Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Nguyễn Thò Anh Đào Hình Học 10 Nâng Cao
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
MẶT PHẲNG
A. LÝ THUYẾT:
1. Phương trình tổng qt của
∆
:
0)()(
00
=−+− yybxxa
(a
2
+ b
2
≠ 0)
2. Phương trình tham số của
∆
:



+=
+=
tuyy
tuxx
20
10

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
( )
2 2

1 1 1 1 1 1
( ) : 0, 0a x b y c a b∆ + + = + ≠
;
( )
2 2
2 2 2 2 2 2
( ): 0, 0a x b y c a b∆ + + = + ≠
Nếu
1 1
2 2
a b
a b
≠
thì hai đường thẳng cắt nhau.
Nếu
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
= ≠
thì hai đường thẳng song song nhau.
Nếu
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
= =
thì hai đường thẳng trùng nhau.
4. Góc giữa hai đường thẳng:
( )

( )
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2 2
( ) : 0, 0
( ): 0, 0
a x b y c a b
a x b y c a b
∆ + + = + ≠
∆ + + = + ≠

( )
1 2 1 2
1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos ,
a a b b
a b a b
+
∆ ∆ =
+ +
5. Khoảng cách từ một điểm M(x
0
; y
0
) đến đường thẳng
( )
2 2

1 1
: 0, 0ax by c a b∆ + + = + ≠
:
( )
0 0
2 2
,
ax by c
d M
a b
+ +
∆ =
+
6. Phương trình chính tắc của đường tròn:
2 2 2
( ) ( ) .x a y b R− + − =
7. Phương trình chính tắc của elip:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
8. Phương trình chính tắc của Hypebol:
2 2
2 2
1
x y
a b
− =

9. Phương trình chính tắc của Parabol:
2
2y px=
B. BÀI TẬP:
ĐƯỜNG THẲNG
1. Viết phương trình của đường thẳng ∆:
a) đi qua A (3 ; 2) và B (- 1 ;- 5)
b) đi qua A (- 1 ; 4) và có VTPT
n

(4; 1)
c) đi qua A (1 ; 1) và có hsg k = 2
2. Viết phương trình các đường trung trực của ∆ ABC biết trung điểm các cạnh AB, BC, CA lần lượt
là M (- 1; - 1) , N (1 ; 9), P (9 ; 1).
3. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có) của chúng.
a) 2x – 5y + 3 = 0 và 5 x + 2y – 3 = 0
b) x – 3y + 4 = 0 và 0,5 x – 0,5y + 4 = 0
c) 10x + 2y – 3 = 0 và 5x + y – 1,5 = 0
4. Hãy viết PTTS, PTCT, PTTQ của đường thẳng AB trong mỗi trường hợp sau:
a) A (- 3 ; 0) , B (0 ; 5)
b) A (4 ; 1) , B ( 4 ; 2)
Chương III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Trang 1
Nguyễn Thò Anh Đào Hình Học 10 Nâng Cao
c) A( - 4 ; 1) , B (1 ; 4)
5. Cho ∆ :
2 2
3
x t
y t
= +



= +

a) Tìm điểm M ∈ ∆ và cách điểm A(0 , 1) một khoảng bằng 5
b) Tìm toạ độ giao điểm của ∆ và (d): x + y + 1 = 0
6. Tìm hình chiếu vng góc của điểm P (3 ; -2) trên đt: ∆ :
43
1
−
=
− yx
7. Tìm hình chiếu vng góc của điểm M (3 ; - 2) trên đt ∆ : 5x – 12 y + 10 = 0
8. Tìm điểm M ∈ ∆ : x – y + 2 = 0, cách đều hai điểm E (0 ; 4) và F (4 ; - 9)
9. Viết phương trình các cạnh của ∆ ABC biết trung điểm các cạnh có toạ độ là M (2 ; 1), N(5 ; 3) ,
P(3 ; 4)
10. Cho ∆ ABC với A(2 , 2), B(-1, 6) , C(- 5, 3)
a) Viết phương trình các cạnh ∆ ABC
b) Viết phương trình đường cao AH của ∆ ABC
c) CMR ∆ ABC là tam giác vng cân.
d) Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H. Tạo đường bán kính ngoại tiếp I của ∆ ABC.
11. Cho điểm A(-1;2) và đường thẳng (d) :



−=
+−=
ty
tx
2

21
. Tính khoảng cách từ A đến (d)
12. Cho tam giác ABC có A(2;0) , B(4;1) , C(1;2)
a) Lập phương trình đường thẳng BC
b) Tính chiều cao của tam giác ABC kẻ từ A. Từ đó tính diện tích ∆ABC
Đáp số: * Phương trình cạnh BC: x+3y-7=0
* Khoảng cách từ A đến BC là
2
105
=h
; S=5/2
13. Lập phương trình đường thẳng qua A(-2;0) và tạo với (d) : x +3y-3=0 một góc 45
0

Đáp số: 2x+y+4=0 ; x-2y+2=0
14. Cho đường thẳng : mx+3y-1=0 . Tìm m để khoảng cách từ A(-1;2) đến (d) bằng 4
15. Lập phương trình tham số và phương trình tổng qt của (∆) trong mỗi trường hợp sau :
a. (∆) qua M(2 ; 1) và có vtcp
u

= (3 ; 4). b. (∆) qua M(–2 ; 3) và có vtpt
n

= (5 ; 1).
c. (∆) qua M(2 ; 4) và có hệ số góc k = 2. d. (∆) qua hai điểm A(3 ; 5), B(6 ; 2).
16. Lập phương trình tổng qt của đường thẳng (∆) trong mỗi trường hợp sau :
a.(∆) qua M(3 ; 4) và có vtpt
n

= (–2 ; 1). b. (∆) qua M(–2 ; 3) và có vtcp

u

= (4 ; 6).
c.(∆) qua hai điểm A(2 ; 1), B(–4 ; 5). d. (∆) qua M(–5 ; –8) và có hệ số góc k = –3.
17. Cho A(1 ; – 2) và B(3 ; 6). Lập phương trình đường thẳng :
a. (d) là trung trực của đoạn AB b. (d) đi qua A và song song với (d).
c. (∆) qua B và vng góc với AB d. (d’) qua A và có hệ số góc bằng – 2.
18. Cho ∆ABC với A(2 ; 0), B(0 ; 3), C xác định bởi
ji3OC

−−=
.
a. Tìm pt các cạnh AB, BC và CA b. Lập phương trình trung tuyến AM
c. Lập phương trình đường cao CC’ d. Tìm tọa độ trực tâm.
e. Lập phương trình đường thẳng (d) vẽ từ B và song song với cạnh BC.
19. Viết phương trình đường thẳng qua A(1 ; 2) và:
a. Song song với giá vectơ
a

= (2 ; – 5) b. Vng góc với giá vectơ
b

= (– 1 ; 3).
c. Đi qua gốc tọa độ. d. Tạo với trục Ox một góc 30
0
, 45
0
, 120
0
.

20. Lập phương trình đường thẳng (∆):
a.Qua A(– 1 ; 3) và song song Ox b. Qua B(– 3 ; 1) và vng góc với Oy
Chương III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Trang 2
Nguyễn Thò Anh Đào Hình Học 10 Nâng Cao
c.Qua M(1 ; 4) và // (d): 3x – 2y + 1 = 0 d. Qua N(– 1 ; – 4) và ⊥ (d’):5x – 2y + 3 = 0
e.Qua E(4 ; 2) và có hệ số góc k = – 3. f. Qua P(3 ; – 1) và Q(6 ; 5)
21. Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d
1
) : 2x – y + 5 = 0, (d
2
) :
3x + 2y – 3 = 0 và thỏa một trong các điều kiện sau :
a.(∆) đi qua điểm A(–3 ; –2) b. (∆) cùng phương với (d
3
) : x + y + 9 = 0
c.(∆) vng góc với đường thẳng (d
4
) : x + 3y + 1 = 0.
22. Viết phương trình tham số của các đường thẳng :
a. 2x + 3y – 6 = 0 b. y = –4x + 5 c. x = 3
d. 4x + 5y + 6 = 0 e. 2x – 3y + 3 = 0 f. y = 5
23. Cho ∆ABC có phương trình (AB):



−=
=
t38y
tx
, (BC) : x – 3y – 6 = 0, (AC):

1
1y
3
3x
−
−
=
−
.
a. Tìm tọa độ 3 đỉnh của ∆ABC. b. Viết phương trình đường cao AH
c. Tính diện tích của ∆ABC d. Tính góc B của ∆ABC.
24. Cho ba điểm A, B, C. Biết A(1 ; 4) , B(3 ; –1) , C(6 ; 2)
a. Chứng minh rằng 3 điểm A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b. Lập phương trình các cạnh của ∆ABC.
c. Lập phương trình đường cao AH và trung tuyến AM.
25. Cho ∆ABC có trung điểm ba cạnh AB, BC, CA lần lượt là M(– 1 ; – 1) , N(1 ; 9) , P(9 ; 1).
a. Viết phương trình 3 cạnh b. Viết phương trình 3 trung trực
c. Tính diện tích của ∆ABC d. Tính góc B của ∆ABC.
26. Cho tam giác ABC biết A(2 ; 6) , B(–3 ; –4) , C(5 ; 0). Lập phương trình đường:
a. Phân giác trong của góc A. b. Phân giác ngồi của góc A.
27. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi hai trục tọa độ và đường
thẳng có phương trình : 8x + 15y – 120 = 0.
28. Cho ∆ABC biết phương trình cạnh AB : 4x + y – 12 = 0, đường cao BH : 5x – 4y – 15 = 0, đường
cao AH : 2x + 2y – 9 = 0. Hãy viết phương trình hai cạnh và đường cao còn lại.
29. Cho ∆ABC biết 3 cạnh có phương trình : 2x + y + 2 = 0, 4x + 5y – 8 = 0 và 4x – y – 8 = 0. Viết
phương trình 3 đường cao.
30. Cho ∆ABC biết phương trình (AB): x – 3y – 6 = 0, (AC): x + y – 6 = 0, trọng tâm G







3
4
;
3
10
. Tìm
phương trình cạnh BC và tọa độ 3 đỉnh của ∆ABC.
31. Cho ∆ABC biết A(1 ; 3), hai đường trung tuyến có phương trình x – 2y + 1 = 0 và y = 1. Viết
phương trình 3 cạnh và tìm hai đỉnh còn lại của ∆ABC.
32. Cho hai đường thẳng x – 3y + 10 = 0, 2x + y – 8 = 0 và điểm P(0 ; 1).
Tìm phương trình đường thẳng đi qua P và cắt hai đường thẳng đã cho tại hai điểm sao cho P là trung
điểm của đoạn thẳng nối hai giao điểm đó.
33. Cho ∆ABC, biết A(1 ; 3) và hai trung tuyến BM: x – 2y + 1 = 0 và CN : y – 1 = 0
a. Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC. b. Tìm tọa độ trung điểm P của cạnh BC.
c. Viết phương trình của đường thẳng chứa các cạnh của ∆ABC.
34. Biện luận theo m vị trí tương đối của hai đường thẳng :
(d
1
) : mx + y + 2 = 0 (d
2
) : x + my + m + 1 = 0
(d
1
) : (m – 2)x + (m – 6)y + m – 1 = 0 (d
2
) : (m – 4)x + (2m – 3)y + m – 5 = 0
35. Cho điểm M(1 ; 2). Lập phương trình của đường thẳng qua M và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn

có độ dài bằng nhau.
36. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng (d) với :
a. M(2 ; 1) và (d): 2x + y – 3 = 0 b. M(3 ; – 1) và (d): 2x + 5y – 30 = 0
Chương III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Trang 3
Nguyễn Thò Anh Đào Hình Học 10 Nâng Cao
37. Tìm hình chiếu của điểm M(0 ; 2) lên đường thẳng (d)



−=
+=
t3y
t22x
.
38. Tìm tọa độ diểm đối xứng của điểm M qua đường thẳng (d) với :
a. M(4 ; 1) và (d): x – 2y + 4 = 0 b. M(– 5 ; 13) và (d): 2x – 3y – 3 = 0
c. M(2 ; 1) và (d): 14x – 4y + 29 = 0 d. M(3 ; – 1) và (d): 2x + 3y – 1 = 0
39. Tìm phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với đường thẳng (d) qua đường thẳng (∆):
a.(d): 2x – y + 1 = 0 và (∆): 3x – 4y +2 = 0 b. (d): x – 2y + 4 = 0 và (∆): 2x + y – 2 = 0
c.(d): x + y – 1 = 0 và x – 3y + 3 = 0 d. (d): 2x – 3y + 1= 0 và (∆): 2x – 3y – 1 = 0.
40. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a.(d): 4x –10y + 1=0 và (∆):



−−=
+=
t23y
t21x
b. (d): 6x – 3y + 5 = 0 và (∆):




+=
+=
t23y
t5x
c.(d): 4x + 5y –6=0 và (∆) :



−=
+−=
t46y
t56x
d. (d): x = 2 và (∆): x + 2y – 4 = 0
41. Cho hai đường thẳng (d
1
) : (m – 1)x + (m + 1)y – 5 = 0 và (d
2
) : mx + y + 2 = 0.
a.Chứng minh rằng (d
1
) ln cắt (d
2
) b. Tính góc giữa (d
1
) và (d
2
).

42. Tìm góc tạo bởi hai đường thẳng :
a.(d): 2x –y + 3 = 0 và (∆): x –3y + 1 = 0 b. (d) : 2x – y + 3 = 0 và (∆) : 3x + y – 6 = 0
c.(d) : 3x – 7y + 26 = 0 và (∆) : 2x + 5y – 13 = 0
43. Viết phương trình đường thẳng (d) biết:
a.(d) qua điểm M(1 ; 2) và tạo với (∆) : 3x – 2y + 1 = 0 một góc 45
0
.
b. (d) qua điểm N(2 ; 1) và tạo với (∆) : 2x – 3y + 4 = 0 một góc 45
0
.
c.(d) qua điểm P(2 ; 5) và tạo với (∆) : x + 3y + 6 = 0 một góc 60
0
.
d. (d) qua điểm A(1 ; 3) và tạo với (∆) : x – y = 0 một góc 30
0
.
44. Cho ∆ABC cân tại A. Biết phương trình cạnh BC : 2x – 3y – 5 = 0 và AB : x + y + 1 = 0. Lập
phương trình cạnh AC biết rằng nó đi qua M(1 ; 1).
45. Cho hình vng ABCD có tâm I(4 ; –1) và phương trình cạnh AB : x + 2y – 1 = 0.
Hãy lập phương trình hai đường chéo của hình vng.
46. Hình thoi ABCD có phương trình 2 cạnh và một đường chéo là (AB) : 7x – 11y + 83 = 0, (CD) : –
7x + 11y + 53 = 0, (BD) : 5x – 3y + 1 = 0. Lập phương trình đường chéo còn lại của hình thoi ABCD
47. Cho hình chữ nhật có phương trình hai cạnh : 5x + 2y + 2 = 0, 5x + 2y – 27 = 0 và 1 đường chéo
có phương trình 3x + 7y + 7 = 0. Viết phương trình 2 cạnh và đường chéo còn lại.
48. Tìm các khoảng cách từ các điểm đến các đường thẳng tương ứng sau :
a. A(3 ; 5) và (∆) : 4x + 3y + 1 = 0 b. B(1 ; –2) và (∆) : 3x – 4y – 26 = 0
c. C(3 ; –2) và (∆) : 3x + 4y – 11 = 0 d. M(2 ; 1) và (∆) : 12x – 5y + 7 = 0
49. Tìm bán kính của đường tròn tâm C(–2 ; –2) và tiếp xúc với (d) : 5x + 12y – 10 = 0.
50. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng:
(d

1
) : Ax + By + C = 0 (d
2
) : Ax + By + C’ = 0
(d
1
) : 48x + 14y – 21 = 0 (d
2
) : 24x + 7y – 28 = 0
51. Viết phương trình (d) biết :
a. (d) đi qua điểm M(2 ; 7) và cách điểm N(1 ; 2) một khoảng bằng 1.
b. (d) đi qua điểm A(2 ; 1) và cách điểm B(1 ; 2) một khoảng bằng 1.
c. (d) đi qua điểm B(5 ; 1) và cách điểm F(0 ; 3) một khoảng bằng 2.
52. Lập phương trình đường thẳng cách điểm A(1 ; 1) một khoảng bằng 2 và các cách điểm B(2 ; 3)
một khoảng bằng 4.
53. Lập phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng:
(d
1
) : 3x + 4y + 12 = 0 (d
2
) : 12x + 5y – 7 = 0
(d
1
) : x – y + 4 = 0 (d
2
) : x + 7y – 12 = 0
Chương III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Trang 4
Nguyễn Thò Anh Đào Hình Học 10 Nâng Cao
54. Cho ∆ABC với A(3 ; 2), B(1 ; 1) và C(5 ; 6). Viết phương trình phân giác trong của góc A.
55. Cho ∆ABC, biết BC : 3x + 4y – 1 = 0, CA : 4x + 3y – 1 = 0 và BC : x = 0.

a. Tìm phương trình các đường phân giác trong của góc A và B.
b. Tìm tâm I, J và bán kính R, r lần lượt của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ∆ABC.
56. Tìm m để ba đường thẳng sau đồng qui:
a. (d
1
) : y = 2x – 1 (d
2
) : 3x + 5y = 8 (d
3
) : (m + 8)x – 2my = 3m
b. (d
1
) : y = 2x – m (d
2
) : y = –x + 2m (d
3
) : mx – (m – 1)y = 2m – 1
c. (d
1
) : 5x + 11y = 8 (d
2
) : 10x – 7y = 74 (d
3
) : 4mx + (2m – 1)y = m + 2
57. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3 điểm A(1 ; 6), B(–4 ; –4) và C(4 ; 0).
a. Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
b. Tìm tọa độ giao điểm của BC với hai đường phân giác trong và ngồi của góc A.
c. Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC.
58. Chứng minh rằng khi m thay đổi, các đường thẳng sau ln đi qua một điểm cố định. Hãy xác định
tọa độ của điểm cố định đó.

a.(m – 2)x – y + 3 = 0 b. mx – y + (2m + 1) = 0
c.mx – y – 2m – 1 = 0 d. (m + 2)x – y + 1 – 2m = 0
59. Cho A(3 ; 1) và B(–1 ; 2) và đường thẳng (d) : x – 2y + 1 = 0. Tìm tọa độ điểm C ∈ (d) để :
a. ∆ABC cân tại A. b. ∆ABC vng tại C.
60. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ABC. Biết BC có trung điểm M(0 ; 5), hai cạnh còn lại có
phương trình là 2x + y – 12 = 0 và x + 4y – 6 = 0.
a. Xác định tọa độ đỉnh A.
b. Gọi C là đỉnh nằm trên đường thẳng x + 4y – 6 = 0. Điểm N là trung điểm của AC. Xác định tọa
độ điểm N, rồi tính các tọa độ đỉnh C và B của ∆ABC.
61. Cho ∆ABC có đỉnh A(2 ; 2).
a. Lập phương trình các cạnh của tam giác, biết rằng phương trình các đường cao kẻ từ B và C lần
lượt là: 9x – 3y – 4 = 0 và x + y – 2 = 0.
b. Lập phương trình đường thẳng đi qua và vng góc với đường thẳng AC.
62. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ABC, biết A(–1 ; 2), B(2 ; 0), C(–3 ; 1).
a. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
b. Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao cho S
∆
ABM
= ⅓ S
∆
ABC
.
63. a. Viết phương trình đường thẳng d qua A(2 ; 2) và cách B(3 ; 1) một đoạn bằng 3.
b. Viết phương trình đường thẳng d qua A(2 ; 2) và cách đều hai điểm B(1 ; 1) và C(3 ; 4).
64. Cho 2 đường thẳng (∆) : x + 3y – 9 = 0 và (∆’) : 3x – 2y – 5 = 0.
a. Tìm tọa độ giao điểm A của ∆ và ∆’.
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B(2 ; 4)
c. Gọi C là giao điểm của (∆) với trục tung. Chứng minh rằng ∆ABC vng cân.
d. Viết phương trình đường thẳng qua A và tạo với trục Ox một góc 60
0

.
65. Lập phương trình đường thẳng đi qua P(2 ; –1) sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng
(d
1
) : 2x – y + 5 = 0 và (d
2
) : 3x + 6y – 1 = 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai
đường thẳng (d
1
) và (d
2
).
66. Cho đường thẳng (d) : 2x + y – 4 = 0 và 2 điểm M(3 ; 3), N(–5 ; 19) trên mặt phẳng tọa độ. Hạ
MK ⊥ (d) và gọi P là điểm đối xứng của M qua (d).
Tìm tọa độ của K và P.
Tìm điểm A trên (d) sao cho AM + AN có giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
67. Cho A(1 ; 1) và B(4 ; – 3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng (d) : x – 2y – 1 = 0 sao cho khoảng
cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6. (ĐH Khối B - 2004)
68. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tọa độ các đỉnh của hình vng ABCD biết A ∈ (d
1
) : x – y = 0, C ∈
(d
2
) : 2x + y – 1 = 0 và các đỉnh B, D thuộc trục Ox. (ĐH Khối A - 2005)
Chương III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Trang 5
Nguyễn Thò Anh Đào Hình Học 10 Nâng Cao
69. Cho (d
1
) : x + y + 3 = 0 và (d
2

) : x – y – 4 = 0 và (d
3
) : x – 2y = 0. Tìm M thuộc (d
3
) để khoảng
cách từ M đến (d
1
) bằng 2 lần khoảng cách từ M đến (d
2
). (ĐH Khối A - 2006)
70. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(2 ; 2) và các đường thẳng: (d
1
): x + y – 2 = 0, (d
2
) : x + y
– 8 = 0. Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc (d
1
) và (d
2
) sao cho tam giác ABC vng cân tại A.
(ĐH Khối B - 2007)
ĐƯỜNG TRỊN
1. Xác định tâm và bán kính của đường tròn sau: 2x
2
+ 2y
2
–5x + 7y –12 = 0
2. Viết phương trình đường tròn đường kính AB nếu A(7;-3) ; B(1;7) Đáp số: x
2
+y

2
-8x-4y-14=0
3. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1;3), B(5;6), C(7;0) Đáp số: x
2
+y
2
-9x-5y+14=0
4. Cho (d) x-my+2m+3=0. Tìm m để (d) tiếp xúc với đường tròn : x
2
+y
2
+2x-2y-2=0
Đáp số : m=0 ; m=4/3
5. Lập phương trình của đường tròn (C) trong các trường hợp sau :
a. Tâm I(2 ; – 3) và đi qua A(– 5 ; 4).
b.Tâm I(6 ; – 7) và tiếp xúc với trục Ox.
c. Tâm I(5 ; – 2) và tiếp xúc với trục Oy.
d. Đường kính AB với A(1 ; 1) và B(7 ; 5).
e. Đi qua 3 điểm A(–2 ; 4), B(5 ; 5) và C(6 ; –2).
f. Đi qua A(3 ; 3) và tiếp xúc với đường thẳng 2x + y – 3 = 0 tại điểm B(1 ; 1).
g. Đi qua A(1 ; 1) và tiếp xúc với hai đường thẳng 7x + y – 3 = 0 và x + 7y – 3 = 0.
h. Đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với hai đường thẳng 2x + y – 1 = 0 và 2x – y + 2 = 0.
i. Đi qua M(4 ; 2) và tiếp xúc với hai trục tọa độ.
k. Tâm I(–1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x – 2y + 7 = 0.
l. Tâm ở trên đường thẳng ∆ : 2x – y – 4 = 0 và tiếp xúc với hai trục tọa độ.
m. Tâm thuộc đường thẳng 2x + y = 0 và tiếp xúc với (d): x – 7y + 10 = 0 tại A(4 ; 2).
n. Tâm thuộc (d) : 2x + 7y + 1 = 0 và qua M(2 ; 1) và N (1 ; – 3).
o. Tâm thuộc (∆): 2x – y – 3 = 0 và tiếp xúc với 2 trục tọa độ.
p. Tâm thuộc (∆): 4x + 3y – 2 = 0 và tiếp xúc với (d) : x + y + 4 = 0 và( d’) : 7x – y + 4 = 0.
6. Lập phương trình của đường tròn (C) đi qua diểm A(1 ; –2) và các giao điểm của đường thẳng x –

7y + 10 = 0 với đường tròn : x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 20 = 0.
7. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn :
a. (C): x
2
+ y
2
– 3x + 4y – 25 = 0 tại M(– 1 ; 3)
b. (C): 4x
2
+ 4y
2
– x + 9y – 2 = 0 tại M(0 ; 2)
c. (C): x
2
+ y
2
– 4x + 4y + 3 = 0 tại giao điểm của (C) với trục hồnh.
d. (C): x
2
+ y
2
– 8x + 8y – 5 = 0 tại M(– 1 ; 0)
e. (C): x
2
+ y
2

– 2x – 4y – 3 = 0 vẽ từ M(2 ; 5).
f. (C): x
2
+ y
2
– 4x – 2y = 0 vẽ từ M(3 ; 4).
g. (C): x
2
+ y
2
– 4x + 2y + 1 = 0 vẽ từ M(4 ; 3).
h. (C): x
2
+ y
2
– 6x + 2y + 6 = 0 vẽ từ M(1 ; 3).
i. (C): (x – 1)
2
+ (y + 3)
2
= 9 vẽ từ A(2 ; 1).
k. (C): x
2
+ y
2
– 8x + 8y – 5 = 0 vẽ từ M(1 ; – 2).
8. Cho (C): x
2
+ y
2

+ 4x + 4y – 17 = 0. Lập phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết :
a. (d) tiếp xúc với (C) tại M(2 ; 1). b. (d) đi qua điểm A(2 ; 6).
c. (d) // (∆) : 3x – 4y – 192 = 0. d. (d) ⊥ (∆’) : 2x – y + 1 = 0.
9. Cho (C) : x
2
+ y
2
– 6x + 2y + 6 = 0. Lập phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết :
a. (d) tiếp xúc với (C) tại M(3 ; 1). b. (d) đi qua điểm N(1 ; 3).
c. (d) // (∆) : 5x + 12y – 2007 = 0. d. (d) ⊥ (∆’) : x + 2y = 0.
10. Cho (C): x
2
+ y
2
+ 4x + 4y – 17 = 0. Lập phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết :
a. (d) có hệ số góc k = – 2 b. (d) // (∆): 2x – y + 3 = 0.
11. Cho đường tròn có phương trình : x
2
+ y
2
– 4x + 8y – 5 = 0.
a. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn.
b. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đường tròn biết (d) :
Chương III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Trang 6
Nguyễn Thò Anh Đào Hình Học 10 Nâng Cao
i) Đi qua điểm A(–1 ; 0). ii) Đi qua điểm B(3 ; –11).
iii) vng góc với (∆) : x + 2y = 0. iv) Song song với (∆) : 3x – y + 2 = 0.
c. Tìm điều kiện của m để đường thẳng x + (m – 1)y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn.
12. Cho (C): x
2

+ y
2
– 6x + 2y = 0.
a. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vng góc với đường thẳng (∆): 3x – 6y + 6 = 0.
b. Viết phương trình đường thẳng qua 2 tiếp điểm.
13. Cho (C): x
2
+ y
2
– 2x – 4y + 1 = 0.
a. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vẽ từ gốc tọa độ O.
b. Viết phương trình đường thẳng qua 2 tiếp điểm.
14. Cho (C): x
2
+ y
2
– 4x – 2y = 0 và điểm A(3 ; – 2). Viết phương trình những tiếp tuyến với (C) vẽ từ
A và tính tọa độ tiếp điểm.
15. Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn :
a. (C
1
): x
2
+ y
2
– 1 = 0 và (C
2
): (x – 8)
2
+ (y – 6)

2
= 16
b. (C
1
): x
2
+ y
2
– 2x – 2y = 0 và (C
2
): x
2
+ y
2
+ 4x + 4y = 0
c. (C
1
): x
2
+ y
2
– 4x – 8y + 11= 0 và (C
2
): x
2
+ y
2
– 2x – 2y – 2 = 0
d. (C
1

): x
2
+ y
2
– 2x + 2y – 2 = 0 và (C
2
): x
2
+ y
2
– 6x – 2y + 9 = 0
16. Cho đường (C
m
): x
2
+ y
2
– 2mx – 4(m – 2)y + 6 – m = 0
a. Tìm điều kiện của m để (C
m
) là phương trình của đường tròn.
b. Tìm tập hợp tâm các đường tròn (C
m
) khi m thay đổi.
17. Cho đường (C
m
) : x
2
+ y
2

+ 2mx – 2(m + 1)y – 4m – 4 = 0
a. Chứng minh rằng (C
m
) là phương trình đường tròn ∀m.
b. Viết phương trình của đường tròn có bán kính R = 3.
c. Chứng minh rằng có hai đường tròn tiếp xúc với đường thẳng (d): 3x + 4y + 2 = 0.
18. Cho hai đường tròn (C
1
) : x
2
+ y
2
– 6x + 5 = 0 và (C
2
) : x
2
+ y
2
– 12x – 6y + 44 = 0
a. Xác định tâm và bán kính của các đường tròn (C
1
) và (C
2
).
b. Lập phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với cả hai đường tròn (C
1
) và (C
2
).
19. Cho điểm A(3 ; 1).

a. Tìm tọa độ B và C sao cho OABC là hình vng và B nằm trong góc phần tư thứ nhất.
b. Viết phương trình hai đường chéo và tìm tâm của hình vng OABC.
c. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp hình vng OABC.
20. Cho hai đường tròn (C
1
) : x
2
+ y
2
– 4x – 8y + 11 = 0 và (C
2
) : x
2
+ y
2
– 2x – 2y – 2 = 0
a. Xác định tâm và bán kính của các đường tròn (C
1
) và (C
2
).
b. Lập phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với cả hai đường tròn (C
1
) và (C
2
).
21. Cho ∆ABC, biết BC : x + 2y – 5 = 0, CA : 2x – y –5 = 0 và AB 2x + y + 5 = 0.
a. Tìm các góc của ∆ABC.
b. Tìm phương trình các đường phân giác trong của góc A và B.
c. Tính tọa độ tâm, bán kính và viết phương trình đường tròn nội tiếp ∆ABC.

22. Cho ∆ABC có A(0,25 ; 0), B(2 ; 0), C(–2 ; 2).
a. Tìm góc C của tam giác ABC.
b. Lập phương trình đường tròn nội tiếp ∆ABC.
c. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp ∆ABC biết tiếp tuyến này song song với cạnh
BC. Tìm tọa độ tiếp điểm.
23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2 ; 4), B(1 ; –1) và C(4 ; 1).
a. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C.
b. Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn ấy tại điểm A và C.
c. Tìm góc tạo bởi hai tiếp tuyến ấy.
24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(12 ; 0) và B(0 ; 5).
a. Lập phương trình đường tròn (C
1
) nội tiếp tam giác OAB.
b. Lập phương trình đường tròn (C
2
) đi qua ba trung điểm của ba cạnh của ∆OAB.
Chương III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Trang 7
Nguyễn Thò Anh Đào Hình Học 10 Nâng Cao
c. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C
2
) đi qua điểm O.
d. Chứng tỏ rằng hai đường tròn (C
1
) và (C
2
) khơng cắt nhau.
25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C
m
) : x
2

+ y
2
– 2(m – 1)x – 4my + 3m + 11 = 0
a. Với giá trị nào của m thì (C
m
) là một đường tròn.
b. Xác định tâm cà bán kính của đường tròn với m = 3.
c. Tìm tập hợp tâm của đường tròn (C
m
) khi m thay đổi.
26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C
m
) : x
2
+ y
2
– 4mx – 2y + 4m = 0
a. Chứng minh rằng (C
m
) là đường tròn với mọi giá trị của m. Tìm tâm và bán kính của đường tròn
đó theo m.
b. Tìm tập hợp tâm của đường tròn (C
m
) khi m thay đổi.
27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C
m
) : x
2
+ y
2

+ 2mx – 4(m + 1)y – 1 = 0
a. Tìm tập hợp tâm của đường tròn (C
m
) khi m thay đổi.
b. Chứng tỏ rằng các đường tròn này đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi.
c. Cho m = 3 và điểm A(0 ; –1). Viết phương trình các tiếp tuyến của (C
3
) kẻ từ điểm A.
28. Cho phương trình : x
2
+ y
2
– 6x – 2y + 6 = 0 (1)
a. Chứng minh rằng (1) là phương trình của đường tròn (C), xác định tâm và bán kính.
b. Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) xuất phát từ A(5 ; 7). Tìm tọa độ tiếp điểm.
29. Cho đường tròn (T) có phương trình : x
2
+ y
2
– 4x + 2y + 1 = 0.
a. Chứng minh rằng đường thẳng OA với A(– 4 ; –3) tiếp xúc với đường tròn (T).
b. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc Ox và tiếp xúc với đường thẳng OA tại A.
30. Cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
– 6x – 4y – 12 = 0 và điểm A(0,5 ; 4,5).
a. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đã cho.
b. Chứng tỏ điểm A ở trong đường tròn.
c. Viết phương trình đường thẳng chứa dây cung qua A sao cho dây cung ngắn nhất.

31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C
m
) : x
2
+ y
2
– (m – 2)x + 2my – 1 = 0
a. Tìm tập hợp tâm của đường tròn (C
m
) khi m thay đổi.
b. Chứng tỏ rằng các đường tròn này đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi.
c. Cho m = –2 và điểm A(0 ; –1). Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C
-2
) kẻ từ điểm
A.
32. Xét đường thẳng (d) :
2
x + my + 1 –
2
= 0 và 2 đường tròn (C
1
): x
2
+y
2
– 4x + 2y – 4 =0 ; (C
2
)
: x
2

+ y
2
– 10x – 6y + 30 = 0 có tâm lần lượt là I và J.
a. Chứng minh rằng (C
1
) tiếp xúc ngồi với (C
2
) và tìm tọa độ tiếp điểm H.
b. Gọi (D) là một tiếp tuyến chung khơng đi qua H của (C
1
) và (C
2
). Tìm tọa độ giao điểm K của (D)
và đường thẳng IJ. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua K và tiếp xúc với hai đường tròn (C
1
) và
(C
2
) tại H.
33. Cho điểm I(–1 ; 2) và đường thẳng ∆ : 3x + 2y + 12 = 0.
a. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng ∆.
b. CMR : đường thẳng d : x – 5y – 2 = 0 cắt (C) tại 2 điểm A và B. Tính AB.
c. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) mà song song với đường thẳng 2x – 3y + 1 = 0.
d. CMR : điểm M(1 ; 3) nằm trong đường tròn (C). Viết phương trình đường thẳng chứa dây cung
của (C) nhận M làm trung điểm.
34. Cho hai điểm I(0 ; 5) và M(3 ; 1).
a. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I và đi qua điểm M.
b. Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) kẻ từ A(5 ; –2).
c. Định m để đường thẳng d : y = x + m và đường tròn (C) có giao điểm.
d. CMR : N(5 ; 5) thuộc đường tròn. Tìm điểm P trên (C) sao cho ∆MNP vng tại M.

35. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho hai điểm I(–1 ; 2) và M(–3 ; 5).
a. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I và đi qua M.
b. Định m để đường thẳng ∆ : 2x + 3y + m = 0 tiếp xúc với (C).
Chương III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Trang 8
Nguyễn Thò Anh Đào Hình Học 10 Nâng Cao
c. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại hai giao điểm A, B của đường tròn (C) với đường
thẳng x – 5y – 2 = 0.
d. Tìm điểm C sao cho ∆ABC là tam giác vng nội tiếp đường tròn (C).
36. Cho đường thẳng ∆ : y + 2x + 3 = 0 và hai điểm A(–5 ; 1) và B(–2 ; 4).
a. Viết phương trình đường tròn (C) qua A, B và có tâm I thuộc đường thẳng ∆.
b. Viết phương trình tiếp tuyến tại A với đường tròn (C). Tìm tọa độ giao điểm của tiếp tuyến này
với trục Ox.
c. Viết phương trình các tiếp tuyến với đường tròn (C), biết tiếp tuyến qua E(1 ; 2). Tìm tọa độ tiếp
điểm.
37. Cho phương trình x
2
+ y
2
– 2mx – 2(m – 1)y = 0 (1).
a. Chứng minh rằng với mọi m (1) là phương trình của đường tròn.
b. Tìm bán kính và giá trị nhỏ nhất của bán kính của đường tròn trên.
c. Tìm tập hợp tâm của đường tròn (1) khi m thay đổi.
d. Chứng tỏ rằng các đường tròn này đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi.
e. Tìm m để đường tròn (1) tiếp xúc với đường thẳng : x + y – 1 = 0.
38. Cho hai đường tròn (C) : (x – 1)
2
+ (y + 2)
2
– 13 = 0 và (C’) : (x + 3)
2

+ (y – 1)
2
– 36 = 0
a. Chứng tỏ hai đường tròn trên cắt nhau.
b. Viết phương trình đường thẳng chứa dây cung chung.
c. Tính độ dài đoạn dây cung chung.
39. Cho A(2 ; 0), B(6 ; 4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với Ox tại A và khoảng cách từ
tâm của (C) d8ến B bằng 5. (ĐH khối B - 2005)
40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) :x
2
+ y
2
– 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M(– 3 ;
1). Gọi T
1
và T
2
là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng
T
1
T
2
. (ĐH Khối B - 2006)
41. Cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
– 2x – 2y + 1 = 0 và đường thẳng (d) : x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ điểm
M nằm trên (d) sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đơi bán kính đường tròn (C) và tiếp xúc
ngồi với đường tròn (C). (ĐH Khối D - 2006)

42. Cho đường tròn (C) có phương trình x
2
+ y
2
– 4x + 6y – 12 = 0 (TNBT lần 2 – 06 - 07)
a. Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C).
b. Tính khoảng cách từ điểm I tới đường thẳng (d) có phương trình x – 3y – 1= 0.
43. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(– 2 ; – 2) và C(4; – 2). Gọi
H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương
trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N. (ĐH Khối A - 2007)
44. Cho đường tròn (C) : (x – 1)
2
+ (y + 2)
2
= 9 và đường thẳng (d) : 3x – 4y + m = 0. Tìm m để trên
(d) có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C), (A, B là các tiếp
điểm) sao cho tam giác PAB đều. (ĐH Khối D - 2007)
Chương III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Trang 9
Nguyễn Thò Anh Đào Hình Học 10 Nâng Cao
ELIP
1. Xác định các yếu tố của (E) : 4x
2
+16y
2
-1=0
2. Lập phương trình chính tắc của (E) biết
a. A(0;-2) là một đỉnh và F(1;0) là một tiêu điểm
b. Tiêu cự bằng 6 tâm sai bằng 3/5
3. Cho (E)
1

19
2
2
=+
y
x
, tìm trên (E) những điểm thoả mãn
a. Có bán kính qua tiêu điểm trái bằng hai lần bán kính qua tiêu phải
b. Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vng
4. Xác định tiêu cự, tiêu điểm, các đỉnh, độ dài 2 trục, tâm sai, các đường chuẩn của Elip sau :
a. 4x
2
+ 9y
2
= 36 b. x
2
+ 4y
2
= 64
c. 4x
2
+ 9y
2
= 5 d. x
2
+ 4y
2
= 1
e.3x
2

+ 4y
2
= 48 f. x
2
+ 5y
2
= 20
g. 4x
2
+ 4y
2
= 16 h. 9x
2
+ 4y
2
= 36
5. Tìm phương trình chính tắc của elip (E). Biết :
a. Một tiêu điểm (– 4 ; 0) và độ dài trục lớn bằng 10.
b. Tiêu cự là 8 và qua điểm M(–
15
; 1).
c. Tâm sai là
3
2
và qua điểm A(2 ;
3
5−
).
d. Tâm O và qua 2 điểm M(2
2

; – 3) và N(4 ;
3
)
e. Một tiêu điểm F
1
(–
3
; 0) và qua M(1 ;
2
3
).
f. Trục lớn bằng 6 và tiêu cự bằng 4.
g. Trục lớn trên Ox, trục nhỏ trên Oy, độ dài các trục là 8 và 6.
h. Độ dài trục lớn là 26, tâm sai e =
13
12
và hai tiêu điểm trên Ox.
i. Trục lớn trên Ox, trục nhỏ trên Oy, có 2 đỉnh là (– 4 ; 0) và (0 ;
15
).
k. Tâm O, một đỉnh trên trục lớn là (4 ; 0) và elip qua M(2 ; –
2
33
).
l. Phương trình các cạnh hình chữ nhật cơ sở là : x ± 4 = 0 và y ± 3 = 0.
m. Hai đỉnh trên trục lớn là (– 3 ; 0) ; (3 ; 0) và tâm sai là e =
3
2
.
n. Một đỉnh trên trục lớn là (0 ; 5) và phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở là x

2
+
y
2
= 41.
o. Tâm O, trục lớn trên Ox, qua M(–
5
; 2) và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 10.
p. Tâm O, trục nhỏ trên Oy, tiêu cự bàng 6 và tâm sai e =
5
3
.
6. Tìm phương trình chính tắc của elip (E). Biết :
a. Biết tiêu cự bằng 2
2
và tiếp xúc với đường thẳng (∆) : x + 6y – 20 = 0.
b. Qua M(– 2 ;
2
) và phương trình hai đường chuẩn là: x ± 4 = 0
c. Một tiêu điểm là (– 2 ; 0) và một đường chuẩn là x = 3.
d. Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 12 và một đỉnh là (
12
; 0).
7. Tìm M thuộc:
a. (E) : 4x
2
+ 9y
2
– 36 = 0 sao cho MF
1

= 2MF
2
.
b. (E) : 9x
2
+ 25y
2
= 225 sao cho MF
1
= 2MF
2
.
c. (E) : 3x
2
+ 4y
2
= 48 sao cho 5MF
1
= 3MF
2

d. (E) : x
2
+ 9y
2
– 9 = 0 sao cho M nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc vng.
e. (E) : x
2
+ 4y
2

= 4 và nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc 60
0
.
Chương III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Trang 10
Nguyễn Thò Anh Đào Hình Học 10 Nâng Cao
f. (E) : 7x
2
+ 16y
2
= 112 có bán kính qua tiêu điểm bằng
2
5
.
8. Cho Elip (E) :
1
9
y
16
x
22
=+
.
a. Tìm độ dài dây cung vng góc với trục đối xứng tại tiêu điểm.
b. Cho điểm M ∈ (E) và F
1
, F
2
là hai tiêu điểm. C.minh: OM
2
+ MF

1
. MF
2
khơng đổi.
9. Cho Elip (E) : x
2
+ 4y
2
– 9 = 0.
a. Tìm tâm, tiêu điểm, đỉnh, tâm sai.
b. Tìm m để đường thẳng (d): mx + y – 6 = 0 và (E) có điểm chung.
10. Cho Elip (E) : 9x
2
+ 25y
2
– 225 = 0.
a. Một đường thẳng qua tiêu điểm và song song với trục tung, cắt (E) tại hai điểm A, B. Tính độ dài
AB.
b. Cho M ∈ (E). Chứng minh: (MH
1
– MF
2
)
2
= 4(OM
2
– 9) với F
1
, F
2

là hai tiêu điểm.
11. Cho Elip (E) :
1
8
y
18
x
22
=+
.
a. Tìm M ∈ (E) để MF
1
(x
M
< 0) ngắn nhất.
b. Cho M bất kỳ thuộc (E). Chứng minh : 2
2
≤ OM ≤ 3
2
12. Cho Elip (E) : 4x
2
+ 25y
2
– 100 = 0.
a. Một đường thẳng qua gốc O có hệ số góc k cắt Elip (E) tại A. Tính OA
2
theo k.
b. Cho 2 điểm A, B bất kỳ trên (E). Chứng minh:
22
OB

1
OA
1
+
khơng đổi.
13. Cho Elip (E) : 9x
2
+ 16y
2
– 144 = 0.
a. Tìm m để đường thẳng mx – y + 8m = 0 cắt (E) tại hai điểm phân biệt.
b. Viết phương trình đường thẳng qua I(1 ; 2) cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho I là trung điểm của
AB.
14. Tìm điểm trên (E) : x
2
+ 4y
2
= 4 và nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc 60
0
.
15. Cho đường cong (C
m
) :
1
m2
y
24m
x
2
2

2
=
−
+
−
.
a. Tìm m để (C
m
) là Elip có tiêu điểm trên Ox.
b. Gọi (C
–7
) là elip ứng với m = – 7. Tìm trên (C
–7
) điểm M sao cho hiệu số 2 bán kính qua tiêu điểm
bằng
5
32
.
16. Lập phương trình tiếp tuyến của (E) :
1
18
y
32
x
22
=+
a. Tại điểm M(4 ; 3) b. Qua điểm N(6 ; 3)
17. a. Lập phương trình tiếp tuyến của (E) : x
2
+ 4y

2
= 20 qua M






3
5
;
3
10
.
b. Lập phương trình tiếp tuyến của (E) : 9x
2
+ 16y
2
= 144 biết tiếp tuyến này song song với đường
thẳng (∆) : 9x + 16y – 1 = 0.
18. Cho elip (E) : x
2
+ 4y
2
= 60.
a. Tìm tiêu điểm, các đỉnh, tâm sai và tính khoảng cách giữa hai đường chuẩn của (E)
b. Viết phương trình tiếp tuyến (D) của (E), biết (D) vng góc với (∆): 2x – 3y = – 1.
19. Cho elip (E) : 4x
2
+ 9y

2
= 36 và điểm A(3 ; – 4).
a. Tìm tiêu điểm, độ dài các trục, các đường chuẩn của (E)
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (E)vẽ từ A.
20. Cho elip (E) có khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 36 và các bán kính qua tiêu điểm M nằm trên
(E) là 9 và 15.
a. Viết phương trình chính tắc của (E).
Chương III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Trang 11
Nguyễn Thò Anh Đào Hình Học 10 Nâng Cao
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M.
21. Cho (E) :
1
4
y
9
x
22
=+
và đường thẳng (d) : mx – y – 1 = 0.
a. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d) ln cắt elip (E) tại hai điểm phân biệt.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (E), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm N (1 ; − 3).
22. Cho (E) :
1
9
y
16
x
22
=+
và đường thẳng (d) : y = x + m.

a. Định m để (d) có điểm chung với (E). b. Định m để (d) tiếp xúc với (E).
23. Cho Elip (E) :
1
9
y
16
x
22
=+
. (Trích đề thi TN THPT 2000 - 2001)
a. Tìm tiêu điểm và độ dài các trục của (E).
b. Điểm M ∈ (E) nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc 90
0
. Viết pttt của (E) tại M.
24. Cho elip (E) có khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 36 và các bán kính qua tiêu điểm cỉa điểm M
nằm trên (E) là 9 và 15.
a. Viết phương trình chính tắc của (E).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M. (TN THPT 2002 - 2003)
25. Cho Elip (E) :
1
16
y
25
x
22
=+
. (TN THPT 2003 - 2004)
a. Cho M(3 ; m) ∈ (E), viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M khi m > 0.
b. Cho A, B là 2 điểm thuộc (E) sao cho AF
1

+ BF
2
= 8. Hãy tính AF
2
+ BF
1
.
26. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :
1
16
y
25
x
22
=+
. Xác định tọa độ các tiêu điểm,
tính độ dài các trục và tâm sai của elip (E). (TN THPT+ BT 2006 – 2007 lần 1)
27. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) có phương trình:
1
9
y
16
x
22
=+
. Xét điểm M
chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN ln tiếp xúc
với (E). Xác định tọa độ của M , N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất . Tính giá trị nhỏ nhất đó .
(ĐH khối D - 2002)
28. Cho Elip (E) :

1
1
y
4
x
22
=+
và C(2 ; 0). (ĐH khối D - 2005)
29. Tìm A và B thuộc (E) biết A, B đối xứng qua Ox và ∆ABC đều.
30. Viết phương trình các tiếp tuyến của elip
1
4
y
9
x
22
=+
, biết rằng tiếp tuyến đi qua M(3 ; 1).
(CĐ KTYTI - 2005)
31. Viết phương trình các tiếp tuyến của elip
1
9
y
16
x
22
=+
, biết rằng tiếp tuyến đi qua A(4 ; –3).
(CĐ Hoa Sen Khối D - 2006)
32. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E): 4x

2
+ 9y
2
= 36. (CĐ NTT - 2007)
a. Tìm tọa độ các tiêu điểm của (E).
b. Tìm điểm M trên (E) nhìn các tiêu điểm của (E) dưới một góc vng.
33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai elip (E
1
): x
2
+
1
16
y
2
=
và (E
2
):
1
8
y
5
x
22
=+
.
Chứng minh (E
1
) và (E

2
) có bốn điểm chung cùng thuộc một đường tròn (C). Viết phương trình của
(C). (ĐH SG hệ CĐ khối D - 2007 )

Chương III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Trang 12
Nguyễn Thò Anh Đào Hình Học 10 Nâng Cao
BA ĐƯỜNG CƠNIC
1. Lập phương trình chính tắc của (H) biết:
a. Độ dài trục là 8 và tiêu cự bằng 10
b. Tiêu cự bằng 20 và một tiệm cận có phương trình: 4x – 3y = 0
c. Một đỉnh trên trục thực là (-3;0), phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở là:
2 2
16 0x y+ − =

d. Khoảng cách giữa các đường chuẩn bằng
32
5
, độ dài trục ảo bằng 6
e. (H) có hai tiêu điểm trùng với 2 tiêu điểm của elip (E):
2 2
9 25 225 0x y+ − =
và có tâm sai bằng 2.
2. Xác định tiêu cự, tiêu điểm, các đỉnh, độ dài 2 trục, tâm sai, các đường chuẩn của hypebol sau :
a.
2 2
1
4 21
x y
− =
b.

2 2
1
144 25
x y
− =
c.
2 2
1
5 45
x y
− =
d.
2 2
1
81 64
x y
− =
e.
2 2
1
25 9
x y
− =
f.
2 2
1
16 9
x y
− =
g.

2 2
7x y
− =
h. x
2
- 25y
2
= 25
i. 4x
2
-16y
2
-1=0
3. Tìm phương trình chính tắc của parabol (P). Biết :
a. (P) có đỉnh là gốc tọa độ và nhận đường thẳng x = - 4 làm đường chuẩn.
b. (P) có tiêu điểm là F(2;0)
c. (P) có đường chuẩn là x = - 3
d. khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là 5
4. Cho (H):
2 2
1
99 33
x y
− =
. Tính góc giữa hai đường tiệm cận.
5. Cho đường thẳng
∆
và 1 điểm F khơng thuộc
∆
. Tập hợp các điểm M sao cho

( )
1
;
2
MF d M
= ∆

là đường gì?
6. a. Tìm độ dài dây cung vng góc với trục thực của (H):
2 2
5 4 20 0x y− − =
tại tiêu điểm.
b. Cho(H):
2 2
4 4 0x y− + =
. Tìm những điểm trên (H) có tọa độ ngun.
Chương III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Trang 13