nhi thuc Niu Ton thao giang

KiÓm tra bµi cò
KiÓm tra bµi cò
Nªu c«ng thøc tÝnh sè tæ hîp chËp k cña n phÇn tö, Nªu c¸c tÝnh chÊt cña tæ
hîp chËp k cña n phÇn tö
k
n
k
n
k
n
kn
n
k
n
k
n
CCC
CC
knk
n
C
=+
=
−
=
−
−

−
−
1
1
1
)!(!
!

Tiết 79
Tiết 79
Khai triển các hằng đẳng thức sau:
(a + b)
2

(a + b)
3
(a + b)
4
= a
3
+ a
2
b + ab
2
+ b
3
= a
4
+ a
3

b + a
2
b
2
+ ab
3
+ b
4
Tính nhanh:
0
2
C
202
2
111
2
020
2
2
)( baCbaCbaCba
++=+
303
3
212
3
121
3
030
3
3

)( baCbaCbaCbaCba
+++=+
404
4
313
4
222
4
131
4
040
4
4
)( baCbaCbaCbaCbaCba
++++=+
Vậy với mọi số tự nhiên n 1 và với mọi cặp số (a; b) ta có công
thức sau gọi là công thức nhị thức Niutơn

nn
n
kknk
n
n
n
n
n
n
n
n
bCbaCbaCbaCaCba

++++++=+

)(
222110
(1)
0
3
C
0
4
C
= a
2
+ ab + b
2
1
2
C
3
2
C
1
3
C
2
3
C
3
3
C

1
4
C
2
4
C
3
4
C
4
4
C
= 2
= 1
= 1
= 1
= 3
= 3
= 1
= 1
= 4
= 1
= 4
= 6
1
3
31
1
2
1

1 1
6 4 4
0
2
C
1
2
C
2
2
C
0
3
C
1
3
C
2
3
C
3
3
C
0
4
C
1
4
C
2

4
C
3
4
C
4
4
C

Chứng minh: Ta chứng minh bằng phơng pháp qui nạp theo n
Chứng minh: Ta chứng minh bằng phơng pháp qui nạp theo n
* Khi n = 1, ta có
( a + b)
1
= a + b = => Vậy công thức (1) đúng khi n = 1
* Giả sử (1) đúng khi n = m, tức là ta có
Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = m + 1, tức là ta có
Thật vậy, ta có:
Vì nên ta có (2)
Vậy công thức nhị thức Niutơn (1) là đúng với mọi số tự nhiên n
11110110
110
1101
)( )( )(
) (
) ()()()(
+++

+
+++++++++

=+++++
++++++=++=+
mm
m
mm
m
m
m
kkmk
m
k
m
m
mm
m
m
mm
m
kkmk
m
m
m
m
m
mm
m
kkmk
m
m
m

m
m
mm
bCabCCbaCCbaCCaC
bbCbaCbaCaC
abCbaCbaCaCbababa
bCaC
1
1
0
1
+
mm
m
kkmk
m
m
m
m
m
m
bCbaCbaCaCba
+++++=+

)(
110
11
1
1
1

1
1
10
1
1
)(
++
+
+
++
+
+
+
+++++=+
mm
m
kkmk
m
m
m
m
m
m
bCbaCbaCaCba
k
m
k
m
k
m

m
m
m
mmm
CCCCCCC
1
11
1
0
1
0
,1,1
+
+
++
=+====
(2)
1


Dùng dấu , ta có thể viết công thức nhị thức Niutơn dới dạng sau:
Dùng dấu , ta có thể viết công thức nhị thức Niutơn dới dạng sau:

=

=+
n
k
kknk
n

n
baCba
0
)(
Ví dụ 1: a/ Khai triển ( x + y)
6
thành đa thức bậc 6
b/ Khai triển ( 3x - 4)
5
thành đa thức bậc 5
c/ Khai triển ( 2x + 1)
7
thành đa thức bậc 7
6542332456
606
6
515
6
424
6
333
6
242
6
151
6
060
6
6
61520156

)(
yxyyxyxyxyxx
yxCyxCyxCyxCyxCyxCyxCyx
++++++=
++++++=+
102438405760143201620243)4()3()4()3(
)4()3()4()3()4()3()4()3()43(
2345515
5
424
5
333
5
242
5
151
5
050
5
5
++=+
++++=
xxxxxxCxC
xCxCxCxCx
11484280672448128
1)2(1)2(1)2(
1)2(1)2(1)2(1)2(1)2()12(
234567
707
7

616
7
525
7
434
7
343
7
252
7
161
7
070
7
7
++++++=
=++
+++++=+
xxxxxx
xCxCxC
xCxCxCxCxCx

nn
n
kknk
n
n
n
n
n

n
n
n
bCbaCbaCbaCaCba
++++++=+

)(
222110

Ví dụ 2: Tìm số hạng thứ 7 kể từ trái sang phải của khai triển (-2x + 1)
Ví dụ 2: Tìm số hạng thứ 7 kể từ trái sang phải của khai triển (-2x + 1)
9
9
Giải:
456789
909
9
818
9
727
9
636
9
545
9
454
9
363
9
272

9
181
9
090
9
9
20164032537646082034512
1)2(1)2(1)2(1)2(1)2(
1)2(1)2(1)2(1)2(1)2()12(
xxxxxx
xCxCxCxCxC
xCxCxCxCxCx
+++=
+++++
++++=+
Từ công thức => số hạng đứng thứ 7 kể từ trái sang phải của khai triển
trên là:
kknk
n
baC

===

336
9
6696
9
)8.(841)2(1)2( xxCxC
Ví dụ 3: Chọn đáp án đúng
Ví dụ 3: Chọn đáp án đúng

Hệ số của x
Hệ số của x
8
8
trong khai triển (4x - 1)
trong khai triển (4x - 1)
12
12
là:
là:
A: 32440320
A: 32440320
C: 495
C: 495
B: -32440320
B: -32440320
D: -495
D: -495
Ví dụ 4: Tính hệ số x
Ví dụ 4: Tính hệ số x
12
12
y
y
13
13
trong khai triển (x + y)
trong khai triển (x + y)
25
25

Giải:
Từ công thức => n = 25 nên phải có 25 - k = 12 => k = 13. Vậy hệ số của
x
12
y
13
trong khai triển là:
kknk
n
baC

300.200.5
!12!13
!25
13
25
==
C
118144
2
++
xx
3
672x

3
672x


Từ công thức : suy ra các công thức sau:

Từ công thức : suy ra các công thức sau:
( b + a )
( b + a )
n
n
= ? và ( a - b )
= ? và ( a - b )
n
n
= ?
= ?



=

=+=+
n
k
knkk
n
nn
baCabba
0
)()(

= =

==+=
n

k
n
k
kknk
n
kkknk
n
nn
baCbaCbaba
0 0
)1()())(()(

=
=
n
k
kk
n
kn
xCx
0
)1()1(
(Khai triển theo luỹ thừa tăng của x)

=

=
n
k
knk

n
knn
xCx
0
)1()1(
(Khai triển theo luỹ thừa giảm của x)

=

=+
n
k
kknk
n
n
baCba
0
)(

+/ Sè c¸c sè h¹ng cña c«ng thøc b»ng ?
+/ Tæng c¸c sè mò cña a vµ b trong mçi sè h¹ng b»ng ?
+/ Sè h¹ng sè d¹ng lµ sè h¹ng thø mÊy trong khai triÓn ?
kknk
n
baC
−


1. Số các số hạng của công thức bằng n + 1
2. Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức (n - k) + k = n

3. Số hạng tổng quát có dạng ( k = 0, 1, 2, , n)
(Đó là số hạng thứ k + 1 trong sự khai triển của nhị thức (a + b)
n
)
4. Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau vì
kknk
nk
baCT

+
=
1
kn
n
k
n
CC

=
5. Ta có thể viết công thức nhị thức Niutơn d\ới dạng t\ờng minh hơn nh\ sau:
nnkknnnnn
bn abba
k
knnn
ba
nn
bnaaba
+++
+
++

++=+

1221

3.2.1
)1) (1(

2
)1(
)(
n
n
k
nnnn
nn
CCCCC
++++++=+=
)11(2
210
n
n
nk
n
k
nnn
n
CCCCC )1( )1( )11(0
210
+++++==

Tiết 80
Tiết 80
6.
7.

0
1
C
0
0
C
0
3
C
0
2
C
1
2
C
1
1
C
2
2
C
1
2
C
1

3
C
3
3
C
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
+
=
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
n = 5 1 5 10 10 5 1
n = 6 1 6 15 20 15 6 1
n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1
n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1


Bµi tËp: +/ H·y thiÕt lËp tam gi¸c pascal 11 dßng
Bµi tËp: +/ H·y thiÕt lËp tam gi¸c pascal 11 dßng
+/ Khai triÓn ( x - 1)
+/ Khai triÓn ( x - 1)
10
10

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP NĂM HỌC 2007 - 2008

TRƯỜNG THPT SƠN DƯƠNG
Ví dụ 1: (Đề thi tốt nghiệp THPT – 2006)
Tìm hệ số của trong khai triển nhị thức
Biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển bằng 1024.
*
)1( Nnx
n
∈+

5
x
Bài làm:
Bước 1: Ta có
Chọn X =1 ta có:
Bước 2: là số hạng chứa
Bước 3: Vậy hệ số của là
n
n
n
nnn
n
CXCXXCCX
++++=+
)1(
2210
∑
=
=⇒==
++++=+
n

k
nk
n
n
nnnn
n
nC
CCCC
0
210
10 10242
)11(
kkk
k
baCT
−
+
=
10
101
5
5
=⇔
kx
5
x
252
5
10
=C

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP NĂM HỌC 2007 - 2008
TRƯỜNG THPT SƠN DƯƠNG
Ví dụ 2: (Đề thi CĐ - ĐH khối D – 2004)
Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển: với
0x )x(
7
>+
x4
1
Ví dụ 3: (Đề thi CĐ - ĐH khối B – 2007)
Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển
Biết
Ngoài ra còn một số dạng khác như: Tính tổng các dựa vào phương pháp
lấy đạo hàm hoặc dựa vào phép tính tích phân Hay gặp trong các đề thi
tuyển sinh Cao đẳng - Đại học.
10
x
n
x)(2
+
2048)1( 3
2110
=−+−+−
−
n
nnn
n
n
CXCCC

n2-nn
33
k
n
C

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP NĂM HỌC 2007 - 2008
TRƯỜNG THPT SƠN DƯƠNG
BÀI TẬP LUYỆN TẬP.
153
)(x xy
+
1221
x y
n
)
x
1
(x +
743
)1(1)(3x-1)-(2xP(x)
+++=
x
Dạng 5:
Bài 11: Chứng minh rằng: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

Bài 12: Tìm hệ số của số hạng chứa

trong khai triển:
Bài 13: Khai triển có tổng các hệ số của ba số hạng đầu là 28. Tìm số

hạng thứ 5 của khai triển đó.
Bài 14: Xét khai triển
a) Tìm hai hạng tử chính giữa.
b) Tính hệ số của hạng tử chứa .
10
)
x
1
-(2x
3
x

1111
15
xC
1111
15
xC
114
5
xC
114
5
xC
8
)
2
1
x
Học sinh làm bài tập trắc nghiệm sau:

Chọn ph\ơng án đúng
1. Khai triển: ( 2x - 1)
5
là:
A. 32x
5
+ 80x
4
+ 80x
3
+ 40x
2
+ 10x + 1;
B. 16x
5
+ 40x
4
+ 20x
3
+ 20x
2
+ 5x + 1;
C. 32x
5
- 80x
4
+ 80x
3
- 40x
2

+ 10x - 1;
D. -32x
5
+ 80x
4
- 80x
3
+ 40x
2
- 10x + 1;
2. Số hạng thứ 12 kể từ trái sang phaicủa khai triển ( 2- x)
15
là:
A. -16
B. 16
C. 2
11
D 2
11
3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ( x +