Quan hệ vuông góc (Chuyên đề hình học lớp 11)

Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

 Phương pháp 1
d1
d2
d2'

Hai đường thẳng gọi là vng góc với nhau nếu góc giữa chúng

d1'



bằng 90


 Phương pháp 2 a  b  u.v  0
 Phương pháp 3 (sử dụng định nghĩa)

Với

 
u , v lần lượt là hai VTCP của a và b

a

b
c

P

Nếu đường thẳng
đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P)
a  (P)


  a  b, a  c
b   P  , c   P 


a  ( P)

thì đường thẳng a vng góc với mọi

 Phương pháp 4 ( tính chất 5 - tr 99)
a

P

b

Nếu đường thẳng a  ( P) thì mọi đường thẳng b  ( P) đều vng góc với a.

a / /(P), b   P   b  a

 Phương pháp 5( HĐ 2 - tr 97 )
a
C

A

B

Nếu một đường thẳng vng góc với hai cạnh của một tam giác thì nó vng

góc với cạnh cịn lại.

a  AC, a  BC  a  AB

 Phương pháp 6 (suy ra từ định nghĩa -nx tr 94-sgk)
a
b
c

Một đường thẳng vng góc với một trong hai đường thẳng song song thì
nó cũng vng góc với đường thẳng cịn lại.

b / /c , a  b  a  c

 Phương pháp 7 (Định lý ba đường vng góc - tr 100 - sgk)
B

a

A

a'
A'

b

B'

Cho đường thẳng a không vuông góc với mp (P) và cho đường
thẳng b nằm trong mp (P). Khi đó điều kiện cần và đủ để b vng góc với a là b vng góc với
hình chiếu a’ của a trên (P).
Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

Page 1


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc

a  (P), b   P  ,a ' la hinh chieu cua a tren (P) a  b  a '  b
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH

ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG

Bổ sung :( Sử dụng định nghĩa) : Một đường thẳng được gọi là vng góc với một mặt phẳng
nếu nó vng góc với mọi đường nằm trong mặt phẳng đó.
a

P

b

 Phương pháp 1( ĐL 1 - tr 97)

I

c

Nếu đường thẳng d vng góc với hai
đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp (P) thì đường thẳng d vng góc với mp (P)
a  b, a  c


  a  P
b   P , c   P  , b  c  I

a

 Phương pháp 2 (Tc 3 - tr 98 - sgk)

b

P

Mặt phẳng nào vng góc với một
trong hai đường thẳng song song thì cũng vng góc với đường thẳng còn lại.
a / /b ;  P   a   P   b
a

P

 Phương pháp 3 (tc 4 - tr99-sgk)

Q

Đường thẳng nào vng góc với một
trong hai mặt phẳng song song thì cũng vng góc với mặt phẳng còn lại.
 P / / Q ; a   P  a  (Q)

 Phương pháp 4 ( Sử dụng kết quả của HĐ3 - tr 98 - sgk)
d
M
C

A
O

B

Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt cách đều ba đỉnh của ABC
thì d vng góc với mp (ABC).
MA  MB  MC

  d   ABC
NA  NB  NC ; M, N  d 
Chú ý : Khái niệm trục  của tam giác ABC : là đường thẳng vng góc với mp(ABC) tại tâm của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
N

 Phương pháp 5 (ĐL 3 - tr 106 - sgk)
P
a

a
c

Q

c
H

Q
b

P

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vng góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P),
vng góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vng góc với mặt phẳng (Q).
 P   (Q),  P    Q   c 

  a  Q
a  P, a  c


Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

Page 2


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc

 Phương pháp 6 (Hệ quả 2 - tr 107)
Q

a

P

R

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vng góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng
vng góc với mặt phẳng thứ ba.
 P   Q  a ;  P  (R) ; (Q)   R   a   R 
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH : HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC

 Phương pháp 1(s d đn) Hai mặt phẳng gọi là vng góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90
 Phương pháp 2 (ĐL 2 - tr 105)



a

P

a

c

Q

c
H

Q
b

P

Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vng góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt
phẳng đó vng góc với nhau.
a   P  ,a   Q   P    Q

 Phương pháp 3
R

P

Q

Một mặt phẳng vng góc với một trong hai mặt phẳng song
song thì vng góc với mặt phẳng còn lại.
 P / /  Q ;  R    P   R   Q
KHÁI NIỆM GĨC
1) Góc giữa hai đường thẳng :Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là góc giữa hai đường thẳng d1’
và d2’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với d1và d2
d1
d2
d2'
d1'

2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt
phẳng (P) bằng 900 .
Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó
trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)

a
a
a'
P

.
Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

Page 3


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc

3) Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vng góc với hai mặt phẳng đó.
d
b

q

p

a
Q

R
P

P

Q

Chú ý : Khi hai mặt phẳng (P) và Q cắt nhau theo giao tuyến d , để tính góc giữa chúng, ta chỉ
việc xét một mặt phẳng (R) vng góc với d , lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến p và q.
Lúc đó góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng p, q
B

C

A

D

E
B'

C'

A'
E'

D'

QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
Bài 1: (VD – tr 101 – SGK)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a; SA vng góc với mp(ABCD)
1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD
a/ Chứng minh rằng MN  BD và SC   AMN 
b/ Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vng
góc

2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi SA  a 2 , AB = a
Giải
S

N

K
M

D

A
O
B

C

1.a/ * CMR: MN  BD
+) Ta có: SAB SAD  AM  AN (2 đường cao tương ứng)
 BM  ND (do MAB NAD )
SB  SD
+) Xét SBD có 
 MN  BD
 BM  DN
* CMR: SC  mp  AMN 


Cách 1:

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

Page 4


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc

 BC  AB

+) Vì 
 BC  SA


 gt 

 do SA   ABCD 

 BC   SAB   BC  MA

 MA  BC

+) Có 
 MA  SC (1đường thẳng  với 2 cạnh của 1 tam giác thì  với cạnh cịn
 MA  SB  gt 

lại)
CM tương tự ta có: NA  SC
Vậy SC  mp  AMN 

 Cách 2:
+) Vì BC   SAB   SB là hình chiếu của SC trên (SAB)

Lại có: MA  SB  MA  SC

1

+) CD   SAD  SD là hình chiếu của SC trên (SAD)

 2
SC  mp  AMN 

Lại có AN  SD  AN  SC
Vậy từ (1) và (2) ta có:

 Cách 3:
+) MN  BD
Mà BD  AC với AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
 MN  SC
+) AM  SC  SC  ( AMN )
b/ CMR: AK  MN
 BD  AC
Có 
 BD   SAC 
 BD  SA
Mặt khác: BD // MN  MN  (SAC )  MN  AK
2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi SA  a 2 , AB = a
+) Vì AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)  góc giữa (ABCD) và SC là góc giữa SC và AC
+) Vì  ASC có AS = AC = a 2
 goc SCA  450  góc cần tìm là 450
+) SBC vng tại B có SB  a 3, BC  a
 BC  a  1  CSB  300


tanCSB 
SB a 3
3
Bài 2: (BT 16 – tr 103 – SGK)
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đơi một vng góc và AB = a, BC = b, CD = c
a/ Tính độ dài AD
b/ Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D
c/ Tính góc giữa đường thẳng AD và mp (BCD), góc giữa đường thẳng AD và mp (ABC)
Giải

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

Page 5


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc
A

O

B

D

C

a/ Vì AB  BC và AB  CD nên AB  mp  BCD 
Mặt khác BC  CD nên AC  CD (định lý ba đường vuông góc)
Vậy AD2  AC 2  CD2  AB2  BC 2  CD2
tức là: AD  a2  b2  c2

ABD ACD
b/ Vì     900 nên điểm cách đều bốn điểm A, B, C, D là trung điểm O của AD
Bài 3: (BT 17 – tr 103 – SGK)
Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi một vng góc.
a/ Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn
b/ Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC
1
1
1
1
c/ Chứng minh rằng



2
2
2
OH
OA OB OC 2
Giải
O

C

A
H
B

A'

a/ Ta có: AB2  OA2  OB2
BC 2  OB 2  OC 2
AC 2  OA2  OC 2
Vậy BC 2  AB 2  AC 2 , tức là góc BAC của tam giác ABC là góc nhọn. Tương tự như trên, ta chứng
minh được tam giác ABC có cả ba góc đều nhọn.
b/ * Cách 1: Vì H là hình chiếu của điểm O trên mp (ABC) nên OH   ABC 
Mặt khác OA   OBC nên OA  BC
Vậy AH  BC (định lý ba đường vng góc), tức là H thuộc một đường cao của tam giác ABC.
Tương tự như trên, ta cũng có H thuộc đường cao thứ hai của tam giác ABC. Vậy H là trực tâm của
tam giác ABC.
* Cách 2: Nếu K là trực tâm của tam giác ABC thì AK  BC , mặt khác OA  BC nên
BC   AOK  , suy ra BC  OK . Tương tự như trên ta cũng có: AB  OK . Vậy OK   ABC  , tức là
K trùng với H.
c/ Nếu AH  BC tại A thì BC  OA
Vì OH là đường cao của tam giác vuông AOA (vuông tại O) và OA là đường cao của tam giác vuông
BOC (vuông tại O) nên
Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

Page 6


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc

1
1
1
1
1
1



;


2
2
2
2
2
OH
OA OA OA
OB OC 2
1
1
1
1
Vậy



2
2
2
OH
OA OB OC 2

Bài 4: (BT 18 – tr 103 – SGK)
Cho hình chóp S.ABC có SA  mp  ABC , các tam giác ABC và SBC không vuông.Gọi H và K lần
lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a/ AH, SK, BC đồng quy

b/ SC  mp  BHK 
c/ HK  mp SBC
Giải
S

K
A

C

H

A'
B

a/ Gọi AA là đường cao của tam giác ABC, do SA   ABC  nên SA  BC (định lý ba đường vng
góc)
Vì H là trực tâm của tam giác ABC, K là trực tâm của tam giác SBC nên H thuộc AA , K thuộc SA
Vậy AH, SK, BC đồng quy tại A
b/ Do H là trực tâm của tam giác ABC nên BH  AC , mà BH  SA nên BH  SC
Mặt khác K là trực tâm của tam giác SBC nên BK  SC
Vậy SC   BHK 
c/ Từ câu b ta suy ra HK  SC . Mặt khác HK  BC do BC   SAA
Vậy HK  mp  SBC 
Bài 5: (BT 19 – tr 103 – SGK)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm của tam
giác ABC
a/ Chứng minh rằng: SG  mp  ABC . Tính SG
b/ Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vng góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để
(P) cắt SC tại điểm C1 nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi

cắt bởi mp(P)
Giải
a/

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

Page 7


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc
S

A

C
H
B

Kẻ SH  mp  ABC  , do SA  SB  SC nên ta có HA  HB  HC
Mặt khác, ABC là tam giác đều nên H trùng với trọng tâm G của tam giác đó.
Vậy SG   ABC 
a 3
SG  SA  AG  b  
 3 



2

Từ đó: SG  b2 

2

2

2

2

a2
(Với 3b2  a 2 )
3

b/
S
C1

A

C
G

C'
B

Dễ thấy AB  SC . Vì (P) đi qua A và vng góc với SC nên AB nằm trong (P). Kẻ đường cao AC1
của tam giác SAC thì (P) chính là mp  ABC1 

Do tam giác SAC cân tại S nên điểm C1 nằm trong đoạn thẳng SC khi và chỉ khi   900
ASC

Điều này tương đương với AC 2  SA2  SC 2 hay a2  2b2
Trong trường hợp này, thiết diện của hình chóp bị cắt bởi (P) là tam giác ABC1
1
1
S ABC1  . AB.C C1  .a.C C1
2
2
(Với C  là trung điểm của AB)
SG.CC 
Mặt khác C C1.SC  SG.CC   C C1 
SC
Tức là: C C1 
Vậy S ABC1 

b2 

a2 a 3
.
2
2
3 2  a 3b  a
b
2b

a 2 3b 2  a 2
4b

Bài 6: (BT 23 – tr 111 – SGK)
Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

Page 8


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a
a/ Chứng minh rằng AC’ vng góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’)
b/ Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục
giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.
Giải
M

B

C
N

D

A
S

P
B'

C'

R
A'

   


a/ Ta có AC   AB  AD  AA
  


và BD  AD  AB
 
      


Vậy AC .BD  AB  AD  AA . AD  AB  0
 

Tương tự ta có AC .BA  0
Vậy AC   ABD





Q

D'



Do  ABD  //  BCD nên AC   BCD
b/ Gọi M là trung điểm của BC thì MA  MC (vì cùng bằng

a 5
)
2

nên M thuộc mặt phẳng trung trực   của AC
Tương tự, ta chứng minh được N, P, Q, R, S cũng có tính chất đó (N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm
của CD, DD, DA, AB, BB )
Vậy thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi mp   là MNPQRS. Dễ thấy đó là lục giác đều cạnh
a 2
2
Từ đó ta tính được diện tích của thiết diện là:

bằng

2

a 2
3 3 3 2
S  6. 
 .
 2  4  4 a



Bài 7: (BT 24 – tr 111 – SGK)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a và SA  mp  ABCD , SA = x. Xác định x để hai
mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60o
Giải

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

Page 9


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc
S

O1
A

D
O

B

C

Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Trong mặt phẳng (SAC) kẻ OO1 vng góc với SC, dễ thấy mp  BO1D vng góc với SC.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) bằng góc giữa hai đường thẳng BO1 và DO1

Mặt khác OO  BD, OO  OC mà OC = OB nên BO O  450
1

1

1




Tương tự DO1O  450 , tức là BO1D  900
Như vậy, hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 600 khi và chỉ khi


BO1D  1200  BO1O  600 (Vì  BO1 D cân tại O1 )
 BO  OO1.tan 600
 BO  OO1. 3

SA

Ta lại có: OO1  OC.sin OCO1  OC.sin   OC.
ACS
SC
SA
Như vậy BO  OO1 3  BO  3.OC.
 SC  3SA
SC

 x2  2a2  3x  x  a
Vậy khi x = a thì hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 600
Bài 8: (BT 27 – tr 112 – SGK)
Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vng góc với nhau và AC = AD = BC = BD =
a; CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a/ Tính AB, IJ theo a và x
b/ Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vng góc?
Giải
A

I

C

J

D

B

a/ Vì J là trung điểm của CD và AC = AD nên AJ  CD
Do mp  ACD  mp  BCD nên AJ  mp  BCD 
Mặt khác: AC = AD = BC = BD nên tam giác AJB vuông cân,
suy ra AB  AJ 2, AJ 2  a 2  x 2 hay AJ  a2  x2
Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

Page 10


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc

Vậy AB  2  a 2  x 2  với a > x
Do IA = IB, tam giác AJB vuông tại J nên JI 



1
1
AB , tức là IJ 
2 a2  x2
2

2



b/ Rõ ràng là CI và DI vng góc với AB. Vậy
mp  ABC   mp  ABD 
1

 CID  900  IJ  CD
2
1
1
a 3

2  a 2  x 2   .2 x  x 
2
2
3

Bài 9: (BT 16 – tr 117 – SBT)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA = AB và SA vng góc với BC
a/ Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC
b/ Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD. Chứng minh rằng góc giữa AC và IJ
khơng phụ thuộc vào vị trí của I và J
Giải
S

J
I

A

B

D

C

a/ Vì BC // AD nên góc giữa SD và BC bằng góc giữa SD và AD.
Từ giả thiết, ta có SA  BC nên SA  AD

Mặt khác SA bằng cạnh của hình thoi ABCD, nên SDA  450 là góc phải tìm.
Vậy góc giữa BC và SD bằng 450
b/ Do ABCD là hình thoi nên AC  BD
Mặt khác IJ // BD nên AC  IJ tức là góc giữa IJ và AC bằng 900 không đổi.
Bài 10: (BT 26 – tr 119 – SBT)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, và SA = SC, SB = SD. Gọi O là giao điểm của AC
và BD.
a/ Chứng minh rằng SO  mp  ABCD
b/ Gọi d là giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD); d1 là giao tuyến của mp(SBC) và mp(SAD). Chứng
minh rằng SO  mp  d , d1 
Giải

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

Page 11


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc

S

B

C
O

A

D

a/ Vì ABCD là hình bình hành và O  AC  BD nên OA = OC và OB = OD.
Mặt khác SA = SC nên SO  AC và SB = SD nên SO  BD
Vậy SO  mp  ABCD 
b/ Vì AB // CD mà d = mp SAB  mp  SCD
nên d // AB và d qua S
Tương tự d1 // AD và d 1 qua S
Do SO  mp  ABCD  nên SO  d , SO  d1
Vậy SO  mp  d , d1 
Bài 11: (BT 27 – tr 119 – SBT)
Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường chéo AC và
BF vng góc Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác BCE và ADF. Chứng minh
rằng
a/ ACH và BFK là các tam giác vuông
b/ BF  AH và AC  BK
Giải
A
K
D

F

B

C

H
E

AB   BCE  

  CH  AH
CH  BE 

Vậy ACH là tam giác vuông tại H
Tương tự, ta có BKF là tam giác vng tại K
CH  BE 
b/ Ta có
  CH  BF
CH  AB 
Mặt khác AC  BF
Vậy BF  AH
Tương tự ta có AC  BK

a/ Ta có

Bài 12: (BT 28 – tr 119 – SBT)
Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

Page 12

Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc

a/ Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC) và I là trung
điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đơi một vng góc.
b/ Cho tứ diện IABC có IA = IB = IC và IA, IB, IC đơi một vng góc; H là hình chiếu của I trên
mp(ABC) . Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau.
Giải
D

I

A

C
H

M

B

a/ Kí hiệu cạnh của tứ diện đã cho là a, dễ thấy H là trọng tâm của tam giác ABC. Từ đó
2

a 3
6a 2
DH  DA  AH  a  
 3   9




2

2

 DH 

2

2

a 6
3

Do I là trung điểm của DH nên IH 

a 6
6

2

2

a 6 a 3
a2


Khi đó IM  IH  HM  
 6   6 



4

 

a
Tức là: IM 
2
1
Xét tam giác IBC có IM là trung tuyến và IM  BC
2
Vậy IB  IC
Tương tự như trên, ta có IA, IB, IC đơi một vng góc
b/ Vì IA, IB, IC đơi một vng góc, IA = IB = IC và H là hình chiếu của I trên mp(ABC) nên ABC là
tam giác đều nhận H làm trọng tâm.
IA
1
1
1
1
3
Ngoài ra
 2  2  2  2 hay IH 
2
IH
IA IB
IC
IA
3

2 IA
Do D là điểm đối xứng với H qua I nên DH 
và DA = DB = DC
3
2x
, AB  x 2
Đặt IA = x thì DH 
3
2

2

2

2

4 x 2  x 2. 3 
4x2 2x2


 2x2
Khi đó DA  DH  HA 
 


3 
3
3
3


Vậy DA  DB  DC  x 2
Do đó tứ diện DBCA có các cạnh bằng nhau
2

2

2

Bài 13: (BT 42 – tr 122 – SBT)
Cho hình vng ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và mp(SAB)
vng góc với mp(ABCD)
Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

Page 13


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc

a/ Chứng minh rằng mp  SAB   mp  SAD và mp  SAB   mp  SBC 
b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
c/ Gọi h và I lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng mp  SHC   mp  SDI 
Giải
S

I

B

C

H
A

D

a/ Gọi H là trung điểm của AB thì SH  AB
Do  SAB    ABCD nên SH   ABCD   SH  AD
Mặt khác AD  AB
Vậy AD   SAB 
Từ đó  SAD   SAB 
Tương tự như trên ta có  SBC    SAB 
b/ Giả sử  SAD   SBC   St , dễ thấy St // AD, từ đó mp  ASB   St
Do   600 nên góc giữa hai mặt phẳng  SAD và  SBC  bằng 600
ASB
c/ Vì ABCD là hình vng; H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC nên HC  DI , mặt khác
DI  SH
Vậy DI   SHC  , từ đó  SDI    SHC  .
Bài 14: (BT 43 – tr 122 – SBT)
Cho hình chữ nhật ABCD với tâm O, AB = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong không gian sao cho SO
vng góc với mặt phẳng (ABCD) , đặt SO = h. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a/ Tính góc giữa mặt phẳng (SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a
để mp(SMN) vng góc với các mặt phẳng (SAB) và (SCD)
b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tính h theo a để hai mặt phẳng đó vng góc.
Giải
S

B

C

M
N

O
A

D

a/ Vì MN  AB, SO  AB nên AB   SMN    SAB    SMN 
Vậy góc giữa  SMN  và  SAB  bằng 900
Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

Page 14


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc

Tương tự như trên, góc giữa  SMN  và  SCD  cũng bằng 900
Như vậy với AB = a, BC = 2a, h tuỳ ý thì  SMN  vng góc với cả hai mặt phẳng  SAB  và  SCD 
b/ Dễ thấy  SAB    SCD  St , St // AB


Như vậy St   SMN  , từ đó MSN hoặc 1800  MSN là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

Tính MSN
Ta có: SM 2  SN 2  h2  a 2

MN 2  SM 2  SN 2  2SM .SN cos MSN






 4a 2  h2  a 2  h2  a 2  2 h2  a 2 cos MSN

Tức là cos MSN 

2h  2a
h a
 2
h  a2
2 h2  a 2
2

2



2

2



h2  a 2
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là  mà cos   2
h  a2
Từ đó hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) vng góc khi và chỉ khi h = a
Bài 15: (BT 44 – tr 122 – SBT)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt
đáy, SA = a. Tính:
a/ Các góc giữa hai mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp
b/ Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình chóp.
Giải
S
C1

B

I

C

D

A
J

 SAB    ABCD 

a/ Dễ thấy 
 SAD    ABCD 

nên góc giữa mặt bên (SAB) và (SAD) với mp(ABCD) bằng 900

Ta có  SDA  CD và SDA là tam giác vuông tại A nên SDA là góc giữa hai mặt phẳng (SDC) và
(ABCD)
 1
Từ đó tan SDA 

2
  1  SBA  450

Tương tự tan SBA
1
Vậy mp(SCD) tạo với mp(ABCD) góc bằng  mà tan   và mp(SBC) tạo với mp(ABCD) góc 450
2
b/ Vì  SAD   SAB  nên góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 900

Ta cũng có CD   SAD nên
Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

 SCD   SAD
Page 15


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) bằng 900 . Tương tự, ta cũng có góc giữa hai mặt phẳng
(SAB) và (SBC) bằng 900
Ta cần phải tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)
Trong mp(ABCD), qua A kẻ đường thẳng vng góc với AC, nó cắt hai đường thẳng BC và DC lần
lượt tại I và J, thì IJ  SC


Do đó, IC1 J hoặc 1800  IC1 J là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD)
ACD
Ta có: AJ  AC.tan   2a 5

1

1
1
1
1
6
a 5


 2  2  2  AC1 
2
2
2
AC1 AS
AC
a 5a
5a
6
AJ 2a 5
Đặt    thì tan  

2 6
AC1 J
AC1 a 5
6
1
a 5.
AI
AC tan 
ACI
2 6



Đặt    thì tan  
AC1I
AC1
AC1
2
a 5
6
6
2 6
2  6

Đặt IC1 J   thì tan  
2
6
1  2 6.
2

Vậy góc giữa mp(SBC) và (SCD) là 1800   mà tan   

6
2

Bài 16: (BT 46 – tr 123 – SBT)
2a 6
. Trên đường thẳng vng góc với mặt
3
phẳng (P) tại giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi, ta lấy điểm S sao cho SB = a. Chứng minh
rằng:

a/ Tam giác ASC vuông
b/ Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) vng góc với nhau.
Giải

Trong mp (P), cho hình thoi ABCD với AB = a, AC 

S

A1

D

A
O

C

a/ Ta có AC 2  BD 2  4a 2 , AC 
Xét tam giác vng SOB, ta có
Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

B

2a 6
4a 2
a2
 OB 2 
nên BD 2 
3
3

3
2
2a
a 6
SO 2  SB 2  OB 2 
 SO 
3
3
Page 16


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc

Vậy tam giác SAC có trung tuyến SO bằng nửa AC nên SAC là tam giác vuông cân tại S
b/ Trong mặt phẳng (SOA) kẻ OA1 vng góc với SA thì SA  mp  A1BD 



Từ đó BA1D hoặc 1800  BA1D là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)
Ta có OA1 

OA.OS
OA.OS
1 a 6
a 3

 .
. 2
SA
3

OA2  OS 2 2 3

2a 3

, từ đó BA1D  900 hay hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc.
3
Bài 17 : (BT 45 - tr 122- SBT)
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mp(DBC). Gọi AE, BF là hai đường cao của tam giác
ABC; H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác DBC . Chứng minh rằng :
a)mp  ADE   mp  ABC  va mp  BFK   mp  ABC 

Mặt khác BD 

c) HK  mp  ABC 
Bài làm
A

F

D
C

H
K

B

a)Vì AD vng góc (DBC) nên AD vng góc BC
Mặt khác AE vng góc BC. Vậy BC vng góc (ADE), từ đó ta có (ABC) vng góc (ADE)
vì K là trực tâm tam giác DBC nên BK vng góc DC. Theo giả thiết AD vng góc(DBC)

Vậy BK vng góc với AC ( định lý 3 đương vng góc).
Kết hợp với BF vng gọc với AC ta có
AC vng góc (BFK) từ đo (ABC) vng góc (BFK)
b) từ a) ta có (BFK) vng góc (ABC)
và (ADE) vng góc (ABC)
HK là giao của (ADE) và (ABC)
Vậy HK vng góc (ABC)
Bài 18 (bt51a - tr 124 - SBT)
S

D'

H

A
B

K
E
H'

K'

F

D
C

Trong mặt phẳng (P), cho hình chữ nhật ABCD với AB = b, BC = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm
của AD và BC. Trong mặt phẳng qua EF và vng góc với (P)

Bài làm
Vì (SEF) vng góc (ABCD)
Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

Page 17


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc

và AD vng góc EF
nên AD vng góc (SEF)
Từ đó (SEF) vng góc (SBC)
Dễ thấy (SAD) giao (SBC) tại St, St//AD
Do AD vng góc (SEF), từ đó St vng góc (SEF), tức là cung ESF hoặc 180o- cung ESF là góc giữa
hai mặt phẳng (ASD) và (SBC)
Vì S thuộc đường trịn đường kính È nên cung ESF là 90o
Bài 19 (BT 52 - tr 124-SBT)
Hình lập phương ABCD, A'B'C'D' cạnh a
a) Tính góc tạo bởi hai đường thẳng AC' và A'B
b) Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh A'B', BC, Đ'
Chứng minh rằng AC' vng góc với mp( MNP)
A
D

C

N

B

P

D'

A'
M
B'

C'

Bài làm
a) ta có C ' B '   ABB ' A ' , B ' A  A ' B
nên A ' B  AC ' ( định lý ba đường vng góc)
Vậy góc giữa AC’ và A’B bằng 90ob)
b) Ta có
NP 2  NC 2  CD2  DP 2

a2
a 2 3a 2
2
 a 

4
4
2
3a 2
2
Vậy MNP là tam giác đều mặt khác
5a 2
AN 2  AP 2  AM 2 

4
5a 2
A ' N 2  C ' P2  C ' M 2 
4
Từ đó AC '   MNP 

Tương tự , ta có MN2=MP2=

Bài 20 (BT 54 - tr 124 m- SBT)
Hình lập phương ABCD, A'B'C'D' cạnh a . Xét tứ diện AB'CD'.Cắt tứ diện đó bằng mặt phẳng đi qua
tâm của hình lập phương và song song với mp(ABC). Tính diện tích thiết diện thu được . Hãy xét kết
quả của bài tốn khi ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật với ba kích thước là a,b,c
Bài làm
Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

Page 18


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc

B'
C'

A'

D'
Q
M
P
N

B

A

C

D

Vì ABCD.A'B'C'D' là tứ diện đều
Dễ thấy thiết diện là tứ giác MNPQ
Trong đó M, N,P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB', AD', D'C,B'C.
Do AB'CD' là tứ diện đều nên B'D' vuông AC
Vậy tứ giác MNPQ là hình vng nên có diện tích là (a2:2)
Bài 21 ( BT 55a - tr 124 - sbt)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a Gọi C1là trung điểm của C'C
tính góc giữa hai đường thẳng C1B và A'B'. Tính góc giữa hai mặt phẳng (C1AB) và (ABC)
C'
A'

C''
B'

O
C

A
M
B

Bài làm

Vì AB//A’B’ nên góc giữa BC’’ và A’B’ là góc giữa BC’’ và AB, Dễ thấy AC’’=BC’’ nên ABC’’ là
tam giác cân . từ đó   900
ABC ''
ABC ''
Vậy góc giữa AB và BC’’ là  Gọi M là trung điểm của AB thì
a
a 5
MB  .BC '' 
, MB  MC ''
2
2
MB
1
ABC ''

Từ đó cos  
BC ''
5
Cũng từ kết quả trên, ta có CMC ''  AB và CMC’’ là tam giác vng tại C

Nên góc giữa mp  BAC '' và CAB  là CMC ''

a
CC ''
1

 2 
Ta có tan CMC '' 
MC a 3
3

2
  30o hay góc giữa mp(ABC’’) và mp(ABC) bằng 30o
Vậy CMC ''
Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

Page 19


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc

ĐỀ BÀI
Bài 1: (VD – tr 101 – SGK)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a; SA vng góc với mp(ABCD)
1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD
a/ Chứng minh rằng MN  BD và SC   AMN 
b/ Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vng
góc
2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi SA  a 2 , AB = a
Bài 2: (BT 16 – tr 103 – SGK)
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đơi một vng góc và AB = a, BC = b, CD = c
a/ Tính độ dài AD
b/ Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D
c/ Tính góc giữa đường thẳng AD và mp (BCD), góc giữa đường thẳng AD và mp (ABC)
Bài 3: (BT 17 – tr 103 – SGK)
Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi một vng góc.
a/ Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn
b/ Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC
1
1
1

1
c/ Chứng minh rằng



2
2
2
OH
OA OB OC 2
Bài 4: (BT 18 – tr 103 – SGK)
Cho hình chóp S.ABC có SA  mp  ABC , các tam giác ABC và SBC không vuông.Gọi H và K lần
lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a/ AH, SK, BC đồng quy
b/ SC  mp  BHK 
c/ HK  mp SBC
Bài 5: (BT 19 – tr 103 – SGK)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm của tam
giác ABC
a/ Chứng minh rằng: SG  mp  ABC . Tính SG
b/ Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vng góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để
(P) cắt SC tại điểm C1 nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi
cắt bởi mp(P)
Bài 6: (BT 23 – tr 111 – SGK)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a
a/ Chứng minh rằng AC’ vng góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’)
b/ Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục
giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.
Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

Page 20


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc

Bài 7: (BT 24 – tr 111 – SGK)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a và SA  mp  ABCD , SA = x. Xác định x để hai
mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60o
Bài 8: (BT 27 – tr 112 – SGK)
Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vng góc với nhau và AC = AD = BC = BD =
a; CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a/ Tính AB, IJ theo a và x
b/ Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vng góc?
Bài 9: (BT 16 – tr 117 – SBT)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA = AB và SA vng góc với BC
a/ Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC
b/ Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD. Chứng minh rằng góc giữa AC và IJ
khơng phụ thuộc vào vị trí của I và J
Bài 10: (BT 26 – tr 119 – SBT)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, và SA = SC, SB = SD. Gọi O là giao điểm của AC
và BD.
a/ Chứng minh rằng SO  mp  ABCD
b/ Gọi d là giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD); d1 là giao tuyến của mp(SBC) và mp(SAD). Chứng

minh rằng SO  mp  d , d1 
Bài 11: (BT 27 – tr 119 – SBT)
Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường chéo AC và
BF vng góc Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác BCE và ADF. Chứng minh
rằng
a/ ACH và BFK là các tam giác vuông

b/ BF  AH và AC  BK
Bài 12: (BT 28 – tr 119 – SBT)
a/ Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC) và I là trung
điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đơi một vng góc.
b/ Cho tứ diện IABC có IA = IB = IC và IA, IB, IC đơi một vng góc; H là hình chiếu của I trên
mp(ABC) . Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau.
Bài 13: (BT 42 – tr 122 – SBT)
Cho hình vng ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và mp(SAB)
vng góc với mp(ABCD)
a/ Chứng minh rằng mp  SAB   mp  SAD và mp  SAB   mp  SBC 
b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
c/ Gọi h và I lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng mp  SHC   mp  SDI 
Bài 14: (BT 43 – tr 122 – SBT)
Cho hình chữ nhật ABCD với tâm O, AB = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong không gian sao cho SO
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , đặt SO = h. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a/ Tính góc giữa mặt phẳng (SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a
để mp(SMN) vng góc với các mặt phẳng (SAB) và (SCD)
b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tính h theo a để hai mặt phẳng đó vng góc.
Bài 15: (BT 44 – tr 122 – SBT)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt
đáy, SA = a. Tính:
a/ Các góc giữa hai mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp
b/ Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình chóp.
Bài 16: (BT 46 – tr 123 – SBT)
Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

Page 21


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc

2a 6
. Trên đường thẳng vng góc với mặt
3
phẳng (P) tại giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi, ta lấy điểm S sao cho SB = a. Chứng minh
rằng:
a/ Tam giác ASC vuông
b/ Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) vng góc với nhau.
Bài 17 : (BT 45 - tr 122- SBT)
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mp(DBC). Gọi AE, BF là hai đường cao của tam giác
ABC; H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác DBC . Chứng minh rằng :
a)mp  ADE   mp  ABC  va mp  BFK   mp  ABC 

Trong mp (P), cho hình thoi ABCD với AB = a, AC 

c) HK  mp  ABC 
Bài 18 (bt51a - tr 124 - SBT)
Trong mặt phẳng (P), cho hình chữ nhật ABCD với AB = b, BC = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm
của AD và BC. Trong mặt phẳng qua EF và vng góc với (P)

Lời giải
Bài 1:
1.a/ * CMR: MN  BD
+) Ta có: SAB SAD  AM  AN (2 đường cao tương ứng)
 BM  ND (do MAB NAD )
SB  SD
+) Xét SBD có 
 MN  BD
 BM  DN
* CMR: SC  mp  AMN 



Cách 1:
 BC  AB  gt 

+) Vì 
 BC   SAB   BC  MA
 BC  SA  do SA   ABCD  

 MA  BC

+) Có 
 MA  SC (1đường thẳng  với 2 cạnh của 1 tam giác thì  với cạnh còn
 MA  SB  gt 

lại)
CM tương tự ta có: NA  SC
Vậy SC  mp  AMN 
 Cách 2:
+) Vì BC   SAB   SB là hình chiếu của SC trên (SAB)
Lại có: MA  SB  MA  SC

1

+) CD   SAD  SD là hình chiếu của SC trên (SAD)

 2
SC  mp  AMN 

Lại có AN  SD  AN  SC
Vậy từ (1) và (2) ta có:

 Cách 3:
+) MN  BD
Mà BD  AC với AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
 MN  SC
+) AM  SC  SC  ( AMN )
b/ CMR: AK  MN
Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

Page 22


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc

 BD  AC
Có 
 BD   SAC 
 BD  SA
Mặt khác: BD // MN  MN  (SAC )  MN  AK
2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi SA  a 2 , AB = a
+) Vì AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)  góc giữa (ABCD) và SC là góc giữa SC và AC
+) Vì  ASC có AS = AC = a 2
 goc SCA  450  góc cần tìm là 450
+) SBC vng tại B có
Bài 17 (Đề số 32 – tr 42- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam gíac cân với AB = AC = a và góc BAC  1200 ,
cạnh bên BB’ = a. Gọi I là trung điểm CC’. Chứng minh rằng tam giác AB’I vng ở A. Tính cosin của
góc giữa hai mặt phng (ABC) v (ABI).

Li gii
A'
C'
B'

a

I
H

A

C
a

a
B

+)Sẽ tính đ-ợc :
IB '2 IC '2  B ' C '2  ... 

13a 2
4

13a 2
4
'
Vậy AB I vuông tại A
AI '2 AB '2 ...

+)Chú ý rằng ABC chính là hình chiếu vuông góc của AB ' I nên ta có:

S ABC  S AB' I .cos 
a 2 3 a 2 10
3
30

.cos   cos  

4
10
10
10
Bài 18 (Đề số 34 – tr 45- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của điểm A’ lên
mặt phẳng (ABC) là trực tâm H của tam giác ABC, góc giữa đường thẳng chứa cạnh bên và mặt phẳng
đáy của hình lăng trụ bằng  . Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và BC vng góc với nhau.
Tính diện tích mặt bên BCC’B’ của hình lăng trụ.
Lời giải


Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

Page 23


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vuụng gúc

A'

C'
B'

A

C

H

M

B

Gọi H là trực tâm ABC .Theo giả thiết A' H ( ABC ) nên AH là hình chiÕu cđa A' A trªn
A ' AH
mp(ABC)    
Ta cã
A ' H  ( ABC ), BC  AH  AA '  BC
 BC  BB '
MỈt bên BCC ' B ' là hình chữ nhật S BCC ' B '  BB '.BC
a 3 2 a 3
. 
2 3
3
AH
a 3
a 3

, B ' B  A' A
Trong tam giác vuông A ' AH : A ' A 

cos  3cos 
3cos 
2
a 3
a 3
.a 
VËy S BCC ' B ' 
3cos 
3cos 
Bài19 ( Đề CĐ Giao thông Vận tải 2007)(Đề số 35 – tr 46- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vng tại A, biết AB = AC = AA’ = a (a > 0)
.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BC’.
Lời gii

Trong ABC đều cạnh a H là trực tâm cũng là trọng tâm nên AH

z
A'

C'

B'

C

y

A

B

x

Chonj trục hệ toạ độ 0xyz sao cho các đỉnh của hình lăng trụ có toạ độ là:
Giỏo viờn: Nguyn Quc Vit

Page 24


Chun đề Hình học khơng gian 11 – Quan hệ vng góc

A(0;0;0),B(a;0:0),
C(0;a;0), C '(0; a; a)
cã

AC  (0; a;0)


BC '  ( a; a; a )


AB  (a;0;0)
 

 AC , BC '  (a 2 ;0a 2 )


  


  AC , BC ' . AB  a 3 0

AC , BC ' chéo nhau
KHoảng cách giữa hai đ-ờng thẳng AC và BC ' là:



 AC , BC ' . AB
a3
a
a 2


d ( AC ; BC ') 



 

2
2
 AC , BC '
a4  0  a4


Bài 20 ( Đề CĐ Khối A- 2007)(Đề số 37 – tr 49- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a 3 , cạnh bên SA vng góc với mặt
phẳng đáy và Sa = 2a. Tính khoảnh cách t A n mt phng (SBC) theo a.
Lời giải
S

H

C
A

M
B

Gợi M là trung điểm của BC ta có BC AM (ABC ®Ịu)
BC  SA( gt )
 BC  mp( SAM )

(1)

Kẻ AH SM tại H, AH BC theo (1)
 AH   SBC  . VËy d ( A,(SBC )) AH
Có AM là đ-ờng cao của ®Ịu ABC c¹nh a 3
(a 3). 3 3a
 AM 

2
2
Cã AH là đ-ờng cao của vuông SAM ta có
1
1
1
4
1
6a

2 2 2 AH
(đơn vị dài)
2
2
AH
AM
SA
9a
4a
5
Bi 21 ( Đề CĐ cơ khí luyện kim - 2007)(Đề số 38 – tr 49- stt ĐTTS 2002-2003 đến
2008-2009)
Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt

Page 25