BT NHI THUC NIU TON

Sử dụng tính chất
1
1
k k k
n n n
C C C
−
+
+ =
Bài 1
Chứng minh
1 2 3
3
3 3 3
k k k k k
n n n n n
C C C C C k n
− − −
+
+ + + = ≤ ≤
Bài 2 .Chứng minh
1 2 3 2 3
2 3
2 5 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
+ + + + +
+ +
+ + + = +
Bài 3. Cho

4 k n≤ ≤
.Chứng minh rằng
1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
− + − −
+
+ + + + =
Bài 4 .Cho
1 m n
≤ ≤
.Chứng minh rằng
1 1 1 1
1 2 1
...
m m m m m
n n n m m
C C C C C
− − − −
− − −
= + + +
1
1
k k k
n n n
C C C
−

+
+ =
1
1 1
k k k
n n n
C C C
−
− −
⇒ = −
Áp dụng
1
1 1
m m m
n n n
C C C
−
− −
= −

1 1
2 1 2
m m m
n n n
C C C
− −
− − −
= −
………………

1
1
m m m
m m m
C C C
−
+
= −
Công theo vế của các bất đẳng thức ta có
1 1 1 1
1 2 1
...
m m m m m m
n n m m n m
C C C C C C
− − − −
− − −
+ + + = −
1 1 1 1
1 2 1
...
m m m m m
n n n m m
C C C C C
− − − −
− − −
= + + +
vì
1
1

1
m m
m m
C C
−
−
= =
Khai triển một biểu thức hoặc ,hai biểu thức bằng hai cách kác nhau sau đó đồng nhất hệ số
Bài 1 .Chứng minh rằng
0 1 1 6 6
6 6 6 6
. . ... .
k k k k
n n n n
C C C C C C C
− −
+
+ + + =
( ) ( )
6
1 . 1
n
x x+ + =
( )
6
1
n
x
+
+ =

so sánh
k
x
Bài 2. Chứng minh
( ) ( ) ( )
2 2 2
0 1
2
...
n n
n n n n
C C C C+ + + =
( ) ( )
0 0
1 . 1
n n
n n
k k k n k
n n
k k
x x C x C x
−
= =
  
+ + =
 ÷ ÷
  
∑ ∑
Hệ số của x
n

là
( ) ( ) ( )
2 2 2
0 1
...
n
n n n
C C C+ + +
( )
2
2
2
0
1
n
n
k k
n
k
x C x
=
+ =
∑
Hệ số x
k
là
2
k
n
C

Bài 3.Chứng minh.
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2
0 1
2
... 1 1
n n
n n
n n n n
C C C C− + + − = −
( ) ( )
( )
2 2
2
2
. 1 . 1
1
n n
n
xet x x
x
+ − =
−
Bai 4.
( ) ( ) ( )
( )
( )

2 2 2 2
2 1
0 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
... 1 0
n
n
n n n n
C C C C
+
+
+ + + +
− + − + − =
Xét
( ) ( ) ( )
2 1 2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
1 . 1 . 1
n n
n n k
k k k k
n n
k o k o
x x C x C x
+ +
+ +
+ +
= =
  

+ − = −
 ÷ ÷
  
∑ ∑
Hệ số của số hạng
2 1n
x
+
Là
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
2 1
0 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
... 1
n
n
n n n n
C C C C
+
+
+ + + +
− + − + −
Ta lại có
( ) ( )
( )
2 1
2 1 2 1

2
1 . 1 1
n
n n
x x x
+
+ +
+ − = −
có hệ số của x
2n+1
bằng o vì đều chứa lũy thừ bậc chẵn
của x vậy
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
2 1
0 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
... 1 0
n
n
n n n n
C C C C
+
+
+ + + +
− + − + − =
Bài 5. Chứng minh rằng
0 1 1 0

. . ... .
p p p p
n m n m n m n m
C C C C C C C
−
+
+ + + =
Xét
( ) ( )
1 1
n m
x x+ +
=
Hệ số của x
p
,1≤p <n ,1≤p<m
Hệ số của x
p
trong khai triển
( )
1
m n
x
+
+
là
Dùng
( ) ( )
2
,

n n
x a x a+ +
Chọn x thích hợp a có sẵn
Bài 1.
1
) ... 2
o n n
n n n
a C C C+ + + =

0 1 1
)9 9 ... 9 10
o n n n
n n n
b C C C+ + + =
Bài 2.Chứng minh
( )
1
... 1 0
n
o n
n n n
C C C− + + − =
Bài 3.Cho khai triển
( )
2
1
n
x+
Biết tổng các hệ số trong khai triển trên bằng 1024 .Tìm n

Bài 4. Chứng minh
0 1 2
2
1 1 1
5 ... 6
5 5 5
n n n
n n n n
n
C C C C
 
+ + + + =
 ÷
 
(1)
( )
1 1 2 2
1 5 5 5 .. 6
n o n n n n
n n n n
C C C C
− −
⇔ + + + + =
( )
0 1 1 1
1 ....
n
n n n n
n n n n
x C x C x C x C

− −
+ = + + + +
Chọn x=5
1 1 2 2
5 5 5 .. 6
n o n n n n
n n n n
C C C C
− −
+ + + + =
Bài 5.Chứng minh
0 2 2 1 3 2 1
2 2 2 2 2 2
... ...
n n
n n n n n n
C C C C C C
−
+ + + = + + +
( )
2
0 1 2 2 2 2
2 2 2 2
1 ...
n
n n
n n n n
x C C x C x C x+ = + + + +
Cho x=-1
Bài 5. Chứng minh rằng

2004 0 2003 1 2003 2004 2004
2004 2004 2004 2004
2004 0 2003 1 1 2003 2003 2004 2004 2004
2004 2004 2004 2004
)3 3 ... 3 4
) 3 3 .4 ... 3.4 4 7
a C C C C
b C C C C
+ + + + =
+ + + + =
a)
( )
2004
1 x+
.Chọn x=3
b)
( )
2004
a b+
.Chọn a=3,b=4
Bài 6. Chứng minh rằng
0 1 1 1 1 1
2 2 .7 ... 2.7 7 9
n n n n n n n
n n n n
C C C C
− − −
+ + + + =
Bài 7. Chứng minh rằng
0 1 1 1 1 2 2 2 2

3 3 5 6 3 5 6 ... 5 6 33
n n n n n n n
n n n n
C C C C
− −
+ + + + =
( )
n
a bx+
a=3,b=5,x=6
Bài 8.Chứng minh rằng
( )
0 2 2 4 4 2000 2000 2000 2000
2001 2001 2001 2001
3 3 ... 3 2 2 1C C C C+ + + + = −
( )
2001
1 x+
Chon x=3
Chọn x=-3 sau đó cộng hai vế
Tìm 1 số hạng hoặc hệ số của một số hạng
Bài 1. a,Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
,
10
1
x
x
 
+

 ÷
 
b. Trong khai triển
28
3
15
n
x x x
−
 
+
 ÷
 
Tìm số hạng không chứa x biết
1 2
79
n n n
n n n
C C C
− −
+ + =
Bài 2. Tìm số hạng x
31
, Trong khai triển
40
2
1
x
x
 

+
 ÷
 
Bài 3.Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
7
3
4
1
x
x
 
+
 ÷
 
Bài 4 Tìm hệ số của số hạng chứa x
43
trong khai triển
21
5
3 2
1
x
x
 
+
 ÷
 
Bài 5.Biết trong khai triển
1
3

n
x
 
−
 ÷
 
Có hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5 Hãy tính số hạng
đứng giữa trong khai triển
Bài 6 Cho khai triển
3
3 2
3
n
x
x
 
+
 ÷
 
.Biết tổng của ba
số hạng đầu itên trong khai triển bằng 631 .Tìm hệ số
của số hạng có chứa x
5

0 1 2
3 9 631
n n n
C C C+ + =
Bài 7.Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển
3

15 28
1
n
x x
x
 
+
 ÷
 
bằng 79 .Tiàm số hạng không
chứa x
Bài 8. Tìm hệ số x
8
trong khai triển :
5
3
1
n
x
x
 
+
 ÷
 
Biết
( )
1
4 3
7 3
n n

n n
C C n
+
+ +
− = +
Bài 9. Biết tổng các hệ số trong khai triển
( )
2
1
n
x+
bằng 1024 .Tìm hệ số của x
12

Bài 10.Biết tổng các hệ số trong khai triển
( )
1 2
n
x+
bằng 6561Tìm hệ số của x
4

Bài 11. tìm hệ số của
6 2
x y
trong khai triển
10
x
xy
y

 
+
 ÷
 
Bài 12.Trong khai triển
(
)
12
2
3
xy xy+
Tìm số hạng chứa x và y sao cho số mũ của x và y
Là các số nguyên dương
Bài 13.Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển
( )
19
3
3 2+
Bài 14.Có bao nhiêu hạng tử là số nguyên trong khai triiển
( )
124
4
3 5+
Bài 15.Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển
( )
125
3
3 7+
Bài 16.Có bao nhiêu hạng tử là số nguyện trong khai triển
( )

64
3
4
7 3−
Bài 16. Khai triển đa thức
( ) ( ) ( ) ( )
9 10 14
14
0 1 14
1 1 ... 1 ...P x x x x A A x A x= + + + + + + = + + +
Tính A
9

Bài 17. Cho khai triển :
1
3
2
2 2
n
x
x
−
−
 
+
 ÷
 
Biết
3 1
5

n n
C C=
và số hạng thứ 4 bằng 20n .Tìm x và n
Bài 18. Trong khai triển :
3
3
n
a b
b a
 
+
 ÷
 ÷
 
tìm số hạng chứa a,b có số mũ bằngnhau
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển
Bài 1.Cho khai triển
( )
101
1 x+
Trong các hệ số của các số hạng .Tìm hệ số lớn
nhất
Hệ số của số hạng tổng quát
1
k
k n
T C
+
=

0 101k
≤ ≤
Xét
( )
( ) ( )
1 101
1
101
101!
!. 101 !
101!
1 ! 102 !
k
k
k
k
k k
T C
T C
k k
+
−
−
= =
− −
1
102
1 0 51
k
k

T
k
k
T k
+
−
= ≥ ⇔ ≤ ≤
k=51
51
101
C
Bài 3. Cho khai triển .
( )
30
1 2x+
.Tìm hệ số lớn
nhất trong các hệ số
1
1 30
30
30
2 1 0 19
1
k
k
k
k
T C
k
k

T C k
+
+
−
= = ≥ ⇔ ≤ ≤
+
Bài 4.Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển
40
1 2
3 3
x
 
+
 ÷
 