: Lấy một số mảnh mặt phẳng.
B iến dạng chúng và “dán” lại sao cho hình
nhận
được không có các điểm nhọn, không có
các cạnh hoặc không có tính tự cắt để tại mỗi điểm có thể nói đến mặt phẳng tiếp xúc của
mặt. Các mặt cũng sẽ được giả thiết

đủ trơn để có thể mở rộng các khái niệm
cũng như các
kết

quả của giải tích lên chúng. Định nghĩa sau đây thỏa mãn các yêu
cầu trên.

Định nghĩa 1.1.
Một tập hợp con
3
S ⊂
ℝ
được gọi là
mặt chính qui
nếu
p S
∀ ∈
tồn tại lân cận
3
V

⊂
ℝ
của p và ánh xạ
:
X U V S
→ ∩
v
ớ
i
U
là m
ộ
t t
ậ
p con m
ở
c
ủ
a
2
ℝ
th
ỏ
a mãn 3
đ
i
ề
u ki
ệ
n

sau:
(i). Ánh x
ạ
X là kh
ả
vi, có ngh
ĩ
a là
( , ) ( ( , ), ( , ), ( , )), ( , )
X u v x u v y u v z u v u v U
= ∈

v
ớ
i x, y, z là các hàm có
đạ
o hàm riêng m
ọ
i c
ấ
p.
(ii). Ánh x
ạ
X là m
ộ
t
đồ
ng phôi t
ừ

U
vào
V S
∩
. Vì X là liên t
ụ
c theo
đ
i
ề
u ki
ệ
n (i), nên
X là m
ộ
t
đồ
ng phôi có ngh
ĩ
a là X có ánh x
ạ
ng
ượ
c
1
:
X V S U
−
∩ →
liên t

ụ
c. Nói cách khác,
1
X
−
là h
ạ
n ch
ế
c
ủ
a m
ộ
t ánh x
ạ
liên t
ụ
c
3 2
: W
F ⊂ →
ℝ ℝ
xác
đị
nh trên m
ộ
t t
ậ
p m
ở

ch
ứ
a
V S
∩
.
(iii). (
Tính chính qui
)

V
ớ
i m
ọ
i
q U
∈
,
đạ
o hàm
2 3
:
q
dX →
ℝ ℝ
là m
ộ
t
đơ
n ánh.

Ánh x
ạ
X
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t tham s
ố
hóa (
đị
a ph
ươ
ng
) c
ủ
a
S
, c
ặ
p
(U,X)

đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t

h
ệ
t
ọ
a
độ

đị
a ph
ươ
ng hay m
ộ
t b
ả
n
đồ
c
ủ
a
S
còn lân c
ậ
n
V S
∩
c
ủ
a p trong
S
g

ọ
i là m
ộ
t
lân c
ậ
n
t
ọ
a
độ
.
Chúng ta phân tích rõ h
ơ
n v
ề

đ
i
ề
u ki
ệ
n (iii) b
ằ
ng cách xét ma tr
ậ
n Jacobi c
ủ
a X t
ạ

i q. Gi
ả

s
ử

0 0
( , )
q u v
=
. Xét
đườ
ng tham s
ố

0 0 0
( ( , ), ( , ), ( , ))
u x u v y u v z u v
֏


Đườ
ng cong này,
đượ
c g
ọ
i là
đườ
ng cong t
ọ

a
độ

0
,
v v
=
n
ằ
m trên m
ặ
t S
đ
i qua p = X(q)
và có vec t
ơ
ti
ế
p xúc t
ạ
i p là
, ,
X x y z
u u u u
∂ ∂ ∂ ∂
 
=
 
∂ ∂ ∂ ∂
 

Ở

đ
ây các
đạ
o hàm riêng
đượ
c tính t
ạ
i
0 0
( , )
q u v
=
. Theo
đị
nh ngh
ĩ
a c
ủ
a
đạ
o hàm ta có

1
, , ( )
q
X x y z

dX e
u u u u
∂ ∂ ∂ ∂
 
= =
 
∂ ∂ ∂ ∂
 

3

v
ớ
i
1
e
là vec t
ơ
ti
ế
p xúc c
ủ
a
đườ
ng tham s
ố

0
( , )
u u v

֏
trong
2
ℝ
t
ạ
i
đ
i
ể
m q.
Đườ
ng t
ọ
a
độ

0
v v
=
là
ả
nh c
ủ
a
đườ
ng cong này qua ánh x
ạ
X. T
ươ

ng t
ự
ta có
2
e
là vec t
ơ
ti
ế
p xúc c
ủ
a
đườ
ng
tham s
ố

0
( , )
v u v
֏
trong
2
ℝ
t
ạ
i
đ
i
ể

m q.
Đườ
ng t
ọ
a
độ

0
u u
=
là
ả
nh c
ủ
a
đườ
ng cong này qua
ánh x
ạ
X và
2
, , ( )
q
X x y z
dX e
v v v v
∂ ∂ ∂ ∂
 
= =
 

∂ ∂ ∂ ∂
 

Khi
đ
ó ta có ma tr
ậ
n Jacobi

'

q q
x x
u v
y y
X dX
u v
z z
u v
∂ ∂
 
 
∂ ∂
 
∂ ∂
 
= =
 
∂ ∂
 

∂ ∂
 
 
∂ ∂
 

V
ớ
i phân tích này ta th
ấ
y
đ
i
ề
u ki
ệ
n (iii) t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i m
ộ
t trong các
đ
i
ề
u ki
ệ

n sau
(i'). Hai c
ộ
t c
ủ
a ma tr
ậ
n
'
q
X
là
độ
c l
ậ
p.
(ii').
0
X X
u v
∂ ∂
∧ ≠
∂ ∂

(iii'). Các
đị
nh th
ứ
c

( , )
,
( , )

x x
x y
u v
y y
u v
u v
∂ ∂
 
 
∂
∂ ∂
=
 
∂ ∂
∂
 
 
∂ ∂
 


( , )
,
( , )

x x

x z
u v
z z
u v
u v
∂ ∂
 
 
∂
∂ ∂
=
 
∂ ∂
∂
 
 
∂ ∂
 

( , )
( , )

y y
y z
u v
z z
u v
u v
∂ ∂
 

 
∂
∂ ∂
=
 
∂ ∂
∂
 
 
∂ ∂
 

không
đồ
ng th
ờ
i b
ằ
ng không.

Để
thu
ậ
n ti
ệ
n ta vi
ế
t
u
X

thay cho
X
u
∂
∂
và
v
X
thay cho
X
v
∂
∂
.
Nhận xét 1.1

+) Nh
ư
v
ậ
y có th
ể
xem m
ặ
t chính quy
đượ
c ph
ủ
b
ở

i m
ộ
t h
ọ
các lân c
ậ
n t
ọ
a
độ
, t
ứ
c là
ả
nh
c
ủ
a m
ộ
t h
ọ
ánh x
ạ
X (tham s
ố
hóa) th
ỏ
a mãn các
đ
i

ề
u ki
ệ
n (i), (ii), (iii).
+)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n (i) cho phép chúng ta có th
ể
s
ử
d
ụ
ng công c
ụ
c
ủ
a gi
ả
i tích (phép tính vi tích
phân)
để
nghiên c
ứ
u các m
ặ
t chính qui.

+)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n (ii) nh
ằ
m ng
ă
n c
ả
n tính t
ự
c
ắ
t c
ủ
a m
ặ
t và do
đ
ó có th
ể
nói
đế
n m
ặ
t ph
ẳ

ng
ti
ế
p xúc c
ủ
a m
ặ
t t
ạ
i m
ọ
i
đ
i
ể
m.
+)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n (iii) b
ả
o
đả
m t
ạ
i m
ọ

i
đ
i
ể
m
đề
u có m
ặ
t ph
ẳ
ng ti
ế
p xúc.
Ví dụ 1.1.
Xét m
ặ
t ph
ẳ
ng
2
ℝ
. Ta ch
ọ
n
2
U =
ℝ
và
.
X Id

=
Theo
đị
nh ngh
ĩ
a
2
ℝ
là m
ặ
t chính
qui v
ớ
i ch
ỉ
m
ộ
t b
ả
n
đồ
duy nh
ấ
t
2
( , ).
Id
ℝ

Ví dụ 1.2

. Xét m
ặ
t c
ầ
u
(
)
{
}
2 3 2 2 2
, , : 1
S x y z x y z
= ∈ + + =
ℝ
Chúng ta s
ẽ
ch
ứ
ng t
ỏ
S
2
là m
ộ
t m
ặ
t chính qui. Xét ánh x
ạ
X
1

:
2 3
1
U
+
⊂ →
ℝ ℝ

đượ
c cho
b
ở
i
(
)
( )
2 2
1 1
( , ) , , 1 , ,
X x y x y x y x y U
+ +
= − − ∈

V
ớ
i
2
ℝ
(
)

{
}
(
)
{
}
3 2 2 2
1
, , : 0 , , : 1
x y z z U x y x y
+
= ∈ = = ∈ + <
ℝ ℝ

và
(
)
(
)
{
}
3 2 2 2
1 1
, , : 1, 0
X U x y z x y z z
+ +
= ∈ + + = >
ℝ
là n
ử

a m
ặ
t c
ầ
u trên. Do x
2
+y
2
<1 nên hàm
2 2
1
x y
− − có các
đạ
o hàm riêng liên t
ụ
c m
ọ
i c
ấ
p. Do
đ
ó
đ
i
ề
u ki
ệ
n (i)
đượ

c th
ỏ
a mãn.
4

D
ễ
th
ấ
y hàm
1
X
+
là
đơ
n ánh và (
1
X
+
)
-1
là h
ạ
n ch
ế
c
ủ
a phép chi
ế
u

(
)
, ,
x y z
π
= (x,y) t
ừ

3
ℝ
đế
n
2
ℝ
nên c
ũ
ng liên t
ụ
c. V
ậ
y
đ
i
ề
u ki
ệ
n (ii) c
ũ
ng
đượ

c th
ỏ
a mãn.
Do
(
)
( )
,
1 0
1
0 1
,
x y
x y
∂
= =
∂
nên
đ
i
ề
u ki
ệ
n (iii) c
ũ
ng
đượ
c th
ỏ
a mãn. Nh

ư
v
ậ
y
1
X
+
là m
ộ
t
tham s
ố
hóa c
ủ
a S
2
. Có th
ể
d
ễ
dàng nh
ậ
n th
ấ
y S
2

đượ
c ph
ủ

đị
nh b
ở
i 6 m
ả
nh lân c
ậ
n t
ọ
a
độ

đượ
c
xác
đị
nh t
ươ
ng t
ự
nh
ư
v
ậ
y. Ta có th
ể
d
ễ
dàng xác

đị
nh lân c
ậ
n t
ọ
a
độ
t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i các tham s
ố

hóa. D
ướ
i
đ
ây là các tham s
ố
hóa
đ
ó
( )
(
)
( ) ( )
{

}
2 2 2 2 2
1 1
, , , 1 , , , : 1 ;
X x y x y x y x y U x y x y
− −
= − − − ∈ = ∈ + <ℝ

( )
(
)
( ) ( )
{
}
2 2 2 2 2
2 2
, , 1 , , , , : 1 ;
X x z x x z z x y U x y x z
+ +
= − − ∈ = ∈ + <
ℝ

( )
(
)
( ) ( )
{
}
2 2 2 2 2
2 2

, , 1 , , , , : 1 ;
X x z x x z z x z U x z x z
− −
= − − − ∈ = ∈ + <ℝ
( )
(
)
( ) ( )
{
}
2 2 2 2 2
3 3
, 1 , , , , , : 1 ;
X y z x z y z y z U y z y z
+ +
= − − ∈ = ∈ + <ℝ

( )
(
)
( ) ( )
{
}
2 2 2 2 2
3 3
, 1 , , , , , : 1 ;
X y z x z y z y z U y z y z
− −
= − − − ∈ = ∈ + <ℝ

Để
d
ễ
kh
ả
o sát m
ặ
t c
ầ
u S
2
, ng
ườ
i ta s
ử
d
ụ
ng h
ệ
t
ọ
a
độ
c
ầ
u
để
tham s
ố

hóa.
L
ấ
y
(
)
{
}
, : 0 ,0 2
V
θ ϕ θ π ϕ π
= < < < <
và xét X :V
3
→
ℝ
xác
đị
nh b
ở
i
(
)
(
)
, sin os ,sin sin , os
X c c
θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ
=
.

Ta có X(V)
⊂
S
2
. Tham s
ố

θ

đượ
c g
ọ
i là colatude (ph
ầ
n ph
ụ
c
ủ
a v
ĩ

độ
) và
ϕ
là kinh
độ
.
Rõ ràng X kh
ả
vi vì các hàm

sin os , sin sin , os
c c
θ ϕ θ ϕ θ
là kh
ả
vi.
H
ơ
n n
ữ
a các
đị
nh th
ứ
c
2 2
( , ) ( , ) ( , )
os sin , sin sin , sin os
( , ) ( , ) ( , )
x y x z y z
c c
θ θ θ ϕ ϕ
θ ϕ θ ϕ θ ϕ
∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂

Không th
ể

đồ
ng th
ờ
i b
ằ
ng không vì
2 2 4 2 4 2 2
os sin sin sin sin os sin 0
c c
θ θ θ ϕ θ ϕ θ
+ + = ≠

do 0<
θ π
<
. Nh
ư
v
ậ
y,
đ
i
ề
u ki
ệ
n (i) và (iii)
đượ
c th
ỏ
a mãn.

L
ấ
y C là n
ử
a
đườ
ng tròn
(
)
{
}
2
, , : 0, 0 .
x y z S y x
∈ = ≥
V
ớ
i m
ỗ
i (x,y,z)
∈
S
2
– C, chúng ta
xác
đị
nh
đượ
c duy nh
ấ

t
1
os
c z
θ
−
=
vì 0<
θ π
<
. Bi
ế
t
θ
chúng ta s
ẽ
xác
đị
nh
đượ
c
ϕ
t
ừ

sin os , sin sin
x c y
θ ϕ θ ϕ
= =
và do

đ
ó xác
đị
nh
đượ
c duy nh
ấ
t
ϕ
. V
ậ
y X có ánh x
ạ
ng
ượ
c X
-1
và
có th
ể
ki
ể
m tra d
ễ
dàng X
-1
là liên t
ụ
c t
ứ

c là X là m
ộ
t tham s
ố
hóa. Chúng ta nh
ậ
n xét r
ằ
ng
X(V) =S
2
– C nên có th
ể
ph
ủ
S
2
b
ở
i hai tham s
ố
hóa ki
ể
u nh
ư
trên.
Nh
ữ
ng m
ệ

nh
đề
ti
ế
p sau s
ẽ
cho ta nh
ữ
ng ph
ươ
ng pháp có th
ể
ki
ể
m tra ho
ặ
c xây d
ự
ng m
ộ
t
s
ố
m
ặ
t chính qui d
ễ
dàng h
ơ
n.

Mệnh đề 1.1.
N
ế
u
:f U
→
ℝ
là hàm kh
ả
vi trên t
ậ
p m
ở

2
U
⊂
ℝ
. Khi
đ
ó
đồ
th
ị
c
ủ
a f
(
)
{

}
3
, , : ( , )
f
G x y z z f x y
= ∈ =
ℝ là m
ộ
t m
ặ
t chính qui.
Chứng minh.

Đ
i
ề
u ki
ệ
n (i) hi
ể
n nhiên
đượ
c tho
ả
mãn. Do
( , )
1
( , )
x y
x y

∂
=
∂
, nên
đ
i
ề
u ki
ệ
n (iii) c
ũ
ng
đượ
c th
ỏ
a mãn. Chúng ta ch
ỉ
c
ầ
n ch
ứ
ng minh cho
đ
i
ề
u ki
ệ
n 2. Ta có X(x,y) = (x, y, f(x,y)) là
đơ
n

5

ánh nên có ánh x
ạ
ng
ượ
c X
-1
. Ánh x
ạ
ng
ượ
c X
-1
chính là h
ạ
n ch
ế
lên G
f
c
ủ
a phép chi
ế
u t
ừ

3
ℝ

lên
2
ℝ
nên liên t
ụ
c. Ta có
đ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
Định nghĩa 1.2.
Cho ánh x
ạ
kh
ả
vi
:
n m
f U
⊂ →
ℝ ℝ
, v
ớ
i U là t
ậ
p m

ở
. Ta nói
p U
∈
là m
ộ
t
đ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a f n
ế
u
đạ
o hàm
:
n m
p
df →
ℝ ℝ
không ph
ả
i là toàn ánh.
Ả

nh
( )
m
f p
∈
ℝ
c
ủ
a m
ộ
t
đ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n g
ọ
i là giá tr
ị
t
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a f. M
ộ

t
đ
i
ể
m c
ủ
a
m
ℝ
mà không ph
ả
i là giá tr
ị
t
ớ
i h
ạ
n
đượ
c
g
ọ
i là m
ộ
t giá tr
ị
chính qui c
ủ
a f.
Chú ý r

ằ
ng b
ấ
t k
ỳ

đ
i
ể
m
( )
a f U
∉

đề
u là các giá tr
ị
chính qui c
ủ
a f.
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p
:f U
⊂ →
ℝ ℝ
, các
đ

i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n chính là các
đ
i
ể
m
x U
∈
mà f
’
(x) = 0.
N
ế
u
3
:f U
⊂ →
ℝ ℝ
là hàm kh
ả
vi, ta có
'( ) ( ), ( ), ( )
f f f
f p p p p
x y z

 
∂ ∂ ∂
=
 
∂ ∂ ∂
 

Tính ch
ấ
t
p
df
không là toàn ánh t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
( ) ( ) ( ) 0.
f f f
p p p
x y z
∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂

Do
đ
ó, n

ế
u a là giá tr
ị
chính qui thì
, ,
f f f
x y z
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
không
đồ
ng th
ờ
i tri
ệ
t tiêu trên t
ậ
p
{
1
( ) ( , , )
f a x y z
−
=

3
: ( , , ) }.
f x y z a
∈ =
ℝ

Mệnh đề 1.2.
N
ế
u
3
: ,
f U
⊂ →
ℝ ℝ
là hàm kh
ả
vi và a
( )
f U
∈
là giá tr
ị
chính qui c
ủ
a f thì
1
( )
f a
−
, n
ế
u khác r
ỗ
ng, là m

ộ
t m
ặ
t chính qui trong
3
ℝ
.
Chứng minh.
L
ấ
y p = (
0 0 0
, ,
x y z
)
1
( )
f a
−
∈
, vì a là giá tr
ị
chính qui nên không m
ấ
t tính t
ổ
ng
quát ta có th
ể
gi

ả
s
ử

( )
f
p
z
∂
∂
≠
0.
Đặ
t
3 3
:F U
⊂ →
ℝ ℝ
xác
đị
nh b
ở
i
F(x,y,z) = (x, y, f(x, y, z))
Ta có
1 0 0
' 0 1 0
p
x y z
F

f f f
 
 
=
 
 
 

Do
' ( ) 0,
p
f
F p
z
∂
= ≠
∂
nên theo
Đị
nh lí hàm ng
ượ
c, t
ồ
n t
ạ
i lân c
ậ
n V c
ủ
a p và W c

ủ
a
( )
a f p
=
sao cho
:
F V
W
→
là m
ộ
t vi phôi.
Đ
i
ề
u này cho th
ấ
y các hàm t
ọ
a
độ
c
ủ
a
1
F
−
có
d

ạ
ng x= u, y = v, z = g(u, v, t), (u, v, t)
W
∈
là các hàm kh
ả
vi.

Đặ
c bi
ệ
t z = g(u, v, a) = h(x, y) là hàm kh
ả
vi xác
đị
nh trong hình chi
ế
u c
ủ
a V lên m
ặ
t
ph
ẳ
ng xOy. Do
(
)
(
)
(

)
{
}
1 3
W , , :
F f a V u v t t a
−
∩ = ∩ ∈ =
ℝ
, ta suy ra r
ằ
ng
đồ
th
ị
c
ủ
a h là
f
-1
(a)
∩
V. Theo m
ệ
nh
đề
1.1, f
-1
(a)
∩

V là m
ộ
t hàm lân c
ậ
n t
ọ
a
độ
ch
ứ
a p. Do
đ
ó, f
-1
(a) s
ẽ

đượ
c
ph
ủ
b
ở
i nh
ữ
ng lân c
ậ
n t
ọ
a

độ
nên f
-1
(a) là m
ộ
t m
ặ
t chính qui.
Ví dụ 1.3. Ellipsoid
E

2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ + =

là m
ộ
t m
ặ
t chính qui. E chính là t
ậ
p f
-1
(0), v
ớ
i f(x, y, z) =
2 2 2

2 2 2
1
x y z
a b c
+ + −
là hàm kh
ả
vi và 0 là
m
ộ
t giá tr
ị
chính qui c
ủ
a nó. Th
ậ
t v
ậ
y, ta có
6


2
2
f x
x
a
∂
=
∂

,
2
2
f x
y
b
∂
=
∂
,
2
2
f x
z
c
∂
=
∂

đồ
ng th
ờ
i tri
ệ
t tiêu t
ạ
i
đ
i
ể

m (0,0,0). Do
đ
ó giá tr
ị
t
ớ
i h
ạ
n duy nh
ấ
t c
ủ
a f là -1, nên 0 là m
ộ
t giá tr
ị

chính qui.
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p a = b =c, ta có m
ặ
t c
ầ
u x
2
+ y
2

+z
2
= a
2
c
ũ
ng là m
ộ
t m
ặ
t chính qui.
M
ộ
t m
ặ
t S
đượ
c g
ọ
i là liên thông n
ế
u b
ấ
t k
ỳ
hai
đ
i
ể
m nào c

ủ
a S
đề
u có th
ể
n
ố
i b
ở
i m
ộ
t
đườ
ng cong liên t
ụ
c trong S. Trong nhi
ề
u tài li
ệ
u, khái ni
ệ
m này
đượ
c g
ọ
i là liên thông cung hay
liên thông
đườ
ng
để

phân bi
ệ
t v
ớ
i khái ni
ệ
m liên thông trong tôpô. Ví d
ụ
sau
đ
ây cho ta th
ấ
y các
m
ặ
t chính qui xác
đị
nh b
ở
i m
ệ
nh
đề
1.2 có th
ể
không liên thông.
Ví dụ 1.4. Heperboloid hai t
ầ
ng H: -x
2

+ y
2
+z
2
= 1 là m
ặ
t chính qui vì H =f
-1
(0) v
ớ
i 0 là giá tr
ị

chính qui c
ủ
a hàm
f
(x, y, z) = -x
2
+ y
2
+z
2
– 1. Ta th
ấ
y r
ằ
ng H không liên thông, vì hai
đ
i

ể
m n
ằ
m
ở
hai t
ầ
ng khác nhau không th
ể
n
ố
i v
ớ
i nhau b
ằ
ng m
ộ
t
đườ
ng cong liên t
ụ
c
đượ
c.
Chúng ta có tính ch
ấ
t sau
đ
ây c
ủ

a m
ộ
t m
ặ
t liên thông :
"Cho
3
:
f S
⊂ →
ℝ ℝ
là m
ộ
t
hàm s
ố
liên t
ụ
c xác
đị
nh trên m
ộ
t m
ặ
t liên thông S. N
ế
u f(p)
≠
0,
p S

∀ ∈
, thì hàm f không
đổ
i
d
ấ
u trên S".
Th
ậ
t v
ậ
y, gi
ả
s
ử
ta có f(p) >0 và f(q) < 0, v
ớ
i
,
p q S
∈
. Do S liên thông, t
ồ
n t
ạ
i
đườ
ng
cong liên t
ụ

c
[
]
: ,
a b S
α
→
, v
ớ
i
(
)
(
)
,
a p b q
α α
= =
.
Xét
[
]
: , .
f a b
α
→
 ℝ
Theo
đị
nh lí giá tr

ị
trung bình, t
ồ
n t
ạ
i c
∈
(a, b),
( ) 0
f c
α
=

.
Đ
i
ề
u
này ch
ứ
ng t
ỏ
f = 0 t
ạ
i
đ
i
ể
m
( )

c
α
.
Ví dụ 1.5. M
ặ
t xuy
ế
n (torus) T là m
ặ
t sinh ra b
ằ
ng cách quay
đườ
ng tròn bán kính r quanh m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng thu
ộ
c m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a
đườ
ng tròn và cách tâm

đườ
ng trong m
ộ
t kho
ả
ng a > r. L
ấ
y
S
1
là
đườ
ng tròn tâm I(0, a, 0) bán kính r trong m
ặ
t ph
ẳ
ng yOz. Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình c
ủ
a S
1
là

2 2 2
( )
0
y a z r

x

− + =

=


và ph
ươ
ng trình c
ủ
a T là
(
)
2
2 2 2 2
x y a z r
+ − + =
.
Xét hàm
3
: ( )
f Oz
− →
ℝ ℝ
xác
đị
nh b
ở
i

2 2 2 2
( , , ) ( )
f x y z x y a z
= + − +
.
Khi
đ
ó T là ánh x
ạ
ng
ượ
c
f
-1
(r
2
) c
ủ
a hàm
f
t
ạ
i giá tr
ị
r
2
. Hàm
f
là hàm kh
ả

vi. Ta tính các
đạ
o hàm riêng
2 2
2 2
2 ( )
x x y a
f
x
x y
+ −
∂
=
∂
+
,

2 2
2 2
2 ( )
y x y a
f
y
x y
+ −
∂
=
∂
+
,

2
f
z
z
∂
=
∂
,
T
ừ

đ
ây, ta tìm
đượ
c t
ậ
p các
đ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a
f
là

đườ
ng tròn

2 2
0
x y a
z

+ =

=


Và do
đ
ó
f
ch
ỉ
có m
ộ
t giá tr
ị
t
ớ
i h
ạ
n duy nh
ấ
t là 0. Nh

ư
vây, r
2
là m
ộ
t giá tr
ị
chính qui nên T là
m
ộ
t m
ặ
t chính qui.
7

Mệnh đề 1.3.
Gi
ả
s
ử

3
S
⊂
ℝ
là m
ộ
t m
ặ
t chính qui và

p S
∈
. Khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i lân c
ậ
n V c
ủ
a p
trong S sao cho V là
đồ
th
ị
c
ủ
a m
ộ
t hàm kh
ả
vi có m
ộ
t trong ba d
ạ
ng sau :
z = f(x, y), y = g(x, z), x = h(y, z).
Chứng minh. Gi

ả
s
ử
X :
U S
→
là m
ộ
t tham s
ố
hóa c
ủ
a S t
ạ
i p,
X(u, v) =(x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v)
∈
U.
Theo
đ
i
ề
u ki
ệ
n (iii) c
ủ
a
đị
nh ngh
ĩ

a m
ặ
t chính qui, m
ộ
t trong các
đị
nh th
ứ
c sau ph
ả
i khác
không t
ạ
i X
-1
(p) = q
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
, , ,
, ,
, , ,
x y x z y x
u v u v u v

∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
.
Gi
ả
s
ử

(
)
( )
,
,
x y
u v
∂
∂
(q)
≠
0. Xét ánh x
ạ

2
:
X U
π
→
 ℝ
v
ớ

i
π
là phép chi
ế
u
( , , ) ( , )
x y z x y
π
=
, khi
đ
ó
( , ) ( ( , ), ( , ))
X u v x u v y u v
π
=


Do
(
)
( )
,
,
x y
u v
∂
∂
(q)
≠

0 nên theo
đị
nh lí hàm ng
ượ
c t
ồ
n t
ạ
i lân c
ậ
n V
1
c
ủ
a q và V
2
c
ủ
a
(
)
(
)
X q
π

sao cho
X
π


là vi phôi t
ừ
V
1
lên V
2
. T
ừ

đ
ây suy ra h
ạ
n ch
ế
c
ủ
a
π
lên V=X(V
1
) là
đơ
n ánh và t
ồ
n t
ạ
i hàm ng
ượ
c:
( )

1
2 1
:
X V V
π
−
→


Do X là
đồ
ng phôi ta ruy ra X(V
1
) là lân c
ậ
n c
ủ
a p trong S. Bây gi
ờ
xét h
ợ
p c
ủ
a ánh x
ạ

( ) ( )
1
,
X x y

π
−

= (u(x, y), v(x, y)) v
ớ
i hàm
(
)
(
)
, ,
u v z u v
֏
, ta th
ấ
y V là
đồ
th
ị
c
ủ
a hàm h
ợ
p
này z = z(u(x, y),v(x, y)) =
f
(x, y).
Các tr
ườ
ng h

ợ
p còn l
ạ
i ch
ứ
ng minh hoàn toàn t
ươ
ng t
ự
.
Ví dụ 1.6. Nón m
ộ
t t
ầ
ng C cho b
ở
i
2 2
z x y
= + , (x, y)
2
∈
ℝ
không ph
ả
i là m
ặ
t chính qui.
Ánh x
ạ

(x, y)
(
)
2
, ,
x y x y
+
֏
là không kh
ả
vi t
ạ
i (0, 0). Chúng ta ch
ư
a có th
ể
kh
ẳ
ng
đị
nh
r
ằ
ng C không ph
ả
i là m
ặ
t chính qui vì
đ
ây ch

ỉ
m
ớ
i là m
ộ
t ánh x
ạ
t
ừ

2
ℝ
vào C. Trên C có th
ể
có
nh
ữ
ng tham s
ố
hóa khác. Chúng ta s
ẽ
ch
ứ
ng t
ỏ
C không chính qui t
ạ
i
đỉ
nh c

ủ
a nó. N
ế
u C là m
ặ
t
chính qui thì có m
ộ
t lân c
ậ
n c
ủ
a
đ
i
ể
m (0, 0, 0)
∈
C là
đồ
th
ị
c
ủ
a m
ộ
t hàm kh
ả
vi có m
ộ

t trong ba
d
ạ
ng sau: z =
f(
x, y), y =
g(
x, z), x =
h(
y, z).
Hai d
ạ
ng sau cùng không th
ỏ
a mãn vì phép chi
ế
u c
ủ
a C lên các m
ặ
t ph
ẳ
ng xOz và yOz
không là
đơ
n ánh. Xét hàm có d
ạ
ng th
ứ
nh

ấ
t
2 2
z x y
= + . Hàm này không kh
ả
vi t
ạ
i (0, 0) nên
c
ũ
ng không phù h
ợ
p. Do
đ
ó C không ph
ả
i là m
ặ
t chính qui. N
ế
u b
ỏ

đ
i
đ
i
ể
m

đỉ
nh (0, 0, 0) thì t
ậ
p
còn l
ạ
i C – {(0, 0, 0)} là m
ặ
t chính qui.
Mệnh đề 1.4.
Cho S là m
ặ
t chính qui và ánh x
ạ
X :
(
)
2 3
,
U X U S
⊂ → ⊂
ℝ ℝ
. N
ế
u X là
đơ
n ánh
th
ỏ
a mãn

đ
i
ề
u ki
ệ
n (i) và (iii) trong
đị
nh ngh
ĩ
a 1 thì X
-1
là liên t
ụ
c, có ngh
ĩ
a là X th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u
ki
ệ
n (ii) và do
đ
ó X là m
ộ
t tham s
ố

hóa.

Chứng minh. L
ấ
y
( )
p X U
∈
. Do S là m
ặ
t chính qui nên t
ồ
n t
ạ
i lân c
ậ
n W
⊂
S c
ủ
a p sao cho W
là
đồ
th
ị
c
ủ
a m
ộ
t hàm kh

ả
vi trên t
ậ
p m
ở
V (có th
ể
gi
ả
s
ử
) c
ủ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng xOy. L
ấ
y
N = X
-1
(W)
⊂
U và
đặ
t h = :
X N V
π
→


, v
ớ
i
(
)
(
)
, , ,
x y z x y
π
=
. Khi
đ
ó dh =
dX
π

là không
suy bi
ế
n t
ạ
i X
-1
(p)= q. Theo
đị
nh lí hàm s
ố
ng

ượ
c t
ồ
n t
ạ
i lân c
ậ
n
N
Ω ⊂
sao cho h :
( )
h
Ω → Ω

8

là vi phôi. Chú ý r
ằ
ng X(
Ω
) là t
ậ
p m
ở
trong S và X
-1
= h
-1
π


h
ạ
n ch
ế
lên X(
Ω
) là h
ợ
p c
ủ
a các
hàm kh
ả
vi. Nh
ư
v
ậ
y X
-1
là liên t
ụ
c t
ạ
i p. Do p
đượ
c ch
ọ
n tùy ý nên X
-1

liên t
ụ
c tr
ên X(U).
Ví dụ 1.7. M
ộ
t tham s
ố
hóa c
ủ
a m
ặ
t xuy
ế
n T
đượ
c cho b
ở
i

(
)
(
)
(
)
(
)
, cos cos , cos sin , sin
X u v r u a v r u a v r u

= + +

v
ớ
i 0< u, v<
2
π
.
1.2. Đổi tham số - hàm khả vi trên mặt

Đị
nh ngh
ĩ
a c
ủ
a m
ặ
t chính qui cho th
ấ
y v
ớ
i m
ọ
i
p S
∈

đề
u thu
ộ

c vào m
ộ
t lân c
ậ
n t
ọ
a
độ

(
đị
a ph
ươ
ng) nào
đ
ó c
ủ
a m
ặ
t.
Đ
i
ề
u này cho phéo chúng ta s
ử
d
ụ
ng h
ệ
to

ạ

độ

đị
a ph
ươ
ng
để
mô
t
ả
m
ộ
t s
ố
tính ch
ấ
t
đị
a ph
ươ
ng c
ủ
a m
ặ
t trong lân c
ậ
n c
ủ

a
đ
i
ể
m p và m
ở
r
ộ
ng m
ộ
t s
ố
khái ni
ệ
n
nh
ư
hàm kh
ả
vi trên m
ặ
t chính qui, ánh x
ạ
kh
ả
vi t
ừ
m
ặ
t chính qui vào m

ặ
t chính qui và
đạ
o
hàm c
ủ
a chúng M
ộ
t
đ
i
ể
m
p S
∈
có th
ể
thu
ộ
c vào nhi
ề
u lân c
ậ
n t
ọ
a
độ
khác nhau nên có th
ể
có

nhi
ề
u t
ọ
a
độ

đị
a ph
ươ
ng khác nhau và do
đ
ó chúng ta có các phép
đổ
i t
ọ
a
độ
(
đị
a ph
ươ
ng).
Để

các
đị
nh ngh
ĩ
a liên quan

đế
n tính kh
ả
vi
đượ
c h
ợ
p lí, các phép
đổ
i to
ạ

độ
ph
ả
i kh
ả
vi.
M
ệ
nh
đề
sau cho th
ấ
y yêu c
ầ
u trên
đượ
c
đ

áp
ứ
ng.
Mệnh đề 1.5 (
Đổ
i tham s
ố
). Cho
3
S
⊂
ℝ
là m
ộ
t m
ặ
t chính qui,
p S
∈
, X :
2
U S
⊂ →
ℝ
và
Y :
2
V S
⊂ →
ℝ

là hai hàm s
ố
hóa
đị
a ph
ươ
ng c
ủ
a S sao cho
(
)
(
)
W
p X U Y V
⊂ ∩ =
. Khi
đ
ó
phép
đổ
i t
ọ
a
độ
h =
(
)
(
)

1 1 1
: W W
X Y Y X
− − −
→

là vi phôi, t
ứ
c là h kh
ả
vi và hàm ng
ượ
c
1 1
h Y X
− −
=

(c
ũ
ng là m
ộ
t phép
đổ
i t
ọ
a
độ
) c
ũ

ng kh
ả
vi.
Chứng minh. Ta có
1
h X Y
−
=

là
đồ
ng phôi do X và Y là các
đồ
ng phôi. L
ấ
y r
(
)
1
w
Y
−
∈
và
đặ
t q = h(r). Do X(u, v) =(x( u, v), y( u, v), z( u, v)) là tham s
ố
hóa c
ủ
a m

ặ
t chính qui, ta có th
ể

gi
ả
s
ử

(
)
( )
( )
,
0
u, v
x y
q
∂
≠
∂

Chúng ta m
ở
r
ộ
ng X thành ánh x
ạ

3

:
F U
× →
ℝ ℝ
xác
đị
nh nh
ư
sau:
F(u, v, t) =(x( u, v), y( u, v), z( u, v) + t), (u, v)
,
U t
∈ ∈
ℝ

Có th
ể
hình dung F là ánh x
ạ
t
ừ
hình tr
ụ
C xác
đị
nh trên U và chính hình tr
ụ
xác
đị
nh trên

X(U) bi
ế
n thi
ế
t di
ệ
n c
ủ
a C v
ớ
i
độ
cao t thành m
ặ
t X(u, v) +te
3
v
ớ
i e
3
là vec t
ơ

đơ
n v
ị

đị
nh h
ướ

ng
c
ủ
a tr
ụ
c Oz. Rõ ràng F là kh
ả
vi và
{ }
0
U
F
×
=X.
Ta có
đị
nh th
ứ
c c
ủ
a ma tr
ậ
n Jacobi F’(q)

0
( , )
0 ( ) 0
( , )
1
x x

u v
y y x y
q
u v u v
z z
u v
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂
= ≠
∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
.
Do
đ
ó
đị
nh lý hàm ng
ượ
c, t
ồ
n t
ạ
i lân c
ậ
n M c
ủ
a p = X(q) trong
3

ℝ
sao cho F
-1
t
ồ
n t
ạ
i và
kh
ả
vi trên M. Do Y liên t
ụ
c, t
ồ
n t
ạ
i lân c
ậ
n N c
ủ
a r trong V sao cho Y(N)
M S
⊂ ∩
. T
ừ

đ
ây ta
có

1 1
N N N
F Y X Y h
− −
= =
 

9

Vì F
-1
và Y là các ánh x
ạ
kh
ả
vi nên ta suy ra h kh
ả
vi trên N. Nói riêng, h kh
ả
vi t
ạ
i r. Do
r là
đ
i
ể
m b
ấ
t k
ỳ

ta suy ra h kh
ả
vi trên Y
-1
(W).
M
ộ
t cách hoàn toàn t
ươ
ng t
ự
, ch
ứ
ng ta có th
ể
ch
ứ
ng minh h
-1
c
ũ
ng là hàm kh
ả
vi.
Nhận xét 1.2

Gi
ả
s
ử

X và Y
đượ
c xác
đị
nh b
ở
i
X(u, v) =(x( u, v), y( u, v), z( u, v))
Y(w, t) =(x(w, t) y(w, t), z(w, t)).
Khi
đ
ó ta có h((w, t) = (u(w, t),v(w, t)), trong
đ
ó u, v là các hàm hai bi
ế
n (w, t) có
đạ
o
hàm riêng m
ọ
i c
ấ
p. T
ươ
ng t, h
-1
(u, v) =(w(u, v),t(u, v)), trong
đ
ó w, t là các hàm hai bi
ế

n (u, v)
có
đạ
o hàm riêng m
ọ
i c
ấ
p. D
ễ
th
ấ
y

(
)
( )
(
)
( )
, ,
. 1
w, ,
u v w t
t u v
∂ ∂
=
∂ ∂

Có ngh
ĩ

a là,
đị
nh th
ứ
c c
ủ
a ma tr
ậ
n Jacobi c
ủ
a h và h
-1
khác 0 m
ọ
i n
ơ
i.
M
ộ
t cách t
ự
nhiên là chúng ta ph
ả
i xây d
ự
ng các khái ni
ệ
m gi
ả
i tích cho các m

ặ
t chính
qui. D
ướ
i
đ
ây là các
đị
nh ngh
ĩ
a c
ủ
a hàm s
ố
kh
ả
vi trên m
ặ
t chính qui và ánh x
ạ
kh
ả
vi gi
ữ
a hai
m
ặ
t chính qui. Các khái ni
ệ
m

đ
ã bi
ế
t tr
ướ
c
đ
ây là các tr
ườ
ng h
ợ
p riêng c
ủ
a các khái ni
ệ
m này.
Định nghĩa 1.3. Cho
:
f V S
⊂ →
ℝ
là hàm xác
đị
nh trên m
ộ
t t
ậ
p m
ở
V c

ủ
a m
ặ
t chính qui S.
Hàm f
đượ
c g
ọ
i là kh
ả
vi t
ạ
i p
V
∈
n
ế
u v
ớ
i tham s
ố
hóa X:
2
U S
⊂ →
ℝ
, p
( )
X U
∈

, thì hàm
h
ợ
p
:
f X U
→
 ℝ
là hàm kh
ả
vi t
ạ
i X
-1
(p). Hàm f
đượ
c g
ọ
i là kh
ả
vi t
ạ
i m
ọ
i
đ
i
ể
m c
ủ

a V.
Nhận xét 1.3
1. Gi
ả
s
ử
Y:
W ,
S
→
v
ớ
i p
W
∈
, là m
ộ
t tham s
ố
hóa khác. Do h = X
-1

Y

là kh
ả
vi t
ạ
i Y
-1

(p)
nên f
Y

=
f X h
 
c
ũ
ng kh
ả
vi t
ạ
i Y
-1
(p). Do
đ
ó,
đị
nh ngh
ĩ
a trên không ph
ụ
thu
ộ
c vào tham s
ố

hóa
đượ

c ch
ọ
n.
2. Chúng ta có th
ể

đồ
ng nh
ấ
t m
ộ
t
đ
i
ể
m (u, v) c
ủ
a U v
ớ
i X(u, v) c
ủ
a X(U)
S
⊂
. Do
đ
ó t
ừ

đ

ây
v
ề
sau thay vì vi
ế
t
(
)
(
)
(
)
(
)
, ,
f X u v f X u v
=

, chúng ta s
ẽ
vi
ế
t m
ộ
t cách
đơ
n gi
ả
n là f(u, v) và
nói r

ằ
ng f(u,v) là m
ộ
t
bi
ể
u di
ễ
n
đị
a ph
ươ
ng
c
ủ
a f trong lân c
ậ
n t
ọ
a
độ
X.
Ví dụ 1.8. Cho S là m
ặ
t chính qui,
S V
⊂
v
ớ
i

3
V
⊂
ℝ
là m
ộ
t t
ậ
p m
ở
và
:
f V
→
ℝ
là m
ộ
t hàm
kh
ả
vi. Khi
đ
ó
s
f
là m
ộ
t hàm kh
ả
vi. Th

ậ
t vây, v
ớ
i m
ọ
i p
S
∈
và v
ớ
i tham s
ố
hóa
2
:
X U S
⊂ →
ℝ
t
ạ
i p, hàm
:
f X U
→
 ℝ
là kh
ả
vi t
ạ
i p.

Ví dụ 1.9. Các hàm sau
đ
ây là các hàm kh
ả
vi.
1. Hàm
độ
cao
đố
i v
ớ
i m
ộ
t vec t
ơ

đơ
n v
ị
v
3
∈
ℝ


: ,
h S
→
ℝ
h(p) =p.v,

p S
∀ ∈
.
h(p) là
độ
cao c
ủ
a
p S
∈
so v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i v
đ
i qua O trong
3
ℝ
.
2. Cho S là m
ặ
t chính qui và
0
p S
∈

là m
ộ
t
đ
i
ể
m c
ố

đị
nh. Hàm s
ố

:
f S
→
ℝ
xác
đị
nh b
ở
i
f(p) = d(p, p
0
)
2
là m
ộ
t hàm kh
ả

vi.
Nhận xét 1.4. Chúng ta
đ
ã dùng m
ệ
nh
đề
1.1
để
xây d
ự
ng khái ni
ệ
m hàm kh
ả
vi trên m
ộ
t m
ặ
t
chính qui. Trong ch
ứ
ng minh m
ệ
nh
đề
1.1 chúng ta l
ạ
i s
ử

d
ụ
ng tính ch
ấ
t là ánh x
ạ
ng
ượ
c c
ủ
a
m
ộ
t tham s
ố
hóa liên t
ụ
c. N
ế
n
đ
i
ề
u ki
ệ
n th
ứ
hai trong
đị
nh ngh

ĩ
a c
ủ
a m
ặ
t chính qui là không th
ể

thay th
ế
.
10

T
ươ
ng t
ự

đị
nh ngh
ĩ
a trên cho chúng ta có th
ể

đị
nh ngh
ĩ
a ánh x
ạ
kh

ả
vi t
ừ
m
ộ
t m
ặ
t chính
qui vào m
ộ
t m
ặ
t chính qui.
Định nghĩa 1.4. Cho S
1
, S
2
là các m
ặ
t chính qui, V là m
ộ
t t
ậ
p m
ở
trong S
1
và
1 2
:

V S S
ϕ
⊂ →
là
ánh x
ạ
liên t
ụ
c. Ánh x
ạ

ϕ

đượ
c g
ọ
i là kh
ả
vi t
ạ
i p
∈
V n
ế
u v
ớ
i các tham s
ố
hóa
đ

ã ch
ọ
n nào
đ
ó

1 1 1
: ,
X U S
→
2 2 2
:
X U S
→
,
trong
đ
ó p
∈
X
1
(U
1
)
V
⊂
và
(
)
(

)
(
)
1 1 2 2
X U X U
ϕ
⊂
, ánh x
ạ


1
2 1 1 2
:
X X U U
ϕ
−
→
 

là kh
ả
vi t
ạ
i X
-1
(p). Ánh x
ạ

ϕ

đượ
c g
ọ
i là kh
ả
vi trên V n
ế
u nó kh
ả
vi t
ạ
i m
ọ
i
đ
i
ể
m c
ủ
a V. Ánh
x
ạ

1
2 1
X X
ϕ
−
 

g
ọ
i là
bi
ể
u di
ễ
n
đị
a ph
ươ
ng
c
ủ
a ánh x
ạ

ϕ

đố
i v
ớ
i hai b
ả
n
đồ
(U
1
, X
1

) và
(U
2
, X
2
).
Ánh x
ạ

1 2
:
S S
ϕ
→

đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
vi phôi
c
ủ
a
ϕ
là kh
ả
vi trên S
1

và t
ồ
n t
ạ
i ánh x
ạ

ng
ượ
c
1
2 1
:
S S
ϕ
−
→ c
ũ
ng kh
ả
vi. Khi
đ
ó ta nói hai m
ặ
t chính qui S
1
và S
2
là vi phôi v
ớ

i nhau.
Nhận xét 1.5
1. T
ươ
ng t
ự
nh
ư
hàm kh
ả
vi trên m
ộ
t m
ặ
t chính qui,
đị
nh ngh
ĩ
a ánh x
ạ
kh
ả
vi gi
ữ
a các
m
ặ
t chính qui c
ũ
ng không ph

ụ
thu
ộ
c vào các tham s
ố
hóa
đ
ã ch
ọ
n.
2. Theo
đị
nh ngh
ĩ
a, ánh x
ạ

ϕ
là kh
ả
vi khi và ch
ỉ
khi các
đạ
o hàm thành ph
ầ
n c
ủ
a bi
ể

u
di
ễ
n
đị
a ph
ươ
ng c
ủ
a
ϕ
trong các lân c
ậ
n t
ọ
a
độ

đị
a ph
ươ
ng có
đạ
o hàm riêng liên t
ụ
c m
ọ
i c
ấ
p.

3. T
ươ
ng t
ự
nh
ư

đẳ
ng c
ấ
u tuy
ế
n tính g
ữ
a các không gian vec t
ơ
, ánh x
ạ

đẳ
ng c
ự
gi
ữ
a các
không gian Euclid, các vi phôi
đ
óng vai trò quan tr
ọ
ng trong vi

ệ
c nghiên c
ứ
u các tính ch
ấ
t liên
quan
đế
n tính kh
ả
vi c
ủ
a m
ặ
t chính qui. Hai m
ặ
t chính qui vi phôi v
ớ
i nhau
đượ
c xem là nh
ư

nhau.
Ví dụ 1.10. M
ọ
i tham s
ố
hóa c
ủ

a m
ặ
t chính qui S
2
:
X U S
⊂ →
ℝ

là ánh x
ạ
kh
ả
vi gi
ữ
a các m
ặ
t chính qui ( xem U là m
ộ
t m
ặ
t chính qui). Th
ậ
t v
ậ
y, v
ớ
i m
ọ
i

p
∈
X(U) v
ớ
i tham s
ố
hóa
2
:
Y V S
⊂ →
ℝ
t
ạ
i p, ta có:
1 1 1
: (W) (W)
X Y Y X
− − −
→


là kh
ả
vi, trong
đ
ó W = X(U)
∩
Y(U). T
ươ

ng t
ự
ta c
ũ
ng có X
-1
kh
ả
vi, do
đ
ó U và X(U) là vi
phôi v
ớ
i nhau. Do m
ỗ
i
đĩ
a m
ở
trong
2
ℝ
là vi phôi v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
2

ℝ
, nên ta có th
ể
nói
“ M
ỗ
i
m
ặ
t chính qui là vi phôi
đị
a ph
ươ
ng v
ớ
i m
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng”
.
Ví dụ 1.11. Cho S
1
và S
2
là các m
ặ
t chính qui. Gi

ả
s
ử

3
1
S V
⊂ ⊂
ℝ
, v
ớ
i V là m
ộ
t t
ậ
p m
ở
trong
3
ℝ
,
3
:
V
ϕ
→
ℝ
là ánh x
ạ
kh

ả
vi và
(
)
1 2
S S
ϕ
⊂
. Khi
đ
ó ánh x
ạ
h
ạ
n ch
ế

1
1 2
:
S
S S
ϕ
→ là ánh x
ạ

kh
ả
vi. Th
ậ

t v
ậ
y, gi
ả
s
ử

1 1 1 1
, :
p S X U S
∈ →
và
2 2 2
:
X U S
→
là hai tham s
ố
hóa v
ớ
i
(
)
1 1
p X U
∈
và
(
)
(

)
(
)
1 1 2 2
X U X U
ϕ
⊂
. Chúng ta có ánh x
ạ

1
2 1 1 2
:
X X U X
ϕ
−
→
 

là kh
ả
vi. Các tr
ườ
ng h
ợ
p sau
đ
ây là các tr
ườ
ng h

ợ
p
đặ
c bi
ệ
t c
ủ
a ví d
ụ
này.
11

1. Gi
ả
s
ử
m
ặ
t chính qui S là
đố
i x
ứ
ng qua m
ặ
t ph
ẳ
ng xOy, t
ứ
c là n
ế

u
(
)
, ,
x y z S
∈
thì
(
)
, ,
x y z S
− ∈
. Khi
đ
ó ánh x
ạ

:
S S
σ
→
bi
ế
n p
∈
S thành
đ
i
ể
m

đố
i x
ứ
ng qua m
ặ
t ph
ẳ
ng xOy là
ánh x
ạ
kh
ả
vi vì
σ
là h
ạ
n ch
ế
c
ủ
a phép
đố
i x
ứ
ng qua m
ặ
t ph
ẳ
ng xOy trong
3

ℝ
.
2. Kí hi
ệ
u
,
z
R
θ
là phép quay tr
ụ
c z v
ớ
i góc quay
θ
và S là m
ặ
t chính qui b
ấ
t bi
ế
n qua phép
quay này, t
ứ
c là p
∈
S thì
,
z
R

θ
(p)
∈
S. Khi
đ
ó
,
z
R
θ
|
S
là m
ộ
t ánh x
ạ
kh
ả
vi.
3. Cho
(
)
(
)
3 3
: , , , ax, ,
x y z by cz
ϕ ϕ
→ =
ℝ ℝ

trong
đ
ó a, b, c là nh
ữ
ng s
ố
th
ự
c khác không.
Khi
đ
ó ánh x
ạ

2
S
ϕ
t
ừ
S
2
=
(
)
{
}
3 2 2 2
, , : 1
x y z x y z
∈ + + =

ℝ

vào ellipsoid E =
( )
2 2 2
3
2 2 2
, , : 1
x y z
x y z
a b c
 
∈ + + =
 
 
ℝ
, là m
ộ
t ánh x
ạ
kh
ả
vi. Có th
ể
ch
ứ
ng minh S
và E là vi phôi v
ớ
i nhau.

Nhận xét 1.6. Có th
ể
xây d
ự
ng lý thuy
ế
t
đườ
ng theo quan
đ
i
ể
m nh
ư
các m
ặ
t chính qui.
Chúng ta s
ẽ

đị
nh ngh
ĩ
a m
ộ
t
đườ
ng cong chính qui trong
3
ℝ

là t
ậ
p con C c
ủ
a
3
ℝ
có tính
ch
ấ
t là: v
ớ
i m
ọ
i p
∈
C, t
ồ
n t
ạ
i lân c
ậ
n V c
ủ
a p trong
3
ℝ
là m
ộ
t

đồ
ng phôi kh
ả
vi
3
:
I
α
⊂ →
ℝ ℝ

sao cho
d
α
là
đơ
n ánh v
ớ
i m
ọ
i t
∈
I (I là kho
ả
ng m
ở
trong
ℝ
).
T

ươ
ng t
ự
nh
ư
m
ặ
t, chúng ta có th
ể
ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các phép
đổ
i tham s
ố
là m
ộ
t vi phôi.
Đ
i
ề
u này cho th
ấ
y có th
ể

đị
nh ngh

ĩ
a hàm kh
ả
vi trên m
ộ
t
đườ
ng chính qui và ánh x
ạ
kh
ả
vi gi
ữ
a
các
đườ
ng chính qui. Các tính ch
ấ
t
đị
a ph
ươ
ng c
ủ
a C là các tính ch
ấ
t c
ủ
a
đườ

ng cong tham s
ố

mà không ph
ụ
thu
ộ
c vào tham s
ố
hóa. Cho nên các k
ế
t qu
ả
c
ủ
a
đườ
ng tham s
ố

đề
u có th
ể
xem là
các k
ế
t qu
ả

đị

a ph
ươ
ng c
ủ
a các
đườ
ng chính qui. Ng
ượ
c l
ạ
i các k
ế
t qu
ả

đị
a ph
ươ
ng c
ủ
a
đườ
ng
chính qui áp d
ụ
ng
đượ
c cho
đườ
ng tham s

ố
.
Ví dụ 1.12. ( Mặt tròn xoay). Cho C là m
ộ
t
đườ
ng cong chính qui trong m
ặ
t ph
ẳ
ng xOz không
c
ắ
t tr
ụ
c Oz. Quay C quanh tr
ụ
c Oz chúng ta nh
ậ
n
đượ
c m
ộ
t t
ậ
p
3
S
⊂
ℝ

.
Gi
ả
s
ử
x = f(v), z = g(v), a < v < b, f(v) > 0
là m
ộ
t tham s
ố
hóa c
ủ
a C và u là góc quay quanh tr
ụ
c Oz. Nh
ư
v
ậ
y, chúng ta có ánh x
ạ

X(u, v) = (f(v)cos u, f(v)sin u, g(v))
t
ừ
t
ậ
p
(
)
{

}
2
, : 0 2 ,
U u v u a v b
π
= ∈ < < < <
ℝ
vào S. Chúng ta có th
ể
ch
ứ
ng minh X là m
ộ
t tham
s
ố
hóa c
ủ
a S và do
đ
ó S có th
ể

đượ
c ph
ủ
b
ở
i
ả

nh c
ủ
a các tham s
ố
hóa nh
ư
v
ậ
y nên S là m
ộ
t m
ặ
t
chính quy. M
ặ
t S g
ọ
i là
m
ặ
t tròn xoay
.
Đườ
ng cong C g
ọ
i là đườ
ng sinh
, tr
ụ
c Oz g

ọ
i là
tr
ụ
c
xoay
. Các
đườ
ng tròn xác
đị
nh b
ở
i m
ộ
t
đ
i
ể
m c
ủ
a C qua phép quay g
ọ
i là m
ộ
t v
ĩ
tuy
ế
n, còn các v
ị

trí c
ủ
a C theo các góc quay u khác nhau g
ọ
i là các
kinh tuy
ế
n.
N
ế
u C là m
ộ
t
đườ
ng cong ph
ẳ
ng
đ
óng chính qui nh
ậ
n
đườ
ng th
ẳ
ng d làm tr
ụ
c
đố
i x

ứ
ng
thì khi quay quanh d ta c
ũ
ng nh
ậ
n
đượ
c m
ộ
t m
ặ
t mà ta có th
ể
ch
ứ
ng minh là m
ộ
t m
ặ
t chính qui.
Đố
i v
ớ
i nh
ữ
ng m
ặ
t nh
ư

v
ậ
y ta ph
ả
i lo
ạ
i b
ỏ

đ
i 2
đ
i
ể
m
đ
ó là giao c
ủ
a C v
ớ
i d ta g
ọ
i nh
ữ
ng m
ặ
t nh
ư

v

ậ
y là m
ặ
t tròn xoay m
ở
r
ộ
ng.
Do mong mu
ố
n xem xét các tính ch
ấ
t toàn c
ụ
c
đồ
ng th
ờ
i v
ớ
i các tính ch
ấ
t
đị
a ph
ươ
ng,
chúng ta xét các m
ặ
t chính qui thay cho m

ặ
t tham s
ố
. N
ế
u ch
ỉ
xét các tính ch
ấ
t
đị
a ph
ươ
ng thì
ch
ỉ
c
ầ
n xét l
ớ
p các m
ặ
t tham s
ố
(chúng ta s
ẽ
có
đị
nh ngh
ĩ

a ngay sau
đ
ây t
ươ
ng t
ự
nh
ư

đị
nh ngh
ĩ
a
c
ủ
a
đườ
ng tham s
ố
). Sau này ta s
ẽ
th
ấ
y, n
ế
u ch
ỉ
xét l
ớ
p các m

ặ
t tham s
ố
thì các khái ni
ệ
m c
ũ
ng
nh
ư
tính ch
ấ
t toàn c
ụ
c s
ẽ
ph
ả
i b
ị
b
ỏ
qua ho
ặ
c
đượ
c x
ử
lí m
ộ

t cách không
đầ
y
đủ
. Tuy v
ậ
y, khái
ni
ệ
m m
ặ
t tham s
ố

đ
ôi lúc c
ũ
ng t
ỏ
ra h
ữ
u ích.
12

Định nghĩa 1.5. M
ộ
t
m
ặ
t tham s

ố là m
ộ
t c
ặ
p (X, S), trong
đ
ó
2 3
:
X U
⊂ →
ℝ ℝ
, v
ớ
i U là t
ậ
p
m
ở
, là m
ộ
t ánh x
ạ
kh
ả
vi và S =X(U). T
ậ
p X(U) g
ọ
i là

v
ế
t
c
ủ
a m
ặ
t tham s
ố
còn ánh x
ạ
X
đượ
c
g
ọ
i là m
ộ
t
tham s
ố
hóa
c
ủ
a m
ặ
t.
T
ươ
ng t

ự
nh
ư

đườ
ng tham s
ố
chúng ta có các khái ni
ệ
m
m
ặ
t tham s
ố
liên t
ụ
c, m
ặ
t tham
s
ố
kh
ả
vi
Chúng ta s
ẽ

đồ
ng nh
ấ

t m
ặ
t tham s
ố
v
ớ
i X ho
ặ
c v
ớ
i S n
ế
u không có gì gây nh
ầ
m l
ẫ
n.
M
ặ
t tham s
ố
X
đượ
c g
ọ
i là
chính qui
n
ế
u

2 3
:
q
dX
→
ℝ ℝ
là
đơ
n ánh v
ớ
i m
ọ
i q
U
∈
. M
ộ
t
đ
i
ể
m q
U
∈
mà dX
q
không ph
ả
i là
đơ

n ánh
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
đ
i
ể
m
kì d
ị.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n dX
q

đơ
n ánh
t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i

(
)
(
)
{
}
,
u v
X q X q

độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính.
Chú ý r
ằ
ng, m
ộ
t m
ặ
t tham s
ố
ngay c
ả
khi chính qui c
ũ
ng có th
ể

t
ự
c
ắ
t.
Ví dụ 1.13. Cho
3
:
I
α
→
ℝ
là m
ộ
t
đườ
ng tham s
ố
.
Đặ
t

(
)
(
)
(
)
(
)

, ' , ,X t v t v t t v
α α
= + ∈ Ι ×
ℝ
.
Ta có X là m
ộ
t m
ặ
t tham s
ố
và
đượ
c g
ọ
i là
m
ặ
t ti
ế
p xúc
c
ủ
a
α
. Gi
ả
s
ử
hàm

độ
cong k
khác không t
ạ
i m
ọ
i
t I
∈
, ngh
ĩ
a là k(t)
≠
0,
t I
∀ ∈
. Xét ánh x
ạ
X trên mi
ề
n
(
)
{
}
, : 0
U t v I v
= ∈ × ≠
ℝ

Ta có
( ) ( )
' '' ;
X
t v t
t
α α
∂
= +
∂

( )
'
X
t
v
α
∂
=
∂

Do k(t) =
(
)
(
)
( )
3
' ''
0,

'
t t
t I
t
α α
α
∧
≠ ∀ ∈

nên
( ) ( ) ( )
'' ' 0, ,
X X
v t t t v U
t v
α α
∂ ∂
∧ = ∧ ≠ ∀ ∈
∂ ∂

Nh
ư
v
ậ
y h
ạ
n ch
ế

3

:
X U
→
ℝ
là m
ộ
t m
ặ
t tham s
ố
hóa chính qui. V
ế
t c
ủ
a X g
ồ
m hai
m
ả
nh liên thông có biên chung là v
ế
t
(
)
I
α
c
ủ
a
đườ

ng tham s
ố

α
.
M
ệ
nh
đề
sau cho th
ấ
y có th
ể
xét các khái ni
ệ
m và tính ch
ấ
t
đị
a ph
ươ
ng c
ủ
a hình h
ọ
c vi
phân cho các m
ặ
t tham s
ố

.
Mệnh đề 1.6.
Cho
2 3
:
X U
⊂ →
ℝ ℝ
là m
ộ
t m
ặ
t tham s
ố
chính qui và q là m
ộ
t
đ
i
ể
m thu
ộ
c U.
Khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i lân c

ậ
n V c
ủ
a q trong U sao cho X(V)
3
⊂
ℝ
là m
ộ
t m
ặ
t chính qui.
Chứng minh. Gi
ả
s
ử
X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).
T
ừ
tính chính qui, ta có th
ể
gi
ả
s
ử

(
)
( )
,

( ) 0
u, v
x y
q
∂
≠
∂
, xét ánh x
ạ

3
:
F U
× →
ℝ ℝ
, xác
đị
nh b
ở
i
F(u, v, t) =(x( u, v), y( u, v), z( u, v) + t), (u, v,t)
U
∈ ×
ℝ

Do det
(
)
(
)

'F q
=
(
)
( )
,
( ) 0
u, v
x y
q
∂
≠
∂
, nên theo
đị
nh lí hàm ng
ượ
c, t
ồ
n t
ạ
i lân c
ậ
n W
1
c
ủ
a q
và lân c
ậ

n W
2
c
ủ
a F(q) sao cho
1 2
: W W
F
→
là m
ộ
t vi phôi.
Đặ
t V =
1
W ,
U
∩
ta có F|
V
= X|
V
. Do X(V) vi phôi v
ớ
i V nên là m
ộ
t m
ặ
t chính qui.
1.3. Mặt tiếp xúc – vi phân của một ánh xạ

1.3.1. Mặt phẳng tiếp xúc
Định nghĩa 1.6.
M
ộ
t
vec t
ơ
ti
ế
p xúc
c
ủ
a m
ặ
t chính qui S t
ạ
i
đ
i
ể
m
p S
∈
là vec t
ơ
ti
ế
p xúc c
ủ
a

m
ộ
t cung tham s
ố
kh
ả
vi có v
ế
t n
ằ
m trên S
13


(
)
: , ,
S
α ε ε
− →

v
ớ
i
α
(0) = p.
T
ậ
p t
ấ

t c
ả
vec t
ơ
ti
ế
p xúc c
ủ
a S t
ạ
i p g
ọ
i là
m
ặ
t ph
ẳ
ng ti
ế
p xúc
c
ủ
a S t
ạ
i p, kí hi
ệ
u là T
p
S.
M

ệ
nh
đề
sau cho th
ấ
y m
ỗ
i không gian ti
ế
p xúc T
p
S là m
ộ
t không gian vec t
ơ
2 – chi
ề
u.
Mệnh đề 1.7.
Gi
ả
s
ử

2
:
X U S
⊂ →
ℝ
là m

ộ
t tham s
ố
hóa c
ủ
a S v
ớ
i
p
∈
X(U) và p = X
-1
(p). Khi
đ
ó không gian vec t
ơ
2 – chi
ề
u dX
q
(
)
2 3
⊂
ℝ ℝ
chính là không gian ti
ế
p xúc
T
p

S.
Chứng minh. Gi
ả
s
ử
w là vec t
ơ
ti
ế
p xúc c
ủ
a S t
ạ
i p, t
ứ
c là
(
)
w ' 0
α
=
, v
ớ
i
(
)
: ,
S
α ε ε
− →

,
α
(0) = p. Khi
đ
ó
(
)
1
: ,
X U
β α ε ε
−
= − →

là m
ộ
t ánh x
ạ
kh
ả
vi và
β
(0) = q. Nh
ư
v
ậ
y,
X
α β
=


và
β
(0) = q. Do
đ
ó
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
w ' 0 ' 0 . ' 0 ' 0
q q
X dX dX
α β β β
= = = ∈
ℝ

Ng
ượ
c l
ạ

i, gi
ả
s
ử
w = dX
q
(v), v
2
∈
ℝ
. Xét
đườ
ng tham s
ố


(
)
: ,
U
β ε ε
− →


t vt q
+
֏

D
ễ

th
ấ
y
β
(0) = q và
β
’(0) = v. Xét
đườ
ng tham s
ố

(
)
: ,
X S
α β ε ε
= − →

, ta có
α
’(0)
= dX
q
(v) = w.
H
ệ

( ) ( )
,
X X

q q
u v
∂ ∂
 
 
∂ ∂
 
g
ồ
m các vec t
ơ
ti
ế
p xúc v
ớ
i các
đườ
ng t
ọ
a
độ

đ
i qua p là m
ộ
t c
ơ

s
ở

c
ủ
a T
p
S.
Gi
ả
s
ử
w là vec t
ơ
ti
ế
p xúc v
ớ
i
đườ
ng cong
(
)
: ,
X S
α β ε ε
= − →

v
ớ
i
(
)

: ,
U
β ε ε
− →
,
(
)
(
)
(
)
(
)
,
t u t v t
β
=
. Ta có w = u + bX
v
. Ta tính các h
ệ
s
ố
a và b.

( ) ( )( )
' 0 0
d
X
dt

α β
= 


( ) ( )
( )
,
d
u t v t
dt
=
=
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
' 0 0 , 0 ' 0 0 , 0
X X
u u v v u v
u v
∂ ∂
+
∂ ∂

=
(
)
(
)
(

)
(
)
' 0 ' 0
u v
u X q v X q
+
.
Nh
ư
v
ậ
y t
ọ
a
độ
c
ủ
a w
đố
i v
ớ
i c
ơ
s
ở
{X
u
, X
v

} là (u’(0), v’(0).
1.3.2. Vi phân của một ánh xạ
Cho S
1
và S
2
là hai m
ặ
t chính qui và
1 2
:
V S S
ϕ
⊂ →
là ánh x
ạ
kh
ả
vi. L
ấ
y p
∈
V và
w
∈
T
q
S
1
, t

ứ
c là w là vec t
ơ
ti
ế
p xúc c
ủ
a m
ộ
t
đườ
ng tham s
ố
kh
ả
vi
(
)
: , ,w '(0), (0).
V p
α ε ε α α
− → = =

Xét
đườ
ng cong
β ϕ α
=

, ta có

(
)
(
)
0
p
β ϕ
=
do
đ
ó
(
)
( )
2
' 0
p
T S
ϕ
β
∈
. Ta có m
ệ
nh
đề
sau
Mệnh đề 1.8. Vec t
ơ

(

)
( )
2
' 0
p
T S
ϕ
β
∈
không ph
ụ
thu
ộ
c vào
α
.
Chứng minh.
Cho X(u, v) và
(
)
,
X u v
là các tham s
ố
hóa trong lân c
ậ
n c
ủ
a p và
(

)
p
ϕ
. Gi
ả
s
ử


( ) ( ) ( )
(
)
(
)
1 2
, , , , ,
u v u v u v X u v
ϕ ϕ ϕ
= =
14

và
(
)
(
)
(
)
(
)

,
t u t v t
α
=

Khi
đ
ó
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2
, , , ,
t u v u v v t
β ϕ ϕ
=
.
Do
đ
ó
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 1 2 2
0 ' 0 ' 0 ' 0 ' 0 ' 0 .
d
p u p v p u p v
dt u v u v
β ϕ ϕ ϕ ϕ
β
 
∂ ∂ ∂ ∂
= = + + +
 
∂ ∂ ∂ ∂
 


Đ
i
ề
u này cho th
ấ
y
(
)
' 0
β

ch
ỉ
ph
ụ
thu
ộ
c vào
ϕ
và t
ọ
a
độ
c
ủ
a w
đố
i v
ớ
i c
ơ
s
ở
{X
u
, X
v
}.
Do
đ
ó

(
)
' 0
β
không ph
ụ
thu
ộ
c vào
α
.
Theo m
ệ
nh
đề
1.8, ta có ánh x
ạ


( )
1 2
:
p p
p
T T S T S
ϕ
ϕ
→

(
)
(
)
w w : ' 0
p
T
ϕ β
=
֏

Mệnh đề 1.9.
Ánh x
ạ

p
T
ϕ
là m
ộ
t ánh x
ạ
tuy
ế
n tính.
Chứng minh.
Theo m
ệ
nh
đề

1.8

( ) ( )
( )
( )
1 1
2 2
' 0
w ' 0 ,
' 0
p
u
u v
T
v
u v
ϕ ϕ
ϕ β
ϕ ϕ
 
∂ ∂
 
 
∂ ∂
 
= =
 
 
∂ ∂
 

 
∂ ∂
 

t
ứ
c là
p
T
ϕ
là ánh x
ạ
tuy
ế
n tính t
ừ

1
p
T S
vào
( ) 2
p
T S
ϕ
ma tr
ậ
n
đố
i v

ớ
i c
ặ
p c
ơ
s
ở
{X
u
, X
v
} và
{
}
,
u v
X X
là
1 1
2 2
u v
u v
ϕ ϕ
ϕ ϕ
 
∂ ∂
 
∂ ∂
 
 

∂ ∂
 
∂ ∂
 

□

Định nghĩa 1.7.
Ánh x
ạ

p
T
ϕ
g
ọ
i là ánh x
ạ
vi phân hay ánh x
ạ
ti
ế
p xúc hay ánh x
ạ

đạ
o hàm c
ủ
a
ϕ

t
ạ
i p.
Ví dụ 1.14.
cho
2 3
S ⊂
ℝ
là m
ặ
t c
ầ
u
đơ
n v
ị
và
3 3
,
:
z
θ
→
ℝ ℝ ℝ
là phép quay tr
ụ
c Oz v
ớ
i góc
quay

θ
. Khi
đ
ó
2
2 2
,
| :
z
S
R S S
φ
→
là ánh x
ạ
kh
ả
vi. Ta có

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
, , 0 , ,
w | ' 0 w
p z z t z z
d
T R R t R R

dt
θ θ θ θ
α α
=
= = =
do
,
z
R
θ
là tuy
ế
n tính.
Nh
ư
v
ậ
y, chúng ta
đ
ã xây d
ự
ng các phép tính vi tích phân trên các m
ặ
t chính qui. Các k
ế
t
qu
ả
c
ổ

đ
i
ể
n
đượ
c m
ở
r
ộ
ng cho các m
ặ
t chính qui. Sau
đ
ây là
Đị
nh lý hàm ng
ượ
c cho các m
ặ
t
chính qui.
Định nghĩa 1.8. M
ộ
t ánh x
ạ

1 2
:
V S S

ϕ
⊂ →
v
ớ
i S
1
, S
2
là các m
ặ
t chính qui,
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t vi
phôi
đị
a ph
ươ
ng t
ạ
i
p V
∈
n
ế
u t
ồ

n t
ạ
i lân c
ậ
n
U V
⊂
c
ủ
a p sao cho
|
U
ϕ
là vi phôi t
ừ
U vào
(
)
2
U S
ϕ
⊂
.
Định lí hàm ngược cho các mặt chính qui.
Gi
ả
s
ử

1 2

:
V S S
ϕ
⊂ →
là ánh x
ạ
kh
ả
vi sao cho
p
T
ϕ
t
ạ
i
p V
∈
là
đẳ
ng c
ấ
u khi
đ
ó
ϕ
là vi phôi
đị
a ph
ươ
ng t

ạ
i p.
15

D
ĩ
nhiên các khái ni
ệ
m c
ủ
a gi
ả
i tích nh
ư
:
đ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n, giá tr
ị
chính qui, giá tr
ị
t
ớ
i h
ạ

n
c
ũ
ng
đượ
c m
ở
r
ộ
ng m
ộ
t cách t
ự
nhiên cho các m
ặ
t chính qui.
Cho
1
p S
∈
, v
ớ
i S là m
ộ
t m
ặ
t chính qui. Khi
đ
ó ta có hai vec t
ơ

đơ
n v
ị
(ng
ượ
c chi
ề
u
nhau) vuông góc v
ớ
i
p
T S
. Chúng
đượ
c g
ọ
i là các pháp vec t
ơ

đơ
n v
ị
t
ạ
i p.
Đườ
ng th
ẳ

ng
đ
i qua p
v
ớ
i vec t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng là các pháp vec t
ơ

đơ
n v
ị
này g
ọ
i là pháp tuy
ế
n c
ủ
a S t
ạ
i p.
Ta s
ẽ
g
ọ

i góc gi
ữ
a hai m
ặ
t chính qui t
ạ
i giao
đ
i
ể
m p c
ủ
a chúng là góc gi
ữ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng
ti
ế
p xúc t
ạ
i
đ
i
ể
m p. Góc này c
ũ
ng chính là góc gi

ữ
a hai pháp tuy
ế
n t
ạ
i p.
Chúng ta có th
ể
xác
đị
nh m
ộ
t vec t
ơ
pháp tuy
ế
n b
ằ
ng cách ch
ọ
n

( ) ( )
:
u v
u v
X X
N p q
X X
∧

=
∧
,
v
ớ
i q = X
-1
(p) và X là m
ộ
t tham s
ố
hóa t
ạ
i p.
Nh
ư
v
ậ
y chúng ta có ánh x
ạ
kh
ả
vi r
ấ
t quan tr
ọ
ng trong vi
ệ
c nghiên c
ứ

u m
ặ
t

(
)
3
:N X U →
ℝ


(
)
p N p
֏
.
Ánh x
ạ
N nh
ư
trên
đượ
c xác
đị
nh m
ộ
t cách
đị
a ph
ươ

ng và s
ẽ

đượ
c
đề
c
ậ
p trong các m
ụ
c
ti
ế
p theo. Các ví d
ụ
v
ề
m
ặ
t không
đị
nh h
ướ
ng
đượ
c cho th
ấ
y không th
ể
thác tri

ể
n N thành ánh x
ạ

kh
ả
vi trên toàn b
ộ
m
ặ
t, n
ế
u m
ặ
t là không
đị
nh h
ướ
ng
đượ
c.
1.4.

Dạng cơ bản thứ nhất – Diện tích
1.4.1. Dạng cơ bản thứ nhất

Cho
3
S ⊂
ℝ

là m
ộ
t m
ặ
t chính qui. Khi
đ
ó tích vô h
ướ
ng trên
3
ℝ
s
ẽ
c
ả
m sinh tích vô
h
ướ
ng trên t
ừ
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng ti
ế
p xúc T
p
S. C
ụ

th
ể


1 2 1 2 1 2
w , w , w , w w .w
p
p
T S∀ ∈ = ( tích vô h
ướ
ng trong
3
ℝ
).
Định nghĩa 1.9.
V
ớ
i m
ỗ
i không gian ti
ế
p xúc T
p
S, d
ạ
ng toàn ph
ươ
ng

:

p p
I T S →
ℝ

I
p
(w) =
1 2
w ,w
p
= |w|
2
, w
∈
T
p
S
g
ọ
i là d
ạ
ng c
ơ
b
ả
n th
ứ
nh
ấ
t c

ủ
a S t
ạ
i p.
Gi
ả
s
ử
X(u, v) là m
ộ
t tham s
ố
hóa c
ủ
a S t
ạ
i p, w
∈
T
p
S là vec t
ơ
ti
ế
p xúc c
ủ
a cung tham
s
ố
trên m

ặ
t
(
)
: ,
S
α ε ε
− →


(
)
(
)
(
)
,
t X u t v t
֏

v
ớ
i
(
)
(
)
0 ,w ' 0
p
α α

= =
ta có
I
p
(w) =
(
)
(
)
(
)
(
)
' 0 ' 0 , 0
p
I
α α α
=

=
' ' , ' '
u v u v
u X v X u X v X
+ +

=
( ) ( )
2 2
, ' 2 , '. ' , '
u v u v u v

X X u X X u v X X v
+ +
=E(u’)
2
+ 2Fu’v’ +G(v’)
2
,
v
ớ
i
,
u v
E X X
=
, F =
,
u v
X X
, G =
,
u v
X X
là các h
ệ
s
ố
c
ủ
a d
ạ

ng c
ơ
b
ả
n th
ứ
nh
ấ
t I
p
.
Khi cho p ch
ạ
y trong lân c
ậ
n t
ọ
a
độ

ứ
ng v
ớ
i X, ta
đượ
c các hàm kh
ả
vi F, E, G xác
đị
nh

trong lân c
ậ
n này.
16

Ví dụ 1.15.
Gi
ả
s
ử
w
1
, w
2
là các vec t
ơ
tr
ự
c chu
ẩ
n và p là m
ộ
t
đ
i
ể
m trong
3
ℝ
. Khi

đ
ó m
ặ
t ph
ẳ
ng
qua p v
ớ
i c
ặ
p vec t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng w
1
, w
2
có m
ộ
t tham s
ố
hóa d
ạ
ng
X(u, v) = p +uw
1
+vw

2,
(u, v)
∈
2
ℝ
.
Ta tính
đượ
c
E =
1 2
, w ,w 1
u u
X X
= =

F =
1 2
, w , w 0
u v
X X
= =

G =
1 2
, w , w 1
v v
X X
= =

N
ế
u w có t
ọ
a
độ
(a, b)
đố
i v
ớ
i {X
u
, X
v
} thì I
p
(w) = a
2
+ b
2
.
Ví dụ 1.16.
M
ặ
t tr
ụ
v
ớ
i
đ

áy là
đườ
ng tròn
2 2
1
0
x y
z

+ =

=


Có m
ộ
t tham s
ố
hóa d
ạ
ng
X(u, v) = (cos u, sin u, v),
xác
đị
nh trên t
ậ
p m
ở

(

)
{
}
2
, : 0 2 ,U u v u v
π
= ∈ < < −∞ < < ∞
ℝ
. Ta có
X
u
= (-sin u, cos u, 0),
X
v
= (0, 0, 1).
Do
đ
ó ta
đượ
c E = 1, F = 0, G = 1.
Ta có nh
ậ
n xét d
ạ
ng c
ơ
b
ả
n th
ứ

nh
ấ
t c
ủ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng và m
ặ
t tr
ụ
là gi
ố
ng nhau.
Ví dụ 1.17.
Xét
đườ
ng xo
ắ
n
ố
c (helix) có tham s
ố
hóa nh
ư
sau:

(
)

(
)
c u cos u, sin u, au , 0,0 2
a u
π
= ≠ < <

Qua m
ỗ
i
đ
i
ể
m c
ủ
a
đườ
ng xoáy
ố
c này v
ẽ

đườ
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i m
ặ
t ph

ẳ
ng xOy và
giao v
ớ
i truc Oz. M
ặ
t sinh b
ở
i các
đườ
ng th
ẳ
ng này g
ọ
i là Helicoid và có m
ộ
t tham s
ố
hóa d
ạ
ng
(
)
(
)
, os , sin , ,0 2 ,X u v vc u v u au u v
π
= < < −∞ < < ∞
.
Ta có

X
u
= (-vsin u, vcos u, 0),
X
v
= (cos u, sin u, 0).
T
ừ

đ
ây ta tính
đượ
c
E = v
2
+ a
2
, F = 0, G = 1.
D
ạ
ng c
ơ
b
ả
n I là quan tr
ọ
ng vì n
ế
u bi
ế

t I chúng ta có th
ể
x
ử
lí các v
ấ
n
đề
metric trên m
ộ
t
m
ặ
t chính qui mà không c
ầ
n
đế
n không gian
3
ℝ
. Ví d
ụ
, hàm
độ
dài cung c
ủ
a m
ộ
t hàm tham s
ố

:
c I S
→
,
đượ
c cho b
ở
i
( ) ( ) ( )
( )
0 0
' '
t t
s t c t dt I c t dt
= =
∫ ∫
.

Đặ
c bi
ế
t, n
ế
u c(t) = X(u(t), v(t)) thì có th
ể
tính
độ
dài c
ủ

a
đườ
ng tham s
ố
c, gi
ả
s
ử
t
ừ
0
đế
n t

( ) ( ) ( )
2 2
0
' 2 ' ' '
t
s t E u Fu v G v dt
= + +
∫

C
ũ
ng nh
ư
v
ậ
y, góc gi

ữ
a hai
đườ
ng tham s
ố
chính qui
:
c I S
→
và
:
J S
α
→
c
ắ
t nhau
t
ạ
i t
0
là
17

(
)
(
)
( ) ( )
0 0

0 0
' , '
os
' . '
c t t
c
c t c t
α
θ
=


Đặ
c bi
ệ
t góc gi
ữ
a hai t
ọ
a
độ
c
ủ
a m
ộ
t tham s
ố
hóa là
cos
,

.
u v
u v
X X
F
X X
EG
θ
= =
.
T
ừ

đ
ây chúng ta th
ấ
y r
ằ
ng hai
đườ
ng t
ọ
a
độ
tr
ự
c giao khi và ch
ỉ
khi
(

)
(
)
, 0, ,
F u v u v
= ∀ .
M
ộ
t tham s
ố
hóa nh
ư
v
ậ
y g
ọ
i là tham s
ố
hóa t
ự
c giao.
Nhận xét 1.7

Do
đẳ
ng th
ứ
c
( ) ( ) ( )
2 2

0
' 2 ' ' '
t
s t E u Fu v G v dt
= + +
∫
nên trong nhi
ề
u giáo trình d
ạ
ng c
ơ

b
ả
n th
ứ
nh
ấ
t
đượ
c vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng
ds
2

= E du
2
+ 2Fdudv + G dv
2

có ngh
ĩ
a là n
ế
u c(t) = X(u(t), v(t)) là m
ộ
t
đườ
ng tham s
ố
trên m
ặ
t S và s = s(t) là
độ
dài cung c
ủ
a
nó thì

2 2 2
2
ds du du dv dv
E F G
dt dt dt dt dt
        

= + +
        
        

Ví dụ 1.18.
Xét m
ộ
t tham s
ố
hóa c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u S
2


(
)
(
)
, sin os ,sin sin , os
X c c
θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ
= .
Ta có

(

)
os os , os sin , sin
X c c c
θ
θ ϕ θ ϕ θ
= −

(
)
sin sin ,sin os ,0
X c
ϕ
θ ϕ θ ϕ
= − ,
Do
đ
ó E = 1, F = 0, G =
2
sin
θ
. Nh
ư
v
ậ
y, gi
ả
s
ử
w aX
p

bX T S
θ ϕ
= + ∈ v
ớ
i p =
(
)
,
X
θ ϕ

thì
2
2 2 2
w sin
a b
θ
= + .
1.4.2. Diện tích

M
ộ
t s
ố
v
ấ
n
đề
khác liên quan
đế

n metric là di
ệ
n tích. Chúng ta mong mu
ố
n tính
đượ
c
di
ệ
n tích c
ủ
a các mi
ề
n b
ị
ch
ặ
n c
ủ
a m
ộ
t m
ặ
t chính qui. V
ấ
n
đề
này s
ẽ

đượ
c x
ử
lí nh
ờ
vào d
ạ
ng c
ơ

b
ả
n th
ứ
nh
ấ
t.
Tr
ướ
c h
ế
t chúng ta làm quen v
ớ
i m
ộ
t s
ố
khái ni
ệ
n. Mi

ề
n m
ở
(domain) c
ủ
a m
ặ
t chính qui
S là m
ộ
t t
ậ
p m
ở
liên thông c
ủ
a S có biên là
ả
nh c
ủ
a
đườ
ng tròn qua m
ộ
t phép
đồ
ng phôi kh
ả
vi
chính qui (t

ứ
c là
đạ
o hàm khác không) ch
ỉ
tr
ừ
t
ạ
i m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n
đ
i
ể
m. Mi
ề
n là h
ợ
p c
ủ
a mi
ề
n

m
ở
và biên c
ủ
a nó. M
ộ
t mi
ề
n
đượ
c g
ọ
i là b
ị
ch
ặ
n n
ế
u nó
đượ
c ch
ứ
a trong m
ộ
t hình c
ầ
u nào
đ
ó.
Gi

ả
s
ử
S là m
ộ
t m
ặ
t chính qui, X là m
ộ
t tham s
ố
hóa
đị
a ph
ươ
ng. Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng ti
ế
p
xúc T
p
S, t
ứ
c là m
ộ
t không gian Euclid 2 – chi
ề

u, chúng ta
đ
ã bi
ế
t
đạ
i l
ượ
ng
u v
X X
∧
đ
úng b
ằ
ng
di
ệ
n tích hình bình hành d
ự
ng trên các vec t
ơ
X
u
, X
v
. Chúng ta
đư
a ra
đị

nh ngh
ĩ
a di
ệ
n tích c
ủ
a
mi
ề
n b
ị
ch
ặ
n.
Định nghĩa 1.10.
Cho
R S
⊂
là m
ộ
t mi
ề
n b
ị
ch
ặ
n ch
ứ
a trong lân c
ậ

n t
ọ
a
độ
xác
đị
nh b
ở
i tham s
ố

hóa
2
:
X U S
⊂ →
ℝ
. S
ố
d
ươ
ng

(
)
(
)
1
, dud ,
u v

Q
A R X X v Q X R
−
= =
∫∫

18

g
ọ
i là di
ệ
n tích c
ủ
a R.
Do
2 2 2 2
, ,
u v u v u v
X X X X X X
+ =
Nên |
,
u v
X X
| =
2
EG F
− công th
ứ

c di
ệ
n tích
đượ
c vi
ế
t l
ạ
i
( )
2
dud
Q
A R EG F v
= −
∫∫

Nhận xét 1.8

Chúng ta có th
ể

đị
nh ngh
ĩ
a di
ệ
n tích m
ộ
t cách hình h

ọ
c h
ơ
n b
ằ
ng cách dùng phân ho
ạ
ch
mi
ề
n thành các mi
ề
n nh
ỏ
h
ơ
n có th
ể
x
ấ
p x
ỉ

đượ
c và sau
đ
ó l
ấ
y gi
ớ

i h
ạ
n. Tuy nhiên v
ấ
n
đề
này
m
ấ
t khá nhi
ề
u th
ờ
i gian.
Đị
nh ngh
ĩ
a nêu trên có v
ẻ
áp
đặ
t nh
ư
ng hoàn toàn t
ươ
ng thích v
ớ
i cách
hi
ể

u t
ự
nhiên v
ề
di
ệ
n tích. Ví d
ụ
ngay sau
đ
ây minh h
ọ
a cho
đ
i
ề
u
đ
ó.
Ví dụ 1.19.
Tính di
ệ
n tích m
ặ
t xuy
ế
n T. Xét lân c
ậ
n t
ươ

ng
ứ
ng v
ớ
i tham s
ố
hóa

(
)
(
)
(
)
(
)
, cos cos , cos sin , sin
X u v a r u v a r u v r u
= + +
,
(
)
0 2 ,0 2
u v
π π
< < < <

Lân c
ậ
n t

ọ
a
độ
này ph
ủ
S ch
ỉ
tr
ừ
m
ộ
t
đườ
ng kinh tuy
ế
n và m
ộ
t
đườ
ng v
ĩ
tuy
ế
n. Ta tính
d
ượ
c h
ệ
s
ố

c
ủ
a d
ạ
ng c
ơ
b
ả
n th
ứ
nh
ấ
t nh
ư
sau :
E = r
2
, F = 0, G = (r cos u +a)
2
.
Do
đ
ó,
2
EG F
−
= r(r cos u +a)
Xét mi
ề
n

R
ε
là
ả
nh c
ủ
a
Q
ε
qua X v
ớ
i
(
)
{
}
2
, : 0 2 ,0 2Q u v u v
ε
ε π ε ε π ε
= ∈ + ≤ ≤ − + ≤ ≤ −
ℝ

Mi
ề
n
R
ε
ph
ủ

g
ầ
n h
ế
t T ch
ỉ
tr
ừ
hai d
ả
i nh
ỏ
ch
ứ
a
đườ
ng kinh tuy
ế
n và v
ĩ
tuy
ế
n nêu trên.
Khi
ε
d
ầ
n v
ề
không thì A(

R
ε
) d
ầ
n v
ề
di
ệ
n tích c
ủ
a T. Ta tính A(
R
ε
).

( ) ( )
( )
2 2
2
0 0
A r r cos u a dud r cos u a
Q
R v r du dv
ε
π ε π ε
ε
ε ε
− −
+ +
= + = +

∫∫ ∫ ∫

=
( ) ( )
(
)
( )
2
2
2 2 sin 2 sin 2 2 .
r ra
π ε π ε ε π ε
− − − + −

Cho
0
ε
→
, ta có A(T) =
2
4
ra
π
.

C. TÀI LIỆU HỌC TẬP
[1].
Đỗ
Ng
ọ

c Di
ệ
p (2001), Hình h
ọ
c vi phân, Vi
ệ
n toán h
ọ
c.
[2].
Đ
oàn Th
ế
Hi
ế
u (2009), Giáo trình hình h
ọ
c vi phân,
Đạ
i h
ọ
c Hu
ế
.
[3]. Manfredo P do Carmo (1999), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Instituto de
Matemetica Pura e Aplicada (IMPA).

D. CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN
Câu hỏi
1.1. Nêu

đị
nh ngh
ĩ
a m
ặ
t chính qui, l
ấ
y ví d
ụ
minh h
ọ
a.
1.2. Phát bi
ể
u và ch
ứ
ng minh
đị
nh lí hàm ng
ượ
c cho các m
ặ
t chính qui.
1.3. Nêu
đị
nh
nghĩ
a
hà
m

khả
vi trên m
ộ
t
đườ
ng
chí
nh qui.
1.4. Cho C
là
m
ộ
t
đườ
ng
chí
nh qui ph
ẳ
ng n
ằ
m v
ề
m
ộ
t
phí
a
củ
a
đườ

ng th
ẳ
ng l trong m
ặ
t ph
ẳ
ng
v
ớ
i hai
đầ
u
mú
t p
và
q thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng l. V
ớ
i
cá
c
đ
i
ề
u ki

ệ
n
gì thì
khi quay C quanh l
sẽ
nh
ậ
n
đượ
c m
ộ
t m
ặ
t
trò
n xoay (
chí
nh qui) m
ở
r
ộ
ng.
19

1.5. Quan h
ệ
vi phôi trong l
ớ
p
cá

c m
ặ
t
chí
nh qui có
là
m
ộ
t quan h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng không ?
Bài tập
1.1. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng m
ặ
t
trụ
{
}
3 2 2
( , , ) : 1
x y z x y
∈ + =

ℝ
là
m
ộ
t m
ặ
t
chí
nh qui
và
h
ã
y
tì
m h
ọ

tham s
ố hoá mà cá
c lân c
ậ
n
toạ độ phủ củ
a
nó
.
1.2.
Cá
c t
ậ

p sau
đ
ây
có phả
i m
ặ
t m
ộ
t m
ặ
t
chí
nh qui?
a)
{
}
3 2 2
( , , ) : 0; 1
x y z z x y
∈ = + ≤
ℝ

b)
{
}
3 2 2
( , , ) : 0; 1
x y z z x y
∈ = + <
ℝ

1.3. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng m
ặ
t
nó
n hai t
ầ
ng
{
}
3 2 2 2
( , , ) : 0
x y z x y z
∈ + − =
ℝ
không
phả
i
là
m
ộ
t m
ặ
t
chí
nh qui.

1.4. Cho
hà
m s
ố
2
( , , )
f x y z z
=
ch
ứ
ng minh r
ằ
ng 0
là giá trị
t
ớ
i
hạ
n
củ
a f nh
ư
ng
1
(0)
f
−
là
m
ộ

t
m
ặ
t
chí
nh qui.
1.5.

Cho
{
}
3
( , , ) : 0
P x y z x y
= ∈ − =
ℝ
và
2 3
:X U ⊂ →
ℝ ℝ
cho b
ở
i
( , ) ( , , )
X u v u v u v uv
= + +

v
ớ
i

2
{( , ) : }
U u v u v
= ⊂ >
ℝ
.
Rõ rà
ng,
( )
X U P
⊂
.
Có phả
i X
là
m
ộ
t tham s
ố hoá củ
a P?
1.6.

Cho
2
( , , ) ( 1)
f x y z x y z
= + + −

a)
Hã

y
xá
c
đị
nh
cá
c
đ
i
ể
m t
ớ
i
hạ
n
và cá
c
giá trị
t
ớ
i
hạ
n
củ
a f.
b) V
ớ
i
giá trị
c

nà
o
thì
t
ậ
p
( , , )
f x y z c
=
là
m
ộ
t m
ặ
t
chí
nh qui.
c)
Trả
l
ờ
i
cá
c câu
ở mụ
c a)
và
b) cho
hà
m s

ố
2
( , , )
f x y z xyz
=
.
1.7.

Cho V
là
m
ộ
t t
ậ
p m
ở
trong m
ặ
t ph
ẳ
ng xOy.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng t
ậ
p
{
}

3
( , , ) : 0;( , )
x y z z x y V
∈ = ∈
ℝ
là m
ộ
t m
ặ
t chính qui.
1.8. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng t
ậ
p
{
}
3 2 2
( , , ) :
S x y z z x y
= ∈ = −
ℝ

là
m
ộ
t m
ặ

t
chí
nh qui
và
ki
ể
m tra
cá
c
á
nh
xạ
sau
là cá
c tham s
ố hoá củ
a S.
a)
2
( , ) ( , , 4 ), (u,v)X u v u v u v uv= + − ∈
ℝ
.
b)
2
( , ) ( cos(h ), sin( ), ), u 0
X u v u v u hv u
= ≠
.
1.9.

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng X :
2 3
U ⊂ →
ℝ ℝ
cho b
ở
i
( , ) ( sin cos , sin sin , cos )
X u v u u v b u v c u
=

v
ớ
i
0 , 0 2 , a, b, c > 0
u v
π π
< < < <

là
m
ộ
t tham s
ố hoá củ
a m
ặ

t ellipsoid
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ + =

Mô
tả cá
c
đườ
ng cong
toạ độ
ons
u c t
=
trên ellipsoid.
1.10.

Tì
m m
ộ
t tham s
ố hoá
cho m
ặ
t hyperboloid hai t
ầ
ng

{
}
3 2 2 2
( , , ) : 1
x y z x y z
∈ − − + =
ℝ

1.11.

Cho
{
}
2 3 2 2 2
( , , ) : 1
S x y z x y z
= ∈ + + =
ℝ
là
m
ặ
t c
ầ
u
đơ
n
vị và
2 2
:
A S S

→
là á
nh
xạ
(antipodal)
xá
c
đị
nh b
ở
i
( , , ) ( , , )
A x y z x y z
= − − −
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng A
là
m
ộ
t vi phôi.
1.12.

Cho S
là
m
ộ
t m

ặ
t
chí
nh qui
và
2
: S
π
→
ℝ
là phé
p chi
ế
u lên m
ặ
t ph
ẳ
ng xOy.
Á
nh
xạ
π

có
khả
vi không?
1.13.

Ch
ứ

ng minh r
ằ
ng m
ặ
t parabolid
2 2
z x y
= +
là
vi phôi v
ớ
i m
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng.
20

1.14.

Xây d
ự
ng 1 vi phôi gi
ữ
a ellipsoid
2 2 2
2 2 2
1

x y z
a b c
+ + =
và
m
ặ
t c
ầ
u
2 2 2
1
x y z
+ + =
.
1.15.

Cho
3
S ⊂
ℝ
là
m
ộ
t m
ặ
t
chí
nh qui
và xé
t

á
nh
xạ
:d S
→
ℝ
xá
c
đị
nh b
ở
i
0
( )
d p p p
= −
v
ớ
i
p S
∈
và
3
0 0
,
p p S
∈ ∉
ℝ
. Ch
ứ

ng minh r
ằ
ng d
là khả
vi.
1.16.

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
đị
nh
nghĩ
a
á
nh
xạ khả
vi gi
ữ
a
cá
c m
ặ
t không
phụ
thu
ộ
c vào

cá
c tham s
ố
hoá đượ
c
chọ
n.
1.17.

Xá
c
đị
nh
cá
c m
ặ
t ph
ẳ
ng ti
ế
p
xú
c
củ
a m
ặ
t
2 2 2
1
x y z

+ − =
tạ
i
cá
c
đ
i
ể
m
( , ,0)
a b
.
Và
ch
ứ
ng
tỏ
r
ằ
ng
chú
ng song song v
ớ
i
trụ
c Oz.
1.18. Ch
ứ
ng
tỏ

r
ằ
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng ti
ế
p
xú
c
tạ
i
cá
c
đ
i
ể
m
( , ,0)
a b
củ
a m
ặ
t cho b
ở
i ph
ươ
ng
trì

nh
( ), x 0
y
z f
x
= ≠
, v
ớ
i f
là
m
ộ
t
hà
m
khả
vi;
đ
i qua
đ
i
ể
m g
ố
c O(0,0,0) .
1.19.

Giả
s
ử

m
ộ
t lân c
ậ
n
toạ độ củ
a m
ộ
t m
ặ
t
chí
nh qui
có
tham s
ố hoá dạ
ng

1 2
( , ) ( ) ( )
X u v u v
α α
= +

v
ớ
i
1 2
,
α α

là cá
c
đườ
ng tham s
ố chí
nh qui.
Hã
y ch
ứ
ng
tỏ
r
ằ
ng
cá
c m
ặ
t ph
ẳ
ng ti
ế
p
xú
c
dọ
c m
ộ
t
đườ
ng

toạ độ
trong lân c
ậ
n
nà
y
đề
u song song v
ớ
i m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng.
1.20.

Cho f :
S
→
ℝ
cho b
ở
i
2
0
( )
f p p p
= − , v

ớ
i p
S
∈
và
0
p
là
m
ộ
t
đ
i
ể
m c
ố đị
nh
củ
a
3
ℝ
.
Ch
ứ
ng
tỏ
r
ằ
ng
0

( ) 2 ( ),
p p
df v v p p v T S
= − ∈
.
1.21
.
Ch
ứ
ng
tỏ
r
ằ
ng
phá
p tuy
ế
n
củ
a m
ặ
t
xá
c
đị
nh b
ở
i tham s
ố hoá

(
)
( , ) ( )cos , ( )sin , ( ) ; ( ) 0, ( ) 0, u
X u v f u v f u v g u f u g u
= ≠ ≠ ∀

đ
i qua
trụ
c Oz.
1.22.

Ch
ứ
ng
tỏ
r
ằ
ng m
ỗ
i m
ộ
t ph
ươ
ng
trì
nh sau
( , , 0)
a b c
≠

2 2 2
ax,
x y z+ + =
2 2 2
x,
x y z b
+ + =

2 2 2
x,
x y z c
+ + =
xá
c
đị
nh m
ộ
t m
ặ
t
chí
nh qui
và chú
ng tr
ự
c giao nhau.
1.23. Cho tham s
ố hoá củ
a m

ộ
t m
ặ
t
chí
nh qui
( )
( , ) cos , sin ,ln cos ; -
2 2
X u v u v u v v u v
π π
= + < <

Ch
ứ
ng
tỏ
r
ằ
ng hai
đườ
ng cong
1 2
( , ), ( , )
X u v X u v
xá
c
đị
nh nh
ữ

ng
đoạ
n th
ẳ
ng
có độ dà
i b
ằ
ng
nhau trên t
ấ
t
cả cá
c
đườ
ng tham s
ố
( , ons )
X u c t
.
1.24. Ch
ứ
ng
tỏ
r
ằ
ng di
ệ
n
tí

ch A
củ
a mi
ề
n
bị
ch
ặ
n R
củ
a m
ặ
t
( , )
z f x y
=
là

2 2
1
x y
A f f dxdy
Ω
∫
= + +

Ở đ
ây
Ω

là hì
nh chi
ế
u tr
ự
c giao
củ
a R lên m
ặ
t ph
ẳ
ng xOy.
1.25. Cho hai
đ
i
ể
m
( )
p t
và
( )
q t
di chuy
ể
n v
ớ
i
cù
ng m
ộ

t v
ậ
n t
ố
c, p xu
ấ
t
phá
t t
ừ
(0,0,0)
và
di
chuy
ể
n
dọ
c
trụ
c z
và
Q xu
ấ
t
phá
t t
ừ
(a,0,0)
và
di chuy

ể
n song song v
ớ
i
trụ
c x. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
cá
c
đườ
ng th
ẳ
ng n
ố
i
( )
p t
và
( )
q t

cho ta m
ộ
t t
ậ
p trong
3

ℝ
xá
c
đị
nh b
ở
i ph
ươ
ng
trì
nh
( )
y x a zx c
− + =
. T
ậ
p
nà
y
có phả
i
là
m
ặ
t
chí
nh qui không?
21

CHƯƠNG 2

Ánh xạ Gauss

S
ố
ti
ế
t 15: (lý thuy
ế
t: 12 ti
ế
t; bài t
ậ
p: 03 ti
ế
t)
A. MỤC TIÊU
- Sinh viên hi
ể
u
đượ
c các khái ni
ệ
m m
ặ
t
đị
nh h
ướ
ng, ánh x
ạ

Gauss, công th
ứ
c tính
độ
cong
Gauss,
độ
cong trung bình, công th
ứ
c Euler, m
ặ
t k
ẻ
, m
ặ
t c
ự
c ti
ể
u, d
ạ
ng c
ơ
b
ả
n th
ứ
hai và các
đườ
ng

đặ
c bi
ệ
t trên m
ặ
t.
- Sinh viên v
ậ
n d
ụ
ng
đượ
c các ki
ế
n th
ứ
c
đ
ã h
ọ
c kh
ả
o sát
đượ
c các m
ặ
t v
ề
:
độ

cong, d
ạ
ng c
ơ
b
ả
n
th
ứ
nh
ấ
t, d
ạ
ng c
ơ
b
ả
n th
ứ
hai,
đ
i
ể
m k
ỳ
d
ị
,
đ
i

ể
m r
ố
n, ch
ứ
ng minh m
ộ
t m
ặ
t
đị
nh h
ướ
ng, các bài
toán liên quan
đế
n
độ
cong và
độ
cong trung bình.
- Sinh viên có thái
độ
tích c
ự
c, ch
ủ

độ
ng tham gia các ho

ạ
t
độ
ng c
ủ
a môn h
ọ
c, có ph
ươ
ng pháp
h
ọ
c t
ậ
p tích c
ự
c sáng t
ạ
o.

B. NỘI DUNG
Khi nghiên c
ứ
u t
ố
c
độ
thay
đổ
i c

ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a m
ộ
t
đườ
ng cong C t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m ta d
ẫ
n
đế
n m
ộ
t b
ấ
t bi
ế
n hình h

ọ
c quan tr
ọ
ng,
độ
cong c
ủ
a
đ
i
ể
m
đ
ang xét c
ủ
a
đườ
ng cong. Khi nghiên
c
ứ
u t
ố
c
độ
thay
đổ
i c
ủ
a m
ặ

t ph
ẳ
ng m
ậ
t ti
ế
p, hay m
ộ
t cách t
ươ
ng
đươ
ng t
ố
c
độ
thay
đổ
i c
ủ
a các
vec t
ơ
trùng pháp, ta có khái ni
ệ
m trùng xo
ắ
n, là b
ấ
t bi

ế
n hình h
ọ
c quan tr
ọ
ng th
ứ
hai c
ủ
a
đườ
ng
cong. Hai b
ấ
t bi
ế
n này ph
ả
n ánh hình dáng
đị
a ph
ươ
ng t
ạ
i t
ừ
ng
đ
i
ể

m c
ủ
a
đườ
ng cong. M
ộ
t cách
hoàn toàn t
ươ
ng t
ự
, chúng ta xét t
ố
c
độ
bi
ế
n thiên c
ủ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng ti
ế
p xúc trong m
ộ
t lân c
ậ
n c

ủ
a
đ
i
ể
m p c
ủ
a m
ộ
t m
ặ
t chính qui hay m
ộ
t cách t
ươ
ng
đươ
ng là t
ố
c
độ
tr
ườ
ng pháp vec t
ơ

đơ
n v
ị

trong lân c
ậ
n
đ
ó. T
ố
c
độ
bi
ế
n thiên này không
đượ
c
đặ
c tr
ư
ng b
ở
i m
ộ
t con s
ố
mà
đượ
c
đặ
c tr
ư
ng
b

ở
i m
ộ
t t
ự

đồ
ng c
ấ
u tuy
ế
n tính t
ự
liên h
ợ
p c
ủ
a
p
T S
. Nhi
ề
u tính ch
ấ
t
đị
a ph
ươ
ng
đ

áng ng
ạ
c nhiên
đượ
c tìm th
ấ
y t
ừ
s
ự
nghiên c
ứ
u ánh x
ạ
tuy
ế
n tính này.
Cho S là m
ộ
t m
ặ
t chính qui và
N
là m
ộ
t tham s
ố
hoá
đị
a ph

ươ
ng c
ủ
a
S
. Nh
ư

đ
ã bi
ế
t n
ế
u
chúng ta ch
ọ
n các vec t
ơ
pháp
đơ
n v
ị
t
ạ
i m
ỗ
i
đ
i
ể

m c
ủ
a
p S
∀ ∈
nh
ư
sau


( ) ( ),
u v
u v
X X
N p p
X X
∧
=
∧

( );
p X U
∈

Chúng ta nh
ậ
n
đượ
c m
ộ

t ánh x
ạ
kh
ả
vi


3
: ( )N X U →
ℝ


( )
p N p
֏

Cho
v
v T C
∈
là t
ậ
p m
ở
. M
ộ
t tr
ườ
ng vec t
ơ

trên V là ánh x
ạ

( ) ( );
p
DN v v
π
= − . Tr
ườ
ng vec
t
ơ

F
đượ
c g
ọ
i là liên t
ụ
c, kh
ả
vi n
ế
u ánh x
ạ

F
có các tính ch
ấ
t nh

ư
v
ậ
y. N
ế
u
( ) ,
p
F p T S
∈

p V
∀ ∈
thì ta nói
F
là tr
ườ
ng vec t
ơ
ti
ế
p xúc trên
V
. N
ế
u
( ) ,
p
F p T S
⊥

p V
∀ ∈
, ta nói
F
là
tr
ườ
ng pháp vec t
ơ
trên
V
. N
ế
u
( ) ,
p
F p T S
⊥

( ) 1,
F p
=

p V
∀ ∈
, ta nói
F
là tr
ườ
ng pháp vec t

ơ

đơ
n v
ị
trên
V
. Theo
đị
nh ngh
ĩ
a này
( )
N p
xác
đị
nh nh
ư
trên là m
ộ
t tr
ườ
ng pháp vec t
ơ

đơ
n v
ị

trên

( )
X U
.
2.1. Mặt định hướng
Định nghĩa 2.1
. M
ộ
t m
ặ
t chính qui
S

đượ
c g
ọ
i là
đị
nh h
ướ
ng
đượ
c n
ế
u có m
ộ
t tr
ườ
ng pháp vec
t
ơ

đơ
n v
ị
liên t
ụ
c
N
xác
đị
nh trên toàn b
ộ
m
ặ
t. Khi
đ
ó tr
ườ
ng pháp vec t
ơ

N

đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
22

đị
nh h
ướ
ng c
ủ
a
S
. M
ộ
t m
ặ
t chính qui
đị
nh h
ướ
ng là m
ặ
t chính qui
đị
nh h
ướ
ng
đượ
c cùng
h
ướ
ng xác
đị
nh ( )

u v
u v
X X
N p
X X
∧
=
∧
. Do trên m
ỗ
i lân c
ậ
n to
ạ

độ

( )
X U
đề
u có tr
ườ
ng pháp vec t
ơ

đơ
n v
ị
kh
ả

vi ( )
u v
u v
X X
N p
X X
∧
=
∧
nên chúng ta có th
ể
nói m
ọ
i m
ặ
t chính qui
đề
u
đị
nh h
ướ
ng
đượ
c
m
ộ
t cách
đị
a ph
ươ

ng. H
ơ
n n
ữ
a m
ọ
i m
ặ
t chính qui liên thông có
đ
úng hai h
ướ
ng.
Ví dụ 2.1
. M
ặ
t ph
ẳ
ng là m
ộ
t m
ặ
t
đị
nh h
ướ
ng
đượ
c.
Ví d

ụ
ngay sau
đ
ây cho ta th
ấ
y có nh
ữ
ng m
ặ
t không
đị
nh h
ướ
ng
đượ
c.
Ví dụ 2.2
. M
ặ
t Mobius. L
ấ
y m
ộ
t d
ả
i gi
ấ
y hình ch
ữ
nh

ậ
t. Dán hai c
ạ
nh
đố
i di
ệ
n l
ạ
i v
ớ
i nhau sau
khi
đ
ã xo
ắ
n
0
180
. M
ặ
t nh
ậ
n
đượ
c chính là m
ặ
t Mobius. Chúng ta d
ễ
nh

ậ
n th
ấ
y r
ằ
ng m
ộ
t vec t
ơ

pháp
đ
ã
đổ
i chi
ề
u sau khi d
ọ
c theo
đườ
ng chính gi
ữ
a m
ặ
t
đ
úng 1 vòng.
Đ
i
ề

u này cho th
ấ
y m
ặ
t
Mobius là không th
ể

đị
nh h
ướ
ng
đượ
c.
Hai m
ệ
nh
đề
ti
ế
p theo cho ta các ví d
ụ
khác v
ề
các m
ặ
t chính qui
đị
nh h
ướ

ng
đượ
c.
Mệnh đề 2.1
. Cho
2
:h U ⊂ →
ℝ ℝ
là m
ộ
t hàm kh
ả
vi. Khi
đ
ó
đồ
th
ị
c
ủ
a h là m
ộ
t m
ặ
t chính qui
đị
nh h
ướ
ng
đượ

c.
Chứng minh
. Xét tham s
ố
hoá

( , ) ( , , ( , )),
X u v u v h u v
=

( , ) .
u v U
∈

Khi
đ
ó
( )
X U
=
h
G
và X là
đơ
n ánh. Xét
2 2
( , ,1)
1
u
v

u v
u v
u v
h h
X X
N X
X X
h h
−
Λ
= =
Λ
+ +

Vì
2 2
1
u v
h h
+ +
>0, nên
N
là liên t
ụ
c. Ta có
đ
i
ề
u ph
ả

i ch
ứ
ng minh.
Mệnh đề 2.2.
Cho f :
3
U ⊂ →
ℝ ℝ
là hàm kh
ả
vi và a là m
ộ
t giá tr
ị
chính qui c
ủ
a f khi
đ
ó
1
( )
S f a
−
=
là m
ộ
t m
ặ
t chính qui
đị

nh h
ướ
ng
đượ
c.
Chứng minh
.
L
ấ
y
đ
i
ể
m b
ấ
t k
ỳ

,
p S
∈
gi
ả
s
ử

0, 0, 0
( ).
p x y z
= Xét

đườ
ng tham s
ố

( ) ( ( ), ( ), ( )),
c t x t y t z t
=

( , )t
ε ε
∈ − ⊂
ℝ
trên m
ặ
t
S
di qua
p
v
ớ
i
(0)
c p
=
. Vì
đườ
ng cong n
ằ
m trên m
ặ

t nên

( ( ), ( ), ( )) ,
f x t y t z t a
=

t I
∀ ∈
.
Đạ
o hàm c
ả
hai v
ế
t
ạ
i
0
t
=
, ta nh
ậ
n
đượ
c

( ) '(0) ( ) '(0) ( ) '(0) 0
x y z
f p x f p y f p z
+ + =

T
ừ

đ
ây ta suy ra vec t
ơ
ti
ế
p xúc c
ủ
a
c
t
ạ
i
0
t
=
tr
ự
c giao v
ớ
i
( , , )
x y z
f f f
t
ạ
i

p
. Do
đ
i
ể
m
p
và
đườ
ng tham s
ố

c
đượ
c l
ấ
y tu
ỳ
ý nên ta suy ra r
ằ
ng
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( , , ) ,
y
x z
x y z x y z x y z
f
f
f
N x y z

f f f f f f f f f
 
 
=
 
+ + + + + +
 

Xác
đị
nh trên toàn b
ộ
S
. Do a là
đ
i
ể
m chính qui nên
2 2 2
0
x y z
f f f
+ + >
t
ạ
i m
ọ
i
đ
i

ể
m c
ủ
a m
ặ
t. Do
đ
ó
N
là liên t
ụ
c. Ta có
đ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.

23

R
ấ
t d
ễ
nh
ậ
n th

ấ
y r
ằ
ng m
ọ
i m
ặ
t chính qui
đề
u
đị
nh h
ướ
ng
đượ
c m
ộ
t cách
đị
a ph
ươ
ng.
Đ
i
ề
u này có ngh
ĩ
a là cho dù m
ặ
t chính qui là không

đị
nh h
ướ
ng
đượ
c, nh
ư
ng t
ạ
i m
ỗ
i
đ
i
ể
m, m
ỗ
i
lân c
ậ
n c
ủ
a m
ặ
t
đề
u
đượ
c
đị

nh h
ướ
ng b
ở
i tr
ườ
ng pháp vec t
ơ

đơ
n v
ị

u v
u v
X X
N
X X
∧
=
∧

Cho
( , )
S N
là m
ộ
t m
ặ
t chính qui

đị
nh h
ướ
ng,
P
là m
ộ
t
đ
i
ể
m trên m
ặ
t
S
. Chúng ta s
ẽ
nói
c
ơ
s
ở
c
ủ
a không gian ti
ế
p xúc
p
T S
là

đị
nh h
ướ
ng d
ươ
ng n
ế
u det(a, b,
p
N
) > 0. Trong tr
ườ
ng h
ợ
p
ng
ượ
c l
ạ
i chúng ta s
ẽ
nói c
ơ
s
ở
{a,b} là
đị
nh h
ướ
ng âm. N

ế
u
1 2
:
f S S
→
là ánh x
ạ
kh
ả
vi, v
ớ
i
1 2
,
S S
là hai m
ặ
t chính qui, có tính ch
ấ
t
đạ
o hàm
p
df
t
ạ
i m
ỗ
i

đ
i
ể
m
p S
∈
bi
ế
n m
ộ
t c
ơ
s
ở

đị
nh
h
ướ
ng d
ươ
ng thành m
ộ
t c
ơ
s
ở

đị
nh h

ướ
ng d
ươ
ng thì ta nói
f
là ánh x
ạ
b
ả
o toàn h
ướ
ng.
M
ộ
t cách tr
ự
c giác m
ỗ
i h
ướ
ng c
ủ
a m
ặ
t cho ta m
ộ
t phía c
ủ
a m
ặ

t. R
ấ
t d
ễ
hình dung m
ặ
t
ph
ẳ
ng, m
ặ
t c
ầ
u, m
ặ
t tr
ụ
…có hai phía. M
ệ
nh
đề
sau
đ
ây cho ta kh
ẳ
ng
đị
nh r
ằ
ng, m

ọ
i m
ặ
t chính
qui liên thông
đị
nh h
ướ
ng
đượ
c có
đ
úng hai phía, hay nói cách khác có
đ
úng hai
đị
nh h
ướ
ng trên
m
ỗ
i m
ặ
t chính qui liên thông
đị
nh h
ướ
ng
đượ
c.

Mệnh đề 2.3
. N
ế
u
S
là m
ộ
t m
ặ
t chính qui
đị
nh h
ướ
ng
đượ
c và
N
và
N
là hai
đị
nh h
ướ
ng trên
m
ặ
t
S
thì ta ph
ả

i có ho
ặ
c
N N
=
, ho
ặ
c
N N
= −
.
Chứng minh

T
ạ
i m
ỗ
i
đ
i
ể
m
p S
∈
,
p
N
và
p
N

s
ẽ
là hai vec t
ơ
trùng nhau ho
ặ
c chúng là hai vec t
ơ

đố
i
nhau.
Đặ
t
{ : }
p p
A p S N N
= ∈ =
và
{ : }
p p
B p S N N
= ∈ = −
, chúng ta có hai t
ậ
p
A
và
B
là hai

t
ậ
p r
ờ
i nhau và
S A B
= ∪
. Do
N
và
N
liên t
ụ
c ta có
A
và
B
là hai t
ậ
p
đ
óng. Nh
ư
ng do
S
là
liên thông nên ta ph
ả
i có
A S

=
,
B
= ∅
ho
ặ
c
A
= ∅
,
B S
=
.
2.2. Ánh xạ Gauss và dạng cơ bản thứ hai
Cho
( , )
S N
là m
ặ
t chính qui
đị
nh h
ướ
ng. Do
1
p
N
=
,
p S

∀ ∈
nên có th
ể
xem
N
là ánh
x
ạ
kh
ả
vi t
ừ
m
ặ
t chính qui
S
vào m
ặ
t c
ầ
u
đơ
n v
ị

2
S
. Ánh x
ạ

2
:
N S S
→

đượ
c g
ọ
i là ánh x
ạ

Gauss c
ủ
a m
ặ
t
đị
nh h
ướ
ng
S
. Theo
đị
nh ngh
ĩ
a ánh x
ạ
Gauss là kh
ả
vi. Khi

đ
ó
đạ
o hàm c
ủ
a
N
t
ạ
i
đ
i
ể
m
p S
∈
là ánh x
ạ
tuy
ế
n tính
2
:
p
p p N
dN T S T S
→

Do
p p

T S N
⊥ và
2
,
p
N p
T S N
⊥
p S
∀ ∈
nên ta có
2
,
p
p N
T T S
≡
p S
∀ ∈
. Nh
ư
v
ậ
y
p
dN
là
m
ộ
t t

ự

đồ
ng c
ấ
u tuy
ế
n tính c
ủ
a
p
T S
.
Ví dụ 2.3
. Xét m
ặ
t ph
ẳ
ng
Q
có ph
ươ
ng trình
ax 0
by cz d
+ + + =

Khi
đ
ó

2 2 2
1
( , , )
N a b c
a b c
=
+ +
là m
ộ
t hàm h
ằ
ng nên ta có
0,
p
dN
=

p Q
∀ ∈
.
Ví dụ 2.4
. Xét m
ặ
t c
ầ
u
( , )
S O r
tâm
O

bán kính
r
có ph
ươ
ng trình
2 2 2 2
x y z r
+ + =

Gi
ả
s
ử

( ) ( ( ), ( ), ( ))
t x t y t z t
α
=
là m
ộ
t
đườ
ng tham s
ố
trên m
ặ
t c
ầ
u
( , )

S O r
, ta có
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) .
x t y t z t r
+ + =


Đạ
o hàm hai v
ế
theo t ta nh
ậ
n
đượ
c
24

2 ' 2 ' 2 ' 0
xx yy zz
+ + =
.
V
ớ
i chú ý r
ằ
ng
( '( ), '( ), '( ))
x t y t z t
là m

ộ
t vec t
ơ
ti
ế
p xúc c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u
( , )
S O r
t
ạ
i
( )
t
α
, ta
có vec t
ơ

( , , )
x y z
là vec t
ơ
pháp tuy
ế

n c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u t
ạ
i
đ
i
ể
m
( , , )
x y z
. Do
đ
ó chúng ta có hai
tr
ườ
ng pháp vec t
ơ

đơ
n v
ị
trên m
ặ
t c
ầ

u
( , )
S O r


1
( , , ) ( , , ),
N x y z x y z
r
=

1
( , , ) ( , , ).
N x y z x y z
r
= − − −

D
ễ
th
ấ
y
N
là tr
ườ
ng pháp vec t
ơ
h
ướ
ng ra ngoài còn

N
là tr
ườ
ng pháp vec t
ơ
h
ướ
ng vào
tâm c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u và

( ) ,
p
dN v v
=
( ) ;
p
d N v v
= −

v
ớ
i
( , )
p S O r

∈
và
( , ).
p
v T S O r
∈

Ví dụ 2.5
. Xét m
ặ
t tr
ụ

C
:
2 2 2
x y r
+ =
. M
ặ
t tr
ụ

C
có hai tr
ườ
ng pháp vec t
ơ

đơ

n v
ị


( ) ( ),
p
dN v v
π
=
( ) ( );
p
d N v v
π
= −
v
ớ
i
( , ),
p S O r
∈

( , )
v
v T S O r
∈
và
π
là phép chi
ế
u lên m

ặ
t ph
ẳ
ng
xOy
.
N
ế
u
v
v T C
∈
và
v
cùng ph
ươ
ng v
ớ
i
3
e
thì
( ) ( ) 0,
p p
dN v dN v
= =
t
ứ
c là
v

là vec t
ơ
riêng
ứ
ng v
ớ
i giá tr
ị
riêng c
ủ
a
p
dN
và
p
d N
. N
ế
u
v
v T C
∈
và
v
tr
ự
c giao v
ớ
i
3

e
thì
p
dN v
=
còn
p
d N v
= −
, t
ứ
c là
v
là vec t
ơ
riêng
ứ
ng v
ớ
i giá tr
ị
riêng 1 c
ủ
a
p
dN
và là vec t
ơ
riêng
ứ

ng v
ớ
i giá
tr
ị
riêng -1 c
ủ
a
p
d N
.
M
ệ
nh
đề
sau cho ta m
ộ
t s
ố
tính ch
ấ
t quan tr
ọ
ng c
ủ
a ánh x
ạ

p
dN

.
Mệnh đề 2.4
.
Đạ
o hàm
:
p p p
dN T S T S
→
c
ủ
a ánh x
ạ
Gauss là t
ự
liên h
ợ
p, ngh
ĩ
a là v
ớ
i m
ọ
i
,
p
T S
α β
∈

(
)
(
)
, ,
p p
dN dN
α β α β
= .
Chứng minh
. Gi
ả
s
ử

(
)
,
X u v
là m
ộ
t tham s
ố
hóa c
ủ
a
S
t
ạ
i

p
và
{
}
,
u v
X X
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a
p
T S
.
Đố
i v
ớ
i c
ơ
s
ở
này ánh x
ạ

p

dN
có ma tr
ậ
n d
ạ
ng
1 1
2 2
N N
u v
N N
u v
 
∂ ∂
 
∂ ∂
 
 
∂ ∂
 
∂ ∂
 

T
ừ

đ
ây chúng ta có

(

)
p u u
dN X N
=
;
(
)
p v v
dN X N
=
.
Do
đ
ó n
ế
u aX
u v
bX
α
= +
; X
u v
c dX
β
= +
thì

(
)
, , X , , , ,

p u v u v u u u v v u v v
dN aN bN c dX ac N X ad N X bc N X bd N X
α β
= + + = + + +
và
(
)
, , , , , ,
p u v u v u u u v v u v v
dN aX bX cN dN ac X N ad X N bc X N bd X N
α β
= + + = + + +
Ta có
, 0
u
N X
=
và
, 0
v
N X
=
nên
25

, , 0
v u uv
N X N X
+ =
;

, , 0
u v uv
N X N X
+ =

T
ừ

đ
ó ta suy ra
, ,
v u u v
N X N X
=
và do
đ
ó
(
)
(
)
, ,
p p
dN dN
α β α β
=
□

Định nghĩa 2.2
. D

ạ
ng toàn ph
ươ
ng
(
)
(
)
,
p p
dN
α α α
∏
= −
đượ
c g
ọ
i là d
ạ
ng c
ơ
b
ả
n th
ứ
hai c
ủ
a
S
t

ạ
i
p
.
2.3. Độ cong pháp và công thức Euler
2.3.1. Độ cong pháp
Định nghĩa 2.3
. Cho
C
là
đườ
ng cong chính qui trên m
ặ
t
S

đ
i qua
đ
i
ể
m
p
. G
ọ
i
k
là
độ
cong

c
ủ
a
C
t
ạ
i
p
,
n
là vec t
ơ
pháp (
đơ
n v
ị
) c
ủ
a
C
t
ạ
i
p
và
N
là vec t
ơ
r pháp (
đơ

n v
ị
) c
ủ
a
S
t
ạ
i
p
.
Khi
đ
ó s
ố

(
)
,
n
k p k n N
=

đượ
c g
ọ
i là
độ
cong pháp c
ủ

a
C S
⊂
t
ạ
i
p

Nhận xét 2.1
.
Độ
cong pháp
(
)
n
k p
chính là
độ
dài hình chi
ế
u c
ủ
a
n
k

lên pháp tuy
ế
n c
ủ

a m
ặ
t
v
ớ
i d
ấ
u ph
ụ
thu
ộ
c vào h
ướ
ng c
ủ
a
N
.
Gi
ả
s
ử

p
T S
ω
∈
,
1
ω

=
. G
ọ
i
α
là
đườ
ng tham s
ố
(v
ớ
i tham s
ố

độ
dài cung)
(
)
0
p
α
=
,
(
)
' 0
α ω
=
.
Kí hi

ệ
u
(
)
N s
là h
ạ
n ch
ế
c
ủ
a
N
lên
đườ
ng tham s
ố

α
, do
, ' 0
N
α
=
, ta suy ra
(
)
(
)
(

)
(
)
, '' ' , '
N s s N s s
α α
= −

Do
đ
ó
( )
(
)
( )
(
)
( )
' 0 ' 0 , ' 0
p p
dN
α α α
∏
= −

(
)
(
)
' 0 , ' 0

N
α
=

(
)
(
)
0 , '' 0
N
α
=

(
)
(
)
,
n n
N k p k p
= =
.
T
ừ

đ
ây chúng ta có các nh
ậ
n xét sau.
Nhận xét 2.2.

+ Giá tr
ị
c
ủ
a d
ạ
ng c
ơ
b
ả
n th
ứ
hai
p
∏

đố
i v
ớ
i vec t
ơ

đơ
n v
ị

p
T S
ω

∈
chính là
độ
cong
pháp c
ủ
a m
ộ
t
đườ
ng chính qui
đ
i qua
p
và có vec t
ơ
ti
ế
p xúc là
ω
.
+
Độ
cong pháp
(
)
n
k p
ch
ỉ

ph
ụ
thu
ộ
c vào vec t
ơ
ti
ế
p xúc, không ph
ụ
thu
ộ
c vào
đườ
ng
cong.
+ V
ớ
i
p
T S
ω
∈
không nh
ấ
t thi
ế
t là vec t
ơ

đơ
n v
ị
, ta có công th
ứ
c sau
( )
(
)
( )
p
n
p
k p
I
ω
ω
∏
=

T
ừ
nh
ậ
n xét này chúng ta
đ
i
đế
n
đị

nh lí sau
Định lí 2.1
. (Meusnier).
T
ấ
t c
ả
các
đườ
ng cong n
ằ
m trên m
ặ
t cùng
đ
i qua m
ộ
t
đ
i
ể
m
p
có các
ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ

i
đ
i
ể
m này trùng nhau có
độ
cong pháp t
ạ
i
đ
i
ể
m này gi
ố
ng nhau.

T
ừ

đị
nh lí Meusnier, chúng ta có
đị
nh ngh
ĩ
a sau.