SKKN “VAI TRÒ CỦA SAI LẦM VÀ CHƯỚNG NGẠI VỚI VIỆC TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN”

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị : THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
Mã số:
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“VAI TRÒ CỦA SAI LẦM VÀ CHƯỚNG NGẠI VỚI VIỆC
TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC TRONG DẠY HỌC
MÔN TOÁN”

Người thực hiện: TRẦN ANH DŨNG
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục 
- Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN 
(Ghi rõ tên bộ môn)
- Lĩnh vực khác: 
(Ghi rõ tên lĩnh vực)
Năm học: 2011 – 2012
BM 01-Bia SKKN
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: TRẦN ANH DŨNG
2. Ngày tháng năm sinh: 24 – 10 – 1957
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: 151/29 – KP3 – P. Trung Dũng – Biên Hòa
5. Điện thoại: (CQ) 3828107 ; (ĐTDĐ) : 0903902179
6. Fax: E-mail:
7. Chức vụ: Hiệu trưởng
8. Đơn vị công tác: THPT chuyên Lương Thế Vinh
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ
- Năm nhận bằng: 2006

- Chuyên ngành đào tạo: Lý luận và PPDH môn Toán
III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán
Số năm có kinh nghiệm: 32
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 5
2
BM02-LLKHSKKN
VAI TRÒ CỦA SAI LẦM VÀ CHƯỚNG NGẠI VỚI VIỆC TỔ
CHỨC HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC TRONG DẠY HỌC
MÔN TOÁN
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
SKKN này đề cập đến những xu hướng mới về quan niệm về sai lầm và
chướng ngại trong học tập môn Toán. Với cách nhìn mới này, sai lầm và chướng
ngại luôn luôn được tính đến một cách tích cực trong quá trình học tập và thiết kế
các tình huống dạy học. Nó còn được xem là động lực của hoạt động nhận thức
trong dạy học môn Toán.
SKKN này trình bày một hướng nghiên cứu về sai lầm của học sinh (HS) trong
hoạt động dạy học (DH) môn Toán từ sự kết hợp giữa hai quan điểm : quan điểm
truyền thống và quan điểm của trường phái Didactic Toán (Pháp). Từ việc tìm hiểu
nguồn gốc của sai lầm của HS, những hình thức tổ chức hoạt động nhận thức trong
DH môn Toán sẽ được hình thành một cách tương thích.
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận
SKKN dựa trên cơ sở lý thuyết kiến tạo trong DH và thuyết hành vi. SKKN
tổng hợp cách phân loại sai lầm, chướng ngại. Cơ sở lý luận này còn cho phép đề
xuất những giải pháp khắc phục sai lầm để hình thành kiến thức mới,
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
- Tác giả trình bày những nghiên cứu cụ thể trên sách Đại số và Giải tích lớp 11,
sách Giải Tích 12 thuộc chương trình hiện hành.
- Để kiểm chứng các giả thuyết, SKKN đã được tổ chức thực nghiệm trên một số

lớp của trường THPT chuyên Lương Thế Vinh (Đồng Nai).
- SKKN đã giới thiệu một cách phân loại sai lầm của HS trong học tập môn Toán,
một cách tiếp cận mới vấn đề phổ biến này trong hoạt động DH.
III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
- Đề tài có tính ứng dụng cao, cung cấp cho các nhà sư phạm một công cụ
nghiên cứu không chỉ trong phạm vi giảng dạy Toán mà có thể vận dụng trong
nghiên cứu hoạt động giảng dạy các bộ môn khác.
- Đề tài đã được thẩm định, phản biện của Hội đồng khoa học trường ĐHSP
TPHCM tại Hội thảo khoa học của học viên Cao học và NCS tháng 12/2011. Kết
quả nghiên cứu của đề tài đã được đăng tại :
• Tạp chí Khoa học- ĐH Vinh (Số tháng 4/2012)
• Tạp chí Giáo dục- Bộ GD-ĐT (Kỳ 2- tháng 4/2012)
IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
3
Đề tài có phạm vi áp dụng trong thực tiễn đạt hiệu quả, đã phổ biến áp dụng
trong ngành Giáo dục và có khả năng áp dụng trong phạm vi rộng đạt hiệu quả.
Trên cơ sở đó, đề xuất:
- Triển khai đề tài trong hoạt động của Hội đồng bộ môn Toán của ngành.
- Triển khai đề tài trong hoạt động của Hội đồng bộ môn KHTN của ngành.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Lê Thị Hoài Châu, Lê văn Tiến, Vai trò của phân tích khoa học luận lịch sử
toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy – học môn toán, Đề tài NCKH
cấp Bộ, ĐHSP TPHCM, 2003.
2. Trần Anh Dũng, Khái niệm liên tục – một nghiên cứu khoa học luận và
didactic, Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học, ĐHSP TP Hồ Chí Minh, 2005.
3. Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán, NXB ĐHSP Hà Nội,
2009.
4. Đào Tam (Chủ biên), Trần Trung, Tổ chức hoạt động nhận thức trong dạy
học môn Toán ở trường trung học phổ thông, NXB ĐHSP Hà Nội, 2010.
5. Lê Văn Tiến (2006). Sai lầm của học sinh, nhìn từ góc độ các lí thuyết về

học tập. Tạp chí Giáo dục số 137.
Tiếng Pháp
6. Bachelard. G (1938). La formation de l’esprit scientifique. Paris : Vrin.
7. Balacheff.N (1982).Preuve et démonstration en mathématiques au collège.
RDM, Vol 3, n
0
3.
Tiếng Anh
8. Guy Brousseau, Theory of Didactical Situations in Mathematics, Kluwer
Academic Publishers. 1997.
NGƯỜI THỰC HIỆN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)
TRẦN ANH DŨNG
4
SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
Đơn vị

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
, ngày tháng năm
PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học:
–––––––––––––––––
Tên sáng kiến kinh nghiệm:

Họ và tên tác giả: Chức vụ:
Đơn vị:
Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)
- Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: 
- Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác: 

Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành 
1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây)
- Có giải pháp hoàn toàn mới 
- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 
2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây)
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng
trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại
đơn vị có hiệu quả 
3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Tốt  Khá  Đạt 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và
dễ đi vào cuộc sống: Tốt  Khá  Đạt 
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả
trong phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt 
Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của
người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh
nghiệm.
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
5
VAI TRÒ CỦA SAI LẦM VÀ CHƯỚNG NGẠI VỚI VIỆC TỔ
CHỨC HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC TRONG DẠY HỌC
MÔN TOÁN
Trần Anh Dũng
Đã có nhiều công trình nghiên cứu về sai lầm (SL) của học sinh (HS) trong dạy
học môn toán. Trong bài báo của mình [5], tác giả Lê Văn Tiến cũng đã trình bày
một tiếp cận SL từ góc độ của thuyết hành vi và thuyết kiến tạo. Cùng quan điểm

với thuyết kiến tạo, nhưng Didactic toán theo trường phái của Pháp đã tạo nên nét
độc đáo riêng bằng cách liên kết quan điểm của thuyết kiến tạo và định đề của
trường phái Bachelard [6] để có cái nhìn tích cực và sâu sắc hơn về khái niệm SL
1
.
Tổng hợp quan điểm của thuyết hành vi, thuyết kiến tạo và của Didactic toán,
chúng tôi đưa ra một phân loại sau đây về SL. Tiêu chí phân loại là cách giải thích
về nguồn gốc của SL đó.
• Loại 1 : SL do bất cẩn, vô ý hoặc do hiểu sai vấn đề cần giải quyết.
• Loại 2 : SL do thiếu kiến thức.
• Loại 3 : SL do không nắm vững kiến thức, yếu kĩ năng hoặc khả năng suy luận.
• Loại 4 : SL do hạn chế về mặt phát triển cá thể.
• Loại 5 : SL có nguồn gốc từ chướng ngại.
• Loại 6 : SL là hệ quả của hợp đồng dạy học.
Nhiều công trình nghiên cứu trong chuyên ngành lí luận và phương pháp dạy học
toán ở Việt Nam đã đề cập nhiều đến 3 loại SL đầu tiên. Ở đây, chúng tôi chỉ đưa
ra các ví dụ giải thích và minh họa cho 3 loại SL cuối cùng của danh sách trên.
1. SL do hạn chế về phát triển cá thể
Con người từ lúc còn nhỏ đến khi trưởng thành trải qua nhiều giai đoạn phát triển
cá thể khác nhau cả về tâm lí cũng như tư duy, Giới hạn phát triển cá thể ở mỗi
giai đoạn cũng là nguồn gốc của SL.
Ta minh họa điều này từ câu hỏi sau :
Làm thế nào HS khẳng định một mệnh đề là đúng? Nói cách khác, HS kiểm chứng
tính đúng đắn của một mệnh đề ra sao?
Từ một thực nghiệm đối với HS, Balacheff [7] đã phân biệt hai kiểu kiểm chứng
sau :
-Kiểm chứng thực dụng : xác nhận chân lí của một mệnh đề nhờ vào hành động và
kinh nghiệm.
-Kiểm chứng trí tuệ:: kiểm chứng không dựa vào kinh nghiệm. Đó là những cách
xây dựng của trí tuệ dựa trên những khái niệm, định nghĩa, tính chất tường minh.

Phép chứng minh là một kiểm chứng trí tuệ đặc biệt.
Theo [7], có ba kiểu kiểm chứng thực dụng :
-Kiểm chứng kiểu “Chủ nghĩa kinh nghiệm ngây thơ” : Khẳng định chân lí của
một mệnh đề bằng cách kiểm tra một vài trường hợp cụ thể và không đặt ra vấn đề
khái quát hóa.
1
Định đề này khẳng định rằng trong lịch sử các môn khoa học, SL không phải là một “tai nạn”, SL không nằm
ngoài kiến thức mà chính là biểu hiện của kiến thức, nó góp phần tạo nên nghĩa của kiến thức.
6
-Kiểm chứng kiểu “Thí nghiệm quyết đoán” : khẳng định chân lí của một mệnh đề
bằng cách kiểm tra một vài trường hợp mà HS cho là ít riêng biệt nhất. Cách làm
này về cơ bản vẫn thuộc kinh nghiệm nhưng khác với chủ nghĩa kinh nghiệm ngây
thơ ở chỗ vấn đề khái quát hoá được đặt ra.
-Kiểm chứng kiểu “Thí dụ đại diện và thực nghiệm thầm trong óc” : kiểm chứng
này cố trình bày rõ ràng những lý lẽ về chân lí của mệnh đề, bằng cách thực hiện
những thao tác trên một đối tượng đặc biệt, nhưng lại được chủ thể xem như
(tưởng tượng như) không có tính đặc biệt và riêng rẽ mà đại diện cho cả một lớp cá
thể.
Trong dạy học toán học, do hạn chế về phát triển cá thể, người ta không thể đòi hỏi
HS tiểu học biết sử dụng các kiểm chứng trí tuệ nói chung và chứng minh nói
riêng. Như vậy, nếu yêu cầu HS tiểu học xác nhận một mệnh đề đúng hay sai, thì
các em thường kiểm tra qua một vài trường hợp đặc biệt hoặc quan sát, đo trên
hình vẽ và kết luận. Nhưng từ quan điểm khoa học toán học, đó là những cách hợp
thức hóa sai!
2. SL có nguồn gốc từ chướng ngại
Các đặc trưng sau đây hình thành nên điều kiện cần của một chướng ngại (CN)
theo quan điểm của Didactic toán:
- CN là một kiến thức, một quan niệm, chứ không phải là một khó khăn hay sự
thiếu kiến thức.
- Kiến thức này cho phép tạo ra câu trả lời phù hợp trong một số tình huống thường

gặp. Nhưng khi vượt ra khỏi những tình huống quen thuộc này nó sẽ sinh ra các
câu trả lời sai. Để có câu trả lời đúng trong mọi tình huống cần có một quan điểm
hoàn toàn khác.
- Kiến thức này chống lại những mâu thuẫn với nó và gây khó khăn cho việc thiết
lập một kiến thức mới hoàn thiện hơn. Việc có một kiến thức khác tốt hơn không
đủ cho kiến thức cũ này biến mất. Do đó, cần phải xác định kiến thức “sai” này và
thực hiện loại bỏ nó trong quá trình xây dựng kiến thức mới.
- Ngay cả khi chủ thể đã ý thực được về sự không chính xác của kiến thức chướng
ngại này, thì nó vẫn tiếp tục xuất hiện một cách dai dẳng và bất chợt.
Ví dụ 1 : Chúng tôi thực hiện một thực nghiệm trên 79 HS lớp 12 của trường
THPT Lương Thế Vinh (Đồng Nai) và THPT Hàn Thuyên (TP Hồ Chí Minh) với
bài toán sau :
Cho hàm số : f(x) =
2
4
x x 1 khi x 0,99
x 3x 3 khi x 1

− + <


 − + ≥

.
1) Tìm
x 1
lim f (x)
→ −
;
x 1

lim f (x)
→ +

2) Xét tính liên tục của hàm số tại x
0
= 1
Nghiên cứu bài làm của 79 HS, chúng tôi thấy có đến 76/79 HS có lời giải sai như
sau:
x 1 x 1
lim f (x) 1; lim f(x) 1; f (1) 1
+ −
→ →
= = =
. Vì
x 1 x 1
lim f (x) lim f(x) f (1) 1
+ −
→ →
= = =
nên hàm số
liên tục tại x
0
= 1.
7
• Các quan điểm về sai lầm :
+ Theo quan điểm của thuyết hành vi thì SL này do HS bất cẩn hoặc không nắm
vững kiến thức.
+ Theo quan điểm của Didactic toán, SL này có nguồn gốc từ một chướng ngại, đó
là khái niệm “vô hạn” hoặc cũng có thể xem là chướng ngại do khái niệm “vô cùng
bé” . Ta cũng gặp hiện tượng này trong lịch sử Toán học. Trong nhiều thế kỉ, các

nhà bác học đã tìm cách “lẩn tránh”, không sử dụng đến khái niệm “vô hạn”, vì có
quá nhiều nghịch lí nẩy sinh từ khái niệm này, như nghịch lí Achilles không đuổi
kịp rùa, nghịch lí cầu phương hình tròn của Antifont.
3. SL là hệ quả của hợp đồng dạy học
Trong SKKN thực hiện năm 2011, chúng tôi đã giới thiệu khái niệm “Hợp đồng
dạy học”. Trong SKKN này, chúng tôi không lặp lại khái niệm này, thay vào đó,
một số ví dụ cụ thể sẽ mô tả ý nghĩa của khái niệm này và vai trò của nó như một
nguồn gốc của sai lầm.
Ví dụ 2 : Người ta đề nghị học sinh tiểu học ở Pháp giải bài toán “Tuổi thuyền
trưởng” sau đây [8].
“ Trên một chiếc tàu có 26 con cừu và 10 con dê. Hỏi tuổi của thuyền trưởng là
bao nhiêu ?”
Bài toán lạ lùng này được tiến hành thực nghiệm trên 3 nhóm học sinh: 97 HS lớp
2, 171 HS lớp 2 và lớp 3, 118 HS lớp 4 và lớp 5.
Tỷ lệ HS cho câu trả lời bằng cách sử dụng giả thiết đã cho là :
78,3% HS nhóm 1.
74,3% HS nhóm 2.
19,5% HS nhóm 3.
Chẳng hạn, có HS trả lời tuổi thuyền trưởng là 36 sau khi làm phép tính 26 +10 =
36, hoặc có em tính 26 -10 = 16 và cho đáp số là 16.
Đánh giá thế nào về bài toán và kết quả nêu trên ?
Một số nhà nghiên cứu cho rằng bài toán và ứng xử của HS là vô lí! Nếu có giải
thích thì người ta thường cho rằng do hạn chế về phát triển cá thể, nên HS ở lứa
tuổi đó chưa nhận ra sự bất hợp lí trong mối quan hệ giữa giả thiết và yêu cầu của
bài toán.
Tuy nhiên, các nhà Didactic toán theo trường phái của Pháp không thỏa mãn với
cách giải thích đó. Họ cho rằng SL không phải là ngẫu nhiên, tùy tiện hoặc do hạn
chế về sự phát triển cá thể, mà còn các yếu tố khác cho phép giải thích tính hợp lí
trong câu trả lời sai lầm của HS.
Theo quan điểm của Didactic toán, chính quá trình học toán ở tiểu học đã hình

thành ở HS những qui tắc của hợp đồng dạy học sau đây :
- Một bài toán được đặt ra phải có câu trả lời (đáp số).
- Để có được đáp số cần sử dụng tất cả các giả thiết đã cho và cần sử dụng các kiến
thức vừa được học (trong trường hợp này là các phép toán cộng, trừ, nhân và chia
– tùy theo cấp lớp).
- HS không có trách nhiệm về tính hợp lí của bài toán, mà chính giáo viên phải
đảm bảo điều đó.
8
Như vậy, HS phạm phải SL không phải vì không nắm vững kiến thức được giảng
dạy trong lớp. Bằng chứng là các em vẫn thành công trong việc giải các bài toán
mà chương trình yêu cầu ở cấp độ này. SL xuất phát từ những qui tắc của hợp đồng
dạy học.
Ví dụ 3 : HS được đề nghị giải bài toán sau :
Cho hàm số f(x) =
2
x 2x 1 2 x 0
1
0 x 2
x

− − + − ≤ ≤


< ≤


1) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [-2; 2].
2) Với điều kiện nào của m thì phương trình f(x) = m có nghiệm trên [-2; 2].
Các lời giải được dự đoán (S
1i

là trả lời câu 1); S
2i
là trả lời câu 2))
Câu 1)
+ S
1a
: Tính đạo hàm của hàm số
2
2x 2 2 x 0
y
1
0 x 2
x
− − − < <


′
=

− < <


.
Nghiệm của đạo hàm là x =-1. Tính giá trị của hàm số : f(-2) = 1; f(-1) = 2;
f(0) = 1; f(2) =
1
2
. Từ đó suy ra :
[ ]
[ ]

x 2;2
x 2;2
1
max f (x) 2; min f(x)
2
∈ −
∈ −
= =
.
+ S
1b
: Tính đạo hàm như trên, lập bảng biến thiên nhưng bỏ qua tính chất gián
đoạn tại điểm x = 0. Kết quả :
[ ]
[ ]
x 2;2
x 2;2
1
max f (x) 2; min f(x)
2
∈ −
∈ −
= =
.
+ S
1c
: Lập bảng biến thiên với tính chất gián đoạn của hàm số tại điểm x = 0 và
x 0
lim f(x)
→ +

= +∞
. Kết luận :
[ ]
[ ]
x 2;2
x 2;2
1
max f(x); min f (x)
2
∈ −
∈ −
∃ =
.
+ S
1d
: các lời giải khác hoặc không trả lời
Câu 2)
+ S
2a
: Sử dụng GTNN, GTLN vừa tìm, hay sử dụng bảng biến thiên không có
tính gián đoạn tại x = 0, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :
1
m 2
2
≤ ≤
.
+ S
2b
: Sử dụng bảng biến thiên đúng, được điều kiện
1

m
2
≥
.
+ S
2c
: Giải phương trình trong từng trường hợp.
+ S
2d
: Không trả lời hoặc có lời giải khác (dùng đồ thị,…)
Thực nghiệm được tổ chức trên 128 HS lớp 12 của trường THPT Lương Thế
Vinh và THPT Hàn Thuyên (TPHCM). Kềt quả thu thập được như sau :
Trả lời
Câu
S1a S1b S1c S1d S2a S2b S2c S2d
1 104
81,25%
13
10,15%
4
3,12%
7
5,46%
2 40
31,25%
2
1,56%
13
10,15%
73

57,03%
9
Trong phạm vi hạn chế của SKKN chúng tôi chỉ nêu các nhận xét về SL của HS ở
hai lời giải S1a và S2a.
• Các quan điểm về sai lầm qua lời giải S
1a
và S
2a
:
- Theo quan điểm của didactic toán : Qua nghiên cứu SGK Giải tích 12, chúng tôi
cho rằng sai lầm S
1a
do ảnh hưởng của hợp đồng dạy học (HĐDH): “Để tìm giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], học sinh chỉ cần tính
f(a), f(b) và giá trị của f(x) tại các điểm cực trị trên đoạn [a; b], họ không có trách
nhiệm kiểm tra tính liên tục của f(x) trên [a; b]”. Sai lầm S
2a
do ảnh hưởng của
HĐDH liên quan đến định lí giá trị trung gian (Giải tích 11): “phương trình f(x) =
m có nghiệm trên đoạn [a; b] khi minf(x) ≤ m ≤ maxf(x)”
- Theo quan điểm của thuyết hành vi :
+ Về phía HS : Họ áp dụng một cách máy móc các qui trình đã biết, không
nghiên cứu kỹ đề bài và tính toán nhầm lẫn.
+ Về phía GV : Truyền thụ không đầy đủ các trường hợp của bài toán tìm
GTNN, GTLN của hàm số trên một đoạn cũng như các phương pháp tìm điều kiện
để phương trình f(x) = m có nghiệm trên đoạn.
Ví dụ 4 : HS được yêu cầu giải một bài toán gần như ví dụ 1:
Cho hàm số f(x) =
2
1

x 2x 2 khi x
2
2 x khi x 1

+ − <



− ≥

1) Tìm
x 1
lim f (x)
→ −
;
x 1
lim f (x)
→ +
. Hàm số f(x) có liên tục tại x = 1 hay không ?
2) Lập bảng giá trị của hàm số.
3) Vẽ đồ thị của hàm số
Bài toán này được thực nghiệm trên một nhóm 65 HS lớp 11 của trường THPT
chuyên Lương Thế Vinh. Chúng tôi ghi nhận được 2 sai lầm có ý nghĩa, cần được
chú trọng trong quá trình giảng dạy.
+ SL 1 : HS có lời giải :
x 1
lim f (x)
→ −
=
( )

2
x 1
lim x 2x 2 1
→ −
+ − =
( )
x 1 x 1
lim f (x) lim 2 x 1
→ + → +
= − =
Vậy
x 1
lim f (x)
→ −
=
x 1
lim f (x)
→ +
= f(1) = 1 ⇒ hàm số f(x) liên tục tại x = 1.
Tỉ lệ HS mắc phải sai lầm này là 46,15% (30/65)
+ SL 2 : HS có lời giải ở câu 3) là một đường liền
nét trên R (như hình vẽ). Tỉ lệ HS mắc sai lầm này
là 21,5% (14/65)
• Các quan điểm về sai lầm
+ Theo quan điểm didactic toán : SL1 không còn
có nguồn gốc là chướng ngại do quan niệm vô hạn
hay vô cùng bé nữa mà do một qui tắc HĐDH tồn
tại ngầm ẩn trong hệ thống dạy – học Giải tích 11.
HĐDH này thể hiện quan điểm đại số hóa triệt để khái niệm hàm số liên tục : “Để
xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x

0
, trong đó f(x) là hàm số cho bởi hai
10
công thức và x
0
là một điểm biên, HS chỉ cần tìm giới hạn hai bên tại x
0
và so sánh
với f(x
0
), họ không có trách nhiệm xét tính chất của miền xác định”.
SL2 do một qui tắc HĐDH hình thành ở lớp 10 : “để vẽ đồ thị hàm số, ta xác định
một số điểm rồi nối chúng lại thành một đường liền nét.”
+ Theo quan điểm của thuyết hành vi : các SL trên do không nắm vững kiến thức
hoặc thiếu kỹ năng.
Đến đây, ta có thể đưa ra một mô tả sau đây về khái niệm hợp đồng dạy học :
“Hợp đồng dạy học là tập hợp những qui tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm
của học sinh và giáo viên, đối với một tri thức toán học được giảng dạy”.

4. Vai trò của Sai lầm và Chướng ngại trong thiết kế tình huống dạy học
Trong học tập bởi sự thích nghi với tình huống, kiến thức được xây dựng ở học
sinh (HS) thường mang tính địa phương, có thể được HS gắn một cách thiếu lôgic
với những kiến thức khác. Nó cũng có tính tạm thời và có thể hoàn toàn không
chính xác [8].
Quan điểm này được Brousseau khẳng định với một cách nhìn mới về sai lầm
của HS:
“Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không biết, không chắc chắn, ngầu nhiên của
những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả
của những kiến thức đã có từ trước, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập
trước kia, nhưng lại là sai, hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội

kiến thức mới. Những sai lầm kiểu này không phải là không dự kiến trước được, và
chúng tạo nên chướng ngại. Trong hoạt động của thầy giáo cũng như trong hoạt động của
học sinh, sai lầm có thể sinh ra từ nghĩa của kiến thức được thu nhận bởi những chủ thể
này.” (Brousseau, 1983, tr. 171)
Quan điểm trên cho phép chúng ta tiếp cận sai lầm của HS theo hai khuynh
hướng:
- thứ nhất, sai lầm của HS không đồng nghĩa với việc thiếu kiến thức, trái lại
một số sai lầm là những yếu tố thông tin cho giáo viên (GV) về những quan niệm
của HS liên quan đến khái niệm, thông tin về “cách biết của HS”,
- thứ hai, sai lầm của HS phải được tính đến một cách tích cực trong quá
trình học tập, GV sử dụng những sai lầm đó để tổ chức các tình huống học tập
thuận lợi cho HS xem xét lại nguyên nhân các sai lầm của chúng cũng như các
tình huống để HS tự kiến tạo kiến thức mới.
Việc phân tích các sai lầm có thể làm rõ các chướng ngại của việc học tập.
Các nhà didactic toán phân biệt bốn kiểu chướng ngại tùy theo nguồn gốc của
chúng :
- Chướng ngại khoa học luận (KHL) là chướng ngại gắn liền với sự phát triển
lịch sử của những kiến thức mà việc loại bỏ nó đòi hỏi phải đưa vào một cách
tường minh trong tri thức được chuyển tải đến học sinh (HS).
- Chướng ngại sư phạm (SP) là những chướng ngại sinh ra từ sự chuyển hóa sư
phạm, chúng dường như tùy thuộc vào sự lựa chọn của mỗi hệ thống giáo dục.
- Chướng ngại thuộc về phát triển cá thể là chướng ngại gắn liền với những hạn
chế về nhận thức của một HS ở một thời điểm nào đó trong quá trình phát triển của
nó.
11
- Chướng ngại văn hóa là chướng ngại lưu hành trong cuộc sống văn hóa, đã
được giải quyết về mặt khoa học nhưng vẫn luôn tồn tại.
Chỉ có chướng ngại KHL là những chướng ngại mà việc vượt qua chúng đóng
một vai trò quyết định trong việc xây dựng tri thức. Chướng ngại KHL có thể được
tìm thấy qua tiếp cận lịch sử phát sinh của chính khái niệm đó. Theo quan điểm

của Brousseau về sai lầm thì một số kiến thức sai là cần thiết cho học tập. Con
đường đi của HS phải trải qua việc xây dựng tạm thời từ một số kiến thức sai, và
việc ý thức được đặc trưng sai lầm này sẽ là yếu tố cấu thành nên nghĩa của tri thức
mà việc dạy-học nhắm đến. Brousseau gọi những điểm buộc phải trải qua này là
chướng ngại khoa học luận.
Những chướng ngại SP mang tính đặc thù của hệ thống giáo dục, vì vậy có thể
được tìm thấy trong việc phân tích đối tượng tri thức trong hệ thống mà nó tồn tại.
Theo GS Nguyễn Bá Kim [3, tr. 225], chướng ngại SP là chướng ngại có thể tránh
được bằng cách thực hiện những biện pháp chuyển hóa SP một cách hợp lí.
Cơ sở lý luận trên cho thấy việc phát hiện các sai lầm và chướng ngại cũng như
phân loại được chúng có vai trò quan trọng đối với người GV trong việc thiết kế
các tình huống dạy học (DH) nhằm đạt được dụng ý sư phạm. Trong DH môn
Toán, chúng tôi cho rằng những sai lầm của HS cần được phân tích rõ để phát hiện
chướng ngại và từ đó có giải pháp sư phạm thích hợp. Mặt khác, theo chúng tôi,
các chướng ngại xuất hiện trong học tập môn toán thường chỉ tập trung ở ba loại :
chướng ngại KHL; chướng ngại SP và chướng ngại thuộc về phát triển cá thể.
Chúng tôi chỉ trình bày những quan điểm về hai loại chướng ngại đầu tiên.
Chướng ngại KHL cần được GV nghiên cứu nhằm xây dựng một đồ án DH tri
thức mới theo quan điểm dạy học kiến tạo. Nghĩa là sao cho HS có thể đạt được tri
thức mới theo chu trình : Dự báo Kiểm nghiệm  Thất bại  Thích nghi 
Kiến thức mới.
Mặt khác, theo quan điểm về chướng ngại KHL của didactic toán, để tìm dấu
vết của chướng ngại, Brousseau đã đề nghị một tiến trình như sau :
- Xác định những sai lầm thường xuyên tái diễn, chứng tỏ rằng chúng có thể
nhóm lại quanh một quan niệm.
- Nghiên cứu xem chúng có tồn tại hay không trong lịch sử xây dựng khái niệm
toán học.
- Đối chiếu những chướng ngại lịch sử với những chướng ngại học tập để nếu
có thể thì xác định các đặc trưng khoa học luận của chướng ngại [2, tr. 12]
GS Đào Tam, Trần Trung trong [5] đã phân loại các chướng ngại SP theo ba

nhóm được mô tả dưới đây :
a. Do các khái niệm; các quan hệ; các qui luật toán học có mối liên hệ chằng
chịt bên trong nội bộ môn Toán, giữa các chương mục khác nhau và liên hệ với các
môn khác, trong khi đó GV chỉ khai thác trang bị một phần nào đó kiến thức về các
mối liên hệ nói trên, khi gặp những tình huống vận dụng kiến thức hoặc tìm tòi các
các kiến thức mới nảy sinh chướng ngại nhận thức ở học sinh (HS) thể hiện qua
những khó khăn huy động kiến thức để giải quyết vấn đề (dấu hiệu 1)
12
b. Chướng ngại SP nảy sinh do quá trình DH toán ở trường phổ thông còn thiếu
quan tâm khai thác các ứng dụng khác nhau của môn Toán vào thực tiễn (dấu hiệu
2)
c. Chướng ngại SP nảy sinh do quá trình dẫn tới tri thức còn thiếu tường minh,
nhiều kiến thức còn thừa nhận [4, tr. 23] (dấu hiệu 3)
Theo chúng tôi, ba nhóm trên đều có một nguồn gốc chung là quá trình chuyển
hóa SP của GV trong DH hoặc chuyển hóa SP từ tri thức toán học sang tri thức
chương trình và sách giáo khoa (SGK). Việc phân chia như trên dựa trên những
khiếm khuyết khác nhau của quá trình chuyển hóa SP và đó cũng là sơ sở cho việc
xây dựng các giải pháp SP thích hợp.
Chúng ta xét tiếp các ví dụ sau nhằm minh họa việc vận dụng các dấu hiệu trên.
Ví dụ 5 : trích từ [4]. Giải phương trình :
sin
2
x + sin
2
y – sinx – siny = sinx.siny – 1
Qua xem xét cách giải của học sinh (HS) các tác giả nhận thấy rằng HS không biết
vận dụng kiến thức về tam thức bậc hai để giải bài toán trên và theo các tác giả
chướng ngại này xuất hiện do HS không được luyện tập sử dụng tri thức đã có vào
những tình huống khác nhau.
Nói cách khác, CN này xuất hiện khi HS tiếp cận một khách thể mới, khác với đối

tượng quen thuộc. Đó là sin
2
x+sin
2
y–sinx–siny = sinx.siny–1, thay vì phương trình
dạng ax
2
+bx+c = 0, hay ít ra cũng dễ dàng biến đổi về dạng này, chẳng hạn 5x
2
+
7x – 3 = 3x + 9.
Để giải bài toán, HS phải thực hiện đồng thời hai hoạt động đồng hóa và điều ứng,
thể hiện qua lời giải sau :
sin
2
x+sin
2
y–sinx–siny = sinx.siny–1⇔ sin
2
x+sinx(siny+1)+sin
2
y–siny+1= 0 (1)
Điều kiện có nghiệm của PT (1) là :
∆ = (siny + 1)
2
– 4(1 – siny + sin
2
y)
= -3(siny-1)
2

≥ 0 ⇔ siny = 1
⇔ y = π/2 + k2π.
Thay siny = 1 vào (1) ta có sinx = 1. Từ đó x = π/2 + k2π. Vậy phương trình có
nghiệm là x = y = π/2 + k2π.
Hoạt động điều ứng thể hiện qua sự điều chỉnh quan niệm về phương trình bậc 2 :
ẩn có thể là x, y, hoặc một biểu thức bất kì; biệt thức
∆
có thể phụ thuộc vào ẩn
thứ 2 (trong trường hợp này là y).
Như vậy, việc HS không biết vận dụng kiến thức về tam thức bậc hai để giải
bài toán này là do họ gặp khó khăn trong việc thích nghi vào một môi trường trong
đó khách thể không còn là đối tượng quen thuộc. Trong tình huống này chúng ta
thấy sự hiện diện của dấu hiệu 1.
Ví dụ 6: HS lớp 12 bậc THPT được đề nghị bài toán :
Hàm số f(x) =
cos x cos3x
2cos x sin x 3
+
+ +
có giá trị nhỏ nhất (GTNN) và giá trị lớn nhất
(GTLN) không ?
Chúng tôi ghi nhận được những vấn đế sau khi quan sát HS xử lý tình huống này :
- Đa số HS chuyển bài toán về tìm GTNN và GTLN của hàm số. Họ sử dụng
một trong hai phương pháp : đạo hàm; miền giá trị.
13
- Khó khăn xảy ra trong việc tìm nghiệm của phương trình f’(x) = 0 hay tìm
điều kiện để phương trình có nghiệm.
Chúng tôi cho rằng trong trường hợp này có thể vận dụng dấu hiệu 3 nếu xem rằng
định lí về sự tồn tại GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn không được
giảng dạy tường minh. Có thể quan niệm rằng dấu hiệu 2 được vận dụng để giải

thích nếu chúng ta thừa nhận sự thiếu quan tâm khai thác các ứng dụng của công
nghệ thông tin vào thực tiễn (dạy và học toán).
Kết hợp các quan điểm của lý thuyết kiến tạo, didactic toán và thuyết hành vi,
chúng tôi tổng hợp các nguồn gốc của sai lầm của HS hoặc phân loại chướng ngại
cũng như giải pháp trong bảng tóm tắt sau :
Ví
dụ
Phân loại sai lầm Phân loại
chướng ngại
Vận dụng vào tình huống DH khái
niệm hoặc giải pháp SP
1
Thuyết hành vi :
Loại 1 (do bất cẩn)
Không Bổ sung các kiến thức nhằm hạn chế
các SL liên quan đến khái niệm giới
hạn
Didactic Toán :
Loại 5 (do chướng ngại)
Chướng ngại KHL
về khái niệm vô
hạn hoặc vô cùng
bé
3
Thuyết hành vi :
Loại 3 (do không nắm
vững kiến thức)
Không Có thể tránh được chướng ngại này
bằng cách thay đổi qui trình giảng
dạy khái niệm GTNN, GTLN của

hàm số trên một đoạn
Didactic Toán :
Loại 6 (do HĐDH)
Chướng ngại sư
phạm (dấu hiệu 3)
4
Thuyết hành vi :
Loại 3 (do không nắm
vững kiến thức)
Không Bổ sung khái niệm lân cận trong
chương trình Giải tích 11, đa dạng
hóa BT về hàm số liên tục trong SGK
Giải tích 11.
Didactic Toán :
Loại 6 (do HĐDH)
Chướng ngại sư
phạm (dấu hiệu 1)
5
Trường hợp này xuất
hiện chướng ngại và HS
không thể thực hiện BT
nên không đánh giá SL
Chướng ngại sư
phạm (dấu hiệu 1)
Tăng cường các dạng BT chuyển đổi
đối tượng.
6 Như trên Chướng ngại sư
phạm (dấu hiệu 2)
- Giảng dạy tường minh định lí về sự
tồn tại GTNN, GTLN của hàm số

liên tục trên một đoạn, hoặc :
- Sử dụng công nghệ thông tin trong
giảng dạy Giải tích 11 (*)
14
Đề làm rõ mục (*) trong bảng trên, chúng tôi minh họa bằng cách mô phỏng đồ thị
hàm số f(x) =
cos x cos3x
2cos x sin x 3
+
+ +
trên một đoạn chu kỳ của nó với việc sử dụng phần
mềm Geogebra để chỉ ra sự tồn tại của GTNN và GTLN của hàm số.
5. Kết luận
Những lý luận tiên tiến về DH không chủ trương HS tránh SL mà trái lại, HS
được đặt vào các trường hợp mà họ sẽ phạm SL, việc vượt qua SL, chướng ngại là
con đường tốt nhất hình thành kiến thức mới.
Xác định được sai lầm và nhận dạng được chướng ngại có một vai trò quan
trọng trong tổ chức hoạt động nhận thức trong DH môn Toán. Theo chúng tôi, thầy
giáo phải quan tâm và nhận thức được tầm quan trọng của sai lầm, chướng ngại với
tư cách chúng là động lực của hoạt động nhận thức trong DH toán. Ngoài ra, đó
cũng là những hoạt động cụ thể hóa các thành phần của đồ án DH theo quan điểm
kiến tạo :
15