Bài tập lý thuyết trường lượng tử

Lý Thuyết Trường Lượng Tử
Bài 1: Tìm phương trình Lagrange-Euler cho các trường L sau:
1
1
)
4
a L F F
µυ
µυ
= −
trong đó
F A A
µυ µ υ υ µ
= ∂ −∂
;
A
µ
là thế vector
2
2
2
2
L m
µ
φ φ
= ∂ −
trong đó
φ
là hàm vô hướng phức,
2
*

φ φ φ
=
BÀI LÀM
Bài 1:
a) Ta đi khai triển
1
1
4
L F F
µυ
µυ
= −
Bởi vì
F F
µν νµ
= −
và
F F
µν νµ
= −
nên (
F
µν
Phản xứng):
+
00 11 22 33
0F F F F= = = =
(1)
+
F F F F

µν νµ
µν νµ
=
(2)
(1) và (2)Ta chỉ còn lại:
01 02 03 12 13 23
1 01 02 03 12 13 23
1
[2 2 2 2 2 2 ]
4
L F F F F F F F F F F F F= − + + + + +
01 02 03 12 13 23
1 01 02 03 12 13 23
1
[ ]
2
L F F F F F F F F F F F F= − + + + + +
Ta còn có:
F F
µν
µν
= −
nếu một trong
µ
hoặc
ν
có một hệ số bằng 0, và
F F
µν
µν

= +
nếu cả hai hệ số i và j không có hệ số nào bằng 0, vì thế ta có:
2 2 2 2 2 2
1 01 02 03 12 13 23
1
[ ]
2
L F F F F F F= + + − − −
Thế
F A A
µυ µ υ υ µ
= ∂ −∂
vào biểu thức trên ta được:
2 2 2 2 2 2
1 0 1 1 0 0 2 2 0 0 3 3 0 1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2
1
[( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]
2
L A A A A A A A A A A A A= ∂ −∂ + ∂ − ∂ + ∂ −∂ − ∂ −∂ − ∂ −∂ − ∂ −∂
Vì thế ta được:
+
1
0
L
A
υ
∂
=
∂
+

1
( ), 0
( ), 0
( )
A A
L
A A
A
µ υ υ µ
µ υ υ µ
µ υ
µυ
µυ
+ ∂ −∂ =

∂

=

− ∂ −∂ ≠
∂ ∂


1
Lý Thuyết Trường Lượng Tử
F F
µυ υµ
= − =
Vì vậy phương trình Lagrange-Euler là
1

( ) 0
( )
L
F A A A A
A
υµ υ µ µ υ υ µ µ υ
µ µ µ µ µ
µ υ
∂
∂ = ∂ = ∂ ∂ − ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ =
∂ ∂
b) Ta phân tích Lagrangian
2
2
2
2
L m
µ
φ φ
= ∂ −

2
* *m
µ
µ
φ φ φφ
= ∂ ∂ −
Suy ra:
2
2

*
L
m
φ
φ
∂
= −
∂
2
*
( )
L
µ
µ
φ
φ
∂
= ∂
∂ ∂
2
[ ] *
( )
L
µ
µ µ
µ
φ
φ
∂
∂ = ∂ ∂

∂ ∂
Từ phương trình
2 2
[ ] 0
( )
L L
µ
µ
φ φ
∂ ∂
−∂ =
∂ ∂ ∂
ta thu được phương trình Lagrange-Euler
2
( ) * 0m
µ
µ
φ
∂ ∂ + =
hay
2
( ) 0m
µ
µ
φ
∂ ∂ + =

Bài tập lý thuyết trường lượng tử nộp 27/12/2010
ĐỀ:Bài 1: Chứng minh
a)

† 3
'
[ , ] (2 ) ( ')
p p
a a p p
π δ
= −
b)
† †
' '
[ , ] [ , ] 0
p p p p
a a a a= =
Bài 2: Chứng minh
a)
3
† †
3
1
( [ , ])
(2 ) 2
p p p p p
d p
H a a a a
ω
π
= +
∫
b)
3

3 † †
3
1
( ) ( ) ( [ , ])
(2 ) 2
p p p p
d p
P d x x x p a a a a
π φ
π
= − ∇ = +
∫ ∫
ur
Với
3
† .
3
1
( ) ( )
(2 )
2
ip x
p p
p
d p
x a a e
φ
π
ω
−

= +
∫
2
Lý Thuyết Trường Lượng Tử

3
'
† '.
' '
3
'
( ) ( ) ( )
(2 ) 2
p
ip y
p p
d p
x i a a e
ω
π
π
−
= − −
∫

[ ( ), ( )] ( )x y i x y
φ π δ
= −

[ ( ), ( )] [ ( ), ( )] 0x y x y

φ φ π π
= =
BÀI LÀM
Bài 1:
a) Ta có:
[ ( ), ( )] ( )x y i x y
φ π δ
= −
Thế
3
† .
3
1
( ) ( )
(2 )
2
ip x
p p
p
d p
x a a e
φ
π
ω
−
= +
∫
3
'
† '.

' '
3
'
( ) ( ) ( )
(2 ) 2
p
ip y
p p
d p
x i a a e
ω
π
π
−
= − −
∫
Ta được:
[ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) ( )x y x y y x
φ π φ π π φ
= −
{ }
3 3
'
† † † † ( . '. )
' ' ' '
6
( ) '
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
2 (2 )
p

i p x p y
p p p p p p p p
p
i d pd p
x y y x a a a a a a a a e
ω
φ π π φ
π ω
+
− − − −
−
− = + − − − +
∫
3 3
'
† † † † † † † † ( . '. )
' ' ' ' ' ' ' '
6
( ) '
( )
2 (2 )
p
i p x p y
p p p p p p p p p p p p p p p p
p
i d pd p
a a a a a a a a a a a a a a a a e
ω
π ω
+

− − − − − − − −
−
= − + − − − + +
∫
{ }
3 3
'
† † † † ( . '. )
' ' ' '
6
( ) '
[ , ] [ , ] [ , ] [ , ]
2 (2 )
p
i p x p y
p p p p p p p p
p
i d pd p
a a a a a a a a e
ω
π ω
+
− − − −
−
= + + +
∫
Tính chất của hàm
δ
Dirac:
3 3

( . '. ) (3)
3
'
( )
(2 )
i p x p y
d pd p
ie i x y
δ
π
+
= −
∫
và theo đề
[ ( ), ( )] ( )x y i x y
φ π δ
= −
nên ta có:
{ }
3 3
'
† † † †
' ' ' '
3
1 '
[ , ] [ , ] [ , ] [ , ] 1
2 (2 )
p
p p p p p p p p
p

d pd p
a a a a a a a a
ω
π ω
− − − −
− + + + =
∫
Phương trình trên chỉ thỏa mãn khi:
† †
' '
[ , ] [ , ] 0
p p p p
a a a a
− −
= =
và
† 3 (3)
'
[ , ] (2 ) ( ')
p p
a a p p
π δ
−
= +
ta kiểm tra lại
3
Lý Thuyết Trường Lượng Tử
{ } { }
3 3 3 3
'

† † †
' '
3 3
'
1 ' 1
0 0 [ , ] [ , ] 0 0 2[ , ] 1
2 (2 ) 2 (2 )
p p
p p p p p p
p p
p p
d pd p d pd p
a a a a a a
ω ω
π ω π ω
− −
=−
− + + + = − + − =
∫ ∫
Bài 2:
a) Ta có
3 2 2 2 2
1 1 1
[ ( ) ( ( )) ( )]
2 2 2
H d x x x m x
π φ φ
= + ∇ +
∫
(1)

3 2 2 2 2
1
[ ( ) ( ( )) ( )]
2
d x x x m x
π φ φ
= + ∇ +
∫
Thế
3
†
3
1
( ) ( )
(2 )
2
ipx
p p
p
d p
x a a e
φ
π
ω
−
= +
∫
3
†
3

( ) ( ) ( )
(2 ) 2
p
ipx
p p
d p
x i a a e
ω
π
π
−
= − −
∫
Vào (1) ( ta được:
3 3
'
2 † † ( ')
' '
6
'
( ) ( ) ( )( )
(2 ) 4
p p
ix p p
p p p p
d pd p
x a a a a e
ω ω
π
π

+
− −
= − − −
∫

( )
3 3
'
† † † † ( ')
' ' ' '
6
'
( )
(2 ) 4
p p
ix p p
p p p p p p p p
d pd p
a a a a a a a a e
ω ω
π
+
− − − −
= − − − +
∫
(2)
3
†
3
1

( ) ( )
(2 )
2
ipx ipx
p p
p
d p
x a e a e
φ
π
ω
−
∇ = ∇ +
∫

3
†
3
1
( )
(2 )
2
ipx ipx
p p
p
d p
ipa e ipa e
π
ω
−

= −
∫

3
†
3
1
( )
(2 )
2
ipx
p p
p
d p
ip a a e
π
ω
= −
∫
3 3
2 † † † † ( ')
' ' ' '
6
'
' 1
( ( )) ( ) '( )
(2 )
4
ix p p
p p p p p p p p

p p
d pd p
x pp a a a a a a a a e
φ
π
ω ω
+
− − − −
∇ = − − − +
∫
(3)
3 3
2 † † ( ')
' '
6
'
' 1
( ) ( )( )
(2 )
4
ix p p
p p p p
p p
d pd p
x a a a a e
φ
π
ω ω
+
− −

= + +
∫
4
Lý Thuyết Trường Lượng Tử

3 3
† † † † ( ')
' ' ' '
6
'
' 1
( )
(2 )
4
ix p p
p p p p p p p p
p p
d pd p
a a a a a a a a e
π
ω ω
+
− − − −
= + + +
∫
(4)
Từ (1),(2),(3),(4)
( )
( )
'

† † † †
' ' ' '
3 3
'
3 ( ')
6
2
† † † †
' ' ' '
'
'
4
4
1 '
2 (2 )
4
p p
p p p p p p p p
p p
ix p p
p p p p p p p p
p p
pp
a a a a a a a a
d pd p
d x e
m
a a a a a a a a
ω ω
ω ω

π
ω ω
− − − −
+
− − − −
 
 
−
 ÷
 ÷
− − + −
 ÷
 ÷
 
=
 ÷
 ÷
+ + + +
 ÷
 ÷
 
∫ ∫
Tính chất hàm delta Dirac
3 3
( . '. ) (3)
3
'
( )
(2 )
i p x p y

d pd p
ie i x y
δ
π
+
= −
∫
Với điều kiện
† †
0
p p p p
a a a a
− −
= =
; Áp dùng biểu thức
2
2 2 2 2
p p
p m p m
ω ω
= + ⇒ = +
ur
ta
được:
( )
3
† †
3
1
2 (2 )

p p p p p
d p
H a a a a
ω
π
− −
= +
∫
Ta biến đổi
† † † † † † †
2 2 [ , ]
p p p p p p p p p p p p p p
a a a a a a a a a a a a a a− − = − − + = − −
( )
3
† †
3
1
2 [ , ]
2 (2 )
p p p p p
d p
H a a a a
ω
π
= +
∫
3
† †
3

1
[ , ]
(2 ) 2
p p p p p
d p
H a a a a
ω
π
 
= +
 ÷
 
∫
b)
3
( ) ( )P d x x x
π φ
= − ∇
∫
Thế
3
†
3
1
( ) ( )
(2 )
2
ipx
p p
p

d p
x a a e
φ
π
ω
−
= +
∫
3
†
3
( ) ( ) ( )
(2 ) 2
p
ipx
p p
d p
x i a a e
ω
π
π
−
= − −
∫
3
†
3
1
( ) ( )
(2 )

2
ipx ipx
p p
p
d p
x a e a e
φ
π
ω
−
∇ = ∇ +
∫
5
Lý Thuyết Trường Lượng Tử
3
†
3
1
( )
(2 )
2
ipx ipx
p p
p
d p
ipa e ipa e
π
ω
−
= −

∫
3
†
3
1
( )
(2 )
2
ipx
p p
p
d p
ip a a e
π
ω
= −
∫
Ta được

3 3
3 ( ) † †
6
1
( ) ( )( )
(2 ) 2
ix p k
k
k k p p
p
d pd k

P d x p e a a a a
ω
π ω
+
− −
= − − −
∫
3 3
3 (3) † †
6
1
( ) ( )(2 ) ( )( )( )
(2 ) 2
k
k k p p
p
d pd k
p p k a a a a
ω
π δ
π ω
− −
= − + − −
∫
3
† †
3
1
( )( )
(2 ) 2

p p p p
d p
p a a a a
π
− −
= − − −
∫
Do tính chất đối xưng và
† †
0
p p p p
a a a a
− −
= =
3
† †
3
1
( )
(2 ) 2
p p p p
d p
P p a a a a
π
= +
∫
Ta biến đổi
† † † † † † †
2 2 [ , ]
p p p p p p p p p p p p p p

a a a a a a a a a a a a a a− − = − − + = − −
3
† †
3
1
( [ , ])
(2 ) 2
p p p p
d p
P p a a a a
π
= +
∫
†
1
[ , ]
2
p p
a a
gọi là năng lượng chân không. Khi không có hạt thì ta xem năng lương chân
không là mức nền, nên
†
1
[ , ] 0
2
p p
a a =
, nên
3
†

3
(2 )
p p
d p
P pa a
π
=
∫
ur
Ý NGHĨ VẬT LÝ CỦA CÁC THAM SỐ
1)
2 2 2
p p m E p
µ
µ
= = −
uur
so sánh với
2
2 2 2 2
p p
p m p m
ω ω
= + ⇒ = +
ur
ta có
p
E
ω
=

, có
nghĩa là
p
ω
là năng lượng của trường.
6
Lý Thuyết Trường Lượng Tử
2) P là xung lượng toàn phần khi ta nhìn vào biểu thức
3
†
3
(2 )
p p
d p
P pa a
π
=
∫
ur
,
p
ur
là xung
lượng của một hạt.
3) Đồng thời từ các biểu thức
3
†
3
( )
(2 )

p p p
d p
H a a
ω
π
=
∫
và
3
†
3
(2 )
p p
d p
P pa a
π
=
∫
ur
, ta thấy H là
toán tử năng lượng nên
p
ω
là năng lượng của một hạt,
p
ur
là động lượng của một hạt
và trong lúc đó
†
a

tương ứng với toán tử sinh hạt, khi ta tác dụng
†
a
vào chân không
thì chân không sinh ra một hạt;
a
là toán tử hủy hạt, khi ta tác dụng
a
vào hạt thì làm
hạt bị hủy mật.
Bài tập về nhà ngày 10//01/2011
Đề:
Câu 1: Chứng minh
a)
3
2 (2 ) ( )
q
p q E p q
π δ
= −
b)
0
p
a p C=
xác định C
Câu 2: Tính
a)
( ) 0x
φ
b)

0 ( )x p
φ
c)
[ ]
( , ) ( , ),i x t x t H
t
φ φ
∂
=
∂
d)
[ ]
( , ) ( , ),i x t x t H
t
π π
∂
=
∂
BÀI LÀM
Câu 1:
a) Ta có
2 0
p p
p E a=
†
2 0
q q
q E a=
Suy ra
†

2 2 0 0
p q p q
p q E E a a=
(1)
Mà
† † † 3
[ , ] (2 ) ( )
p q p q q p
a a a a a a p q
π δ
= − = −

† 3 †
(2 ) ( )
p q q p
a a p q a a
π δ
⇒ = − +
† 3 †
0 (2 ) ( ) 0
p q q p
a a p q a a
π δ
⇒ = − +
† 3
0 (2 ) ( )
p q
a a p q
π δ
= = −

(vì
†
0 0 0 0
p q p
a a a= ⇒ =
)
† 3
0 0 (2 ) ( )
p q
a a p q
π δ
⇔ = −
thế vào (1)
3
2 2 (2 ) ( )
p q
p q E E p q
π δ
= −

b) Ta có
7
Lý Thuyết Trường Lượng Tử
†
2 0
p p
p E a=
†
2 0
p p p p

a p E a a⇔ =
Vậy C cần tìm là
†
2
p p p
C E a a=
Câu 2:
a) Ta có
3
†
3
1
( ) ( )
(2 )
2
ipx ipx
p p
p
d p
x a e a e
φ
π
ω
−
= +
∫
Suy ra
3
†
3

1
( ) 0 ( ) 0
(2 )
2
ipx ipx
p p
p
d p
x a e a e
φ
π
ω
−
 
 
= +
 
 
∫

3
†
3
1
( 0 0 )
(2 )
2
ipx ipx
p p
p

d p
a e a e
π
ω
−
= +
∫

3
†
3
1
( 0 0 )
(2 )
2
ipx ipx
p p
p
d p
e a e a
π
ω
−
= +
∫

3
†
3
1

0
(2 )
2
ipx
p
p
d p
e a
π
ω
−
=
∫
(do
0 0
p
a =
)

3
3
1 1
(2 )
2 2
ipx
p q
d p
e p
E
π

ω
−
=
∫

( do
†
2 0
q q
p E a=

†
1
0
2
q
q
p a
E
⇒ =
)
•
q p
E
ω
=
nên
3
3
1

( ) 0
(2 ) 2
ipx
q
d p
x e p
E
φ
π
−
=
∫
b) Ta có
3
†
3
1
( ) ( )
(2 )
2
ipx ipx
p p
p
d p
x a e a e
φ
π
ω
−
= +

∫

Suy ra
3
†
3
1
0 ( ) 0 ( )
(2 )
2
ipx ipx
p p
p
d p
x p a e a e p
φ
π
ω
−
= +
∫

3 3
†
3 3
1 1
0
(2 ) (2 )
2 2
ipx ipx

p p
p p
d p d p
a e a e p
π π
ω ω
−
 
 
= +
 
 
∫ ∫

3 3
†
3 3
1 1
0 0
(2 ) (2 )
2 2
ipx ipx
p p
p p
d p d p
a e p a e p
π π
ω ω
−
= +

∫ ∫
3 3
† † †
3 3
1 1
0 2 0 0 2 0
(2 ) (2 )
2 2
ipx ipx
p p p q p p
p p
d p d p
e E a a e E a a
π π
ω ω
−
= +
∫ ∫
8
Lý Thuyết Trường Lượng Tử
(do
†
2 0
p p p p
a p E a a=
và
†
2 0
q q
p E a=

)
Và do
q p
E
ω
=
ta có:
3 3
† † †
3 3
0 ( ) 0 0 0 0
(2 ) (2 )
ipx ipx
p p p p
d p d p
x p e a a e a a
φ
π π
−
= +
∫ ∫
Bởi vì
† †
0 0 0
p p
a a =
nên
3
†
3

0 ( ) 0 0
(2 )
ipx
p p
d p
x p e a a
φ
π
=
∫
Và do
† 3
0 0 (2 ) ( )
p q
a a p q
π δ
= −
nên
0 ( ) 0 0
ipx ipx
x p e e
φ
= =
c) Ta có
( , ) ( )
iHt iHt
x t e x e
φ φ
−
=

[ ]
( , ) ( , ), ( , ) ( , )i x t x t H x t H H x t
t
φ φ φ φ
∂
= = −
∂
(1)
Mà
3
†
3
1
( , ) ( )
(2 )
2
iHt ipx ipx iHt
p p
p
d p
x t e a e a e e
φ
π
ω
− −
= +
∫

3
†

3
1
( )
(2 )
2
iHt iHt ipx iHt iHt ipx
p p
p
d p
e a e e e a e e
π
ω
− − −
= +
∫
(2)
Đi tính
iHt iHt
p
e a e
−
và
†iHt iHt
p
e a e
−
,
p p p
H a Ha a H
 

= −
 
3
†
3
( )
(2 )
p p p
d p
H a a
ω
π
=
∫
nên
3 3
† †
3 3
, ( ) ( )
(2 ) (2 )
p p p p p p p p p p p
d p d p
H a Ha a H a a a a a a
ω ω
π π
 
= − = −
 
∫ ∫
( )

3
† †
3
( ) ( )
(2 )
p p p p p p p
d p
a a a a a a
ω
π
= −
∫
( )
3
† †
3
(2 )
p p p p p p
d p
a a a a a
ω
π
= −
∫
3
†
3
[ , ]
(2 )
p p p p

d p
a a a
ω
π
=
∫

Bởi vì
† 3
'
[ , ] (2 ) ( ')
p p
a a p p
π δ
= − −
nên
,
p p p p p
H a a E a
ω
 
= − = −
 
p p p p
Ha a H E a⇔ − = −
( )
p p p p p p
Ha a H E a a H E⇔ = − = −
(3)
Ta khai triển hàm mũ

1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
! ! !
iHt n n n n n
p p p p p
n n n
e a iHt a it H a it a H E
n n n
= = = −
∑ ∑ ∑
Khai triển ngược lại ta có
9
Lý Thuyết Trường Lượng Tử
( )
1 1
( ) ( ) [ ( )]
! ! !
p
i H E t
p
iHt n n n n
p p p p p
n n n
a
e a iHt a it H a it H E a e
n n n
−
= = = − =
∑ ∑ ∑
Suy ra

( ) ( )
p p p
i H E t i H E H t iE t
iHt iHt iHt
p p p p
e a e a e e a e a e
− − − −
− −
= = =
(4)
Tương tự cho
† † † †
, ( )
p p p p p p
H a E a Ha a H E
 
= → = +
 
nên
†
( )
† † † †
1 1
( ) ( ) [ ( )]
! ! !
p
i H E t
p
iHt n n n n
p p p p p

n n n
a
e a iHt a it H a it H E a e
n n n
+
= = = + =
∑ ∑ ∑
Suy ra
( ) ( )
† † † †
p p p
i H E t i H E H t iE t
iHt iHt iHt
p p p p
e a e a e e a e a e
+ + −
− −
= = =
(5)
Thế (4), (5) vào (2) ta thu được
3 3
† †
3 3
1 1
( , ) ( ) ( )
(2 ) (2 )
2 2
p p
iE t iE t
iHt iHt ipx iHt iHt ipx ipx ipx

p p p p
p p
d p d p
x t e a e e e a e e a e e a e e
E E
φ
π π
−
− − − −
= + = +
∫ ∫
Ta thay động lượng 4 chiều với (
p x px
µ
µ
=
)
0 p
p E=
ta được
3
. † .
3
1
( , ) ( )
(2 )
2
ip x ip x
p p
p

d p
x t a e a e
E
φ
π
−
= +
∫
3
†
3
1
( , ) ( )
(2 )
2
p p
iE t iE t
ipx ipx
p p
p
d p
x t a e e a e e
t t
E
φ
π
−
−
 
∂ ∂

 
= +
∂ ∂
 
 
∫
3
†
3
( )
(2 )
2
p p
iE t iE t
p
ipx ipx
p p
p
iE
d p
a e e a e e
E
π
−
−
= − +
∫
3
†
3

( ) ( )
(2 )
2
p p
p
iE t iE t
ipx ipx
p p
E
d p
i a e e a e e
π
−
−
= −
∫
3
†
3
( , ) ( ) ( ) ( , )
(2 )
2
p p
p
iE t iE t
ipx ipx
p p
E
d p
x t i a e e a e e x t

t
φ π
π
−
−
∂
= − =
∂
∫
d) Tương tự câu (c)
Bài tập lý thuyết trường lượng tử, nộp ngày 24/01/2011
Đề: Chứng minh
4
( )
4 2 2
0
( ) lim
(2 )
ip x y
F
d p i
G x y e
p m i
η
π η
− −
→
− =
− +
∫

Đồng thời
0 0 0 0
( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0
F
G x y x y x y y x y x T x y
θ φ φ θ φ φ φ φ
− = − + − ≡
BÀI LÀM
Ta có:
3
†
3
1
( ) ( )
(2 )
2
iqx iqx
q q
q
d q
x a e a e
E
φ
π
−
= +
∫
10
Lý Thuyết Trường Lượng Tử
3

†
3
1
( ) ( )
(2 )
2
ipy ipy
p p
p
d p
y a e a e
E
φ
π
−
= +
∫
3 3
† †
3 3
1 1
( ) ( ) [ ( )][ ( )]
(2 ) (2 )
2 2
iqx iqx ipy ipy
q q p p
q p
d q d p
x y a e a e a e a e
E E

φ φ
π π
− −
= + +
∫ ∫

3 3
† †
6
1
( )( )
(2 )
2
iqx iqx ipy ipy
q q p p
q p
d qd p
a e a e a e a e
E E
π
− −
= + +
∫
3 3
† †
6
1
0 ( ) ( ) 0 0 ( )( ) 0
(2 )
2

iqx iqx ipy ipy
q q p p
q p
d qd p
x y a e a e a e a e
E E
φ φ
π
− −
= + +
∫
Do;
†
0 0 0 0 0
p q p
a a a= ⇒ =
và
0 0 0
q p
a a =
;
† †
0 0 0
q p
a a =
nên
3 3
†
6
1

0 ( ) ( ) 0 0 ( ) 0
(2 )
2
iqx ipy
q p
q p
d qd p
x y a a e e
E E
φ φ
π
−
=
∫
3 3
†
6
1
0 ( ) 0
(2 )
2
iqx ipy
q p
q p
d qd p
a a e e
E E
π
−
=

∫
3 3
† †
6
1
0 ([ , ] ) 0
(2 )
2
iqx ipy
q p p q
q p
d qd p
a a a a e e
E E
π
−
= +
∫
Mà
†
0 0 0
q p
a a =
nên
3 3
†
6
1
0 ( ) ( ) 0 0 [ , ] 0
(2 )

2
iqx ipy
q p
q p
d qd p
x y a a e e
E E
φ φ
π
−
=
∫
Mà
† 3
[ , ] (2 ) ( )
q p
a a q p
π δ
= −
nên
3 3
3
6
1
0 ( ) ( ) 0 0 (2 ) ( ) 0
(2 )
2
iqx ipy
q p
d qd p

x y q p e e
E E
φ φ π δ
π
−
= −
∫
3
( )
3
1
0 ( ) ( ) 0
(2 ) 2
ip x y
p
d p
x y e
E
φ φ
π
−
=
∫
• Tương tự ta đi tính
3 3
† †
3 3
1 1
( ) ( ) [ ( )][ ( )]
(2 ) (2 )

2 2
ipy ipy iqx iqx
p p q q
p q
d p d q
y x a e a e a e a e
E E
φ φ
π π
− −
= + +
∫ ∫
11
Lý Thuyết Trường Lượng Tử
3 3
† †
6
1
( )( )
(2 )
2
ipy ipy iqx iqx
p p q q
q p
d qd p
a e a e a e a e
E E
π
− −
= + +

∫
3 3
† †
6
1
0 ( ) ( ) 0 0 ( )( ) 0
(2 )
2
ipy ipy iqx iqx
p p q q
q p
d qd p
y x a e a e a e a e
E E
φ φ
π
− −
= + +
∫
3 3
†
6
1
0 0
(2 )
2
iqx ipy
p q
q p
d qd p

a a e e
E E
π
−
=
∫
3 3
3
6
1
0 (2 ) ( ) 0
(2 )
2
iqx ipy
q p
d qd p
q p e e
E E
π δ
π
−
= −
∫
3
( )
3
1
0 ( ) ( ) 0
(2 ) 2
ip x y

p
d p
y x e
E
φ φ
π
− −
=
∫
Ta đi tính
4
( )
4 2 2
(2 )
ip x y
d p i
e
p m
π
− −
−
∫
0 0 0
4 3
( )
( ) ( )
0
2
4 2 2 3
2 2

0
1
( )
(2 ) (2 ) (2 )
ip x y
ip x y i p x y
dp
d p i d p
e i e e
p m
p p m
π π π
− −
− − − −
=
−
− −
∫ ∫ ∫
ur r ur
ur
ur
(1)
0 0 0
3
( )
( )
0
2
3
2 2

0
1
( )
(2 ) (2 )
( )
ip x y
i p x y
dp
d p
i e e
p p m
π π
− −
− −
=
− +
∫ ∫
ur r ur
ur
uur

0 0 0
3
( )
( )
0
3 2 2
0
1
( )

(2 ) (2 )
ip x y
i p x y
p
dp
d p
i e e
p E
π π
− −
− −
=
−
∫ ∫
ur r ur
ur
Xét trường hợp
•
0 0
x y<
Tính tích phân
0 0 0
( )
0
2 2
0
1
(2 )
ip x y
p

dp
e
p E
π
− −
−
∫
0 0 0 0 0 0
( ) ( )
0
2 2
0 0 0
1 1
2 Re [ , ]
(2 ) 2 ( )( )
ip x y ip x y
p
p p p
dp
e i s e E
p E p E p E
π
π π
− − − −
= −
− + −
∫
0 0 0
0
0

( )
0 0
( )
2
2 ( )( )
lim
p
p
ip x y
p E
p p
p E
i e
p E p E
π
π
− −
→−
+
=
+ −
0 0 0 0
( ) ( )
1 1
2
2 ( 2 ) ( 2 )
p p
iE x y iE x y
p p
ie ie

E E
π
π
− −
= =
− −
Thế lại vào (1) ta được
12
Lý Thuyết Trường Lượng Tử
0 0
3
( )
( )
3
1
( )
(2 ) ( 2 )
p
iE x y
i p x y
p
d p
i ie e
E
π
− −
− −
=
−
∫

ur r ur
ur
0 0 0
3
( )
( )
3
1
( )
(2 ) ( 2 )
ip x y
i p x y
p
d p
i ie e
E
π
− −
− −
=
−
∫
ur r ur
ur
3
( )
3
1
(2 ) 2
ip x y

p
d p
e
E
π
− −
=
∫
ur
3
( )
3
1
0 ( ) ( ) 0
(2 ) 2
ip x y
p
d p
e y x
E
φ φ
π
− −
⇒ =
∫
ur
Tương tự trường hợp
•
0 0
x y>

0 0 0
3
( )
( )
0
3 2 2
0
1
( )
(2 ) (2 )
ip x y
i p x y
p
dp
d p
i e e
p E
π π
−
−
=
−
∫ ∫
ur r ur
ur
(2)
Tính
0 0 0
( )
0

2 2
0
1
(2 )
ip x y
p
dp
e
p E
π
−
−
∫
0 0 0 0 0 0
( ) ( )
0
2 2
0 0 0
1 1
2 Re [ , ]
(2 ) 2 ( )( )
ip x y ip x y
p
p p p
dp
e i s e E
p E p E p E
π
π π
− −

= −
− + −
∫
0 0 0
0
0
( )
0 0
( )
2
2 ( )( )
lim
p
p
ip x y
p E
p p
p E
i e
p E p E
π
π
−
→
−
= −
+ −
0 0
( )
1

2
p
iE x y
p
ie
E
−
= −
thế vào (2) ta được
0 0
3
( )
( )
3
1
( )
(2 ) 2
p
iE x y
i p x y
p
d p
i ie e
E
π
−
−
= −
∫
ur r ur

ur
0 0 0
3
( )
( )
3
1
( )
(2 ) 2
ip x y
i p x y
p
d p
i ie e
E
π
−
−
= −
∫
ur r ur
ur
3
( )
3
1
(2 ) 2
ip x y
p
d p

e
E
π
−
=
∫
ur
suy ra
3
( )
3
1
0 ( ) ( ) 0
(2 ) 2
ip x y
p
d p
x y e
E
φ φ
π
−
=
∫
4
( )
0 0 0 0
4 2 2
0
( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 lim

(2 )
ip x y
d p i
x y x y y x y x e
p m i
η
θ φ φ θ φ φ
π η
− −
→
− + − =
− +
∫
• Với hàm
θ
là hàm bước nhảy.
13
Lý Thuyết Trường Lượng Tử
Suy ra
4
0 0
( )
0 0 0 0
4 2 2
0
0 0
( );
( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 lim
( );
(2 )

F
ip x y
F
G x y x y
d p i
x y x y y x y x e
G y x y x
p m i
η
θ φ φ θ φ φ
π η
− −
→
− >

− + − = =

− >
− +

∫
Bài tập về nhà nộp ngày 14/02/2011
Đề: 2.2: Bài tập trong Peskin and Schroeder
BÀI LÀM
Câu a:
Ta có
4 4 * 2 *
( , ) ( )S L d x d x m
µ
µ µ

φ φ φ φ φφ
= ∂ = ∂ ∂ −
∫ ∫
Suy ra
* 2 * * * 2 *
( )( ) ( )( )
t t
L m m
µ
µ
φ φ φφ φ φ φ φ φφ
= ∂ ∂ − = ∂ ∂ − ∇ ∇ −
( )
* * 2 * *
( )( ) ( )( )
( ) ( )
t t t
t t
L
m
π φ φ φ φ φφ φ
φ φ
∂ ∂
= = ∂ ∂ − ∇ ∇ − = ∂
∂ ∂ ∂ ∂
( )
* * * 2 *
* *
( )( ) ( )( )
( ) ( )

t t t
t t
L
m
π φ φ φ φ φφ φ
φ φ
∂ ∂
= = ∂ ∂ − ∇ ∇ − = ∂
∂ ∂ ∂ ∂
Khi đó
*
[ ( ), ( )] [ ( ), ( )] ( )
t
x y x y i x y
φ φ φ π δ
∂ = = −
* * *
[ ( ), ( )] [ ( ), ( )] ( )
t
x y x y i x y
φ φ φ π δ
∂ = = −
Hàm mật độ hamiltonian là
* *
( ) ( )
t t
h L
π φ π φ
= ∂ + ∂ −

* * * * 2 *
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
t t t t t t
m
φ φ φ φ φ φ φ φ φφ
= ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∇ ∇ +

* * 2 *
( )( ) ( )( )
t t
m
φ φ φ φ φφ
= ∂ ∂ + ∇ ∇ +

* * 2 *
( )( ) m
ππ φ φ φφ
= + ∇ ∇ +
* Ta tính
* 3
( )( )d x
φ φ
∇ ∇
∫
14
Lý Thuyết Trường Lượng Tử
Tích phân từng phần ta được
* 3 * * 2 3
( )( ) ( )( )d x d x
φ φ φ φ φ φ

µ
−µ
∇ ∇ = ∇ − ∇
∫ ∫
Trong đó
*
( )( ) 0
φ φ
µ
−µ
∇ =
suy ra
* 3 * 2 3
( )( )d x d x
φ φ φ φ
∇ ∇ = − ∇
∫ ∫
suy ra
3 * * 2 * 3 * * 2 2 * 3 * * 2 2
( ) ( ) [ ( ) ]H d x m d x m d x m
π π φ φ φ φ π π φ φ φ φ π π φ φ
= + ∇ ∇ + = − ∇ + = + −∇ +
∫ ∫ ∫
Khi đó phương trình chuyển động của
*
( )x
µ
π
là
* * 3 * * 2 2 *

( ) [ , ( )] ' [ ( ) ( ' ) ( ' )( ) ( ), ( )]i x H x d x x x x m x x
t
µ µ µ µ µ µ µ µ
π π π π φ φ π
∂
= = + −∇ +
∂
∫
* 3 2 2
( ) ' ( ' )[( ) ( )]i x i d x x x m x
t
µ µ µ
π δ φ
∂
= − − −∇ +
∂
∫

2 2
( ) ( )i m x
µ
φ
= − −∇ +
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta được
*
* 2 2
( ) ( ' )
( ) ( ) ( )
i x i x

t
i x i m x
t
µ µ
µ µ
φ π
π φ
∂

=


∂

∂

= − −∇ +

∂

suy ra
2
* 2 2
2
( ) ( ) ( ) ( )x x m x
t t
µ µ µ
φ π φ
∂ ∂
= = − −∇ +

∂ ∂
2
2 2
2
( ) ( ) 0m x
t
µ
φ
∂
−∇ + =
∂
2
( ) ( ) 0m x
µ µ
µ
φ
∂ ∂ + =
Câu b:
Chúng ta có thể đặt
3
†
3
( ) ( )
(2 ) 2
ip x ip x
p p
p
d p
x a e b e
µ µ

µ µ
µ
φ
π ω
−
= +
∫
3
* †
3
( ) ( )
(2 ) 2
iq x iq x
q q
q
d q
x a e b e
µ µ
µ µ
µ
φ
π ω
−
= +
∫
15
Lý Thuyết Trường Lượng Tử
Khi đó ta có
3
* †

3
( ) ( ) ( )
(2 ) 2
iq x iq x
t q q
q
d q
x x a e b e
t
µ µ
µ µ
µ µ
π φ
π ω
−
 
∂
 
= ∂ = +
∂
 
 
∫


3
†
3
( )
(2 ) 2

iq x iq x
q
q q
d q
i a e b e
µ µ
µ µ
ω
π
−
= −
∫
3
* †
3
( ) ( ) ( )
(2 ) 2
ip x ip x
t p p
p
d p
x x a e b e
t
µ µ
µ µ
µ µ
π φ
π ω
−
 

∂
 
= ∂ = +
∂
 
 
∫
3
†
3
( )
(2 ) 2
iq x ip x
p
p q
d p
i a e b e
µ µ
µ µ
ω
π
−
= − +
∫
{ }
3 3
† † † †
6
[ ( ), ( )] ( )( ) ( )( )
2(2 )

ip x ip x iq x iq x iq x iq x ip x ip x
q
p p q q q q p p
p
d pd q
x y i a e b e a e b e a e b e a e b e
µ µ µ µ µ µ µ µ
µ µ µ µ µ µ µ µ
µ µ
ω
φ π
π ω
− − − −
= + − − − +
∫
{ }
3 3
( ) ( )
† † † †
6
) ( )
2(2 )
ix p q ix p q
q
p q q p p q q p
p
d pd q
i a a a a e b b b b e
µ µ
µ µ µ µ

ω
π ω
− − −
= − − −
∫
{ }
3 3
( ) ( )
† †
6
[ ( ), ( )] [ , ] [ , ]
2(2 )
i p x q x i p x q x
q
p q q p
p
d pd q
x y i a a e b b e
µ µ µ µ
µ µ µ µ
µ µ
ω
φ π
π ω
− − −
= +
∫
(3)
( )i x y
δ

= −
Chú ý rằng
† † 3 (3)
[ , ] [ , ] (2 ) ( )
p q q p
a a b b p q
π δ
= = −
[ ( ), ( )] ( )x y i x y
µ µ
φ π δ
= −
Từ đó ta thấy hai hạt có khối lượng m, một hạt thì có toán tử sinh
†
a
, một hạt có toán
tử sinh
†
b
.
Câu c:
Ta có
3
†
3
( ) ( )
(2 ) 2
ip x ip x
p p
p

d p
x a e b e
µ µ
µ µ
µ
φ
π ω
−
= +
∫
16
Lý Thuyết Trường Lượng Tử
3
* †
3
( ) ( )
(2 ) 2
iq x iq x
q q
q
d q
x a e b e
µ µ
µ µ
µ
φ
π ω
−
= +
∫

3
†
3
( , ) ( )
(2 ) 2
iq x iq x
q
q q
d q
x t i a e b e
µ µ
µ µ
ω
π
π
−
= −
∫
3
* †
3
( , ) ( )
(2 ) 2
iq x ip x
p
p q
d p
x t i a e b e
µ µ
µ µ

ω
π
π
−
= − +
∫
Ta có dòng noether
* *
( )j i
µ µ
µ
φ φ φ φ
= ∂ − ∂
0 3 3 0 * * 3 * *
0
( ) ( )Q j d x i d x i d x
φ φ φ φ φπ φ π
= = ∂ − ∂ = −
∫ ∫ ∫
Thế cụ thể vào ta được
( )
3
† †
3
(2 )
p p p p
d p
Q i a a b b
π
= −

∫
; Hai hạt a, b có điện tích trái dấu nhau.
BÀI TẬP NỘP 21.02.2011
Đề:
a) Chứng minh
.
( )
.
s
s
s
p
u p
p
σξ
σξ
 
 ÷
=
 ÷
 
.
( )
.
s
s
s
p
v p
p

ση
ση
 
 ÷
=
 ÷
−
 
; với s=1,2
b) Kiểm tra
( ) ( ) 2
r
s rs
u p u p m
δ
=
( ) ( ) 2
r
s rs
v p v p m
δ
= −
c) Tính lại
( ) ( ) ( ) ( ) 0
r r
s s
u p v p v p u p= =
†
( ) ( ) 0
r s

u p v p ≠
và
†
( ) ( ) 0
r s
v p u p ≠
17
Lý Thuyết Trường Lượng Tử
† †
( ) ( ) ( ) ( ) 0
r s r s
u p v p v p u p− = − =
d) Chứng minh tổng spin
( ) ( ) .
s
s
s
u p u p p m p m
γ
= + = +
/
∑
( ) ( ) .
s
s
s
v p v p p m p m
γ
= − = −
/

∑
• Dạng tường minh của u(p)
1
2
1
2
.
.
( )
.
.
p
p
u p
p
p
σξ
σξ
σξ
σξ
 
 ÷
 ÷
 ÷
=
 ÷
 ÷
 ÷
 
•

2 2
( . )( . )p p p m
σ σ
= =
BÀI LÀM
Do
ψ
của trường Dirac thỏa mãn phương trình Klein-Gordon nên chúng ta có thể viết
theo dạng tổ hợp tuyến tính của các sóng phẳng:
.
( ) ( )
ip x
x u p e
ψ
−
=
Trong đó do hạt đứng yên nên
0
( ,0)p p
µ
=
r

2 2
m p=
Chúng ta chỉ tập trung giải với tần số dương
0
0p >
, như thế thì ma trận cột
( )u p

phải
thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) 0p m u p
µ
µ
γ
− =
( ) ( ) 0m m u p
µ
γ
⇔ − =
( 1) ( ) 0m u p
µ
γ
⇔ − =
Chú ý
0
p p=
suy ra
0
0
( 1) ( ) 0m u p
γ
− =
0
0010
0001 01
1000
10
0100

γ
 
 ÷
 
 ÷
= =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 ÷
 
; với
10
1
01
 
=
 ÷
 
thế vào ta được
18
Lý Thuyết Trường Lượng Tử
0
0010
0001
( 1) ( ) 0
1000
0100
m u p

 
 ÷
 ÷
− =
 ÷
 ÷
 
0
1010
0 101
( ) ( ) 0
10 10
010 1
m u p
−
 
 ÷
−
 ÷
⇔ =
 ÷
−
 ÷
−
 
1
2
3
4
0 0

0 0
( ) 0
0 0
0 0
u
m m
u
m m
um m
m m
u
−
 
 
 ÷
 ÷
−
 ÷
 ÷
⇔ =
 ÷
 ÷
−
 ÷
 ÷
 ÷
−
 
 
1 3

2 4
1 3
2 4
0
0
0
0
mu mu
mu mu
mu mu
mu mu
− + =


− + =

⇔

− =


− =

1 3
2 4
0
0
mu mu
mu mu
− + =


⇔

− + =

1 3
2 4
u u
u u
=

⇔

=

1
2
1
2
u
u
u
u
u
 
 ÷
 ÷
→ =
 ÷
 ÷

 
Một cách tổng quát ta viết nghiệm
0
( )u p m
ξ
ξ
 
=
 ÷
 
Theo quy ướt thông thường thì
†
1
ξ ξ
=
19
Lý Thuyết Trường Lượng Tử
Hệ số
m
được đưa vào thuận tiện lợi về sau. Spinor hai thành phần
ξ
quyết định sự
định hương spin của hạt. Ví dụ
1
0
ξ
 
=
 ÷
 

hạt có spin hướng lên trong không gian 3 chiều
Ta đi tìm dạng tổng quát
( )u p
. Áp dụng phép boost cho
( )u p
ta thu được biểu thức của
( )u p
như sau:
3
3
0
1
( ) exp
2
0
u p m
σ ξ
η
ξ
σ
 
 
 
= −
 
 ÷
 ÷
 ÷
−
 

 
 
 

3
3
10 0
1 1
cosh( ) sinh( )
01
2 2
0
m
σ ξ
η η
ξ
σ
 
 
   
= −
 
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
−
   
 
 
 

3
3
1
2
1
2
0
0( )
e
m
e
ησ
ησ
ξ
ξ
−
−
 
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
 ÷
 

3 3
3 3

1 1 1 1
( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 1
( ) ( )
2 2 2 2
0
0
e e
m
e e
σ σ
η η
σ σ
η η
ξ
ξ
− +
−
+ −
−
 
 
 ÷
+
 ÷
 ÷
 ÷
 
 

=
 ÷
 ÷
 
 
 ÷
+
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Ta có
3
cosh
sinh
E
m
m
p
η
η
 
 
=
 ÷
 ÷
 
 

suy ra
3
1 1
3
( )
3
2 2
1
( )
2
me E p
σ
η
σ
−
−
= +
và
3
1 1
3
( )
3
2 2
1
( )
2
me E p
σ
η

σ
+
−
+
= −
Cuối cùng ta thu được
3 3
3 3
3 3
3 3
1 1
( ) ( )
2 2
( )
1 1
( ) ( )
2 2
E p E p
u p
E p E p
σ σ
ξ
σ σ
ξ
 
 
− +
+ + −
 ÷
 

 
 ÷
=
 ÷
 
+ −
 ÷
+ + −
 
 ÷
 
 

.
.
p
p
σξ
σξ
 
 ÷
=
 ÷
 

20
Lý Thuyết Trường Lượng Tử
Kết quả tổng quát của phương trình Dirac được viết dạng tổ hợp tuyến tính của các sóng
phẳng
.

( ) ( )
ip x
x u p e
ψ
−
=
Có hai nghiệm
( )u p
độc lập tuyến tính nên ta có thể viết nghiệm
( )u p
dưới dạng tổng
quát
.
( )
.
s
s
s
p
u p
p
σξ
σξ
 
 ÷
=
 ÷
 
; s=1,2
Ngoài ra chúng ta có thể chọn dấu ngược lại tức tần số âm, cũng với cùng phương pháp (

0
0p <
) ta thu được nghiệm
.
( )
.
s
s
s
p
v p
p
ση
ση
 
 ÷
=
 ÷
−
 
b)
.
( )
.
s
s
s
p
u p
p

σξ
σξ
 
 ÷
=
 ÷
 
(
)
(
)
† 0 †
01 01
( ) ( ) ( ) . . . .
10 10
r
r r r r r r
u p u p u p p p p p
γ σξ σξ σξ σξ
   
= = = =
 ÷  ÷
   
nên ta
có
(
)
.
( ) ( ) . . . . . . 2 . .
.

s
r
s r r r s r s r s
s
p
u p u p p p p p p p p p
p
σξ
σξ σξ σ σξ ξ σ σξ ξ σ σξ ξ
σξ
 
 ÷
= = + =
 ÷
 
Chúng ta có
2 2
( . )( . )p p p m
σ σ
= =
nên
( ) ( ) 2 2
r
s r s rs
u p u p m m
ξ ξ δ
= =
Tương tự ta cũng có
.
( )

.
s
s
s
p
v p
p
ση
ση
 
 ÷
=
 ÷
−
 
(
)
(
)
† 0 †
01 01
( ) ( ) ( ) . . . .
10 10
r
r r r r r r
v p v p v p p p p p
γ ση ση ση ση
   
= = = − = −
 ÷  ÷

   
Suy ra
21
Lý Thuyết Trường Lượng Tử
(
)
.
( ) ( ) . . . . . . 2 . .
.
s
r
s r r r s r s r s
s
p
v p v p p p p p p p p p
p
ση
ση ση σ ση η σ ση η σ ση η
ση
 
 ÷
= − = − − = −
 ÷
−
 
Chúng ta có
2 2
( . )( . )p p p m
σ σ
= =

nên
( ) ( ) 2 2
r
s r s rs
v p v p m m
η η δ
= − = −
c)
Ta có
.
( )
.
s
s
s
p
u p
p
σξ
σξ
 
 ÷
=
 ÷
 
(
)
†
( ) . .
r r r

u p p p
σξ σξ
=
(
)
(
)
†
01 01
( ) ( ) . . . .
10 10
r
r r r r r
u p u p p p p p
σξ σξ σξ σξ
   
= = =
 ÷  ÷
   
.
( )
.
s
s
s
p
v p
p
ση
ση

 
 ÷
=
 ÷
−
 
(
)
†
( ) . .
r r r
v p p p
ση ση
= −
(
)
(
)
†
01 01
( ) ( ) . . . .
10 10
r
r r r r r
v p v p p p p p
ση ση ση ση
   
= = − = −
 ÷  ÷
   

Nên ta có
•
(
)
.
( ) ( ) . . . . . . 0
.
s
r
s r r r s r s
s
p
u p v p p p p p p p
p
ση
σξ σξ σ σξ η σ σξ η
ση
 
 ÷
= = − =
 ÷
−
 
•
(
)
.
( ) ( ) . . . . . . 0
.
s

r
s r r s r s r
s
p
v p u p p p p p p p
p
σξ
ση ση σ σξ η σ σξ η
σξ
 
 ÷
= − = − + =
 ÷
 
•
(
)
†
.
( ) ( ) . . . . 0
.
s
r s r r r s r s
s
p
u p v p p p p p
p
ση
σξ σξ σξ η σξ η
ση

 
 ÷
= = − ≠
 ÷
−
 
22
Lý Thuyết Trường Lượng Tử
•
(
)
†
.
( ) ( ) . . . . 0
.
s
r s r r r s r s
s
p
v p u p p p p p
p
σξ
ση ση ση ξ ση ξ
σξ
 
 ÷
= − = − ≠
 ÷
 
•

(
)
†
.
( ) ( ) . . . . . . 0
.
s
r s r r r s r s
s
p
u p v p p p p p p p
p
ση
σξ σξ σ σξ η σ σξ η
ση
 
−
 ÷
− = = − + =
 ÷
 
•
(
)
†
.
( ) ( ) . . . . . . 0
.
s
r s r r r s r s

s
p
v p u p p p p p p p
p
σξ
ση ση σ ση ξ σ ση ξ
σξ
 
 ÷
− = − = − + =
 ÷
 
d)
*
(
)
1,2
.
( ) ( ) . .
.
s
s
s s s
s
s s
p
u p u p p p
p
σξ
σξ σξ

σξ
=
 
 ÷
=
 ÷
 
∑ ∑
Với
1,2
10
'
01
s
s
s
ξ ξ
=
 
=
 ÷
 
∑
1,2
( . . )( . . )
( ) ( )
( . . )( . . )
s
s
s

p p p p
u p u p
p p p p
σ σ σ σ
σ σ σ σ
=
 
 ÷
=
 ÷
 
∑
Với
2 2
( . )( . )p p p m
σ σ
= =
1,2
( . )
( ) ( )
( )
s
s
s
m p
u p u p
p m
σ
σ
=

 
=
 ÷
 
∑

0
10
01
0
p m
σ
σ
 
 
= +
 ÷
 ÷
 
 
1,2
( ) ( ) .
s
s
s
u p u p p m p m
γ
=
= + = +
/

∑
•
(
)
1,2
.
( ) ( ) . .
.
s
r
s s s
s
s s
p
v p v p p p
p
ση
ση ση
ση
=
 
 ÷
= −
 ÷
−
 
∑ ∑
Với
1,2
10

'
01
s
s
s
η η
=
 
=
 ÷
 
∑
23
Lý Thuyết Trường Lượng Tử
1,2
( . . )( . . )
( ) ( )
( . . )( . . )
r
s
s
p p p p
v p v p
p p p p
σ σ σ σ
σ σ σ σ
=
 
−
 ÷

=
 ÷
−
 
∑
Với
2 2
( . )( . )p p p m
σ σ
= =
1,2
( . )
( ) ( )
( )
r
s
s
m p
v p v p
p m
σ
σ
=
−
 
=
 ÷
−
 
∑

0
10
01
0
p m
σ
σ
 
 
= −
 ÷
 ÷
 
 
1,2
( ) ( ) .
r
s
s
v p v p p m p m
γ
=
= − = −
/
∑
24