Một dạng phương pháp chứng minh BĐT thuần nhất

Một dạng phương pháp chứng minh BĐT thuần nhất
06/01/2006
Nếu nhìn 1 cách tổng quan,toàn bộ chương trình toán phổ
thông nhận lí thuyết hàm số làm xương sống,trong hai lĩnh
vực bất đẳng thức và giải phương trình thì điều này lại càng
được minh chứng rõ ràng hơn Các bdt đặc biệt là ở dạng
thuần nhất có thể có rất nhiều cách giải,trong bài viết này tôi
sẽ nêu 1 trong những cách giải đó,sử dụng hàm số và kĩ
thuật phương trình 1 cách triệt để,mong qua đó có thể giúp các bạn học
phổ thông đơn giản hóa tư duy nhưng vẫn giữ được vẻ đẹp của các
bdt,cũng như sự lãng mạn khi giải bài của các bạn
Chúng ta bắt đầu với 1 bài toán rất đơn giản:
1) Cho
CMR:
Lời giải: Xét hàm số :
Với đk đã cho
Ta có:
Hay là
Như vậy f(x) là hàm đồng biến tức là với x y ta có : f(x) f(y)=0 (ĐPCM)
2) Cho a>b>c>0
CMR:
Lời giải:
Xét hàm số:
Ta có :
Tiếp tục lấy đạo hàm:
Ta có: 0' align=absMiddle border=0>
do a>b>c>0 đã có ở trên
Do nên là hàm đồng biến như vậy
Mà
( Bạn có thể dễ dàng chứng minh theo Cauchy hoặc phân tích f'(b) thành
nhân tử )

Như vậy do f'(a) >0 nên f(a) đồng biến hay là f(a)>f(b)=0 như vậy ta có
ĐPCM ( chuyển lại VP qua ta trở về BDT cần CM)
3) Cho x,y,z>o CMR:
Lời giải:
Không mất tính tổng quát ta giả sử: x y z
Xét hàm số
Ta có :
Tiếp tục đạo hàm ta có:
Có ngay f"(x)>0 do x y z >0
Như vậy hàm f'(x) là đồng biến vậy thì:
Mặt khác
Như vậy ta có : f'(x) 0 hay là hàm f(x) đồng biến Như vậy
f(x) f(y) mà
như vậy f(x) 0 ta có ĐPCM
Cùng sử dụng 1 đường lối như thế này các bạn có thể thu được lời giải
của các bài toán tương tự dưới đây:
1) Olympic Hy Lạp
Cho a,b,c dương
CMR
2) Crux Mathematicorum
Cho a,b,c dương
CMR