GIAO AN DS 11 NC HKII

Tuần 20
Tiết PP: 49, 50, 51 CHƯƠNG 3: DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
I. MỤC TIÊU
+ Kiến thức: Giúp cho học sinh
- Có khái niệm về suy luận quy nạp;
-Nắm được phương pháp quy nạp toán học.
+ Kĩ năng:
-Giúp học sinh biết cách vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải quyết các bài toán cụ
thể đơn giản.
+ Thái độ, tư duy:
-Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi.
-Tư duy: phát triển tư duy logic, tính chặc chẽ trong giải toán.
II.CHUẨN BỊ:
- Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT.
- Học sinh: đọc trước bài ở nhà.
III. NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:
+ Ổn định lớp : Kiểm tra sỉ số, tác phong của hs
+ Kiểm tra bài cũ: Không kiểm tra
+ Bài mới:
TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng
1. Hãy kiểm tra với n =
1, 2 ?
2. Cm n=3 (1) đúng.
3. có thể thử với mọi n
không?
- Tuy nhiên dựa
vào lập luận trên ta có
thể đưa ra cách c/m bài
toán.
+ n = 1,2: (1) đúng

+ Cộng thêm hai vế với
2.3 ta c/m được (1)
đúng.
+ không thể
1. Phương pháp quy nạp toán học
Bài toán: Chứng minh mọi số
nguyên dương n ta có:
3
)2)(1(
)1( 3.22.1
++
=++++
nnn
nn
(1)
Khái quát: Ta có thể c/m được
mệnh đề sau: Nếu (1) đúng với n=k
(nguyên dương) thì nó cũng đúng
với n=k+1.
Giái bài toán trên:
+ n = 1: 1=1 (đúng)
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang1
+ Giả sử (1) đúng với n=k (ng
dương)
Ta có:
3
)2)(1(
)1( 3.22.1
++

=++++
kkk
kk
suy ra
3
)3)(2)(1(
)2)(1(
3
)2)(1(
)2)(1()1( 3.22.1
+++
=+++
++
=+++++++
kkk
kk
kkk
kkkk
Vậy (1) đúng với mọi n nguyên
dương.
Phương pháp quy nạp toán học:
Để c/m mệnh đề A(n) đúng
∀
n
∈
N
*
ta thực hiện:
B1: C/m A(n) đúng khi n=1.
B2:

∀
n
∈
N
*
giả sử A(n) đúng với
n=k, cần chứng minh A(n) cũng
đúng với n=k+1.
1. CM công thức đúng
với n=1
2 . Giả sử công thức
đúng với n = k hãy thiết
lập công thức.
3. Hãy thiết lập công
thức khi n = k +1 và
chứng minh công thức
đó
* GV nêu nội dung H2
- Gọi HS lên bảng cm
- Quang sát HS cm
- Gọi 1 HS nhận xét.
- GV nhận xét hoàn
chỉnh bài tập
* GV nêu nội dung H3
- Gọi HS lên bảng cm
- Quang sát HS cm
- Gọi 1 HS nhận xét.
- Ta có: 1=1 ( đúng)
- Giả sử mệnh đề đúng
với n = k

3 3 3
1 2
2 2
( 1)
4
k
k k
+ + + =
+
- HS thiết lập công
thức và chứng minh
* HS chứng minh H2
- 1 HS lên bảng cm
- Các Hs khác nhận
xét.
* HS chứng minh H3
- 1 HS lên bảng cm
2. Một số ví dụ
Ví dụ1: CMR
∀
n
∈
N
*
, ta luôn có:
4
)1(
321
22
3333

+
=++++
nn
n

HD:
4
)2()1(
)44.(
4
)1(
)1(
4
)1(
)1( 321
22
2
2
3
22
33333
++
=++
+
=
++
+
=++++++
kk
kk

k
k
kk
kk
Ví dụ 2: H2 SGK
CMR
∀
n
∈
N
*
, ta luôn có:
1+3+5+ +(2n−1) = n
2
Ví dụ 3: H3 SGK
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang2
- GV nhận xét hoàn
chỉnh bài tập
* GV nêu nội dung
VD 4
1. CM công thức đúng
với n=3
2 . Giả sử công thức
đúng với n = k hãy thiết
lập công thức.
3. Hãy thiết lập công
thức khi n = k +1 và
chứng minh công thức
đó

- Các Hs khác nhận
xét.
* HS cm vd4
Với n = 3 ta có: 8 > 7
đúng
Với n = k ta có: 2
k
>
2k + 1
Với n = k +1 ta CM:
- 2
k+1

> 2(k+1) +1
Thật vậy:
2
k+1
=2.2
k
>2(2k+1)=
4k+2>2k+3>2(k+1)+1
( vì k
≥
3)
CMR
∀
n
∈
N
*

, ta luôn có:
1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ +(2n−1)
2
=
3
)1
2
4( −nn
Ví dụ 4: (Ví dụ 2 SGK)
CMR: 2
n
>2n+1,
∀
n
≥
3.
Chú ý: Ta chứng minh mệnh đề
chứa biến A(n) là mệnh đề đúng
với mọi giá trị nguyên dương
n p≥
, với p là một số nguyên cho trước
ta thực hiện:
+ Bước 1: Chứng minh A(n) là
mệnh đề đúng với n = p

+ Bước 2: xét giả thiết qui nạp
mệnh đề đúng với n = k
p≥
, ta
chứng minh mệnh đề đúng với n =
k + 1.
* GV nêu nội dung đề
bài tập 1
- Gọi HS lên bảng cm
- Quang sát HS giải
- Gọi học nhận xét
- GV nhận xét hoàn
chỉnh bài toán
* GV nêu nội dung đề
bài tập 2/ 100
- Gọi HS lên bảng cm
- Quang sát HS giải
* HS theo dõi đề btấp
1
- 1 hs cm bài toán
- HS nhận xét bài làm
của bạn
* HS theo dõi đề btấp
2
- 1 hs cm bài toán
Bài 1: SGK /100
CMR
∀
n
∈

N
*
, ta luôn có:
1 + 2 + 3 + + n =
2
)1( +nn
(1)
Giải:
+ n = 1 ta có: 1 =
2
)11(1 +
Vậy (1) đúng với n = 1 (*)
+ GS (1) đúng với n = k ta có:
1 + 2 + 3 + + k =
2
)1( +kk
Chứng minh (1) đúng` với n = k +
1. Túc 7 là c/m: 1 + 2 + 3 + + (k
+1)=
2
)2)(1( ++ kk
Thật vậy:
VT = 1 + 2 + 3 + +k + (k +1)
=
2
)1( +kk
+(k +1) =
2
)2)(1( ++ kk
=

VP
Vậy (1) đúng với n = k + 1 (**)
Từ (*) và (**) suy ra (1) đúng với
∀
n
∈
N
*
Bài 2 SGK/100
CMR
∀
n
∈
N
*
, ta luôn có:
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang3
- Gọi học nhận xét
- GV nhận xét hoàn
chỉnh bài toán
* GV nêu nội dung đề
bài tập 3/ 100
- Gọi HS lên bảng cm
- Quang sát HS giải
- Gọi học nhận xét
- GV nhận xét hoàn
chỉnh bài toán
*GV hd bài 4, 5 để hs
về nhà tự cm

* GV nêu nội dung đề
bài tập 6/ 100
- Gọi HS lên bảng cm
- Quan sát HS giải
- Gọi học nhận xét
- GV nhận xét hoàn
chỉnh bài toán
- HS nhận xét bài làm
của bạn
* HS theo dõi đề btấp
3
- 1 hs cm bài toán
- HS nhận xét bài làm
của bạn
− HS chú ý lắng nghe
* HS theo dõi đề btấp
6
- 1 hs cm bài toán
- HS nhận xét bài làm
của bạn
2
2

+4
2
+ + (2n)
2
=
3
)12)(1(2 ++ nnn

Bài 3 SGK/100
CMR
∀
n
∈
N
*
, ta luôn có:
n
nn
2
11

2
1
1 <++++
HD: : Khi n=k+1, ta có:
1
1
2
1
11

2
1
1
+
+<
+
++++

k
k
kk
1
1
11
1
1)1(2
+=
+
+++
<
+
++
= k
k
kk
k
kk
VP
(Côsi và k
≠
k+1)
Bài 4 SGK/100
( Tự cm lưu ý với n
≥
2)
Bài 5 SGK/100
( Tự cm . HD:
Khi n=k+1:

)1(2
1
12
1
2
1

3
1
2
1
+
+
+
+++
+
+
+ kkkkk
1
1
)1(2
1
12
1
2
1

3
1
2

1
1
1
+
−
+
+
+
+++
+
+
+
+
+
=
kkkkkkk
24
13
)12)(1(2
1
2
1

3
1
2
1
1
1
>

++
+++
+
+
+
+
+
=
kkkkkk
Bài 6 SGK/100
CMR
∀
n
∈
N
*
, u
n
= 7.2
2n
−
2
+ 3
2n
−
1
chia chia cho 5
Giải:
Với n = 1 ta có : U
1

= 7 + 3 = 10

5
Với n = k ta có: u
k
= 7.2
2k
−
2
+ 3
2k
−
1
Cm với n = k +1
u
k+1
=7.2
2(k+1)-2
+ 3
2(k+1)-1
=7.2
2k-2+2
+
3
2k-1+2
=28.2
2k-2
+ 9.3
2k-1

=4(7.2
2k-2
+ 3
2k-1
)+5.3
2k-1

5
IV. CỦNG CỐ, DẶN DÒ:
- Phương pháp quy nạp và cách cm bài toán bằng pp quy nạp toán học
- Xem lại bài và làm các bài tập SGK/100
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang4
Tuần 21
Tiết PP: 52, 53 Bài 2: DÃY SỐ
I. MỤC TIÊU
+ Về kiến thức: Giúp học sinh
- Có một cách nhìn nhận mới, chính xác đối với khái niệm dãy số - cách nhìn nhận theo quan
điểm hàm số.
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang5
- Hiểu được khái niệm dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số không đổi (còn gọi là dãy số hằng), dãy
số bị chặn.
- Nắm được các phương pháp đơn giản khảo sát tính đơn điệu, tính bị chặn của một dãy số.
+ Về kỹ năng: Giúp học sinh
- Dựa vào định nghĩa để cho ví dụ về dãy số
- Tìm được một số hạng nào đó của một dãy số đơn giản cho trước.
- Biết vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải quyết các bài toán cụ thể đơn giản.
- Biết cách khảo sát tính đơn điệu, tính bị chặn của các dãy số đơn giản.
+ Về tư duy, thái độ.

- Biết khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự
- Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi.
II. CHUẨN BỊ:
+ Giáo viên :
- Chuẩn bị một số câu hỏi trắc nghiệm và ví dụ trên bảng phụ
+ Học sinh:
- Học bài cũ và làm bài tập ở nhà
III. NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:
+ Ổn định lớp :
+ Kiểm tra bài cũ:
Chứng minh ∀ n ∈ N, u
n
= 13
n
– 1 chia hết cho 6.
+ Bài mới:
TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng
- Treo bảng phụ lên
bảng
- Theo dõi trên bảng và
suy nghĩ trả lời
1. Định nghĩa và ví dụ
Cho 2 dãy số:
1;
16
1
;
9
1
;

4
1
; …
(1)
Một học sinh đứng
dậy trả lời
ở dãy số (1) là số
25
1
.Định nghĩa dãy số
1;
16
1
;
9
1
;
4
1
; … (1)
1;
)2(3 ;; 2;
2
3
Ở dãy số (2) là số
2
5
1;
)2(3 ;; 2;
2

3
Hãy điền số còn
thiếu vào chỗ trống
- Dựa vào đâu để
tìm được những con
số đó?
- Mỗi dãy số (1) và (2)
đều thể hiện một quy
tắc mà nhờ nó ta tìm
được số chưa biết
Hãy điền số còn thiếu vào chỗ trống
Định nghĩa 1: SGK
Nhận xét câu trả lời
của học sinh, chính
xác hóa để đưa đến
định nghĩa.
Với dãy số (1): U
n
=
1
2
n
Với dãy số (2): U
n
=
2
1+n

- Ký hiệu dãy số (U
n

)
- Số hạng tổng quát U
n
- Dạng khai triển của dãy số U
1
, U
2
,
… U
n
,
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang6
- Dãy số là một hàm
số xác định trên tập
hợp các số nguyên
dương
- Dãy số (1) và (2) ở
trên có bao nhiêu số
hạng?
- Vô số số hạng
- Giới thiệu kí hiệu
của dãy số dạng
khai triển và số,
hạng tổng quát của
dãy số
- Khi cho dãy số (U
n
)
thì số hạng đầu của

dãy số là số hạng
nào ?
- Luôn luôn là U
1
- Viết ví dụ lên bảng - Theo dõi câu hỏI
- Yêu cầu học sinh trả
lời
- Có xác định được số
các số hạng của dãy
số này không?
- Tìm các số hạng của
dãy số đã cho và viết
dạng khai triển của nó
- Dãy số này có 5 số
hạng
Cho hàm số :
U(n)=
3
n
xác định trên tậpM=
{ }
6,5,4,3,2,1
. Viết dạng khai triển của
dãy số này.
- Tìm số hạng đầu và
số hạng cuối của dãy
sổ trên
- Với dãy số vô hạn,
có tìm được số hạng
cuối của nó không?

- Số hạng đầu U
1
= 1
Số hạng cuối U
6
=
216
- Không
* Chú ý: (SGK, trang 102)
Ví dụ:
- GV treo bảng phụ
lên bảng
- Học sinh trả lờI a/ Hàm số
U(n) =
1
1
+n
xác định trên N
*
là 1 dãy
số. Hãy xác định các số hạng thứ 9,
thứ 99 và thứ 999 của dãy số trên
- Từng học sinh giải
bài tập
- Một học sinh lên trình
bày
1,
13
5
;

17
8
;
5
3
;
5
4
;1
2,
5
1
;0;
3
1
;0;1 −
b/ Hãy viết 5 số hạng đầu tiên của
mỗi dãy số được cho bởi công thức
của số hạng tổng quát sau:
1; U
n
=
1
2
2
+n
n

2; U
n

=
n
n
2
sin
∏
- Theo dõi hoạt động
của Học sinh
- Nhận xét các câu trả
lời, chính xác hóa nội
c/ Hãy tìm công thức của số hạng
tổng quát của mỗi dãy số được cho
dưới dạng khai triển dưới đây.
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang7
dung
- Chia cả lớp thành 4
nhóm (theo 4 tổ) và
phân công Nhóm 1 và
3 giải ví dụ C1
Nhóm 2 và 4 giải ví
dụ C2
- Từng nhóm suy nghĩ,
giải bài
- Cử đại diện lên trình
bày
1/ 3,2; 3,02; 3,002; 3,0002; …
2/ 1;
;
16

1
;
8
1
;
4
1
;
2
1
- Theo dõi hoạt động
của HS
- Các nhóm theo dõi
bài giải trên bảng và
nhận xét
Bài giải:
- Theo dõi hoạt động
của HS
- Cho HS các nhóm
khác nhận xét
- Nhận xét các câu trả
lời, chính xác hóa nội
dung
1/ U
1
= 3,2 = 3+0,2 = 3+
2
10
2
U

2
= 3,02 = 3+0,02 = 3+
2
10
2
⇒ U
n
= 3 +
n
10
2
2/ U
n
=
1
2
1
−n
2. Các cách cho một dãy số:
- Trình bày các cách
xác định một dãy số
- Trình bày ví dụ
- Theo dõi và ghi nhớ
cách xác định dãy số.
- Theo dõi và ghi nhớ
Cách 1: Cho dãy số bởi công thức
của số hạng tổng quát
Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy
hồi
Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác

định mỗi số hạng của dãy số.
- Cho dãy số 1, 2,
3, , n, So sánh các
số hạng của dãy số
này, có nhận xét gì?
?,?
3221
uuuu
- Theo dõi hoạt động
của Hs
- Đưa ra khái niệm
dãy số tăng.
- Tương tự cho dãy số
, , ,
3
1
,
2
1
,1 n
Yêu cầu
Hs nhận xét và đưa ra
khái niệm dãy số
giảm.
- Củng cố khái niệm
dãy số tăng, dãy số
giảm qua các ví dụ cụ
thể.
- Nhận xét về tính
tăng, giảm của dãy số

sau:
- Suy nghĩ và trả lời
câu hỏi của Gv.
- Thảo luận tìm hiểu
dãy số.
- Tri giác phát hiện vấn
đề
- Nhận biết khái niệm
mới.
- Hs suy nghĩ, xác định
tính tăng, giảm.
3. Dãy số tăng, dãy số giảm:
ĐỊNH NGHĨA 2:
Dãy số
( )
n
u
được gọi là dãy số
tăng nếu với mọi
n
ta có
1+
<
nn
uu
.
Dãy số
( )
n
u

được gọi là dãy số
giảm nếu với mọi
n
ta có
1+
>
nn
uu
.
Ví dụ 6: (SGK)
a) Dãy số
( )
n
u
với
2
nu
n
=
là dãy
số tăng vì:
1
22
)1(,
+
=+<=∀
nn
unnun
b) Dãy số
( )

n
u
với
1
1
+
=
n
u
n
là
dãy số giảm vì:
1
2
1
1
1
,
+
=
+
<
+
=∀
nn
u
nn
un
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang8

( ) ( )
nuu
n
nn
1: −=
?
- Gọi Hs trả lời.
- Gv sửa lại cho chính
xác, dãy số như vậy
gọi là dãy số không
tăng cũng không giảm.
H Đ5: Hãy cho một
ví dụ về dãy số tăng,
dãy số giảm và một ví
dụ về dãy số không
tăng cũng không giảm.
- Gv theo dõi Hs, đưa
ra kết luận đúng đắn
cuối cùng.
- Nhận xét dãy số 1, 2,
3, … và
,
3
1
,
2
1
,1
có số

hạng nhỏ nhất, lớn
nhất không? Giá trị
LN, NN?
- Gv minh hoạ trên
trục số.
- Gv giới thiệu khái
niệm dãy số bị chặn.
- Hướng dẫn cho Hs
hiểu rõ khái niệm
mới qua vd7 trong
SGK.
- Yêu cầu mỗi nhóm
tự cho 1vd đơn giản
về các khái niệm này
rồi trao đổi có sự
hướng dẫn của Gv.
- Gv giúp Hs củng cố
các khái niệm đã
được học trong bài.
- 1 Hs trả lời, các Hs
khác phát hiện sai và
sửa.
- Hs suy nghĩ, có thể
thảo luận theo từng
nhóm.
- Đại diện nhóm lên
bảng trình bày. Các Hs
còn lai theo dõi và
nhận xét.
- Hs suy nghĩ và trả lời.

- Hs tiếp nhận khái
niệm mới.
- Hs tiếp nhận và dần
hiểu rõ tính bị chặn.
- Hs suy nghĩ và thảo
luận theo nhóm.
- Đại diện từng nhóm
lên trình bày, các Hs
còn lại theo dõi và
nhận xét.
4. Dãy số bị chặn:
ĐỊNH NGHĨA 3:
a) Dãy số
)(
n
u
được gọi là dãy số bị
chặn trên nếu tồn tại một số
M
sao
cho
MuNn
n
≤∈∀ ,
*
.
b) Dãy số
)(
n
u

được gọi là dãy số bị
chặn dưới nếu tồn tại một số
m
sao
cho
muNn
n
≥∈∀ ,
*
.
c) Dãy số
)(
n
u
được gọi là bị chặn
nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn
dưới; nghĩa là, tồn tại một số
M
và
một số
m
sao cho
MumNn
n
≤≤∈∀ ,
*
.
Ví dụ 7: (SGK)
IV. CỦNG CỐ, DẶN DÒ:
- Ôn lại kiến thức đã học ở bài này

+ Hoc sinh nhắc lại định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn
+ Phương pháp chứng minh dãy số tăng, giảm, bị chặn.
- Làm bài tập trang 105 SGK.
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang9
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang10
Tuần 21, 22
Tiết : 54, 55 Bài 3: CẤP SỐ CỘNG

I. MỤC TIÊU:
+ Kiến thức: Giúp cho học sinh
- Nắm được khái niệm cấp số cộng;
- Nắm được một số tính chất cơ bản của ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng.
- Nắm được công thức số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên.
+ Kĩ năng:
- Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một cấp số cộng.
- Biết cách tìm số hạng tổng quát và tông n số hạng đầu.
- Biết vận dụng CSC để giải quyết một số bài toán ở các môn khác hoặc trong thức tế.
+ Thái độ, tư duy:
- Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi.
- Tư duy: phát triển tư duy logic, lên hệ trong thực tế.
II. CHUẨN BỊ:
+ Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT.
+ Học sinh: đọc trước bài ở nhà.
III. NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:
+ Ổn định tổ chức:
+ Kiểm tra bài cũ:
- Nêu các tính chất của dãy số.
- Xác định tính đơn điệu và bị chặn của các dãy số:

)13( +n
;
n
2
12
2
−
.
+ Bài mới:
TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng
+ Có nhận xét gì các
số hạng của dãy số?
+ Từ ví dụ trên hãy
đưa ra ĐN về cấp số
cộng.
+ Dãy số đã cho có
phải là CSC không?
Nếu có hãy nêu công
sai và u
1
.
+ Số hạng sau hơn số
hạng ngay trước nó 1
đơn vị.
a) Là CSC có d= 2 và
u
1
=0.
b) CSC:d=1,5và
u

1
=3,5
1. Định nghĩa :
Ví dụ1: Nhận xét dãy số: 0, 1, 2,…, n,
n+1,
Nhận xét: Từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng
bằng tổng số hạng ngay trước nó cộng
với 1.
ĐN: Dãy số hữu hạn hoặc vô hạn (u
n
) là
CSC
⇔
u
n
=u
n-1
+ d,
∀
n
≥
2.
+ d không đổi gọi là công sai.
+ Kí hiệu CSC:
÷
u
1
, u
2
, u

3
, …, u
n
, …
Ví dụ 2:
a) Dãy số 0, 2, 4, …, 2n, …
b) Dãy số 3,5; 5; 6,5; 9; 10,5; 12.
+ Tính u
k-1
, u
k+1
theo
u
k
và d rồi tìm quan
hệ giữa 3 số hạng u
k
,
u
k-1
, u
k+1
.

+ Gọi HS lên bảng
làm.
+ u
k-1
= u
k

-d
u
k+1
= u
k
+d
suy ra
2
11 +−
+
=
kk
k
uu
u
+ Giả sử A
≤
B
≤
C, ta
có:
2. Tính chất:
ĐL1: (u
n
) là CSC
⇔
2
11 +−
+
=

kk
k
uu
u
,
(k
≥
2)
<H2> Cho CSC (u
n
) có u
1
= -1 và u
3
=3.
Tìm u
2
, u
4
.
Ví dụ 3: Ba góc A, B, C của tam giác
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang11





+=
=

=++
CAB
C
CBA
2
90
180
0
0
⇒
A=30
0
; B=60
0
và
C=90
0
.
vuông ABC theo thứ tự lập thành CSC.
Tính 3 góc đó.
+ CSC có u
1
và d.
Hình thành công thức
tính u
n
bất kỳ.
+ Gọi HS làm tại chỗ
+ Cho học sinh tự
nghiên cứu.

+ u
1
= u
1
+ 0.d
u
2
= u
1
+ d
u
3
= u
2
+ d = u
1
+2d
u
4
= u
3
+ d = u
1
+4d
…
u
n
=u
1
+(n-1)d.

Chứng minh lại bằng
quy nạp.
+ u
31
=-77.
3. Số hạng tổng quát:
ĐL 2: Cho cấp số nhân (u
n
). Ta có:
u
n
=u
1
+(n-1)d.
<H3> Cho CSC (u
n
) có u
1
=13, d = -3.
Tính u
31.
<Ví dụ 2> trang 111 SGK.
+ Nhận xét tích của
hai số hang trong
cùng một cột ở sơ đồ
trong SGK Từ đó rút
ra S
n
.
+ Viết lại CT trên dựa

vào CT u
n
= u
1
+ (n-
1)d.
+ Gọi HS nêu cách
làm ví dụ 3 trang 113
SGK.
+ <H4> Sử dụng chú
ý của ĐL3 làm cho
nhanh.
+ <H5> Yêu cầu học
sinh tính tiền lương
sau n năm theo 2
phương án.
+ Dựa vào kết quả
T
1
-T
2
cho học sinh
phát biểu cách chọn.
+ Bằng u
1
+ u
n
.
2
)(

1
nuu
S
n
n
+
=
+ u
n
là mức lương ở
quý n. (u
n
) là CSC
với u
1
=4,5 và d=0,3.
Cần tính u
12
.
+ Hoc sinh tinh rồi
đọc kết quả
+ Trả lời
4. Tổng n số hạng đầu tiên của một
CSC:
ĐL 3: Cho CSC (u
n
), gọi S
n
= u
1

+ u
2
+ …
+ u
n
2
)(
1
nuu
S
n
n
+
=
,
∀
n
≥
1.
Chú ý:
[ ]
2
)1(2
1
ndnu
S
n
−+
=
,

∀
n
≥
1.
<Ví dụ 3> trang 113 SGK.
Giải: Gọi u
n
là mức lương ở quý thứ n
thì:
u
1
= 4,5 và d = 0,3
⇒
u
12
= 4,5+(12-
1).0,3=7,8.
( )
( )
8,73
6
12.8,75,4
2
12
131
12
=
+
=
+

=
uu
S
triệu.
<H4> HS tự làm.
<H5>
( )
[ ]
( )
2
233
2
3136.2
1
+
=
−+
=
nnnn
T
( )
[ ]
( )
)3(
2
5
5,1322
2
5,0.147.24
21

2
n
n
TT
nn
nn
T
−=−⇒
+=
−+
=
+ Nếu làm trên 3 năm thì chọn PA 2,
dưói 3 năm thì chọn PA 1.
+ Gọi học sinh nêu + Học sinh trả lời.
Bài19:
a) u
n+1
-u
n
= 19,
∀
n
≥
1
⇒
(u
n
) là
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang12

PP và giải bài 19.
+ Gọi học sinh nêu
PP và giải bài 20.
+ Gọi HS trả lời TN.
+ Gọi HS làm tại chỗ
và đọc kết quả.
+ Bài 23: HDHS đưa
u
20
và u
51
về u
1
và d
rồi tính u
1
và d sau đó
viết công thức u
n
.
+ Biểu diễn u
m
, u
k
qua
u
1
và d.
+ DH hs c/m bằng
quy nạp.

+ Có thể tính u
1
và d
(AD bài 24) rồi tính
S
13
.
+ Học sinh trả lời.
+ Học sinh trả lời.
+ Học sinh trả lời.
+ HS trả lời
CSC.
b) u
n+1
-u
n
= a,
∀
n
≥
1
⇒
(u
n
) là
CSC.
Bài 20: Ta có:
( )
[ ]
( )

12
8
1
8
1
2
2
−=−−= nnnu
n
π
π
4
1
π
=−⇒
+ nn
uu
,
∀
n
≥
1
⇒
(u
n
) là CSC
Chú ý: Để CM (u
n
) là CSC ta cần CM
u

n+1
-u
n
không đổi,
∀
n
≥
1 .
Bài 21: Trắc nghiệm: a) Tăng; b) Giảm.
Bài 22:
28=u
1
+u
3
=2u
2

⇒
u
2
=14
40=u
3
+u
5
=2u
4

⇒
u

4
=20
u
3
=(u
2
+u
4
)/2=17
u
1
=28-u
3
=11 và u
5
=40-u
3
=23.
Bài 23:
ĐS: u
n
=-3n+8.
Bài 24:
u
m
=u
1
+(m-1)d và u
k
=u

1
+(k-1)d
⇒
u
m
-u
k
=(m-k)d
⇒
u
m
=u
k
+(m-k)d.
Áp dụng: HS tự làm. ĐS: d=5.
Bài 25: ĐS: u
n
=5-3n.
Bài 26:CM bằng quy nạp:
HD:
( )( )
2
1
11
11
+
++
++
=+=
k

kkk
uuk
uSS
Bài 27: HS tự làm.
HD:
( )
( )
.690
2
23
2
23
222
231
23
=
+
=
+
=
uu
uu
S
IV. CỦNG CỐ, DẶN DÒ:
- Củng cố và luyện tập: Nắm được các công thức và cách áp dụng. Chú ý kết quả bài 24.
-Hướng dẫn học sinh tự học ở nhà
Bài tập SGK trang114, 115.
Bài 1: CM các dãy số sau là CSC: a) u
n
=3n-7 b) u

n
=(3n+2)/5.
Bài 2: Xác định số hạng đầu và công sai CSC (u
n
) biết:



=
=−
75.
8
72
37
uu
uu

Bài 3: Bốn số lập thành CSC. Tổng của chúng bằng 22 và tổng bình phương thì bằng 166. Tìm
4 số đó. (ĐS: 1, 4, 7, 10).
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang13
Tuần 22, 23
Tiết : 56, 57, 58 Bài 3: CẤP SỐ NHÂN
I. MỤC TIÊU:
+ Về kiến thức : Giúp học sinh :
- Nắm vững khái niệm cấp số nhân ;
- Nắm được tính chất đơn giản về ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân ;
- Nắm vững công thức xác định số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên
của một cấp số nhân .
+ Về kĩ năng : Giúp học sinh :

- Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một cấp số nhân ;
- Biết cách tìm số hạng tổng quát và cách tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân
trong các trường hợp không phức tạp ;
- Biết vận dụng các kết quả lý thuyết đã học để giải quyết các bài toán đơn giản liên quan đến
cấp số
nhân ở các môn học khác , cũng như trong thực tế cuộc sống .
+ Về tư duy và thái độ :
Biết khái quát hoá , tương tự . Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi .
II. CHUẨN BỊ:
+ Giáo viên : SGK , Giáo án . Cần chuẩn bị trước ở nhà bảng tóm tắt nội dung của bài toán
mở đầu và
bài toán nêu trong mục Đố vui .
+ Học sinh : Học thuộc bài cũ .Xem trước bài CSN , SGK , dụng cụ học tập .
III. NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:
+ Ổn định lớp :
+ Kiểm tra bài cũ :
+ Định nghĩa cấp số cộng ?
+ Một CSC có 11 số hạng .Tổng các số hạng là 176. Hiệu giữa số
hạng cuối và số hạng đầu 30 . Tìm CSC đó ?
+ Bài mới:
TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng
+ GV tóm tắt nội
dung của bài toán mở
đầu :
+ Giả sử có 1 người
gửi 10 triệu đồng với
kỳ hạn một tháng vào
ngân hàng nói trên và
giả sử lãi suất của
loại kỳ hạn này là

0,04%.
a) Hỏi nếu 6 tháng
+ Với mỗi số nguyên
dương n, ký hiệu
u
n
là số tiền người đó rút
được (gồm cả vốn lẫn lãi)
sau n tháng kể từ ngày
gửi .
+ Ta có :
u
1
= 10
7
+ 10
7
.0,004 =
10
7
.1,004 ;
u
2
= u
1
+ u
1
.0,004 = u
1
.

1.Định nghĩa:
+ Bài toán mở đầu:
+ Với mỗi số nguyên dương n ,ký
hiệu u
n
là số tiền người đó rút được
(gồm cả vốn lẫn lãi) sau n tháng kể
từ ngày gửi .Ta có :
u
1
= 10
7
.1,004 ;
u
2
= u
1
.1,004 ;
u
3
= u
2
.1,004 ;
u
n
= u
n - 1
.1,004 .
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang14

sau , kể từ ngày gửi ,
người đó đến ngân
hàng để rút tiền thì số
tiền rút được (gồm cả
vốn và lãi ) là bao
nhiêu ?
b) Cùng câu hỏi như
trên , với thời điểm
rút tiền là 1 năm kể từ
ngày gửi ?
* Gọi HS làm câu a) .
Sau đó gọi HS khác
trả lời câu b).
Nhận xét tính chất
dãy số (u
n
) nói trên ?
Tổng quát dãy số (u
n
) được gọi là cấp số
nhân khi nào ?
H1: Trong các dãy số
sau , dãy nào là cấp
số nhân ? Vì sao?
a) 4 ; 6 ; 9 ; 13,5 .
b) -1,5 ; 3 ; -6 ; -12 ;
24 ; - 48 ; 96 ; -192
c) 7 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0
* Gọi từng HS đứng
tại chỗ với mỗi VD

1,004 ;
u
3
= u
2
+ u
2
.0,004 = u
2
.
1,004 ;
u
n
= u
n - 1
+ u
n - 1
.0,004 =
u
n -1
.1,004
Tổng quát , ta có :
u
n
= u
n -1
+ u
n - 1
.0,004 = u
n - 1

. 1,004
2n
∀ ≥
a) Vậy sau 6 tháng người
đó rút được
u
6
= ? u
5
.1,004
b) Sau 1 năm người đó rút
được :
u
12
= ? u
11
= 1,004
+ Kể từ số hạng thứ hai ,
mỗi số hạng đều bằng tích
của số hạng đứng ngay
trước nó và 1,004 .
(u
n
) là cấp số nhân
1
2, .
n n
n u u q
−
⇔ ∀ ≥ =

a) Dãy số là cấp số nhân ;
vì kể từ số hạng thứ hai ,
mỗi số hạng đều bằng số
hạng đứng ngay trước nó
nhân với 1,5 .
b) không là cấp số nhân .
c) là cấp số nhân , công
bội q = 0 .
+ Trả lời theo yêu cầu của
giáo viên.
Tổng quát , ta có :
u
n
= u
n - 1
. 1,004
2n
∀ ≥
Định nghĩa:
(u
n
) là cấp số nhân
1
2, .
n n
n u u q
−
⇔ ∀ ≥ =
( q là số không đổi , gọi là công
bội của CSN )

Ví dụ 1: SGK Tr 116
Ví dụ 2: SGK Tr 116
Từ VD1b) sau đó là
1a) cho học sinh nhận
xét kể từ số hạng thứ
hai , bình phương của
mỗi số hạng (trừ số
hạng cuối đ/v CSN
hữu hạn) liên hệ thế
nào với hai số hạng
+ Đối với CSN 1b)
+ Đối với CSN 1a)
+ Nếu (u
n
) CSN thì u
k
2
=
u
k - 1
.u
k +1
, (
2k
∀ ≥
)
+ u
k
= u
k - 1

. q (
2k
≥
)
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang15
kề nó trong dãy ?
* Hãy phát biểu tính
chất nêu
trên ?
C/m: Gọi q là công
bội của CSN
(u
n
). Xét 2 trường
hợp :
+ q = 0 : hiển nhiên .
+ q
≠
0 : Viết u
k
qua số hạng đứng
trước và ngay sau
nó ?
H2: Có hay không
CSN (u
n
) mà u
99
=

-99 và u
101
= 101 ?
Ví dụ 3: SGK Tr 118
.
* PP c/minh dãy số là
CSN ? Áp dụng ?

1
k
k
u
u
q
+
=

(
2k
≥
)
Nhân các vế tương ứng, ta
có (đpcm)
+ Không tồn tại , vì nếu
ngược lại ta sẽ có : u
2
100
=
u
99

. u
101
= - 99 .101 < 0
2. Tính chất :
Định lý 1:
Nếu (u
n
) CSN
thì u
k
2
= u
k - 1
.u
k +1
,
2k
∀ ≥
Ví dụ 3: SGK Tr 118
+ Trình bày dẫn đến
hình thành công thức
của số hạng tổng
quát.
+ Hướng dẫn học
sinh thực hiên ví dụ
4.
*Gọi HS đứng tại chỗ
giải ( có thể gợi ý xét
sự tương đồng giữa
BT này và BT mở

đầu để làm ) ?
+ Theo dõi và hoạt động
theo hướng dẫn của giáo
viên.
+ v
n
= q.v
n -1
,
2n
∀ ≥
+ v
n
= u
n
-
1
2
= 3u
n - 1
- 1 -
1
2
= 3v
n -1
,
2n
∀ ≥
+ u
1

= 10
7
.1,004 ;
u
2
= u
1
.1,004 ;
u
3
= u
2
.1,004 = u
1
.
(1,004)
2
;
u
n
= u
n - 1
.1,004 =u
1
.
(1,004)
n - 1
,
2n
∀ ≥

3. Số hạng tổng quát:
Từ bài toán mở đầu :
u
1
= 10
7
.1,004 ;
u
2
= u
1
.1,004 ;
u
3
= u
1
.(1,004)
2
;
u
n
=

u
1
. (1,004)
n - 1
,
2n
∀ ≥

+ u
n
=

u
1
. ( q )
n - 1
,
2n∀ ≥
Định lý 2 : SGK Tr 118 .
Nếu CSN (u
n
) có số hạng đầu u
1
và
công bội q
≠
0 thì có số hạng tổng
quát :
u
n
=

u
1
. ( q )
n - 1
,
2n

∀ ≥
Ví dụ 4: Từ bài toán mở đầu , tìm
u
6
và u
12
?
H3 : SGK Tr 119 .
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang16
+ u
n
=

u
1
. ( q )
n - 1
,
2n
∀ ≥
+u
n
=10
7
.1,004.(1,004)
n - 1
= 10
7
.(1,004)

n
,
1n
∀ ≥
+ u
n
= 3.10
6
.(1 + 0,02)
n

= 3.10
6
. (1,002)
n
.
* CSN (u
n
) có số
hạng đầu u
1
và công
bội q. Mỗi số nguyên
dương n , gọi S
n
là
tổng n số hạng đầu
tiên của nó . Tính S
n
(S

n
= u
1
+u
2
+ + u
n
) ?
Khi q = 1 , khi q
≠
1 ?
Ví dụ 5: CSN (u
n
) có
u
3
= 24 ,
u
4
= 48 . Tính S
5
?
* Tính S
5
ta phải tìm
gì ?
* ĐỐ VUI: Giáo vien
treo bảng phụ đã
chuẩn bị sẵn lên bảng
.

* Đây là CSN có u
1
và q là bao nhiêu ?
a) Số tiền mà nhà tỉ
phú phải trả cho nhà
toán học sau 30
ngày ?
b) Số tiền mà nhà
toán học đã bán cho
nhà tỉ phú sau 30
ngày ?
c) Sau cuộc mua -
bán nhà tỉ phú
"lãi" ?
+ Khi q = 1 thì u
n
= u
1
và
S
n
= n.u
1
.
+ Khi q
≠
1 :
q S
n
= u

1
+ u
2
+ . . . + u
n
+ u
n + 1
.
S
n
– q; S
n
= u
1
- u
n + 1
=
u
1
(1 - q
n
)
(1 - q) S
n
= u
1
(1 - q
n
)
với q

≠
1 Suy ra đpcm .
+ Tìm u
1
và q .
u
1
= u
4
: u
3
= 2 ; 24 = u
3
= u
1
.2
2

⇒
u
1
= 6
S
5
= 186 .
+ Gọi u
n
là số tiền mà nhà
tỉ phú phải trả cho nhà
toán học ở ngày thứ n .Ta

có u
1
= 1 và q = 2 .
a) S
30
=
30
1
1
. 1073741823
1
q
u
q
−
=
−
(đ)
b) Số tiền mà nhà toán học
đã bán cho nhà tỉ phú sau
30 ngày :
10.10
6
.30 =
300.000.000 (đồng) .
c) Sau cuộc mua - bán nhà
tỉ phú "lãi"
300.000.000 -
1.073.741.823
= - 773.741.823 (đ)

4. Tổng n số hạng đầu tiên
của một CSN
Nếu (u
n
) là CSN có số hạng đầu
u
1
với công bội q
≠
1 thì S
n
là :
S
n
=
1
1
.
1
n
q
u
q
−
−
, q
≠
1
IV. CỦNG CỐ, DẶN DÒ:
+ Lý thuyết cũng cố từng phần trong quá trình dạy học , GV có thể cũng cố lại nhanh theo

Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang17
dàn bài có sẵn trên bảng .
+ Bài tập:
Tìm công bội q và tổng các số hạng của CSN hữu hạn , biết số hạng đầu
u
1
= 2 và số hạng cuối u
11
= 64 ?
Bài 31 ; 32 SGK Tr 121 .
+ Hướng dẫn học sinh tự học ở nhà
Học thuộc bài CSN , làm các bài tập SGK 33 - 43 Tr 121,122 .
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang18
Tuần 23
Tiết : 59, 60 ÔN TẬP CHƯƠNG III
I. MỤC TIÊU :
+ Về kiến thức
- Nắm được các kiến thức về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân và mạch kiến thức của cả
chương.
- Hiểu và vận dụng được các định nghĩa, tính chất, định lý và công thức trong chương.
+ Về kĩ năng
- Biết cách chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp quy nạp.
- Biết các cách cho một dãy số; xác định tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số.
- Biết cách xác định các yếu tố còn lại của cấp số cộng (cấp số nhân) khi biết một số yếu tố xác
định cấp số đó, như: u
1
, d (q), u
n

, n, S
n
.
+ Về tư duy, thái độ
- Biết khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự. Biết quy lạ thành quen.
- Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi.
II. CHUẨN BỊ:
+ Giáo viên : Giáo án, hệ thống câu hỏi và bài tập minh họa, bảng phụ, đồ dùng dạy học
+ Học sinh: Đọc trước bài ở nhà, đồ dùng học tập
III. NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:
+ Ổn định lớp: Kiểm tra sỉ số, tác phong của học sinh
+ Kiểm tra bài cũ:
Đan xem trong quá trình sửa bài tập
+ Giảng bài mới
TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng
* GV đưa ra bài toán
?. Gọi hs nhắc lại các
bước chứng minh quy
nạp
- Hs trả lời câu hỏi
1. Phương pháp quy nạp toán học
Bài toán: Cho p là một số nguyên
dương. Hãy c/m mệnh đề A(n)
đúng với mọi n
≥
p.
Bước 1: CM A(n) đúng khi n=p
Bước 2: Giả sử A(n) đúng với n
≥
k

(với k
≥
p)
Ta cần CM A(n) đúng với n=k+1
* GV nêu nội dung
bài tập 44 SGK/ 122
- HD gọi Hs giải
* HS giải bài tập 44
- 1 HS lên chứng minh bài
toán
Bài 44:
CMR 1.2
2
+2.3
2
+
…
+(n-1).n
2
=
12
)23)(1(
2
+− nnn
,
2
≥∀
n
(1)
Giải:

Bước 1: Với n=2, ta có:
VT(1)=1.2
2
=4; VP(1)=4 suy ra (1)
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang19
- Quang sát HS giải
bài toán
- Gọi HS nhận xét
- Nhận xét cho điểm ,
hoàn chỉnh bài toán
- 1HS nhận xét bài làm của
bạn
- HS sữa bài tập
đúng
Bước 2: Giả sử (1) đúng với n=k (k
≥
2), tức là ta có:
1.2
2
+2.3
2
+
…
+(k-1).k
2
=
12
)23)(1(
2

+− kkk

Ta cần CM (1) cũng đúng n=k+1,
tức là:
1.2
2
+2.3
2
+
…
+(k-1).k
2
+k.
(k+1)
2
=
[ ]
[ ]
12
2)1(31)1()1(
2
++−++ kkk
(1’)
Thật vậy:
VT(1’)=
12
)53)(2_)(1( +++ kkkk
;
VP(1’)=
12

)53)(2)(1( +++ kkkk
Vậy VT(1’)=VP(1’).
* GV nêu nội dung
bài tập 45SGK/ 122
- HD gọi Hs giải
- Quang sát HS giải
bài toán
- Gọi HS nhận xét
- Nhận xét cho điểm ,
hoàn chỉnh bài toán
* HS giải bài tập 45
- 1 HS lên chứng minh bài
toán
- 1HS nhận xét bài làm của
bạn
- HS sữa bài tập
Bài 45: Cho dãy số (u
n
) xác định
bởi: u
1
=2, u
n
=
2
1
1
+
−n
u

,
2
≥∀
n
CMR: u
n
=
1
1
2
12
−
−
+
n
n
,
1
≥∀
n
(2)
Giải: Bước 1: Với n=1, từ (2) suy
ra: u
1
=2 (đúng với giả thiết)
Bước 2: Giả sử (2) đúng với n=k (k
≥
1), tức là ta có: u
k
=

1
1
2
12
−
−
+
k
k
Ta cần CM (2) cũng đúng với
n=k+1, tức là u
k+1
=
k
k
2
12 +
Thật vậy: Từ giả thiết ta có
u
k+1
=
2
1+
k
u
=
2
1
2
12

1
1
+
+
−
−
k
k
=
k
k
2
12 +
(đpcm)
1. Có mấy cách cho
dãy số
- Cho bằng công thức số
hạng tổng quát
- Cho bởi hệ thức truy hồi
- Diễn đạt bằng lời
+(U
n
) Tăng<−> u
n
< u
n+1
2. Ôn tập về dãy số
a. Các cách cho dãy số
- Cho bằng công thức số hạng
tổng quát

- Cho bởi hệ thức truy hồi
- Diễn đạt bằng lời
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang20
2. Thế nào là dãy số
tăng
3. Thế nào là dãy số
giảm
4.Thế nào là dãy số bị
chặn
+ GV nêu bài tập 46
SGK/123
- HD gọi Hs giải
- Quang sát HS giải
bài toán
- Gọi HS nhận xét
- Nhận xét cho điểm ,
hoàn chỉnh bài toán

<−> u
n+1
− u
n
>0
<−>

n
n
u
u

1+
>1
+
(U
n
) giảm <−> u
n
> u
n+1

<−> u
n+1
− u
n
<0
<−>

n
n
u
u
1+
<1
-HS trả lời câu hỏi
+ HS giải bài tập 46
- 1 HS lên chứng minh bài
toán
- 1HS nhận xét bài làm
của bạn
HS sữa bài tập

b. Dãy số tăng, dãy số giảm
+ (U
n
) Tăng <−> u
n
< u
n+1

<−> u
n+1
− u
n
>0
<−>

n
n
u
u
1+
>1
+
(U
n
) giảm <−> u
n
> u
n+1

<−> u

n+1
− u
n
<0
<−>

n
n
u
u
1+
<1
c. Dãy số bị chặn
Bài 46: SGK/123
ĐS
a/ a
n
= n +1
b/ b
n
=
1
)1(
2
+
−
n
n
c/ c
n

=
2
2
)1(
)1(2
+
+
n
nn
d/ d
n
=
n
n
2
1
2
+
1. Gọi HS nhắc lại
định nghĩa của cấp số
cộng, số hạng tổng
quát, tính chất của
cấp số cộng và công
thúc tính tổng n số
hạng đầu tiên của cấp
số cộng.
- + Đn
u
n+1
=u

n
+d;
1
≥∀
n

d: Công sai
+. Số hạng tổng quát:
u
n
=u
1
+(n-1)d; n
≥
2
+ Tính chất CSC:

2;
2
11
≥
+
=
+−
k
uu
u
kk
k
+ Tổng của n số hạng

đầu tiên:
S
n
=u
1
+u
2
+
….
+u
n

2
)(
1
nuu
S
n
n
+
=

[ ]
2
)1(2
1
ndnu
S
n
−+

=
3. Ôn tập về cấp số cộng
*. ĐN: Dãy số (u
n
) là CSC nếu:
u
n+1
=u
n
+d;
1≥∀n

d: Công sai
* Số hạng tổng quát:
u
n
=u
1
+(n-1)d; n
≥
2
* Tính chất CSC:

2;
2
11
≥
+
=
+−

k
uu
u
kk
k
* Tổng của n số hạng đầu tiên:
S
n
=u
1
+u
2
+
….
+u
n

2
)(
1
nuu
S
n
n
+
=

[ ]
2
)1(2

1
ndnu
S
n
−+
=
2 Gọi HS nhắc lại
định nghĩa của CSN,
số hạng tổng quát,
tính chất của CSN và
công thúc tính tổng n
số hạng đầu tiên của
CSN.
+ Đn
U
n+1
=u
n
.q;
1≥∀n

q: Công bội
+ Số hạng tổng quát:
u
n
=u
1
.q
n-1
; n

≥
2
+ Tính chất CSN:

2;.
11
2
≥=
+−
kuuu
kkk
4. Ôn tập về cấp số nhân
1. ĐN: Dãy số (u
n
) là CSN nếu:
u
n+1
=u
n
.q;
1
≥∀
n

q: Công bội
2. Số hạng tổng quát:
u
n
=u
1

.q
n-1
; n
≥
2
3. Tính chất CSN:

2;.
11
2
≥=
+−
kuuu
kkk
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang21
GV nhận xét kết quả
của h/s và chính xác
hóa.
-Lưu ý cho học sinh
khi chọn công thức
sử dụng, ta cần xác
định các yếu tố đã
cho và yêú tố cần xác
định có liên quan
trong công thức nào.
Chẳng hạn:Ởdãy số
1:
-Tính d:Sử dụng công
thức?

-Tính S
n
: Sử dụng
công thức ?
Đọc và phân tích đề.:
Lưu ý cho học sinh
để tìm 3 số ta phải lập
một hệ gồm 3 phương
trình có 3 ẩn .
-Các công thức cần
sử dụng có liên quan
đến các yếu tố của giả
thiết ?
-Từ giả thiết gợi ý
cho học h/s sử dụng
công thức u
n
của CSC
⇒
biểu diễn x, y, z
qua phương trình 3
ẩn x, y, z
Qua các câu hỏi:
1)Tính chất của 3 số
x,y,z lập thành một
cấp số nhân?
2)Biểu diễn x,y,z khi
tổng của chúng bằng
7?
Hay:

2;.
11
≥=
+−
kuuu
kkk
Tổng của n số hạng đầu
tiên:
S
n
=u
1
+u
2
+
….
+u
n
)1(;
1
)1(
1
≠
−
−
= q
q
qu
S
n

n
*Giái và điền vào ô trống
Theo nhóm
Đối với dãy số 1:
-Tính d: Sử dụng công
thức: u
n
=u
1
+(n-1)d
-Tính S
n
: Sử dụng công
thức
S
n
=
[ ]
2
)1(2
1
dnun −+
Suy nghĩ và định hướng
giải (theo câu hỏi gợi ý của
GV)
Hay:
2;.
11
≥=
+−

kuuu
kkk
4. Tổng của n số hạng đầu tiên:
S
n
=u
1
+u
2
+
….
+u
n
)1(;
1
)1(
1
≠
−
−
= q
q
qu
S
n
n
* Bài tập
Bài 1 Hãy điền vào ô trống để
hoàn thiện CSC sau đây:
u

1
d u
n
n S
n
1 33 17
2 10 60
11 8 32
Bài 2: Hãy điền vào ô trống để
hoàn thiện CSN sau đây:

u
1
q u
n
n S
n
6 6
16
189
2 64 8
1 3 5
Bài 3:
Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành
một cấp số nhân có tổng của chúng
là 7, đồng thời chúng lần lượt là số
hạng đầu, số hạng thứ 3 và số hạng
thứ 4 của một cấp số cộng. Tìm ba
số đó?
Ba số x,y,z thỏa:






=−+
=
=++
032
7
2
yzx
xzy
zyx
Kết quả:





=
=
=
1
2
4
z
y
x

Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang22
3)Từ mối liên quan
của 3 số x, y, z trong
CSC. Hãy biểu diễn
chúng qua phương
trình 3 ẩn x, y, z
⇒
Lập hệ
x = y = z =
3
7
IV. CỦNG CỐ, DẶN DÒ:
- Phương pháp chứng minh quy nap toán học
- Cách xác định số hạng tổng quát của dãy số
- Ôn tập lại các kiến thức về CSC và CSN
- HD học sinh ∀ề nhà giải bài tập SGK/124
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang23
Tuần 24
Tiết: 61 KIỂM TRA 1 TIẾT
I. MỤC TIÊU
+ Kiến thức:
- Hs được kiểm tra các kiến thức về tổ hợp và xác suất.
+ Kỹ năng:
- Có kĩ năng tính toán, suy luận.
+ Tư duy và thái độ:
- Luyện tập kĩ năng tính toán, làm bài tập trắc nghiệm, bài tập tự luận.
II. CHUẨN BỊ :
+ Giáo viên: đề, đáp án, thang điểm.

+ Học sinh: kiến thức cũ.
III. TIẾN TRÌNH :
+ Ổn định tổ chức (1‘): kiểm tra vệ sinh, tác phong, sĩ số.
+ Kiểm tra:
IV. CỦNG CỐ, DẶN DÒ:
+ Xem lại các dạng toán kiểm tra
+ Làm lại các bài làm sai
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang24
Tuần 24 CHƯƠNG 4: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Tiết: 62, 63 Bài 1: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0
I. MỤC TIÊU
+ Về kiến thức: Giúp học sinh
- Nắm được định nghĩa dãy số có giới hạn 0.
- Ghi nhớ một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp.
+ Về kỹ năng:
- Biết vận dụng định lí và các kết quả đã nêu ở mục 2) để chứng minh một dãy số có giới
hạn 0.
+ Tư duy – thái độ:
- Chú ý, tích cực tham gia xây dựng bài.
- Cẩn thận, chính xác và linh hoạt.
II. CHUẨN BỊ :
+ Giáo viên:
- Soạn giáo án.
- Chuẩn bị một số đồ dùng dạy học như: thước kẻ, phấn màu…
- Bảng phụ: Vẽ hình 4.1 và bảng giá trị của | u
n
| như trong SGK.
+ Học sinh:
- Đọc kỹ bài học trước khi đến lớp.

III. NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:
+ Ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số,tác phong học sinh, vệ sinh của lớp.
+ Kiểm tra bài cũ: Không kiểm tra
+ Giảng bài mới:
TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng
- Biểu diến dãy số:
(u
n
) với
( 1)
n
u
n
n
−
=
,
trên trục số.
Nhận xét các số hạng
của dãy số dần tới giá
trị nào?
- Em có nhận xét gì
về khoảng cách từ
điểm u
n
đến điểm 0
thay đổi như thế nào
khi n đủ lớn?
- Khoảng cách
1

u
n
n
=
từ
điểm u
n
đến điểm 0 càng
nhỏ khi n càng lớn.
+ Hs đứng tại chỗ thực
hiện hđ1 SGK.
1. Định nghĩa dãy số có giới hạn
0:
ĐN:
lim 0
n
n
u
→∞
=
⇔
∀
c > 0 nhỏ tùy ý
∃
n
0

∈
N sao cho
∀

n > n
0
thì | u
n
| <
c.
(ta có thể viết
lim 0
n n
u hay u →
)
Nhận xét:
a) Dãy số (u
n
) có giới hạn 0 khi và
chỉ khi (|u
n
|) có giới hạn 0.
Vd: lim
1
0
n
=
vì
1 ( 1)
n
n n
−
=
và

lim
( 1)
0
n
n
−
=
b) Dãy số không đổi (u
n
) với u
n
=0
có giới hạn 0.
- Để cm một dãy số
có giới hạn 0 bằng đn
đlí 1 sẽ cho ta một
phương pháp thường
dùng để cm một dãy
số có giới hạn 0.
+ Hs phát biểu đlí 1 trong
SGK.
+ Hs nghe và hiểu cách cm
định lí.
+ PP: tìm dãy (v
n
) có giới
hạn 0 sao cho | u
n
|
≤

v
n
2. Một số dãy số có giới hạn 0:
Dựa vào Đn, người ta cm được
rằng:
a.
1
lim 0
n
=
b.
3
1
lim 0
n
=
Đlí 1: Cho hai dãy số (u
n
) và (v
n
)
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang25