Chuyên đề chuyên môn: Phương trình . ..

Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
PHẦN THỨ NHẤT:
MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong thời kì cả nước đang tiến nhanh trên con đường công nghiệp hoá, hiện đại
hoá đất nước. Song song với sự phát triển mạnh mẽ về các lĩnh vực kinh tế, xã hội, công
nghệ thông tin,… Sự nghiệp giáo dục cũng đang được đổi mới và phát triển không
ngừng, nhất là đổi mới về phương pháp dạy học (PPDH) - một vấn đề đang được đề cập,
nghiên cứu và bàn luận sôi nổi. Đặc biệt, đối với bộ môn toán là một bộ môn khoa học
trừu tượng nhưng có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong việc đổi mới PPDH nói chung và
dạy toán trong nhà trường THCS nói riêng đã được định hướng pháp chế hoá trong luật
giáo dục đó là: “PPDH phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS, phù
hợp với đặc điểm của từng lớp, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận
dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập
cho HS,…”. Giúp HS hướng tới học tập chủ động, sáng tạo, chống lại thói quen học tập
thụ động vốn có của đa số HS trong nhà trường THCS.
Trong quá trình giảng dạy việc đánh giá chất lượng, năng lực tư duy, hay khả
năng tiếp thu kiến thức của HS đối với bộ môn toán chủ yếu thông qua giải bài tập.
Thông qua việc giải bài tập nhằm củng cố hoàn thiện kh¾c sâu nâng cao (mức độ cho
phép) những nội dung kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng, thuật giải, nguyên t¾c giải
toán. Đối với HS lớp 9 ngoài việc truyền đạt cho HS những kiến thức, kĩ năng toán học
theo yêu cầu của nội dung chương trình giáo khoa đại trà chúng ta còn rất cần đầu tư bồi
dưỡng cho một bộ phận HS khá, giỏi đây là một việc rất cần thiết và phải được tiến hành
thường xuyên ở trong các nhà trường thcs. Nhằm tạo điều kiện để cho HS phát huy
được năng lực trí thông minh sáng tạo, giúp nâng cao chất lượng mũi nhọn, bồi dưỡng
đội ngũ HSG các cấp, phát triển nhân tài cho đất nước.
Một trong những vấn đề kiến thức quan trọng đối với HS lớp 9 cần nắm vững đó
là giải bài tập về “Giải phương trình” nhưng nội dung chương trình sách giáo khoa lớp 9
môn đại số mới chỉ quan tâm hướng dẫn HS cách giải phương trình bậc hai, những
phương trình có thể quy về phương trình bậc hai để giải còn ít dạng, bài tập còn ít và dễ
1

Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
do các yêu cầu về nội dung chương trình khung của Bộ giáo dục đào tạo đã đề ra. Chưa
đáp ứng được yêu cầu học tập nâng cao tri thức kĩ năng của những em HS có năng lực
học tập khá, giỏi. Vì vậy, chúng ta cần quan tâm đến việc hướng dẫn, bồi dưỡng cho HS
lớp 9 cách giải các phương trình có thể quy về phương trình bậc hai. Những phương
trình quy về phương trình bậc hai này không mới, nhưng nó có thể mới với nhiều thầy
cô, nhất là đối với các em HS. Bởi vì dạy giải những phương tr×nh quy về phương trình
bậc hai là vấn đề dạy giải các bài tập có đặc thù riêng. Lí thuyết chỉ dạy về phương trình
bậc hai nhưng ở đây dạy giải những phương trình ở các dạng khác có thể đưa về phương
trình trung gian là những phương trình bậc hai thường gặp trong chương trình lớp 9,
những bài toán hay và khó đặc biệt thường gặp trong việc thi chọn HSG, thi vào trường
chuyên.
Về hệ thống bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai trong SGK và
SBT có nhiều đề cập tới nhưng chưa nhiều, chưa đa dạng, chưa có sự hướng dẫn cụ thể
nên chưa thực sự thuận lợi cho người dạy và người học tiếp thu và nghiên cứu.
Với sự xác nhận đúng đắn mục tiêu, nội dung chương trình dạy học của môn Đ¹i
số 9. Kết hợp với sự tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp, tổ khoa học tự nhiên trường
THCS Yên Bình xây dựng chuyên đề “Hướng dẫn HS giải một số dạng phương trình
quy về phương trình bậc hai”. Chuyên đề này hi vọng có thể làm tài liệu nghiên cứu,
tham khảo cho GV và HS, giúp người thầy đổi mới PPDH, giúp các em HS tự tin và
thêm yêu môn toán và học toán ngày càng có kết quả tốt hơn.
II. MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. MỤC TIÊU:
-Về giáo dục: Đóng góp tích cực vào việc cải tiến, đổi mới phương pháp là phát
huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của HS.
-Về toán học: Góp phần rèn luyện các hoạt động trí tuệ của HS như phân tích,
tổng hợp, so sánh Tạo cho HS niền hứng thú say mê tìm tòi khai thác khám phá những
vấn đề mới trong toán học. Đóng góp một phần vào nguồn tư liệu tham khảo tri thức
toán học.
2

Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
-Về chuyên đề: Nhằm hệ thống hoá, phân loại các dạng phương trình quy về
phương trình bậc hai. Giúp HS biết cách giải một số dạng phương trình đặc biệt, thường
gặp bằng cách quy về phương trình bậc hai. Từ đó thấy được cái hay cái đẹp của toán
học nói chung và bộ môn đại số nói riêng.
2. NHIỆM VỤ:
Với mục đích là hướng dẫn HS cách giải phương trình quy về phương trình bậc
hai nên xuyên suốt quá trình nghiên cứu nhiệm vụ được đề ra như sau:
- Trên cơ sở những bài tập trong SGK, nghiên cứu tham khảo thêm các tài liệu, sách bồi
dưỡng để hệ thống, tìm tòi bổ sung thêm một số dạng bài tập, để sắp xếp ra thành hệ
thống bài tập cho phần dạy phương trình quy về phương trình bậc hai, sử dụng bồi
dưỡng nâng cao kiến thức cho HS THCS.
- Nghiên cứu xác định nội dung kiến thức cơ bản cần thiết để giảng dạy.
- Dựa vào căn cứ yêu cầu, lựa chọn hệ thống bài tập phục vụ cho việc giảng dạy nói
chung.
- Nghiên cứu tìm ra phương pháp giải cơ bản, dễ hiểu khoa học, chính xác mẫu mực cho
HS noi theo.
- Rèn luyện cho HS nề nếp học tập có tính khoa học, rèn luyện các thao tác tư duy,
phương pháp học tập chủ động, tích cực, sáng tạo. Cũng thông qua đó giáo dục cho HS
giá trị đạo đức, tư tưởng, lối sống phù hợp với mục tiêu, giúp trau dồi cho các em các
kiến thức phổ thông cơ bản gắn với cuộc sống cộng đồng và thực tiễn địa phương, có kĩ
năng vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc sống giải quyết một số vấn đề
thường gặp trong cuộc sống của bản thân, gia đình và cộng đồng. Đồng thời giúp các em
tự tin giải toán trong các kì thi cử.
3. PHƯƠNG PHÁP:
Trong quá trình nghiên cứu chuyên đề “Hướng dẫn học sinh giải một số dạng
phương trình quy về phương trình bậc hai”, chúng tôi đã sử dụng các phương pháp
sau:
- Nghiên cứu lí luận
- Tham khảo thu thập tài liệu

3
Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
- Thông qua các hoạt động học tập của HS “Cách tốt nhất để hiểu là làm” (theo Kant).
Tự lực khám phá những điều mình chưa biết làm phát huy tính tích cực chủ động của
HS.
- Phân tích tổng kết kinh nghiệm.
- Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra kết quả HS, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra
trực tiếp thông qua các giờ học, theo dõi quá trình học tập tiếp thu kiến thức của HS, từ
đó điều chỉnh và sử dụng linh hoạt các PPDH.
- Trưng cầu, tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp nhất là những GV trực tiếp giảng
dạy toán lớp 9 để hoàn thiện thêm kiến thức, phương pháp.
III. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
1. ĐỐI TƯỢNG:
HS lớp 9 - Trường THCS Yên Bình – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc.
2. PHẠM VI:
- Giới hạn ở vấn đề hướng dẫn HS giải các phương trình cơ bản, một số phương trình
bậc cao (một số dạng đặc biệt, thường gặp trong chương trình THCS) có thể quy được
về phương trình bậc hai để giải.
- Chuyên đề cũng chỉ đề cập nghiên cứu đối với các phương trình một ẩn số.
4
Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
PHẦN THỨ HAI:
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
A. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
Với xu thế phát triển của xã hội nói chung và sự phát triển của khoa học nói riêng
con người cần phải có một tri thức, một tư duy nhạy bén để nắm bắt và sử dụng những
tri thức đó trong cuộc sống hằng ngày. Muốn có những tri thức đó con người cần phải
học mà nhà trường là nơi cung cấp hành trang đó. Nếu “Toán học là một môn thể thao
của trí tuệ” thì công việc của người dạy toán là tổ chức hoạt động trí tuệ ấy. Có lẽ không
có môn học nào thuận lợi hơn môn toán trong công việc đầy hứng thú và khó khăn ấy.

Trong chương trình toán THCS, với sự đa dạng của các loại phương trình thì việc
hệ thống, tổng hợp, xâu chuỗi, phân loại các dạng phương trình là rất cần thiết và là một
vấn đề rất quan trọng.
Với thời lượng ít ỏi dành cho một tiết luyện tập thì việc hướng dẫn cho HS cách
giải phương trình quy về phương trình bậc hai là rất khó khăn. Vì vậy giáo viên thường
ít quan tâm hướng dẫn HS giải phương trình quy về phương trình bậc hai đặc biệt là các
phương trình bậc cao, phương trình có dạng đặc biệt.
Qua quá trình công tác, giảng dạy và bồi dưỡng HSG tôi thấy:
Đa số HS biết rất ít các dạng phương trình có thể quy về phương trình bậc hai để
giải. Từ đó dẫn đến không hứng thú, thậm trí còn ngại và “sợ” khi gặp dạng toán giải
phương trình.
HS yếu toán nói chung và yếu giải phương trình, đặc biệt là yếu về giải phương
trình quy về phương trình bậc hai nói riêng chủ yếu là do kiến thức còn hổng, lại lười
học, lười suy nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập.
Không ít HS thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp,
chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao.
Học không đi đôi với hành, làm cho bản thân HS ít được củng cố và khắc sâu
kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới. Do đó năng
lực cá nhân không được phát huy hết.
5
Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
Một số GV chưa thực sự quan tâm đến việc hệ thống, hướng dẫn HS giải các loại
phương trình quy về phương trình bậc hai.
Việc tổng hợp, hệ thống hoá được các loại phương trình quy về phương trình bậc
hai và hướng dẫn HS giải sẽ giúp cho HS nẵm vững được một dạng bài tập toán quan
trọng trong chương trình toán THCS, nhất là với HS lớp 9 chuẩn bị thi vào lớp 10. Quan
trọng hơn là nâng cao được tư duy cho các em HS, giúp HS có hứng thú hơn khi học
toán.
Trước thực trạng trên đòi hỏi người giáo viên phải hướng dẫn HS giải và hệ thống
được các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai để khắc phạc các điểm yếu của

HS, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, đáp ứng yêu cầu và mục tiêu giáo dục.
B. NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ:
I. CÁC YÊU CẦU VÀ CĂN CỨ LỰA CHỌN HỆ THỐNG BÀI TẬP:
1. Các yêu cầu của việc lựa chọn hệ thống bài tập:
1.1. Hệ thống bài tập đưa ra phải đầy đủ, hợp lí, phải làm cho HS nắm vững bản chất
các kiến thức đã học, rèn luyện cho HS khả năng độc lập trong suy nghĩ, sáng tạo và khả
năng suy luận.
- Hệ thống bài tập đầy đủ là hệ thống không những đầy đủ về nội dung mà còn phải đầy
đủ về loại hình.
- Các bài tập đưa ra cả đơn giản lẫn phức tạp. Có bài thuần tuý toán học và có cả những
bài mang nội dung thực tế.
1.2. Hệ thống bài tập phải đảm bảo tính mục đích của việc dạy học.
- Hệ thống bài tập chọn phải củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản - vì kiến thức cơ bản là
cơ sở để giải quyết nh÷ng vấn đề có liên quan. Có nắm vững kiến thức cơ bản mới có
hướng để vận dụng vào thực tế giải bài tập.
- Hệ thống bài tập phải đảm bảo trang bị kiến thức cho HS một cách có hệ thống, chính
xác. Góp phần rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho HS.
6
Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
- Hệ thống bài tập chọn phải có tác dụng giáo dục tư tưởng cho HS, giúp HS thấy rõ vai
trò của toán học với thực tiễn, làm cho HS yêu thích và có hứng thú học tập đối với môn
toán.
1.3. Hệ thống bài tập phải đảm bảo yêu cầu vừa sức, phù hợp với đối tượng HS. Phải
làm cho HS thấy cần thiết và có khả năng giải các bài tập đã ra. Nếu ra bài tập quá khó
sẽ gây tâm lí lo ngại cho HS. Vì vậy, khi ra bài tập để áp dụng cho phù hợp, chúng ta có
thể chia ra thành 3 loại bài tập sau:
Loại 1: Bài tập có tính chất củng cố lí thuyết. Loại bài này đòi hỏi tư duy ít phức tạp.
Loại bài tập này nên ra với HS trung bình, yếu.
Loại 2: Bài tập có sự vận dụng bước đầu các hình thức tư duy, áp dụng lí thuyết có tính
chất phức tạp không nhiều nhưng cũng không quá đơn giản. Loại này thường ra với HS

trung bình, khá.
Loại 3: Loại bài tập có tính phức tạp hơn, đòi hỏi các thao tác tư duy khéo léo, mềm dẻo
hơn, sử dụng lí thuyết phức tạp thường là không trực diện. Loại bài này thường ra đối
với đối tượng HS khá, giỏi, HS lớp chọn, lớp chuyên.
1.4. Hệ thống bài tập phải đảm bảo yêu cầu cân đối: Cân đối về thời gian với hoàn
cảnh, quy định của chương trình, nhưng sao cho học sinh phải nỗ lực mới hoàn thành
được. Đồng thời nên giao cho HS những bài tập có gắn với thực tiễn (Ví dụ như bài toán
về dân số, lãi suất, năng suất công việc,…).
1.5. Phải phát huy được năng lực tư duy của HS, lựa chọn những loại bài tập mà HS
phải tư duy suy nghĩ, tìm tòi mới ra hướng giải.
2. Các căn cứ lựa chọn hệ thống bài tập:
2.1. Căn cứ vào mục đích dạy học:
Với bài tập về phương trình bậc hai giúp HS giải tốt phương trình bậc hai, biết
cách đưa các phương trình bậc cao hoặc các dạng khác về phương trình bậc hai trung
gian.
Bồi dưỡng cho HS những kỹ năng và thói quen giải bài toán trong thực tế. Giúp
cho HS phát huy, phát triển tư duy ở khía cạnh tính toán biến đổi, có những thao tác tư
duy mềm dẻo.
7
Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
2.2. Dựa vào tình hình dạy và học ở trường THCS:
- Dựa vào tình hình dạy và học ở trường THCS về năng lực nổi lên rất rõ: số HS học
chuyên, chăm chỉ chiếm tỉ lệ không lớn, số HS khá giỏi không nhiều. Hơn nữa ở những
nơi có điều kiện tự học và học thêm thì có chất lượng học tập cao hơn.
- Căn cứ vào thực tế dạy học phần này ở THCS chưa nhiều. Đội ngũ GV chưa được
nghiên cứu thường xuyên.
- Về hệ thống bài tập của SGK, SBT chưa đáp ứng được nhu cầu học tập, giảng dạy
của GV và HS. Khi soạn giảng phần này đòi hỏi GV phải tự tìm tòi tài liệu, biên soạn
lấy bài tập vì thế nội dung giảng dạy chưa thống nhất chung được.
- SGK và chương trình hiện hành đã đưa ra cho HS một số loại phương trình quy về

phương trình bậc hai nhưng mới chỉ dừng lại ở việc nhận dạng, biết giải các phương
trình đơn giản ở diện HS đại trà.
- Căn cứ vào tình huống dạy học: Bài tập của mỗi tiết học phải đảm bảo phù hợp với
đặc điểm của tiết học ấy. Chẳng hạn mới học xong lí thuyết ta có thể đưa ra cho HS
những bài tập áp dụng đơn giản trực tiếp về những phương trình có thể quy về phương
trình bậc hai như: phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình trùng phương, phương
trình vô tỷ
II. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ KĨ NĂNG CẦN THIẾT
1. Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
2. Các quy tắc tính toán, biến đổi biểu thức đại số.
3. Kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
4. Hai quy tắc cơ bản biến đổi tương đương phương trình:
a, Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này
sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
b, Quy tắc nhân với một số:
-Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
-Hoặc: Trong một phương trình, ta có thể chia cả hai vế cho cùng một số khác 0.
*Chú ý: Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hoặc quy tắc nhân với một số,
ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
8
Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
5. Các phép biến đổi phương trình khác:
Muốn giải phương trình, ta phải biến đổi phương trình đó thành các phương trình
tương đương với nó. Tuy nhiên, nhiều khi để giải phương trình, ta phải thực hiện những
phép biến đổi khác. Do đó cần chú ý có những phép biến đổi có thể làm mất nghiệm
hoặc làm xuất hiện thêm nghiệm (nghiệm ngoại lai) của phương trình. Các phép biến đổi
không tương đương đó cùng với cách giải quyết được hệ thống ở bảng sau:
Những phép biến đổi
không tương tương
Cách giải quyết

Phép biến đổi
có thể làm xuất hiện
nghiệm ngoại lai
Bỏ đi ở 2 vế của phương trình
cùng một phân thức mà mẫu
chứa ẩn
Phải đặt ĐK cho phân thức
có nghĩa (tìm ĐKXĐ của
phương trình), hoặc thử lại
giá trị tìm được của ẩn
Nhân 2 vế của phương trình
với cùng một đa thức chứa ẩn
Phải đặt ĐK cho đa thức
khác 0, hoặc thử lại giá trị
tìm được của ẩn
Bình phương (hoặc lấy luỹ
thừa chẵn) 2 vế của phương
trình
Phải thử lại giá trị tìm
được của ẩn
Phép biến đổi
có thể làm mất nghiệm
Chia 2 vế của phương trình cho
cùng một đa thức chứa ẩn
Phải đặt ĐK cho đa thức
khác 0, rồi xét trường hợp
đa thức bằng 0, hoặc đưa
về phương trình tích
Bỏ luỹ thừa chẵn (hoặc khai
căn bặc chẵn) của phương trình

dạng [f(x)]
2n
= [g(x)]
2n
thành
f(x) = g(x)
Phải thay bằng 2 phương
trình
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
=


= −

, hoặc
đưa về phương trình tích.
6. Kĩ năng giải phương trình dạng ax + b = 0 và phương trình bậc hai một ẩn.
7. Phép biến đổi, đặt ẩn phụ với biểu thức đại số và khi giải phương trình.
III. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP CÓ THỂ QUY VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:
9
Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
Ta thường gặp một số dạng phương trình có thể quy về phương trình bậc hai để
giải sau đây:
Dạng 1. Phương trình tích.
Dạng 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Dạng 3. Phương trình trùng phương.

Dạng 4. Phương trình dạng: a[f(x)]
2
+ bf(x) + c = 0 hoặc
( ) ( )
. . 0
( ) ( )
f x g x
a b c
g x f x
+ + =
.
Dạng 5. Phương trình dạng (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c.
Dạng 6. Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, trong đó: a+b = c+d, m
≠
0.
Dạng 7. Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx
2
, trong đó: ab = cd, m
≠
0.
Dạng 8. Phương trình đối xứng
Dạng 9. Phương trình hồi quy.
IV. CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2:
1. Phương trình tích : là phương trình có một vế bằng không, vế còn lại là một tích của
các nhân tử chứa ẩn.
1.1. Cách giải: Áp dụng công thức:

1
2
1 2
( ) 0 (1)
( ) 0 (2)
( ). ( ) ( ) 0

( ) 0 ( )
n
n
A x
A x
A x A x A x
A x n
=


=

= ⇔


=

(Trong đó:
1 2
( ), ( ), , ( )
n
A x A x A x
là các đa thức bậc không lớn hơn 2).

Ta giải n phương trình (1), (2), . . ., (n) rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.
1.2. Ví dụ 1 (Bài 36, trang 56 SGK Toán 9): Giải các phương trình
a) (3x
2
- 5x + 1)(x
2
- 4) = 0 b) (2x
2
+ x - 4)
2
= 4x
2
– 4x + 1
Giải:
a) (3x
2
- 5x + 1)(x
2
- 4) = 0
2
2
x - 4 = 0
3x - 5x + 1 0

⇔

=

⇔






±
=
±=
6
135
2
x
x
10
Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S =
5 13 5 13
2;2; ;
6 6
 
− +
 
−
 
 
 
b) (2x
2
+ x - 4)
2
= 4x

2
– 4x + 1
⇔
(2x
2
+ x - 4)
2
- (2x - 1)
2
= 0
⇔
(2x
2
+ x – 4 + 2x - 1)(2x
2
+ x – 4 - 2x + 1) = 0
⇔
(2x
2
+ 3x - 5)(2x
2
- x - 3) = 0
⇔
2
2
2x +3x - 5 = 0 (1)
2x - x - 3 = 0 (2)




Giải các phương trình (1) và (2) ta được x
1
= 1; x
2
= -2,5; x
3
= -1; x
4
= 1,5
Vậy S =
{ }
1 2 3 4
x = 1; x = -2,5; x = -1; x = 1,5
1.3. Nhận xét:
- Loại phương trình này các em HS đã được làm quen từ lớp 8 - THCS. Lên lớp 9, sau
khi học xong về phương trình bậc hai một ẩn, để giải một phương trình bậc cao (bậc lớn
hơn 2), đối với HS THCS thường dùng phương pháp biến đổi đưa về phương trình tích.
Muốn vậy HS phải có kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử (chỉ cần phân tích thành
tích các nhân tử bậc nhất hoặc bậc hai).
- Chú ý tới các tính chất của phương trình bậc ba: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
Nếu a + b + c + d = 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1
Nếu a – b + c – d = 0

thì phương trình có một nghiệm x = -1.
- Đa thức bậc n có các hệ số nguyên. Nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải
là ước của hệ số tự do (Định lí về sự tồn tại của nghiệm nguyên của phương trình với hệ

số nguyên).
Khi đã nhận biết được nghiệm (chẳng hạn x = x
0
), ta phân tích được vế trái của
phương trình thành nhân tử (chứa một nhân tử là x – x
0
).
*Ví dụ 2. Giải phương trình:
3 2
2 7 3 8 0x x x+ − − =
(*)
Hướng dẫn: Chú ý 2 – 7 + (- 3) – (- 8) = 0 => (*) có một nghiệm là x = -1, từ đó
phân tích được:
( ) ( )
3 2 3 2 2
2 7 3 8 2 2 5 5 (8 8)x x x x x x x x+ − − = + + + − +
2
2 ( 1) 5 ( 1) 8( 1)x x x x x= + + + − +

( )
( )
2
1 2 5 8x x x= + + −
.
11
Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm: x
1
= -1;
2 3

5 89 5 89
;
4 4
x x
− + − −
= =
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Loại phương trình này, HS cũng đã được làm quen từ lớp 8 và đây cũng là một
dạng phương trình thường gặp trong chương trình toán THCS.
2.1. Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường giải theo 4 bước sau:
Bước 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình;
Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức;
Bước 3. Giải phương trình nhận được;
Bước 4. Kết luận: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn
ĐKXĐ, các giá trị thoả mãn ĐKXĐ là nghiệm của phương trình đã cho.
2.2. Ví dụ: Giải phương trình:
2
2
3 1 2
2 2 1 1
x x
x x x
+
− =
− + −
(*)
Giải:
- ĐKXĐ: x
≠
±

1.
- Khi đó (*)
⇔
2
3 1 2
2( 1) 1 ( 1)( 1)
x x
x x x x
+
− =
− + − +
⇒
2
3 ( 1) 2( 1) 2( 2)x x x x+ − − = +

⇔

2 2
3 3 2 2 2 4x x x x+ − + = +
⇔

2 2
3 3 2 2 2 4 0x x x x+ − + − − =

⇔

2
2 0x x+ − =
(**)
Giải phương trình (**), ta được x

1
= 1 (không thoả mãn ĐKXĐ)
x
2
= - 2 (thoả mãn ĐKXĐ).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = - 2
2.3. Lưu ý:
+ Trong thực hành, cần luôn lưu ý việc kiểm tra giá trị tìm được của ẩn (sau bước 3).
Một phương trình chứa ẩn ở mẫu sẽ vô nghiệm nếu ở bước 3 không tìm được giá trị của
ẩn và cũng sẽ vô nghiệm nếu các giá trị tìm được ở bước 3 đều không thoả mãn ĐKXĐ.
12
Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
+ Cách giải trên là cách giải thường dùng nhưng chỉ nên áp dụng với các phương trình
mà sau khi ta quy đồng, khử mẫu 2 vế thì được phương trình bậc không lớn hơn 2,
không phức tạp. Đối với một số dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu đặc biệt, ta phải dùng
phương pháp đặt ẩn phụ để giải.
Ví dụ: Giải phương trình:
2 2
2 3
2 3 1 2 1 2
x x
x x x x
−
− =
− + + +
Giải: -ĐKXĐ:
1
1;
2
x x

≠ ≠
.
-Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia cả tử và mẫu của mỗi
phân thức cho x
≠
0, ta được:
2 1 3
1 1
2
2 3 2 1x x
x x
−
− =
− + + +
-Đặt
1
2x
x
+
= t, phương trình trở thành:
2 1 3
3 1 2t t
−
− =
− +
(*) (ĐK: t
≠
- 1; t
≠
3)

=> 4t + 4 – 2t + 6 = -3(t
2
– 2t – 3)
<=> 3t
2
- 4t + 1 = 0 <=> t
1
= 1; t
2
=
1
3
(đều thoả mãn ĐK của t)
-Với t
1
= 1, ta có:
1
2x
x
+
= 1 (vô nghiệm) ; với t
2
=
1
3
, ta có:
1
2x
x
+

=
1
3
(vô nghiệm).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
*Chú ý : Dùng phương pháp giải ở trên, chúng ta cũng giải được các phương trình
có dạng sau : Dạng 1:
2 2
mx nx
c
ax px b ax qx b
+ =
+ + + +

Dạng 2:
2 2
2 2
0
ax mx b ax nx b
ax px b ax qx b
+ + + +
+ =
+ + + +
Dạng 3:
2
2 2
0
ax mx b nx
ax px b ax qx b
+ +

+ =
+ + + +
3. Phương trình trùng phương:
3.1. Định nghĩa: Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax
4
+ bx
2
+ c = 0,
trong đó a, b, c là các số cho trước, a
≠
0.
13
Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
3.2. Cách giải:
• Khi giải dạng phương trình này, ta thường đưa về phương trình bậc hai bằng cách
đặt ẩn phụ x
2
= t (t
≥
0), ta có phương trình bậc hai trung gian : at
2
+ bt + c = 0
• Giải phương trình bậc hai trung gian này, rồi sau đó trả biến: x
2
= t. Nếu những
giá trị tìm được của t thoả mãn t
≥
0, ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình
ban đầu.
3.3. Ví dụ:

*Ví dụ 1: Giải phương trình:
4 2
3 2 1 0 x x− − =
(1)
Giải:
Đặt x
2
= t, ĐK: t
≥
0. Phương (1) trở thành 3t
2
- 2t - 1 = 0 (1’)
Giải (1’) ta được: t
1
= 1 (thoả mãn ĐK); t
2
=
1
3
(thoả mãn ĐK)
Với t
1
= 1 => x
2
= 1 => x =
±
1;
Với t
2
=

1
3
=> x
2
=
1
3
=> x =
±
1
3
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm
1 2 3 4
1 1
1; 1; ;
3 3
x x x x= = − = = −
*Ví dụ 2: Giải phương trình:
4 2
3 10 3 0x x+ + =
(2)
Giải:
Đặt x
2
= t, ĐK: t
≥
0, ta có phương trình
2
3 10 3 0t t+ + =
⇔

(đều không
thoả mãn ĐK). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
-Chú ý: Có thể giải bằng cách đánh giá 3x
4
+ 10x
2
+ 3
≥
3 với mọi x => (2) vô nghiệm.
*Ví dụ 3: Giải phương trình:
2
2
7
2 1 4x
x
+ = −
(2)
Giải:
- ĐKXĐ: x
≠
0.
- Khi đó, từ (2)
4 2 2
2 7 4x x x
⇒ + = −

⇔
2x
4
+ 5x

2
- 7 = 0
Đặt x
2
= t, ĐK: t
≥
0, ta được phương trình 2t
2
+ 5t - 7 = 0
Có: 2 + 5 - 7 = 0 nên t
1
= 1 (thoả mãn ĐK); t
2
=
2
7
−
(không thoả mãn ĐK)
Với t
1
= 1
⇒
x
2
= 1
⇒
x
1
= 1 ; x
2

= -1.
14
1
3
3
t
t

= −


= −

Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là: x
1
= 1; x
2
= - 1
3.4. Nhận xét : Về số nghiệm của phương trình trùng phương, ta thấy:
+ Phương trình trùng phương vô nghiệm khi: Phương trình bậc hai trung gian vô
nghiệm, hoặc khi phương trình bậc hai trung gian không có nghiệm không âm.
+ Phương trình trùng phương có nghiệm khi: Phương trình bậc hai trung gian có nghiệm
không âm.
+ Phương trình trùng phương có 4 nghiệm phân biệt (khi đó 2 cặp nghiệm luôn đối
nhau) khi phương trình bậc hai trung gian có 2 nghiệm dương phân biệt.
+ Phương trình trùng phương có 3 nghiệm phân biệt (1 nghiệm luôn bằng 0 và 2 nghiệm
còn lại đối nhau) khi phương trình bậc hai trung gian có 1 nghiệm bằng 0 và một nghiệm
dương.
4. Phương trình dạng: a[f(x)]

2
+ bf(x) + c = 0 (hoặc
( ) ( )
. . 0
( ) ( )
f x g x
a b c
g x f x
+ + =
) với a
≠
0:
4.1. Cách giải:
+Tìm ĐKXĐ của phương trình (nếu cần).
+Đặt f(x) = t (hoặc tương ứng
( )
( )
f x
g x
= t). Ta có phương trình: at
2
+ bt + c = 0 (**)
+Giải phương trình (**) bậc hai (ẩn t)
+Trả biến và giải tiếp phương trình f(x) = t rồi kết luận.
4.2. Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a,
2 2 2
3( ) 2( ) 1 0x x x x+ - + - =
b,
2 2 2

( 4 2) 4 4 0x x x x- + + - - =
c,
5 2 3
6. 3
2 3
x x
x x
+
+ = −
+
Giải
a,
2 2 2
3( ) 2( ) 1 0x x x x+ - + - =

Đặt
2
x x t+ =
, ta có:
2
3 2 1 0t t- - =

1
2
1
1
3
t
t
=



⇔
−

=

Với t
1
= 1, ta có:
15
2 2
1 2
1 1 0
1 5 1 5
;
2 2
x x x x
x x
+ = Û + - =
- + - -
= =
Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
Với t
2
=
1
3
-
ta có

2
1
3
x x+ =-
<=>
2
1
0
3
x x+ + =
, phương trình này vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
1 2
1 5 1 5
;
2 2
x x
- + - -
= =
b,
2 2 2
( 4 2) 4 4 0x x x x- + + - - =
Đặt
2
4 2x x t- + =
, ta có phương trình
2
6 0t t+ - =
, giải ra ta được t
1

= 2; t
2
= - 3.
Với t
1
= 2, ta có:
2
4 2 2x x- + =

⇔
2
4 0x x- =



=
=
⇔
4
0
x
x
Với t
2
= -3, ta có :
2
4 2 3x x- + =-
<=>
2
4 5 0x x- + =

, phương trình này vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x
1
= 0; x
2
=4.
c,
5 2 3
6. 3
2 3
x x
x x
+
+ = −
+
-ĐKXĐ:
3
0;
2
x x
−
≠ ≠
.
-Đặt
2 3
x
x +
= t (với t
≠
0) =>

2 3 1x
x t
+
=
, phương trình đã cho trở thành:
2
6
5 3 5 3 6 0t t t
t
+ = − ⇒ + + =
. Phương trình này vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
4.3. Nhận xét:
- Nhờ phép biến đổi và bằng cách đặt ẩn phụ, ta đưa được phương trình về dạng phương
trình bậc hai mà ta đã biết cách giải: at
2
+ bt + c = 0
Tuy nhiên có một số phương trình phải qua một số bước biến đổi mới xuất hiện dạng
tổng quát (như trong ví dụ trên).
- Cũng như một số loại phương trình khác đã giới thiệu ở trên, số nghiệm của phương
trình ban đầu phụ thuộc vào nghiệm của phương trình bậc hai trung gian.
- Phương trình trùng phương (cũng như phương trình bậc hai một ẩn) là những dạng đặc
biệt của phương trình: ax
2n
+ bx
n
+ c = 0, trong đó: a
≠
0; n nguyên dương (còn gọi là
phương trình tam thức). Các phương trình này cũng chỉ là dạng đặc biệt của phương

trình:
16
Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
a[f(x)]
2
+ bf(x) + c = 0, ở đây f(x) = x
n
.
+Ví dụ 1: Giải phương trình: x
6
- 7x
3
– 8 = 0
Giải : Đặt x
3
= t, ta có: t
2
- 7t – 8 = 0
Vì 1 - (- 7) – 8 = 0 nên t
1
= - 1; t
2
= 8
Với t = t
1
= - 1, ta có x
3
= - 1 <=> x
1
= - 1

Với t = t
2
= 8, ta có x
3
= 8 <=> x
2
= 2.
Vậy phương trình có hai nghiệm là x
1
= - 1; x
2
= 2.
+Ví dụ 2: Giải phương trình: x
2008
- 10x
1004
+ 9 = 0
Giải : Đặt x
1004
= t (ĐK: t
≥
0), ta có phương trình: t
2
- 10t + 9 = 0
Vì: 1 - 10 + 9 = 0 nên t
1
= 1; t
2
= 9 (đều thoả mãn ĐK)
Với t

1
= 1 thì x
1004
= 1 => x
1
=1; x
2
= - 1
Với t
2
= 9 thì x
1004
= 9 =>
1004
4
1004
3
9;9 −== xx
Vậy phương trình có 4 nghiệm là x
1
= 1; x
2
= - 1;
1004 1004
3 4
9; 9x x
= = −
+Ví dụ 3: Giải phương trình
4 3 2
6 5 12 3 0 (1)x x x x+ + - + =

Giải:
Biến đổi vế trái của phương trình ta có:
VT =
4 3 2
6 5 12 3x x x x+ + - +
=
4 3 2 2
6 9 4 12 3x x x x x+ + - - +
=
2 2 2
( 3 ) 4( 3 ) 3x x x x+ - + +
Vậy phương trình (1)
⇔
2 2 2
( 3 ) 4( 3 ) 3 0x x x x+ - + + =
Đặt
2
3x x t+ =
, ta được phương trình bậc hai:
2
4 3 0t t- + =
 dễ dàng làm tiếp.
Kết luận : Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là
1
3 13
x
2
− +
=
;

2
3 13
x
2
− −
=
;
3
3 21
x
2
− +
=
và
4
3 21
x
2
− −
=
5. Phương trình dạng (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c:
5.1. Cách giải:
- Nhìn chung đối với phương trình dạng này, nếu ta khai triển vế trái thì sẽ được một
phương trình bậc bốn đầy đủ > sẽ khó khăn để giải tiếp.
17
Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2

- Ta giải bằng phương pháp đổi biến:
Đặt
;
2 2 2 2
a b a b a b a b
t x x a t a t x b t
+ + − −
= + ⇒ + = − + = + + = −
Thay vào và biến đổi, ta được phương trình:
2 4
4 2
2 12. . 2. 0
2 2
a b a b
t t c
− −
   
+ + − =
 ÷  ÷
   

Đây là phương trình trùng phương ẩn t > đã biết cách giải ở trên.
5.2. Ví dụ: Giải phương trình
( ) ( )
8246
44
=−++
xx
(1)
Đặt

Ta có:
Đặt t
2
= v (ĐK: v
≥
0).
Phương trình (1’) trở thành:
1
75 71
4
1
v
− +
⇒ = = −
(không thoả mãn ĐK)
và
2
75 71
146
1
v
− −
= = −
(không thoả mãn ĐK).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
6. Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, trong đó a+b = c + d và m
≠
0.
6.1. Cách giải: -Vì a + b = c + d nên ta đặt: x
2

+ (a + b)x = x
2
+ (c + d)x = y.
- Khi đó, phương trình đã cho có dạng: (y + ab)(y + cd) = m (*)
- Giải phương trình (*), ((*) là phương trình bậc hai của y).
- Với mỗi giá trị tìm được của y, thay vào x
2
+ (a + b)x = y rồi tiếp tục giải
các phương trình bậc hai ẩn x và đi đến kết luận.
6.2. Ví dụ: Giải các phương trình sau
a, (x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = 4
b, (x + 1)(x + 7)(x - 2)(x + 4) = 19
Giải:
18
( ) ( ) ( )
( )
4 4
4 2
4 2
4 2
6 4
1 6 5; 4 5
2
1 5 5 82
2 300 1250 82
2 300 1168 0
150 584 0 1'
t x x x t x t
t t
t t

t t
t t
−
= + = + ⇒ + = + − = −
⇔ + + − =
⇔ + + =
⇔ + + =
⇔ + + =
2
2
150 584 0
' 5625 584 5041 71
v v
+ + =
∆ = − = =
Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
a, (x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = 4 (chú ý: 4 + 8 = 5 + 7 = 12)
<=> (x
2
+ 12x + 32)(x
2
+ 12x + 35) = 4
Đặt x
2
+ 12x + 32 = y, ta có phương trình: y
2
+ 3y – 4 = 0 (1)
Vì 1 + 3 – 4 = 0 nên (1) có hai nghiệm là y
1
= 1 và y

2
= - 4.
Với x
2
+ 12x + 32 = y
1
= 1
2 2
12 32 1 12 31 0x x x x⇒ + + = ⇔ + + =

1
2
6 5
6 5
x
x

= − −

⇔

= − +


Với x
2
+ 12x + 32 = y
2
= - 4
2 2 2

12 32 4 12 36 0 ( 6) 0 6x x x x x x
⇒ + + = − ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ = −
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là:
{ }
6 5; 6 5; 6
− − − + −
b, (x + 1)(x + 7)(x - 2)(x + 4) = 19
Hướng dẫn: Chú ý -2 + 7 = 1 + 4  làm tiếp tương tự như trên
Kết luận: Phương trình có 4 nghiệm:
1 2 3
5 85 5 85 5 5
; ;
2 2 2
x x x
− + − − − +
= = =
và
2
55
4
−−
=x
6.3. Nhận xét:
Với loại phương trình có dạng trên:
- Nếu khai triển vế trái ta sẽ được phương trình bậc 4 tổng quát thì sẽ rất khó giải tiếp.
Do đó khi gặp phương trình dạng này, cần chú ý tới các hệ số a, b, c, d. Bằng nhận xét,
ta nhóm hợp lý, sau đó khai triển mỗi nhóm và đặt đẩn phụ, ta sẽ đưa được về phương
trình bậc hai trung gian.
- Đôi khi cần linh hoạt biến đổi thì ta mới đưa được về phương trình dạng trên.
Ví dụ: Giải các phương trình:

a, (5x + 4)
2
(5x
2
+ 8x) = 16
b, 2x(8x – 1)
2
(4x – 1) = 9.
Giải:
a, (5x + 4)
2
(5x
2
+ 8x) = 16 <=> x(5x + 4)
2
(5x + 8) = 16
<=> 5x(5x + 4)
2
(5x + 8) = 80 <=> (25x
2
+ 40x)(25x
2
+ 40x + 16) = 80
Đặt 25x
2
+ 40x + 8 = t, ta có phương trình:
(t – 8)(t + 8) = 90 <=> t
2
– 64 = 80 <=> t
2

= 144 <=> t =
±
12.
19
Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
Với t = 12, ta có: 25x
2
+ 40x +8 = 12 <=> 25x
2
+ 40x – 4 = 0 <=> x
1;2
=
4 2 5
5
− ±
Với t = -12, ta có: 25x
2
+ 40x +8 = -12 <=> 5x
2
+ 8x – 4 = 0 <=> x
3
=
2
5
; x
4
= -2.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là : x
1;2
=

4 2 5
5
− ±
; x
3
=
2
5
; x
4
= -2.
Cách 2:
Ta có (5x + 4)
2
(5x
2
+ 8x) = 16 <=> (25x
2
+ 40x + 16)(5x
2
+ 8x) = 16
Đặt 5x
2
+ 8x = t, ta có phương trình:
(5t + 16)t = 16 <=> 5t
2
+ 16t - 16 = 0 <=> t
1
= -4 ; t
2

=
4
5
.
Giải tiếp tương tự như trên.
b, Hướng dẫn : Ta cũng có 2 cách giải tương tự như phần a.
(Kết luận : Phương có hai nghiệm là
1 2
1 1
;
2 4
x x
−
= =
)
- Với các phương trình bậc cao không thuộc dạng đặc biệt đã nêu, cách giải thường dùng
và thích hợp nhất đối với HS THCS là tìm cách biến đổi chúng về dạng phương trình
tích. Như vậy, các phương trình thường được đưa về tập các phương trình bậc nhất hoặc
bậc hai.
7. Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx
2
, trong đó: ab = cd, m
≠
0:
7.1. Cách giải:
- Ta nhóm [(x + a)(x + b)][(x + c)(x + d)] = mx
2
<=> [x
2
+ ab + (a + b)x][x

2
+ cd + (c + d)x] = mx
2
<=> (x +
ab
x
+ a + b)(x +
cd
x
+ c + d) = m (vì x
≠
0)
- Do ab = cd nên ta đặt ẩn phụ: y = x +
ab
x
= x +
cd
x
(hoặc sai khác một hằng số thuận
lợi) thì ta được phương trình: (y + a + b)(y + c + d) = m
20
Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
<=> y
2
+ (a + b + c + d)x + (a + b)(c + d) – m = 0 là phương
trình bậc hai ẩn y  dễ dàng làm tiếp.
7.2. Ví dụ: Giải phương trình sau
(x – 3)(x – 9)(x + 4)(x + 12) = 147x
2
Gợi ý: Chú ý: -3.12 = -9.4 = -36  làm tiếp theo cách trên.

8. Phương trình đối xứng:
8.1. Định nghĩa:
-Phương trình đối xứng bậc 3 là phương trình có dạng ax
3
+ bx
2
+ bx + a = 0 (a
≠
0)
-Phương trình đối xứng bậc 4 là phương trình có dạng ax
4
+bx
3
+ cx
2
+ bx + a = 0 (a
≠
0)
-Phương trình đối xứng bậc n là phương trình có dạng a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ . . . + a
1
x + a
0

= 0,
trong đó: a
n
= a
0
, a
n-1
= a
1
, . . . , và a
n

≠
0.
8.2. Chú ý:
+Trong phương trình đối xứng, nếu k là nghiệm thì
1
k
cũng là nghiệm.
+Phương trình đối xứng bậc lẻ luôn nhận x = -1 làm một nghiệm
+Phương trình đối xứng bậc chẵn (bậc = 2m) luôn đưa được về bậc m bằng cách đặt ẩn
phụ
1
x
x
+
= t.
8.3. Cách giải: Dựa vào chú ý ở trên:
-Để giải phương trình đối xứng bậc 3, ta biến đổi đưa về phương trình tích:
ax

3
+ bx
2
+ bx + a = 0 <=> (x + 1)[ax
2
+ (b – a)x + a] = 0.
-Với phương trình đối xứng bậc 4: ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ bx + a = 0 (a
≠
0), ta giải theo cách
sau:
+Dễ thấy x = 0 không là nghiệm. Do đó chia 2 vế cho x
2
, ta được:
2
2
1 1
( ) ( ) 0a x b x c
x x
+ + + + =

+Đặt
1
x
x

+
= t =>
2
2
1
x
x
+ =
t
2
– 2 và ta có phương trình bậc 2 (ẩn t):
at
2
+ bt + c – 2a = 0 (1)
21
Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
+Giải phương trình (1) rồi trả biến
1
x
x
+
= t  tìm x và kết luận.
8.4. Ví dụ : Giải phương trình : a, 3x
3
- 5x
2
- 5x + 3 = 0
b, x
4
- 3x

3
+ 4x
2
- 3x + 1 = 0
Hướng dẫn: a, Biến đổi thành: (x + 1)(3x
2
– 8x + 3) = 0
(Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm là
1 2;3
4 7
1;
3
x x
±
= − =
)
b, Chia 2 vế cho x
2
(vì x
≠
0), ta được:
2
2
1 1
( ) 3( ) 4 0x x
x x
+ − + + =

+Đặt
1

x
x
+
= t =>
2
2
1
x
x
+ =
t
2
– 2 và ta có phương trình:
t
2
- 3t + 2 = 0 <=> t
1
= 1; t
2
= 2
(Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1).
9. Phương trình hồi quy:
9.1. Định nghĩa:
Phương trình hồi quy là phương trình có dạng:
ax
4
+ bx
3
+ cx
2

+ kbx + k
2
a = 0 (với a.k
≠
0)
Nhận xét: Phương trình đối xứng bậc 4 chỉ là một dạng đặc biệt của phương trình hồi
quy (với k = 1)
9.2. Cách giải:
-Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của phương trình cho
x
2
, ta được:
2
2
2
( ) ( ) 0
k k
a x b x c
x x
+ + + + =
-Đặt
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
k k k
t x t x k x t k
x x x
= + ⇔ = + + ⇔ + = −
Ta có phương trình bậc hai (ẩn t):

2 2
( 2 ) 0 2 0a t k bt c at bt c ak- + + = Û + + - =
(*)
-Giải phương trình (*)
22
Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
-Trả biến
k
x
x
+
= t  tìm x và kết luận.
9.3. Ví dụ: Giải phương trình x
4
+ 4 = 5x(x
2
- 2) (1)
Giải :
-Ta có (1)
⇔
x
4
– 5x
3
+10x +4 = 0  là phương trình hồi quy với k = - 2.
-Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của phương trình
cho x
2
, ta được :
2

2
4 2
5( ) 0x x
x x
+ - - =
Đặt t =
2
x
x
-
, ta có :
2
22
2
22
4
44
4
x
xt
x
xt
+=+⇔−+=
Ta có phương trình :
2
5 4 0t t- + =



=

=
⇔
4
1
t
t
Với t = 4 ta có :
620244
2
2
±=⇔=−−⇔=−
xxx
x
x
Với t = 1 ta có :



=
−=
⇔=−−⇔=−
2
1
021
2
2
x
x
xx
x

x
Vậy S =
{ }
1;2;2 6- ±
23
Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
V. Mét sè bµi tËp ®Ò nghÞ
Bài 1: Giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu:
1,
2 5 3
1 2
x x
x x
−
=
− −
2,
2
2 1 1 1
1 2 1 1
x x
x x x x
+ −
+ =
− − + −
3,
1 3
3 6 2 6
x x
x x x

−
− =
− + −
4,
2 2 4 2
1 1 3
1 1 ( 1)
x x
x x x x x x x
+ −
− =
+ + − + + +
5,
1 11 10
, ( )
10 ( )( 10)
x a x
a R
x a x x a x
+ + +
− = ∈
+ + + +
6,
, ( , )
2 2 4 ( )
a a b a b b
a b R
a b bx b a b x
− +
+ = − ∈

+ +
Bài 2: Giải các phương trình bậc cao sau:
1, x
4
– 6x
2
+ 7 = 0 2, x
3
+ 7x
2
– 56x + 48 = 0
3, 2x
3
+ 5x
2
+ 6x + 3 = 0 4, (x – 4,5)
4
+( x-5,5)
4
=1
5, (x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = 4 6, x
4
– 3x
3
+ 9x
2
– 27x + 81 = 0
7, 30x
4
–17x

3
– 289x
2
+17x + 30 = 0 8, (x – 4)(x
2
– 4)(x + 1) = 5x
2
9, (x
2
+ x + 1)
2
– 3x
2
– 3x – 1 = 0 10, x
4
+4x
3
+3x
2
+2x – 1 = 0
11, x
5
+ 2x
4
- 5x
3
+10x
2
+4x + 8 = 0 12, 9ax
3

– 18x
2
– 4ax + 8 = 0, (a
∈
R)
13, (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 14, (6x + 7)
2
(x + 1)(3x + 4) = 6
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1,
2 2
3 5 3 7x x x x+ − + = +
2,
2
2
2 1
10. 3
2 1
x x
x x
+
− =
+
3,
2 2
2 2
2
3
1 2 2 1
x x x x

x x x x
+ − −
+ =
+ + + +
4,
2 2
2 2
5 5 3 5 1
6 5 4 5 4
x x x x
x x x x
− + − +
− =
− + − +
Bài 4: Cho phương trình ẩn x:
4x
3
+ (m
2
+ 3m + 11)x
2
- 7x - m
2
- 3m - 8 = 0 (1)
1, Tính giá trị của m biết (1) có một nghiệm bằng 2. Tính các nghiệm còn lại (nếu có).
2, Tuỳ theo giá trị của m, hãy giải phương trình (1).
24
Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2
PHẦN THỨ BA:
KẾT LUẬN

***************************************
Dạy học các phương pháp giải bài tập có ý nghĩa rất quan trọng, đòi hỏi người
GV phải có sự say mê với nghề nghiệp thì mới đạt được kết quả tốt. GV phải có các
phương pháp, kiểm tra, đôn đốc HS. Giúp HS phát huy tính sáng tạo để đưa ra các cách
giải bài tập hay nhất.
Vấn đề dạy và học các phương pháp tìm tòi lời giải các bài tập thực sự có tác
dụng cho các dạng, các bài tập. Giúp HS làm quen với phương pháp suy nghĩ, phương
pháp làm việc tìm tòi lời giải. Đồng thời với sự tìm tòi đó của HS, người GV phải hướng
HS tiến hành theo một trình tự chặt chẽ cách giải bài tập để giải được bài.
Qua quá trình giảng dạy môn Toán THCS, chúng tôi nhận thấy đã tiếp thu được
thêm nhiều kiến thức mới đồng thời thêm cả về phương pháp nghiên cứu khoa học.
Trong chuyên đề này, chúng tôi chỉ nêu ra được một số cách giải phương trình
bậc cao đưa về phương trình quen thuộc và phương trình đã biết cách giải. Tài liệu này
có thể dùng cho GV dạy toán và những HS khá giỏi toán tham khảo cách giải và trình
bày các phương trình. Nội dung của chuyên đề vẫn còn hạn chế, vẫn chưa đáp ứng đầy
đủ đối với việc dạy và học, mong sự giúp đỡ cũng như góp ý của các thầy cô giáo cho
chúng tôi để chúng tôi hoàn thành tốt hơn chuyên đề này.
Chúng tôi rất mong sự giúp đỡ của đồng nghiệp.

Xác nhận của trường THCS Yên Bình
Yên Bình , ngày 20 thánh 3 năm 2011
Người viết
Nguyễn Văn Tuấn
25