Phương pháp chiều biến thiên của hàm số

Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải
Phương pháp chiều biến thiên hs và biến đổi phụ

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Lý thuyết:
Với các bài toán phức tạp hơn, lược đồ sử dụng phương pháp chiều biến thiên hàm số như sau:
 Trước hết, bằng các bài toán phụ (BĐT trung gian, sử dụng phép biến đổi đại số,…) ta đưa bài toán
ban đầu về 1 bài toán đơn giản hơn;
 Với bài toán mới này, cần lưu ý miền giá trị mới của biến mới, để làm được điều này, ta thường sử
dụng 1 BĐT phụ, đôi khi đòi hỏi giải thêm 1 bài toán tìm GTLN, NN nữa để xác định cận của biến
mới.
Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1.
Tìm GTLN,GTNN của hàm số
2
3 6 18 3y x x x x      

Hướng dẫn giải:
TXĐ: [-3;6]
Đặt
2
3 6 9 2 (3 )(6 )t x x t x x        

Ta có:
   

2
9 9 2 (3 )(6 ) 9 3 6 18 3 2t x x x x t              



Do đó hàm số đã cho trở thành:
2
19
( ) '( ) 1 0 1.
22
max max ( ) max{ (3); (3 2)} 3 3 3 6
9 3 2 3
min min ( ) min{ (3); (3 2)} 3 2 .
62
f t t t f t t t
y f t f f t x x
y f t f f t x
          
          

      

Ví dụ 2.
Cho
1 2;3 4.xy   
Tìm GTLN,GTNN của
4 4 2 2
4 4 2 2
x y x y x y
P

y x y x y x

     



Hướng dẫn giải:
PHƯƠNG PHÁP CHIỀU BIẾN THIÊN HÀM SỐ VÀ BIẾN ĐỔI PHỤ
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: PHAN HUY KHẢI
Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải
Phương pháp chiều biến thiên hs và biến đổi phụ

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


Đặt:

2
22
42
2
32
2 2 2 5 4 ( )
12
1 2;3 4
43
11

( ) '( ) 1
2 1 13 17
( ) ( ); ( ) ;
3 4 6 4
13 17
'( ) 4 10 1 0 ;
64
x y x y x y x y
t P P t t t F t
y x y x y x y x
x y t
x
u t f u u f u
y u u
t f u f f
F t t t t
   
   
                 
   
   
   
   
   
      
       
   
   
   
   


     


1; 4
17 4249 17
max max ( ) ( )
4; 1
4 16 4
2; 3
13 1083 13
min min ( ) ( )
3; 2
6 54 6
xy
xy
P F t F t
xy
yx
xy
xy
P F t F t
xy
yx




        






       




Ta có:
Ví dụ 3.
Cho
3
, , 0,
2
x y z x y z   
. Tìm GTLN, GTNN của
1 1 1
P x y z
x y z
     

Hướng dẫn giải:
Theo Cô si:
2
1 1 1
( )( )
1 1 1 9
9
39

(0; ( )
2
'( ) 1 0 3
9
3 15 3
min ( ) ( )
2 2 2
15 1
min
22
x y z
x y z
x y z x y z
P x y z
x y z
x y z t P f t t
t
t
f t t
f t f t
P x y z
     
   

    

        
     
    
     

Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải
Phương pháp chiều biến thiên hs và biến đổi phụ

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -


Ví dụ 4.
Cho
22
, 0,2( ) ( )( 2)a b a b ab a b ab     
. Tìm GTNN của
3 3 2 2
3 3 2 2
4( ) 9( )
a b a b
P
b a b a
   

Hướng dẫn giải:
32
3 3 2 2
3 3 2 2
32
4( ) 9( ) 4 3 9 2
4 9 12 18

a b a b a b a b a b
P
b a b a b a b a b a
a b a b a b
P
b a b a b a
   
     
          
   
     
     
   
   
     
      
     
     

Ta lại có:
2
2
2
2
2
3
2
22
1 ( )(1 ) ( ).2. 1. 2 2
35

2( 2) 1 2 2 2
2
2
4 9 12 18 ( )
5
'( ) 0
2
5 23 5
min min ( ) (
( ) ( )( 2)
2
2
)
4
a b a b
a b a b
b a ab ab b a
a b a b
m m m m t m
b a b a
P t t t
a b ab a b ab
ft
f t t
P f t f t


        








             





     
   
  
   
  



2, 1
1, 2
2
ab
ab







Ví dụ 5.
Cho
 
, ; , , 1;4 .x y x z x y z  
. Tìm GTNN của
23
x y z
P
x y y z z x
  
  

Hướng dẫn giải:
Dễ chứng minh được BĐT phụ sau:
1 1 2
,' '
1
11
1
ab
ab
ab
ab


   







Áp dụng BĐT trên ta có:
   
2
1 1 1 1 1 1 1
23
2 3 1 1 2 3 2 3
1 . 1
11
1;2 ( ) '( ) 0 1;2
3
1
2
34
min min ( ) (2) ,' ' 4, 1, 2.
33
x y z
P
y z x y y
x y y z z x
z x x
x y z x x
y z y
x
t P f t f t t
yt
t
P f t f x y z

         
  
    

         


        

Ví dụ 6.
Tìm GTNN của hàm số
11
( ) (1 cos )(1 ) (1 sin )(1 ), )
sin cos 2
f x x x x
xx

      

Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải
Phương pháp chiều biến thiên hs và biến đổi phụ

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -


Hướng dẫn giải:
Ta có:
2

11
( ) (1 cos )(1 ) (1 sin )(1 )
sin cos
1 1 cos sin
(sin cos ) 2
sin cos sin cos
1 (sin cos )
(sin cos ) 2.
sin cos
sin cos 2 cos( )
4
0 1 2
2 4 4 4
12
( ) ( ) 2
1
1
2
f x x x
xx
xx
xx
x x x x
xx
xx
xx
t x x x
Do x x t
t
f x F t t t

t
t

   
     
      

   
   
         

       


2
2
2
'( ) 1 0 (1; 2)
( 1)
min ( ) min ( ) ( 2) 4 3 2 2
4
F t t
t
f x F t F t x

     

        

Giáo viên : Phan Huy Khải
Nguồn : Hocmai.vn