Sử dụng máy tính cầm tay để giải bất phương trình vô tỷ

GV: NGUYỄN KHÁNH NAM
SKKN: NGUYỄN KHÁNH NAM

THPT NGHÈN

ĐƠN VỊ: THPT NGHÈN

SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Chuyên đề phương trình và bất phương trình vơ tỷ là một chun đề khó,
gây nhiều trở ngại cho học sinh trong các kì thi đại học và cao đẳng do tính đa
dạng và khơng có qui tắc trong mỗi bài tốn, đồng thời đây cũng là dạng bài tập
rèn luyện được tính tinh hoạt, sáng tạo cho học sinh.
Ngày nay máy tính cầm tay là dụng cụ học tập không thể thiếu được của
mỗi học sinh phổ thơng bởi tính tiện dụng và giúp học sinh rất nhiều trong cơng
việc tính tốn. Trong tốn học đó là giải các phương trình bậc hai, bậc ba, hệ
phương trình, đạo hàm, tích phân, số phức đặc biệt trong các bộ mơn trắc
nghiệm như Vật lý, Hố học.
Trong q trình giảng dạy và tìm tịi tơi nhận thấy rằng cơng cụ máy tính
cầm tay hỗ trợ rất đắc lực trong việc giải các bài toán về phương trình và bất
phương trình vơ tỷ, nếu học sinh được rèn luyện các kĩ năng dùng máy tính
thành thạo thì việc giải các bài toán thuộc dạng này trở nên rõ ràng hơn. Đó
cũng là lí do tơi chọn nghiên cứu chuyên đề:

“SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT
PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC”
2. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài nhằm mục đích rèn luyện cho học sinh các kĩ năng sử dụng máy
tính cầm tay trong việc xác định nghiệm, kết hợp với các phép biến đổi về

phương trình, bất phương trình để giải quyết trọn vẹn bài tốn phương trình, bất
phương trình vơ tỷ. Qua đó học sinh vận dụng vào các chuyên đề khác trong
tốn học và các mơn khoa học khác.
3. Phương pháp nghiên cứu:
Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học.
Thực hành giải các bài toán trên máy tính cầm tay.
Tập hợp những vấn đề nảy sinh, những khó khăn của học sinh trong q
trình giải quyết bài phương trình, bất phương trình vơ tỷ. Từ đó đề xuất phương
án giải quyết, tổng kết thành kinh nghiệm.
4. Phạm vi nghiên cứu:
Chuyên đề nghiên cứu các bài toán về phương trình, bất phương trình vơ
tỷ, tuy nhiên đề tài chỉ đề cập đến các bài tốn có thể dùng cơng cụ máy tính

1


GV: NGUYỄN KHÁNH NAM
THPT NGHÈN
cầm tay hỗ trợ, cụ thể là máy tính Casio fx 570ES và Casio fx 570ES PLUS
(được phép sử dụng trong các kì thi). Các bài tốn được tổng hợp trong q
trình bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi đại học.
5. Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh lớp 10 các lớp có học lực khá.
Các đề thi chính thức, thi thử đại học, các bài viết trên các diễn đàn toán học
liên quan đên vấn đề phương trình và bất phương trình vơ tỷ.
6. Điểm mới của đề tài:
Rèn luyện được các kỹ năng tìm nghiệm bằng máy tính cho học sinh.
Với mỗi nội dung đều có trình bày bài tốn, cú pháp dãy phím bấm, ví dụ minh
hoạ và bài tập đề nghị.
Định hướng lời giải các bài tốn phương trình, bất phương trình vơ tỷ

một các rõ ràng hơn, tạo thêm nhiều hứng thú cho học sinh khi gặp dạng toán
này.

2


GV: NGUYỄN KHÁNH NAM

THPT NGHÈN

B. NỘI DUNG
I.

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
THÀNH NHÂN TỬ.
1.1 Kiến thức cơ bản:



g  x  0

f  x  g  x   
2
 f  x  g  x

g  x  0

f  x  g  x  
 f  x  g  x


 3 f  x  g  x   f  x  g 3  x 
Do khuôn khổ của chun đề, tơi khơng trình bày các chức năng cơ bản của
máy, phần này có thể xem ở tài liệu: “Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO
fx- 570ES ”.
1.2 Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình 4 x 2  8 x  2 x  3  1
Giải: Điều kiện x  

3
2

4 x 2  8 x  1  0 (1)

2 x  3  4 x  8 x  1  
2
2
2 x  3   4 x  8 x  1 (2)

2

(2)  2 x  3  16 x 4  64 x 2  1  64 x3  8 x 2  16 x  8x 4  32 x3  28 x 2  7 x  1  0 .

Đến đây chúng ta cần có sự hỗ trợ của máy tính:
B1: Nhập vào màn hình phương trình trên bằng cách bấm lần lượt các phím
8 x 4  32 x3  28 x 2  7 x  1 ALPHA  0 .
B2: Bấm các phím SHIFT SOLVE
B3: Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến X giá trị thuộc tập xác định, chẳng
hạn 1. Máy trả kết quả nghiệm X  0,1043560763
Bấm AC , Bấm ALPHA SHIFT STO A

Nhập lại phương trình vào máy và bấm tiếp SHIFT SOLVE
Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến X =2. Kết quả X  1,780776404
Bấm AC , Bấm ALPHA SHIFT STO B
Nhập lại phương trình vào máy và bấm tiếp SHIFT SOLVE
Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến X =-0,5. Kết quả X  0, 280776406
Bấm AC , Bấm ALPHA SHIFT STO B
Nhận xét: ALPHA A  ALPHA B = 1,885132483

3


GV: NGUYỄN KHÁNH NAM

THPT NGHÈN

ALPHA B  ALPHA C

3
2

= ,

1
2
2
của phương trình bậc hai 2 x  3 x  1  0 mà B và C cũng là nghiệm của phương
trình 8 x 4  32 x3  28 x 2  7 x  1  0 . Vậy phương trình đã cho tương đương với
 2 x 2  3x  1 4 x 2  10 x  1  0  x  5  4 21 , x  3  4 17 .
5  21
3  17

Đối chiếu với điều kiện, phương trình có nghiệm là x 
,x 
4
4

Bấm tiếp

ALPHA B X ALPHA C

=  . Điều này chứng tỏ B và C là nghiệm

Như vậy với sự hỗ trợ đắc lực của máy tính, chúng ta đã giải quyết được bài
tốn một cách rất tự nhiên.
1
1
Ví dụ 2: Giải phương trình  x   x 2  3x   2 3x


2



Bình

Giải:

phương

2

4

vế

của

phương

trình

ta

có

2

1  2
1

2
4
3
2
 x    x  3x    12 x  16 x  32 x  232 x  8x  1  0
2 
4


Đến đây chúng ta lại vận dụng máy tính tương tự như trong ví dụ 1 ta lại phân
5  2 6

3 2 2
,x 
2
2
5  2 6
3 2 2
Thử lại phương trình có nghiệm là x 
,x 
.
2
2

tích được  4 x 2  20 x  1 4 x 2  12 x  1  0  x 

Nhận xét: Việc nhập các giá trị của biến X có thể
ngay từ đầu khơng cho kết quả như mong muốn nên ta phải thử một vài trường
hợp.
Ví dụ 3: Giải phương trình 2  x  2  3 2 x 2  6 x  3  0 .
Ta nhận thấy phương trình có chứa hai dấu căn, có thể giảm bậc của phương
trình bằng cách đặt t  2  x
Giải:
Điều kiện: x  2 . Đặt t  2  x với t  0 ta có x  2  t 2 .
3

Phương trình đã cho trở thành t  2  3 2t 4  14t 2  23   t  2   2t 4  14t 2  23
Đến đây tiếp tục sử dụng kĩ thuật phân tích bằng máy tính ta được
1  5
3  129
,t 
.

2
4
1  5
3  129
Đối chiếu điều kiện ta được t 
,t 
2
4
1  5
1 5
Nếu
2x 
x
2
2
3  129
53  3 129
Nếu 2  x 
x
4
8
  t 2  t  1 2t 2  3t  15   0  t 

4


GV: NGUYỄN KHÁNH NAM
THPT NGHÈN
Nhận xét: Trong chuyên đề chỉ đề cập đến một số bài đưa về phương trình bậc
bốn nhưng phương pháp này vẫn áp dụng được cho các phương trình bậc cao

hơn, tuy nhiên việc phân tích cũng sẽ phức tạp hơn.
1.3 Một số bài toán tương tự:
Giải các phương trình sau
Bài 1: x 2  4 x  3  x 2  x  3x 2  4 x  1
2
3

2
x 1
 3
x  1  x 4  x  2x  3

Bài 2:  2 x  5  2 x  3   x  1 


Bài 3:  x  3

Bài 4: x 2  9 x  1  x 11  3 x  2 x  3
Bài 5: 2  x 2  x  6   5 x3  8
Bài 6: x  x 2  4 x  1  x  1
Bài 7: 3 x  2  x  1  2 x 2  x  3

II.

PHƯƠNG PHÁP NHÂN BIỂU THỨC LIÊN HỢP.
2.1 Kiến thức cơ bản:
Một số hằng đẳng thức hay dùng
 x 2  y 2   x  y  x  y 


x 3  y 3   x  y   x 2  xy  y 2 



x 3  y 3   x  y   x 2  xy  y 2 



x 4  y 4   x  y  x  y   x 2  y 2  .

Trong phần này chúng ta sẽ dùng chức năng tìm nghiệm phương trình của máy
tính SOLVE và tìm cách phân tích về nhân tử bằng cách nhân liên hợp.
2.2 Các ví dụ:
Ví dụ 1: (ĐH Khối D 2006)
2 x  1  x 2  3x  1  0
Dễ dàng nhẩm được một nghiệm của phương trình là x=1. Tuy nhiên ở đây tơi
xin trình bày lại phương pháp nhẩm nghiệm bằng máy tính Casio như sau:
B1: Nhập vào màn hình phương trình trên băng cách bấm lần lượt các phím:
2 ALPHA X  1   ALPHA X x 2  3 ALPHA X  1 ALPHA  0 .
B2: Bấm các phím SHIFT SOLVE
B3: Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến X giá trị thuộc tập xác định, chẳng
hạn 1.
Máy trả kết quả nghiệm bằng 1.
Từ nghiệm trên chúng ta sẽ phân tích phương trình về thừa số.
Giải:
ĐK x 

1
. Phương trình đã cho tương đương với
2

5


GV: NGUYỄN KHÁNH NAM

THPT NGHÈN

2

2x 1  x  x  2x  1  0
x  1
( x  1) 2
2

 ( x  1)  1  
1

 1 1
2x 1  x
 2x 1  x


Phương trình (1) tương đương với 1  x  2 x  1  1  2 x  x 2  2 x  1
Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x  1, x  2  2 .
Nhận xét: Bài trên có thể giải theo phương pháp bình phương đưa về phương
trình bậc bốn và tìm nghiệm.
Ví dụ 2: (Dự bị D 2006).
Giải phương trình: x  2 7  x  2 x  1   x 2  8 x  7  1
Nhập vào máy tính phương trình trên sau đó dùng chức năng SHIFT SOLVE :

Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 6 máy tính được một nghiệm
x=5, tiếp tục bấm SHIFT SOLVE và cho biến nhận giá trị 7 máy tính tiếp được
nghiệm thứ hai là x=4. Ta phân tích phương trình thành nhân tử
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với
x  1  2 x  1  2 7  x  ( x  1)(7  x)  0
 x 1








x 1  2  7  x

x 1  2







x 1  2  0



x 1  7  x  0

 x 1  2
x  5


x  4
 x 1  7  x


Thử lại cả hai nghiệm đều thỏa mãn.
Ví dụ 3: (ĐH Khối B 2010)
Giải phương trình 3x  1  6  x  3x 2  14 x  8  0 .
B1: Nhập vào màn hình phương trình trên băng cách bấm tổ hợp phím:
3 ALPHA X  1  
ALPHA X  8  0

6  ALPHA X  3 ALPHA X x 2  14

.

B2: Bấm các phím SHIFT SOLVE
B3: Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị thuộc tập xác định, chẳng
hạn 6.
Máy trả kết quả nghiệm bằng 5.
Rõ ràng để nhẩm được nghiệm bằng 5 không phải dễ dàng nếu khơng có cơng
cụ là máy tính.
Cách giải này trong đáp án của Bộ giáo dục.
Giải:
1
3

Điều kiện   x  6 .
Phương trình đã cho tương đương với:

6


GV: NGUYỄN KHÁNH NAM



 



THPT NGHÈN
2

3 x  1  4  1  6  x  3 x  14 x  5  0

3( x  5)
x 5

 ( x  5)(3 x  1)  0
3x  1  4
6  x 1

3
1


  x  5 

 3 x  1  0
6  x 1
 3x  1  4

3
1
 1 
Do 

 3x  1  0x    ; 6  nên phương trình đã cho có
3x  1  4
6  x 1
 3 


nghiệm duy nhất x=5.
Ví dụ 4: (Thi Thử Đại học Sư phạm Hà Nội 2013)
Giải phương trình 3 x 2  7 x  3  x 2  2  3x 2  5 x  1  x 2  3 x  4 .
Dùng chức năng SHIFT SOLVE ta dễ dàng nhẩm được nghiệm x=-3. Từ đó có
cách giải như sau:
Giải:
x   2
Điều kiện:  5  37 . Phương trình đã cho tương đương với

x 
6


3x 2  5 x  1  3x 2  7 x  3  x 2  2  x 2  3x  4  0


2x  4
3x 2  5 x  1  3x 2  7 x  3



3x  6
x 2  2  x 2  3x  4


2
  x  2 

2
2
 3x  5 x  1  3x  7 x  3
 x2

0


0
x 2  2  x 2  3x  4 
3

(Thoả mãn điều kiện). Vậy phương trình có nghiệm x=2.
Ví dụ 5: Giải phương trình x 2  9 x  20  2 3 x  10
Dùng chức năng SHIFT SOLVE ta dễ dàng nhẩm được nghiệm x=-3. Từ đó có

cách giải như sau:
Giải: Điều kiện x  
x 2  9 x  18  2



10
. Phương trình đã cho tương đương với
3



3 x  10  2   x  3 x  6  

2





3 x  10  1



3 x  10  1

3 x  10  1

 x  3(TM )
  x  3 x  6  


6
x  6 
3 x  10  1

3 x  10  1

6  x  3

Với x  3 thì
Với 

6
3x  10  1

 3 và x  6  3 nên phương trình vơ nghiệm

10
 x  3 tương tự có
3

6
 3 và x  6  3 nên phương trình vơ
3 x  10  1

nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=-3.
Ví dụ 6: Giải phương trình x 2  12  5  3x  x 2  5 (1)

7

GV: NGUYỄN KHÁNH NAM
THPT NGHÈN
Nhập vào máy tính phương trình trên sau đó dùng chức năng SHIFT SOLVE :
Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 0 thì tìm ra nghiệm của phương
2
trình là: x0  2 . Ta có x0  12  4 nên -4 là hằng số cần thêm vào cho
2
x0  5  3 nên -3 hằng số cần thêm vào cho

x 2  12 và

x2  5 .

Giải:
Phương trình tương đương với





x 2  12  4  3 x  6 



x2  4



x2  5  3 

x 2  12  4

 3 x  2 

x2  4
x2  5  3

.

Nếu x  2 thoả mãn
Nếu
Vì
Vậy

x2  4
x 2  12  4

x2  4

 3

x2  5  3

 0 (2).

x 2  12  x 2  5 nên từ phương trình (1) suy ra 5  3 x  x 

x2

2

x  12  4



x2
2

x 5 3



x2

3

2

x  12  4

x2

5
 x  2  0.
3

 0 nên (2) vô nghiệm.

2

x 5 3

Vậy phương trình có nghiệm là x  2 .
Ví dụ 7: Giải phương trình 3 12 x 2  46 x  15  3 x3  5x  1  2( x  1)
Ta dễ dàng nhẩm nghiệm x=2, sử dụng kĩ thuật tách ẩn và theo nghiệm dự đốn
để có thể nhân liên hợp.
Phương trình đã cho tương đương với:
3

12 x 2  46 x  15   2 x  1  3 x3  5 x  1  1  0
8 x3  40 x  16
2

2 x  1  3(2 x  1)
3
2
 12 x  46 x  15 
 
2 
4

3
8( x  5 x  2)

2

x3  5 x  2



0

0
2
1 3
3 3
 x  5x  1   
2 4

1
Mà

0
2
2
2
2 x  1  3(2 x  1)
1 3
3
3 3
2
 12 x  46 x  15 
 
 x  5x  1   
2 
4
2 4



3
nên x  5 x  2  0  x  2, x  1  2
2

2 x  1  3(2 x  1)
3
2
 12 x  46 x  15 
 
2 
4

8

2



2

1 3
3 3
 x  5x  1   
2 4

3
x  5x  2

Ví dụ 8 : 2 x  4 x 2  1   x 2  3x  1 x 2  3x
Nhập vào máy tính phương trình trên sau đó dùng chức năng SHIFT SOLVE :

Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 0 và 10 thì tìm ra nghiệm của
phương trình là: x  0, x  1
Thay x=1 vào x 2  3x kết quả bằng 2 nên tiếp tục dự đốn sẽ có nhân tử
x 2  3x  2 x .
Giải: Đk x 2  3x  0

8


GV: NGUYỄN KHÁNH NAM
Phương trình tương đương với

THPT NGHÈN

2
2


2 x  2 x   1  x 2  3x  x 2  3x  1


2
2


 2 x  x 2  3x   2 x   x 2  3x  2 x x 2  3x  1  0


x  0
 2 x  x 2  3x  

x  1

















Cách 2: Có thể áp dụng phương pháp đạo hàm
Phương trình tương đương với  2 x 3  2 x 



x 2  3x

3



x 2  3x

x  0
x  1

Xét f ( x)  x 3  x  f '( x)  3x 2  1  0 suy ra  2 x  x 2  3x  

Ví dụ 9: Giải phương trình 3 x  1  5 x  4  3 x 2  x  3
Dùng chức năng SOLVE ta có hai nghiệm là x  0, x  1, ta dự đoán x 2  x là
thừa số chung cần phân tích.
Cần tìm a, b sao cho phương trình 3 x  1   ax  b   0 (*)nhận x  0, x  1 làm
b  1
b  1

. Vậy  x  1 là
2a b  0
a 1



nghiệm. Thay x  0, x  1 vào (*) ta có 
biểu thức cần thêm vào cho
cho 5 x  4 .
Giải:

3x  1 , tương tự  x  2 là biểu thức cần thêm vào

4
x .
Phương
trình

tương
5
 3 x  1   x  1    5 x  4   x  2    3  x 2  x 

 

2
2
x  x
x  x


 3 x2  x 
3x  1  x  1
5x  4  x  2
2
Nếu x  x  0  x  0, x  1
1
1
Nếu

 3  0 Vô nghiệm
3x  1  x  1
5x  4  x  2
Vậy phương trình có hai nghiệm x  0, x  1

Điều

kiện:

đương

với

Ví dụ 10: Giải bất phương trình 2 x  1  x3  5 x 2  5 x  1
Nghiệm của phương trình là x  4
Điều

kiện:

2  x  4
2 2x 1  3

1
x ,
2



Bất

phương



  x  4 x2  x  1


2


  x  4 
 x2  x  1   0  x  4
 2 2x 1  3

1
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm S    ; 4 
 2 







9

trình

tương

đương

với


GV: NGUYỄN KHÁNH NAM
Ví dụ 11: (Thi Thử Đại Học Vinh Khối A 2014)
Giải bất phương trình sau: 4 x  1  2 2 x  3   x  1  x 2  2 

THPT NGHÈN

Nhập vào máy tính phương trình trên sau đó dùng chức năng SHIFT SOLVE :
Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 0 máy tính được một nghiệm x=1, tiếp tục bấm SHIFT SOLVE và cho biến nhận giá trị 10 máy tính tiếp được
nghiệm thứ hai là x=3. Ta phân tích phương trình thành nhân tử
Điều kiện: x  1. Nhận thấy x  1 là một nghiệm của bất phương trình
Xét x  1 khi đó bất phương trình tương đương với
4





 

x 1  2  2
4  x  3
x 1  2





2 x  3  3  x 3  x 2  2 x  12

4  x  3
2x  3  3



  x  3 x 2  2 x  4




4
4

2
  x  3 

  x  1  3   0
2x  3  3
 x 1  2

Vì
x 1  0
và
x  1 nên

1
2x  3  1

suy

ra

4
4

3

x 1  2
2x  3  3
4
4
2


  x  1  3  0
x 1  2
2x  3  3
 x  1

Do đó bất phương trình (1)  x  3  0  x  3 . Vậy tập nghiệm là 
.
x  3
Ví dụ 12: Giải phương trình
x2  x  1 x 2


x4
2

1
x2  1

2.

Dùng chức năng SOLVE ta tìm được hai nghiệm là X 1  1, 732050808 lưu vào
biến nhớ A, X 2  1, 732050808 lưu vào biến nhớ B. Tính A+B =0 và AB=-3.
Do đó X 1 , X 2 là hai nghiệm của phương trình x 2  3  0 . Lại có

nên -1 là hằng số cần thêm vào và
cho

1
x2  1

1
X 12  1

.

Giải:
Điều kiện x  4 .

10



X 12  X 1  1
1
X1  4

1
1
nên  là hằng số thêm vào
2
2


GV: NGUYỄN KHÁNH NAM

Phương
trình

THPT NGHÈN
đương
với

tương

 x  x 1  x 3  1
1 
 1     

0

 2 2 2
x4
x2  1 


x2  3
x2  3
x2  3



0 x 3
2
 x2  x  1 
2 x2  1 x2  1  2

 1



x4


2

2





Ví dụ 13: Giải phương trình x3  3x  1  8  3x 2
Đk: 

2 6
2 6
 x
3
3

,

Trong bài tốn này, ta khơng thể nhẩm ra ngay được nghiệm của phương trình
để dùng lượng liên hợp. Tuy nhiên với sự hỗ trợ đắc lực của máy tính Casio
fx570 Es thì mọi chuyện có vẻ dễ dàng hơn!
Nhập vào máy tính phương trình trên sau đó dùng chức năng SHIFT SOLVE :

Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 0 và 1 thì tìm ra 2 nghiệm của
phương trình là: x1  0, 6180339887...; x2  1, 618033989... sau đó gán hai
nghiệm này vào hai biến A và B.
Cách làm: Sau khi bấm SHIFT SOLVE và tìm được nghiệm
x1  0, 6180339887... ta bấm tiếp SHIFT STO ALPHA A , tìm nghiệm
x2  1, 618033989... bấm tiếp SHIFT STO B ,
Bây giờ ta sẽ thử tìm xem A và B có mối quan hệ gì với nhau hay không bằng
cách bấm ALPHA A  ALPHA B và ALPHA A x ALPHA B
Ta có A  B  1, AB  1 .
Điều đó đã chứng tỏ A, B là hai nghiệm của phương trình: x 2  x  1  0
Và từ đây, ta có thể dự đoán được x 2  x  1 chính là nhân tử của phương trình
Ta viết pt đã cho lại thành:
x 3  3x  1   px  q   8  3x 2  px  q  0
3

 x  3 x  1   px  q  
3

 x   p  3

 px  q 

p
x 1 q 

2

 8  3 x 2 

8  3 x 2  px  q

2

 0  2

 3 x 2  2 pqx  q 2  8
8  3 x 2  px  q

0

Đến đây, để xuất hiện nhân tử x 2  x  1 thì
 p 2  3 x2  2 pqx  q 2  8  k  x 2  x  1 với k là một hệ số. Chọn k = 4 thì ta được
một cặp (p, q) thỏa mãn là (p, q) = (-1; 2). Khi đó (2) trở thành:
x3  2 x  1  4

x2  x 1
8  3x 2  2  x

0



4
  x 2  x  1  x  1 
0
8  3x 2  2  x 


11

GV: NGUYỄN KHÁNH NAM

THPT NGHÈN

Xét f  x   8  3 x 2  2  x ta có: f '  x  
 f '( x )  0 

3 x
8  3x 2

1 x  

3 x
8  3x 2

1

2
3

Ta có bảng biến thiên:

 f  x 

64 6
64 6
kết hợp với x  2 6  0  f  x  
3
3
3

4
2 6
4

1
0
f  x
3
64 6
8  3x 2  2  x
3
1 5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 2  x  1  0  x 
.
2
 x 1

4

 x 1 

Ví dụ 14: Giải phương trình x 2  x  1   x  2  x 2  2 x  2
Cũng bằng cách làm như ở ví dụ trên ta phân tích được như sau:
x2  2x  7  3  x  2   x  2 x2  2x  2  0





 x2  2 x  7   x  2 3  x2  2x  2  0


  x  2 x  7 


2

 1   x  1 
  0  x  1 7 .

2
x  2x  2  3 
x  1 7



 x  1

2

Ví dụ 15: Giải bất phương trình 2 x3  1  2 x  3x 2  2 x  1
Nhập vào máy tính phương trình trên sau đó dùng chức năng SHIFT SOLVE :
Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 0 và thì tìm ra nghiệm của
phương trình là: x  0, 41421356... Ta dự đốn nghiệm của phương trình là
x 1 2

Bấm tiếp SHIFT STO ALPHA A gán x cho A
Nhập vào máy tính 2 A  1  , Kết quả 0, 4142135662... , tức là
2  1   x , nên tiếp tục dự đốn sẽ có nhân tử 2 x  1  x  0

12

2  1 Lại có


GV: NGUYỄN KHÁNH NAM

THPT NGHÈN

1
Ta có lời giải: Điều kiện x  
2

2 x3 



Bất phương trình tương đương với   x 

3


2x  1  2 x 

2 x  1  3x 2 2 x  1
2



2x  1  0

x  1 2
 x  2x 1  0


 1
1 5
2x  2 x  1  0

 2  x  2


Ví dụ 16: Giải phương trình 6 x3  18x 2  8 x  4   3 x 2  6 x  4  x 2  2 x  7  0
Nhập vào máy tính phương trình trên sau đó dùng chức năng SHIFT SOLVE :
Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 0 và thì tìm ra nghiệm của
phương trình là: x  2, 414213562... Ta dự đốn nghiệm của phương trình là
x 1 2

Bấm tiếp SHIFT

STO ALPHA A

gán x cho A

Nhập vào máy tính A2  2 A  7  , Kết quả 2 2 , Lại có 2 2  2 x  2 , nên tiếp
tục dự đốn sẽ có nhân tử x 2  2 x  7  2 x  2  0 . Bằng các phép biến đổi ta đi
đến phương trình




x2  2 x  7  2x  2 




2

x 2  2 x  7  2 x  2  1  0 Giải tiếp phương trình cơ bản.




2.3 Một số bài tốn tương tự:
Bài 1: 3  2  x  2   2 x  x  6
Bài 2:

1  x 2 x  x2

x
1  x2

Bài 3 9  4 x  1  3x  2   x  3
Bài 4

x  2  4  x  2 x 2  5x  1

13

GV: NGUYỄN KHÁNH NAM

THPT NGHÈN

x3
Bài 5 4 x  1  3x  2 
5

Bài 6 2 x 2  16 x  18  x 2  1  2 x  4 .
Bài 7 10 x  1  3 x  5  9 x  4  2 x  2 .
Bài 8. 3 3 x  2  x 3x  2  2 2 x 2  1
Bai 9 5 x 2  2 x  1  2 x 2  1  x  1  3 x  3
Bài 10 2 x 2  1  x 2  3 x  2  2 x 2  2 x  3  x 2  x  2
Bài 11: 2 x  3  x  5  2 x 2  7 x  2  0 .
Bài 12 x 2 x  1  3 x  6  x3  3 x 2  2  0
Bài 13 3 4 x  9 2 x  1  4 x 2  27  0
Bài 14 4 x 2  10 x  61   2 x  3 2 x  1  2 x  0





Bài 15  x 2  3x  1  x 2  1  4 x  12  4 x  28
Bài 16
Bài 17
Bài 18

3

1 3
2
 x  x  1
3
9
x 3  22 x 2  11x   6 x 2  12 x  6  2 x  1

3  3 7x  6
x3

7x
4  7  3x

Bài 19

x 2  2 x  92  x 2  2 x  x  1  1

Bài 20

x3 1
x 1



 3x  2  1
3 3x
3 3x

C. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
Trong quá trình giảng dạy chính khố, và dạy khối cho học sinh lớp 10

tôi tiến hành lồng ghép nội dung chuyên đề vào. Qua thực tế cho thấy
một số vấn đề sau:
1. Kỹ năng sử dụng máy tính:
Việc sử dụng máy tính cá nhân của học sinh vẫn chưa thật tốt, do đó
chuyên đề cũng nhằm giúp học sinh rèn luyện thêm kĩ năng sử dụng máy tính .
2. Tính phổ biến của phương pháp:

14


GV: NGUYỄN KHÁNH NAM
THPT NGHÈN
Rõ ràng việc sử dụng máy tính đã giải quyết được rất nhiều bài tốn khó
thuộc chủ đề nghiên cứu, tuy nhiên không phải lúc nào cũng vận dụng được
phương pháp này bởi tính linh hoạt của từng bài tốn, do đó chúng ta cũng
khơng nên quá lạm dụng phương pháp mà làm mất đi sự linh hoạt trong tư duy
của học sinh. Giáo viên có thể cho học sinh tìm thêm các lời giải khác bên cạnh
phương pháp sử dụng máy tính.
3. Kiểm tra tính khả thi chuyên đề
Sau khi đưa chuyên đề vào giảng dạy ở một số lớp, tôi đã tiến hành cho
học sinh làm một bài kiểm tra với thời gian 15 phút .
Lớp thực nghiệm: 10B2 Đã học chuyên đề.
Lớp đối chứng: 10B1 Chưa học chuyên đề
Trình độ của hai lớp là tương đương và đều có học lực khá.
Đề bài: Giải phương trình
Lớp 10B1
Có 8/45 học sinh giải đúng bài
20/45 học sinh biết sử dụng chức
năng SOLVE tìm hai nghiệm

3x  1  5 x  4  3x 2  x  3

Lớp 10B2
Có 32/45 học sinh giải đúng bài
45/45 học sinh biết sử dụng chức năng
SOLVE tìm hai nghiệm x  0, x  1

x  0, x  1

6 học sinh biết cách thêm bớt vào
để nhân liên hợp bộ phận dựa vào
khả năng phán đoán của bản thân
20 học sinh giải bằng các phương
pháp khác như đặt ẩn phụ, bình
phương … nhưng chỉ có 3 học
sinh đi đến kết quả

38 học sinh biết vận dụng phương pháp
nhân liên hợp bằng cách tìm a, b sao cho
3 x  1   ax  b   0 , 5 x  4   ax  b   0
32 học sinh giải quyết chính xác bài toán,
6 học sinh biến đổi sai trong các bước sau.

D. KẾT LUẬN
1. Ý nghĩa đề tài:
Đề tài được nghiên cứu dựa trên kinh nghiệm giảng dạy, tìm hiểu của bản
thân, hồn thành đề tài tơi thấy cá nhân tích luỹ thêm được nhiều kỹ năng tốt
phục vụ cho công tác giảng dạy, đây cũng là một nội dung để các đồng nghiệp
trong đơn vị công tác thảo luận bởi máy tính là một nội dung được dạy trong
sách giáo khoa mơn tốn ở cả ba ba khối của THPT nhưng chưa có một đề tài

nào về vấn đề này. Mục tiêu nghiên cứu cơ bản hoàn thành.

15


GV: NGUYỄN KHÁNH NAM
THPT NGHÈN
Qua chuyên đề học sinh hứng thú hơn trong việc giải các bài tốn khó
thuộc chủ đề phương trình và bất phương trình vơ tỷ.
2. Một số hướng phát triển của đề tài:
Giải quyết bài toán chứng minh phương trình bậc 4 đa thức vơ nghiệm
bằng máy tính.
Kết hợp máy tính và phương pháp chiều biến thiên để giải các bài toán
thuộc chuyên đề
Triển khai các chuyên đề tương tự như phương trình lượng giác hệ
phương trình, tích phân...
Để đề tài có thể đến gần học sinh hơn nữa tác giả rất mong được sự đóng
góp ý kiến chân thành từ các đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Tĩnh, tháng 3 năm 2014

MỤC LỤC
A.

MỞ ĐẦU.................................................................................................... 1

B.

NỘI DUNG ................................................................................................ 3
I.

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO THÀNH

NHÂN TỬ...................................................................................................... 3
1.1

Kiến thức cơ bản:............................................................................... 3

1.2

Các ví dụ:........................................................................................... 3

16


GV: NGUYỄN KHÁNH NAM
THPT NGHÈN
1.3 Một số bài toán tương tự: ................................................................... 5
II.

PHƯƠNG PHÁP NHÂN BIỂU THỨC LIÊN HỢP................................ 5
2.1

Kiến thức cơ bản:............................................................................... 5

2.2

Các ví dụ:........................................................................................... 5

2.3

Một số bài tốn tương tự: ................................................................. 13

C.

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.................................................................... 14

D.

KẾT LUẬN .............................................................................................. 15

17