Thuật toán lặp xen kẽ MFS đối với bài toán biên cho phương trình Elliptic với điều kiện biên không đầy đủ

i

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC


LÊ THỊ HẰNG




THUẬT TOÁN LẶP XEN KẼ MFS ĐỐI VỚI
BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH
ELLIPTIC VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÔNG ĐẦY ĐỦ


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC




THÁI NGUYÊN - NĂM 2014
ii

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ THỊ HẰNG

THUẬT TOÁN LẶP XEN KẼ MFS ĐỐI VỚI
BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH
ELLIPTIC VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÔNG ĐẦY ĐỦ

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. VŨ VINH QUANG




THÁI NGUYÊN - NĂM 2014
iii

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sỹ chuyên nghành
toán ứng dụng, đến nay luận văn của tôi đã được hoàn thành.Để có được kết
quả như mong muốn, trước hết tôi xin gửi lời biết ơn chân thành và sâu sắc
nhất tới thầy giáo hướng dẫn TS. Vũ Vinh Quang. Mặc dù rất bận rộn trong
công việc nhưng thầy vẫn dành rất nhiều thời gian và tâm huyết trong việc
hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Cho đến hôm nay, luận văn thạc sĩ của tôi
đã được hoàn thành cũng chính là nhờ sự nhắc nhở, động viên thường xuyên

và tận tâm chỉ bảo nghiêm túc về chuyên môn của thầy. Tôi cũng xin chân
thành bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, bạn bè và người thân đã không
ngừng động viên, khuyến khích và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi
hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 30 tháng 9 năm 2014
Tác giả
iv

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN i
MỤC LỤC iv
MỞ ĐẦU 1
Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3
1.1. Không gian Sobolev và phương trình elliptic 3
1.1.1. Không gian Sobolev. 3
1.1.2. Phương trình elliptic 10
1.2. Lý thuyết về các sơ đồ lặp 13
1.2.1. Lược đồ lặp hai lớp 13
1.2.2. Lược đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phương pháp lặp. 15
1.3. Phương pháp chia miền giải bài toán elliptic cấp hai với điều kiện biên
hỗn hợp mạnh 16
1.3.1. Mô tả phương pháp 16
1.3.2. Sự hội tụ của phương pháp 18
1.4. Các kiến thức cơ bản về giải số phương trình đạo hàm riêng 19
1.4.1. Phương pháp sai phân 19
1.4.2 Giới thiệu thư viện TK2004 22

Chương 2: THUẬT TOÁN LẶP XEN KẼ MFS ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN
KHÔNG CHÍNH QUY 27
2.1. Mô hình bài toán 27
2.2. Thuật toán lặp chẵn lẻ 29
2.2.1. Cơ sở thuật toán 29
2.2.2 Nghiên cứu cơ sở lý thuyết. 31
2.3. Phương pháp MFS 32
Chương 3: MỘT SỐ KẾT QUẢ GIẢI SỐ BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG
CHÍNH QUY 36
v

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

3.1. Mô hình tổng quát 36
3.2. Một số kết quả thực nghiệm số 43
3.2.1. Kết quả kiểm tra QH1 và QH2 43
3.2.2. Kết quả kiểm tra QH3 và QH4 46
KẾT LUẬN 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO 50
PHẦN PHỤ LỤC 52

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

MỞ ĐẦU
Xuất phát từ mô hình toán học của bài toán biên với hệ điều kiện biên
dạng không chính quy, cơ sở toán học của phương pháp lặp xen kẽ MFS
cùng phương pháp xây dựng nghiệm xấp xỉ thông qua hệ nghiệm cơ bản đối
với bài toán biên thuần nhất. Luận văn đã hiện thực hóa các sơ đồ lặp xen kẽ

để xác định nghiệm số của bài toán không chính quy bằng hai phương pháp
xác định giá trị hàm hoặc đạo hàm trên phần biên chưa xác định điều kiện
biên. Các kết quả số đã được xác định và từ đó đã đánh giá được hiệu quả của
từng phương pháp. Trong trường hợp khi bài toán là phức tạp mà nếu sử dụng
thuật toán lặp xen kẽ sẽ gặp phải bài toán biên hỗn hợp mạnh, dựa trên kết
quả của thuật toán chia miền đối với bài toán biên elliptic với điều kiện biên
gián đoạn mạnh, luận văn đã đưa ra sơ đồ lặp xác định nghiệm xấp xỉ của bài
toán biên không chính quy, tiến hành lập trình xác định nghiệm số của bài
toán, đánh giá về tốc độ hội tụ và độ chính xác của sơ đồ lặp, so sánh các
phương pháp xác định hàm và đạo hàm.
Mục đích chính của luận văn là đề cập đến thuật toán lặp xen kẽ MFS
đối với bài toán biên cho phương trình elliptic với điều kiện biên không đầy
đủ. Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev và
phương trình elliptic, các kiến thức về sơ đồ lặp, phương pháp sai phân đối
với việc giải số phương trình đạo hàm riêng, thuật toán chia miền đối với bài
toán biên hỗn hợp mạnh.
Chương 2: Trình bày mô hình vật lý và cơ học của bài toán biên elliptic
với hệ điều kiện biên không chính quy
Chương 3: Nghiên cứu một số kết quả giải số bài toán biên không
chính quy, luận văn sẽ đưa ra một số mô hình bài toán trong trường hợp tổng
quát hơn đồng thời đề xuất một số sơ đồ lặp tìm nghiệm số của các bài toán
2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

tương ứng. Các kết quả số sẽ được kiểm tra bằng các chương trình viết bằng
ngôn ngữ Matlab chạy trên máy tính PC.
Mặc dù đã rất cố gắng song nội dung của luận văn không thể tránh khỏi
những thiếu sót. Rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của các thầy cô

giáo và các anh chị em bạn bè đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn TS. Vũ
Vinh Quang đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm luận văn.

3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Chƣơng 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Không gian Sobolev và phƣơng trình elliptic
1.1.1. Không gian Sobolev.
1.1.1.1. Không gian
( )
k
C W
.
Giả sử
W
là một miền bị chặn trong không gian Euclide
n
chiều
n
¡
và
W
là bao đóng của
W
. Ta kí hiệu

( ) ( )
, 0,1,2
k
CkW=
là tập các hàm có
đạo hàm đến cấp
k
kể cả
k
trong
W
, liên tục trong
W
.
Ta đưa vào
( )
k
C W
chuẩn:

( )
( )
max
k
C
x
k
u D u x
a
a

W
ÎW
=
=
å
(1.1)
trong đó
( )
12
, , ,
n
a a a a=
được gọi là vectơ với các tọa độ nguyên
không âm,
12

n
a a a a= + + +
,

1
1

1

n
n
n
u
Du

xx
aa
a
aa
++
¶
=
¶¶

Sự hội tụ theo chuẩn đã cho là sự hội tụ đều trong
W
của các hàm và tất cả
đạo hàm của chúng đến cấp
k
,kể cả
k

. Tập
( )
k
C W
với chuẩn
( )
1.1
là
không gian Banach.
4

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

1.1.1.2. Không gian
( )
p
L W

Giả sử
W
là một miền trong
n
¡
và
p
là một số thực dương. Ta kí hiệu
( )
p
L W
là lớp các hàm đo được
f
xác định trên
W
sao cho:

( )
p
f x dx
W
<¥
ò

Trong

( )
p
L W
ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên
W
. Như vậy các
phần tử của
( )
p
L W
là các lớp tương đương các hàm đo được thỏa mãn (1.2)
và hai hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên
W
. Vì :

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
p
p p p
p
f x g x f x g x f x g x
æö
÷
ç
+ £ + £ +
÷
ç
÷

ç
èø

nên rõ ràng
( )
p
L W
là một không gian vectơ.
Ta đưa vào
( )
p
L W
phiếm hàm
.
p
được xác định bởi:

( )
1

p
p
p
u f x dx
W
æö
÷
ç
÷
ç

=
÷
ç
÷
÷
ç
èø
ò

Định lý 1.1.1 (bất đẳng thức Hoder). Nếu
1 p< < ¥
và
( )
p
uLÎW
,
( )
p
vLÎW
thì
( )
p
uv LÎW
và

( ) ( ) ( ) ( )
'
| | .
pp
u x v x dx u x v x

W
£
ò

Trong đó
',
1
p
p
p
=
-
tức là
11
1
'pp
+=
,
'p
được gọi là số mũ liên hợp
đối với
p

5

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Định lý 1.1.2. (Bất đẳng thức Minkowski). Nếu
1 p< < ¥
thì

p p p
f g f g+ £ +

Định lý 1.1.3. Không gian
( )
p
L W
với
1 p£ < ¥
là một không gian
Banach.
1.1.1.3. Không gian
( )
1,
W
p
W



Định nghĩa 1.1.1 Cho
W
là một miền trong
n
¡
. Hàm
( )
ux

được gọi là khả
tích địa phương trong
W
nếu
( )
ux
là một hàm trong
W
và với mỗi
0
x ÎW

đều tồn tại một lân cận
w
của
0
x
để
( )
ux
khả tích trong
W
.
Định nghĩa 1.1.2 Cho
W
là một miền trong
n
¡
. Giả sử
( ) ( )

,u x v x
là hai
hàm khả tích địa phương trong
W
sao cho ta có hệ thức:

( )
1
1
1

n
k
k
kk
n
u dx v dx
xx
j
j
WW
¶
=-
¶¶
òò

đối với mọi
( ) ( ) ( )
01
, , 0 1,2, ,

k
ni
x C k k k k i nj Î W = + + ³ =
.
Khi đó,
( )
vx
được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của
( )
ux
.
Kí hiệu:
( )
1
1

n
k
kk
n
u
vx
xx
¶
=
¶¶

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử
p
là một số thực,

1 p£ < ¥
,
W
là một miền
trong
n
¡
. Không gian Sobolev
( )
1,
W
p
W
được định nghĩa như sau:

( ) ( ) ( )
1,
W | , , 1, ,
p p p
i
u
u u L L i n
x
íü
ïï
¶
ïï
W = Î W Î W =
ìý
ïï

¶
ïï
îþ

6

S húa bi Trung tõm Hc liu

Trong ú cỏc o hm trờn l cỏc o hm suy rng.
Vi
2p =
, ta kớ hiu
( ) ( )
1,2 1
W HW = W
, ngha l:

( ) ( ) ( )
1 2 2
| , , 1,2, ,
i
u
H u u L L i n
x
ớỹ
ùù
ả
ùù
W = ẻ W ẻ W =
ỡý

ùù
ả
ùù
ợỵ

B 1.1.1
i) Khụng gian
( )
1,
W
p
W
l khụng gian Banach vi chun

( ) ( )
( )
1,
W
1

pp
p
n
L
i
i
L
u
uu
x

WW
=
W
ả
=+
ả
ồ


ii) Khụng gian
( )
1
H W
l khụng gian Hilbert vi tớch vụ hng:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
12
2
1
1
, , , , ,
n
HL
i
ii
L

uv
u v u v u v H
xx
WW
=
W
ổử
ảả
ữ
ỗ
ữ
= + " ẻ W
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ảả
ốứ
ồ

1.1.1.4 Vt ca hm.
nh ngha 1.1.4 Khụng gian Sobolev
( )
1,
W
p
W
c nh ngha nh cỏc
bao úng ca khụng gian cỏc hm kh vi vụ hn cú giỏ compact trong

W

tng ng vi chun ca
( )
1,
W
p
W
. Khụng gian
( )
1
0
H W
c xỏc nh bi:

( ) ( )
1 1,2
00
WH W = W

nh lý 1.1.4 Gi s biờn
ảW
l liờn tc Lipschitz thỡ:
i) Nu
1 pnÊ<
thỡ
( ) ( )
1,
0
W

pq
LW è W
l:
- Nhỳng Compact i vi
1, *qp
ộự
ẻ
ờỳ
ởỷ
trong ú
1 1 1
*p p n
=-
,
- Nhỳng liờn tc i vi
*qp=
.
ii) Nu
pn=
thỡ
( ) ( )
1,
0
W
nq
LW è W
l nhỳng Compact nu
7

S húa bi Trung tõm Hc liu

1,q
ộự
ẻ + Ơ
ờỳ
ởỷ
.
iii) Nu
pn>
thỡ
( ) ( )
1, 0
0
W
p
CW è W
l nhỳng Compact.
nh lý 1.1.5 (nh lý vt).
Gi s
W
l mt tp m trong
n
R
sao cho
ảW
l liờn tc Lipschitz thỡ tn ti
duy nht mt ỏnh x tuyn tớnh liờn tc:

( ) ( )
12

: HLg W đ ả W

sao cho vi bt kỡ
( ) ( )
10
u H Cẻ W ầ W
ta cú
( )
|uug
ảW
=
.
Hm
( )
ug
c gi l vt ca
u
trờn
ảW
.
nh ngha 1.1.5 Gi s biờn
ảW
l liờn tc Lipschitz, khụng gian
( )
1
2
H ảW
c gi l min giỏ tr ca ỏnh x vt
g
, tc l:

( ) ( )
( )
1
1
2
HHgảW = W

nh lý 1.1.6
i)
( )
1
2
H ảW
l mt khụng gian Hilbert vi chun:

(
)
( )
( ) ( )
1
2
2
2
2
1
H
x x y
n
u x u y

u u x dS dS dS
xy
ảW
+
ảW ảW ảW
-
=+
-
ũ ũ ũ

ii) Tn ti mt hng s
( )
C
g
W
sao cho:

( )
( )
( )
( )
( )
1
1
2
1
,
H
H
u C u u H

g
g
W
ảW
Ê W " ẻ W

8

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Khi đó
( )
C
g
W
được gọi là hằng số vết.
Bổ đề 1.1.2 Giả sử
¶W
là liên tục Lipschitz, không gian
( )
1
2
H ¶W
có các
tính chất sau:
i) Tập
( )
{ }
|,
n

u u C R
¥
¶W
Î
là trù mật trong
( )
1
2
H ¶W
.
ii) Nhúng
( ) ( )
1
2
2
HL¶W Ì ¶W
là compact
iii) Tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục:

( ) ( )
1
1
2
g
g H u HÎ ¶ W ® Î W

Với
( )
g
ugg =

và tồn tại một hằng số
( )
1
C W
chỉ phụ thuộc miền
W
sao
cho:

( )
( )
( )
( )
1
1
2
1
2
1
,
HH
u C g g H
W ¶ W
£ W " Î W

Bổ đề 1.1.3. Giả sử biên
¶W
là liên tục Lipschitz. Khi đó:

( ) ( ) ( )

{ }
11
0
| , 0H u u H ugW = Î W =

Định lí 1.1.7 ( Bất đẳng thức Poincare). Tồn tại một hằng số
C
W
sao cho:

( ) ( )
( )
22
1
0
,
LL
u C u u H
W
WW
£ Ñ " Î W

Trong đó hằng số
C
W
phục thuộc vào đường kính của
W
được gọi là hằng số
Poincare. Bất đẳng thức Poincare có ý nghĩa rằng
( )

2
L
uu
W
=Ñ
là một
chuẩn trên
( )
1
H W
đã xác định.
Định lý 1.1.8 (Bất đẳng thức Poincare mở rộng) Giả sử biên
¶W
liên tục
9

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Lipschitz,
12
¶ W= G GU
, trong đó
12
,GG
là các tập đóng, rời nhau,
1
G
có
độ đo dương. Khi đó, tồn tại hằng số
( )

C W
sao cho :

( ) ( )
22
LL
u C u
W
WW
£Ñ

( ) ( )
1
,0u H ug" Î W =
trên
1
G

1.1.1.5. Không gian Sobolev với chỉ số âm
( )
1
H
-
W
và
( )
1
2
H
-

¶W
.
Định nghĩa 1.1.6 Ta kí hiệu
( )
1
H
-
W
là một không gian Banach được xác
định bởi:

( ) ( )
( )
'
11
0
HH
-
W = W

với chuẩn:

( )
( )
{ }
( ) ( )
( )
11
0
1

1
0
1
0
,
\0
,
sup
HH
H
H
H
Fu
F
u
-
-
WW
W
W
W
=

Trong đó
( ) ( )
11
0
,
,
HH

Fu
-
WW
là tích năng lượng trên cặp không gian đối ngẫu.
Bổ đề 1.1.4.Cho
( )
1
FH
-
ÎW
thì tồn tại
1n +
hàm
01
, , ,
n
f f f
trong
( )
L W
sao cho:

0
1
n
i
i
i
f
Ff

x
=
¶
=+
¶
å

Theo nghĩa phân bố và đồng thời:

( ) ( )
12
22
1
inf
n
i
HL
i
Ff
-
WW
=
=
å

trong đó infimum lấy trên tất cả các vectơ
( )
01
, , ,
n

f f f
trong
( )
1
2
n
L
+
éù
W
êú
ëû
.
10

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Định nghĩa 1.1.7 Giả sử
¶W
liên tục Lipschitz, ta kí hiệu
( )
1
2
H
-
¶W
là một
không gian Banach được xác định như sau:

( ) ( )

'
11
22
HH
-
æö
÷
ç
÷
¶W = ¶W
ç
÷
ç
÷
ç
èø

với chuẩn tương ứng:

( )
( )
{ }
( ) ( )
( )
11
22
1
2
1
1

2
2
,
\0
,
sup
HH
H
H
H
Fu
F
u
-
-
¶W ¶W
W
¶W
¶W
=

Trong đó
( ) ( )
11
22
,
,
HH
F u FudS
-

¶W ¶ W
¶W
=
ò

1.1.2. Phƣơng trình elliptic
1.1.2.1. Khái niệm nghiệm yếu của phƣơng trình
Xét phƣơng trình

uf-=V
(1.3)
Giả sử
( ) ( )
2
,u C f CÎ W Î W
và phương trình (1.3) thỏa mãn trong miền
W
. Khi đó,
( )
ux
được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.3).
Lấy hàm
j
bất kì thuộc
( ) ( )
0
DC
¥
W = W
nhân với hai vế của (1.3) rồi lấy

tích phân ta được:

u dx f dxjj
WW
-=
òò
V
(1.4)
Áp dụng công thức Green vào (1.4) và kết hợp với điền kiện
|0j
¶W
=
ta có :

11

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu


1
n
i
ii
u
dx f dx
xx
j
j
=
WW

¶¶
=
¶¶
å
òò
(1.5)
hay:

u dx f dxjj
WW
Ñ Ñ =
òò

Như vậy, nếu
u
là nghiệm của phương trình (1.3) thì có (1.5). Nhưng nếu
( )
fCÎW
thì phương trình (1.3) không có nghiệm cổ điển. Vậy, ta cần mở
rộng khái niệm khi
( )
2
fLÎW
.
Định nghĩa 1.1.8. Giả sử
( ) ( )
12
,,u H f L uÎ W Î W
được gọi là nghiệm
yếu của phương trình (1.3) nếu (1.5) được thỏa mãn.

Mệnh đề 1.1.2. Nếu
u
là nghiệm yếu của phương trình (1.3) và
( ) ( )
2
,u C f CÎ W Î W
thì
u
là nghiệm cổ điển, tức là
uf-=V
.
Chứng minh. Giả sử
u
là nghiệm yếu của phương trình (1.3), tức là
( )
1
uHÎW
và ta có (1.5) với mọi hàm
( )
Dj ÎW
, kết hợp với điều kiện
( )
2
uCÎW
ta suy ra:

( ) ( )
0,u f dx u Dj
W
+ = " Î W

ò
V

Vì
( )
D W
trù mật trong
( )
2
,L u fW+V
trực giao với mọi
( )
Dj ÎW
nên
0uf+=V
trong
( )
2
L W
. Nhưng vì
uV
liên tục nên
0uf+ºV
trong
( )
C W
. Vậy
u
là nghiệm cổ điển của phương trình (1.3).

12

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

1.1.2.2 Phát biểu các bài toán biên
Bài toán Dirichlet
Xét bài toán:

,
,
u f x
uxj
í
ï
- = Î W
ï
ì
ï
= Î ¶ W
ï
î
V
(1.6)
trong đó
( )
2
fLÎW
.
Hàm

( )
1
uHÎW
được gọi là nghiệm yếu của bài toán (1.6) nếu:

( )
1
0
uHw- Î W
(1.7)
trong đó
w
là hàm thuộc
( )
1
H W
, có vết bằng
j
và:

( )
1
0
,u vdx fvdx v H
WW
Ñ Ñ = " Î W
òò
(1.8)
Nhận xét:
i) Nghiệm yếu của bài toán (1.6) là nghiệm yếu của phương trình

uf-=V

vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phương trình này là hàm
( )
1
uHÎW

thỏa mãn (1.8) với mọi
( ) ( )
1
00
v C H
¥
Î W Ì W
.
ii) Nếu
u
là nghiệm yếu của bài toán (1.6) và đặt
,,ufj
đủ trơn thì nghiệm
theo nghĩa cổ điển.

13

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Bài toán Neumann.
Xét bài toán :

,

,
u f x
u
hx
v
í
ï
- = Î W
ï
ï
ì
¶
ï
= Î ¶ W
ï
ï
¶
î
V
(1.9)
trong đó
( ) ( ) ( )
2
,,h C f C u CÎ ¶ W Î W Î W
là nghiệm cổ điển.
Nhân hai vế của phương trình
uf-=V
với
( )
1

vHÎW
rồi lấy tích phân
ta được:

v ud x vfdx
WW
-=
òò
V
(1.10)
Áp dụng công thức Green vào (1.10) ta có:

v dS u vdx vfdx
v
¶W W W
¶W
- + Ñ Ñ =
¶
ò ò ò

Kết hợp với (1.9) ta suy ra:

( )
1
,u vdx fvdx hvdS v H
W W ¶W
Ñ Ñ = + " Î W
ò ò ò
(1.11)
Định nghĩa 1.1.9 Nếu

( ) ( )
22
,h L f LÎ ¶W Î W
thì nghiệm yếu của bài
toán Neumann (1.9) là hàm
( )
1
uHÎW
thỏa mãn (1.1.1).
1.2. Lý thuyết về các sơ đồ lặp
1.2.1. Lƣợc đồ lặp hai lớp.
Xét bài toán:

Ay f=
(1.12)
trong đó
:A H H®
là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert thực
hữu hạn chiều
H
.
14

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Giả sử
A
là toán tử đối xứng, xác định dương,
fHÎ
là vecto tùy ý. Trong

mỗi phương pháp lặp, xuất phát từ
0
y
bất kì thuộc
H
, người ta đưa ra cách
xác định nghiệm xấp xỉ
1, 2
, , ,
k
y y y
của phương trình (1.12). Các xấp xỉ
như vậy được biết như là các cặp giá trị lặp với chỉ số lặp
1,2, k =
, bản
chất của những phương pháp này là giá trị
1k
y
+
có thể được tính thông qua
các giá trị lặp trước:
1
, ,
kk
yy
+

Phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước hoặc hai bước nếu
xấp xỉ
1k

y
+
có thể được tính thông qua một hoặc hai giá trị trước đó.
Dạng chính tắc của lược đồ lặp hai lớp là:


1
1
, 0,1,2,
k
kk
ky
k
yy
B A f k
q
+
+
-
+ = =
(1.13)
trong đó
1k
q
+
là các tham số lặp.
Lược đồ lặp (1.13) cho ta xấp xỉ chính xác nghiệm
u
của phương trình (1.12)
với bất kì toán tử

k
B
và cách trọn tham số
1k
q
+
.
Nếu
k
BE=
thì lược đồ lặp (1.13) được gọi là lược đồ lặp hiện.

1
1
, 0,1,2,
k
kk
y
k
yy
A f k
q
+
+
-
+ = =
(1.14)
Trong trường hợp
k
qq=

là hằng số thì lược đồ lặp (1.14) còn gọi là lược đồ
lặp đơn giản.
Nếu
k
BE¹
thì lược đồ lặp (1.31) được gọi là lược đồ ẩn.

15

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

1.2.2. Lƣợc đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phƣơng pháp lặp.
Lƣợc đồ lặp (1.13) với toán tử
k
BB=
, tham số
1k
qq
+
=
không đổi
( )
0,1,2, k =
còn đƣợc gọi là lƣợc đồ lặp dừng, có dạng:

1
, 0,1,2
k
kk
y

yy
B A f k
q
+
-
+ = =
(1.15)
Định lý 1.1.9 Nếu
A
là toán tử đối xứng , xác định dương thì:

1
2
BAq>
hay
( ) ( )
1
, Ax, ,
2
Bx x x x Hq> " Î
(1.16)
là điều kiện đủ cho sự hội tụ của lược đồ lặp (1.15) trong không gian
A
H
với
tốc độ hội tụ cấp số nhân.

1
, 0,1,2, , 1
kk

AA
z z krr
+
£ = <
(1.17)
trong đó
( )
1
2
00
2
2
1
1 , min , min ,
22
kk
kk
BB
A B A B
B
qd d
r d l d l q
*
*
*
æö
÷
ç
æö
+

÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
= - = = - =
ç
÷
ç
÷
÷
ç
÷
ç
ç
÷ è ø
ç
÷
èø
là phần tử đối xứng của toán tử
B
.
Nhận xét. Với
k
BB=
cố định, định lý đã đưa ra quy tắc lựa chọn giá trị
q

để lược đồ lặp hội tụ. Trong trường hợp
BE=
, điều kiện hội tụ sẽ được
đảm bảo nếu tất cả các giá trị riêng thỏa mãn:

( )
11
10
22
kk
E A Al q ql
æö
÷
ç
÷
- = - >
ç
÷
ç
÷
ç
èø

hay:

1
10
2
Aq->

16

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Như vậy, lược đồ lặp hội tụ với mỗi
2
A
q <
.
1.3. Phƣơng pháp chia miền giải bài toán elliptic cấp hai với điều kiện
biên hỗn hợp mạnh
1.3.1. Mô tả phƣơng pháp
Cho
2
WÌ ¡
là miền với biên Lipschitz
¶W
, xét bài toán

( ) ( )
( ) ( )
,
,
u x f x x
lu x g x x
í
ï
- D = " Î W
ï
ï

ì
ï
= Î ¶W
ï
ï
î

Giả sử
( ) ( ) ( ) ( )
1
2
2
,f x L g x HÎ W Î ¶W

Ta xét trường hợp tổng quát khi điều kiện biên
( ) ( )
lu x g x=
là điều kiện
biên dạng hỗn hợp mạnh tức là trên một phần biên trơn gồm cả hai loại điều
kiện biên Dirichlet (
l
là toán tử hàm ) và Neumann (
l
là toán tử đạo hàm
hướng).
Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu cơ sở của phương pháp chia miền: tư
tưởng chính của phương pháp là chuyển bài toán biên hỗn hợp mạnh về hai
bài toán biên hỗn hợp yếu thông qua một phương pháp lặp.
Xét bài toán biên hỗn hợp mạnh sau đây:

Hình 1

17

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu


,
, (1.18)
,\
n
n
u f x
u
x
v
ux
y
j
í
ï
- D = Î W
ï
ï
ï
¶
ï

= Î G
ì
ï
¶
ï
ï
= Î ¶ W G
ï
ï
î

Chia
W
thành hai miền
12
,WW
với biên trơn
G
,
1 2 1
,.W= W È W W Ç W= Æ

Kí hiệu
{ } { }
1 1 2 2
\ , \
dn
G = ¶W G È G G = ¶W G È G
, kí hiệu
i

u
là
nghiệm trên miền
( )
1,2
i
iW=
. Mấu chốt của thuật toán là muốn giải được
bài toán biên hỗn hợp mạnh, chúng ta cần xác định giá trị của điều kiện trên
biên phân chia giữa hai miền.
1. Cách tiếp cận thứ nhất là xác định giá trị hàm trên biên phân chia dựa
trên một sơ đồ lặp. Cách tiếp cận này đã được các tác giả Nhật Bản phát triển
vào năm 2001 [7].
2. Cách tiếp cận thứ hai là xác định giá trị đạo hàm trên biên phân chia dựa
trên một sơ đồ lặp. Cách tiếp cận này đã được phát triển của các tác giả Việt
Nam [3], Phương pháp này đã được đánh giá có tốc độ hội tụ nhanh hơn.
Sau đây chúng ta giới thiệu cách tiếp cập thứ 2.
Kí hiệu
1
u
g
n
G
¶
=
¶
. Tư tưởng của phương pháp là xác định giá trị của
g

thông qua một phương pháp lặp. Xây dựng thuật toán chia miền như sau:

Bước 1: Khởi động

( )
( )
( )
00
2
, 0, .g L g xÎ G = Î G

Bước 2: Với
( )
k
g
trên
( )
0,1,2, kG=
tiến hành giải 2 bài toán
18

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu


( )
( )
( )
( )
11
1
1
11

,
,
,
k
k
k
k
d
u f x
u
gx
v
uxj
í
ï
- D = Î W
ï
ï
ï
ï
¶
ï
ï
= Î G
ì
ï
¶
ï
ï
ï

= Î G È G
ï
ï
ï
î
(1.19)

( )
( )
( )
( ) ( )
22
2
2
22
21
,
,
(1.20)
,
,
k
k
n
k
kk
u f x
u
x
v

ux
u u x
y
j
í
ï
- D = Î W
ï
ï
ï
ï
¶
ï
ï
= Î G
ï
¶
ì
ï
ï
ï
= Î G
ï
ï
ï
ï
= Î G
ï
î

Bước 3: Hiệu chỉnh giá trị
( )
1k
g
+


( )
( )
( )
( )
1
2
2
1 , , (1.21)
k
kk
u
g g x
v
tt
+
¶
= - - Î G
¶


trong đó
t
là tham số lặp cần lựa chọn.

1.3.2. Sự hội tụ của phƣơng pháp
Sơ đồ lặp (1.21) được viết lại dưới dạng

( ) ( )
( )
( )
( )
1
2
2
0, 0,1,2, .
k
kk
k
u
gg
gk
vt
+
¶
-
+ + = =
¶

Đây chính là sơ đồ lặp 2 lớp cho phương trình toán tử, bằng cách đưa vào
các không gian năng lượng và sử dụng lý thuyết về nghiệm yếu của phương
trình elliptic, toán tử Steklov-Poincare, lý thuyết về các sơ đồ lặp, trong tài
19

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

liệu [3] đã chứng minh sơ đồ lặp trên hội tụ với tham số
t
được lựa chọn
trong khoảng
( )
0,1
.
Phương pháp chia miền này sẽ được sử dụng với phương pháp lặp xen kẽ
để đề xuất những sơ đồ lăp giải mô hình bài toán biên không chính quy được
đưa ra trong chương 2 của luận văn.
1.4. Các kiến thức cơ bản về giải số phƣơng trình đạo hàm riêng
Trong mục này, luận văn trình bày một số kiến thức liên quan đến việc
giải số phương trình đạo hàm riêng bao gồm cơ sở của phương pháp lưới,
thuật toán thu gọn khối lượng tính toán của Samarskij-Nicolaev, các kết quả
được tham khảo từ các tài liệu [4,6].
1.4.1. Phƣơng pháp sai phân
Lƣới sai phân:
Xét bài toán
,
,
u f x
u g x
í
ï
- D = Î W
ï
ì
ï
= Î ¶ W

ï
î
(1.22)
trong đó
2
{( , ) , , }x y R a x b c y dW= Î £ £ £ £
, chọn 2 số nguyên N >1 và
M > 1, đặt h = (b - a)/N gọi là bước lưới theo x, k = (d - c)/ M gọi là bước
lưới theo y. Đặt
, , 0 , 0
ij
x a ih y c jk i N j M= + = + = =
. Mỗi điểm
( , )
ij
xy
gọi là một nút lưới ký hiệu là
( , )ij
. Tập tất cả các nút trong ký hiệu
là
hk
W
. Nút ở trên biên gọi là nút biên. Tập tất cả các nút biên ký hiệu là
hk
, tập
hk
hk hk
W = W È G
gọi là một lưới sai phân trên
W

.
Hàm lƣới: Mỗi hàm xác định tại các nút của lưới gọi là một hàm lưới, giá
trị của hàm lưới u(x, y) tại nút lưới (i,j) viết tắt là
,ij
u
. Mỗi hàm u(x, y) xác
định tại mọi
( , ) .xy ÎW
tạo ra hàm lưới u xác định bởi
,ij
u

20

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Bài toán sai phân: Ký hiệu
Lu f=
là phương trình mà nghiệm là tập các
hàm số hai biến x,y có các đạo hàm riêng đến cấp m liên tục trong
W= WÈ G
giả sử bài toán có nghiệm
4
()uCÎW
, khi đó:
44
12
44
( , ) ( , )
( , ) ons , ( , ) ons .

x y x y
uu
max x y C c t max x y C c t
xy
Î W Î W
¶¶
£ = £ =
¶¶

Do đó theo công thức Taylor ta có:
2 2 3 3
4
1
23
( , ) ( ) , ( , ) ( )
2! 3!
i j i j i j
u h u h u
u x y u x h y u x y h o h
x
xx
+
¶ ¶ ¶
= + = - + - +
¶
¶¶

hay
2
11

2
22
( , ) 2 ( , ) ( , )
()
i j i j i j
u x y u x y u x y
u
oh
hx
+-
-+
¶
=+
¶

Một cách tương tự
2 2 3 3
4
1
23
( , ) ( , ) ( , ) ( )
2! 3!
i j i j i j
u k u k u
u x y u x y k u x y k o k
y
yy
+
¶ ¶ ¶
= + = + + + +

¶
¶¶

2 2 3 3
4
1
23
( , ) ( , ) ( , ) ( )
2! 3!
i j i j i j
u k u k u
u x y u x y k u x y k o k
y
yy
-
¶ ¶ ¶
= - = - + - +
¶
¶¶

Do đó:

2
11
2
22
( , ) 2 ( , ) ( , )
()
i j i j i j
u x y u x y u x y

u
ok
ky
+-
-+
¶
=+
¶

Vậy ta có:

1 1 1 1
22
( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )
i j i j i j i j i j i j
u x y u x y u x y u x y u x y u x y
hk
+ - + -
- + - +
+
=
22
()u o h kD + +