Các công thức lượng giác bạn cần nắm vững

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình -
0983499890
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1:Các điều kiện biểu thức có nghĩa:
*
A
có nghĩa khi
0A
≥
.
*
A
1
có nghĩa khi
0A
≠
.
*
A
1
có nghĩa khi
0A
>
Đặt biệt:
*
π
π
2
2
1sin kxx +=⇔=
*

π
kxx =⇔= 0sin
*
π
π
2
2
1sin kxx +−=⇔−=
*
π
21cos kxx =⇔=
*
π
π
kxx +=⇔=
2
0cos
*
ππ
21cos kxx
+=⇔−=
.
*Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối
xứng. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm
tâm đối xứng.
2:Công thức của phương trình lượng giác cơ bản:
*




+−=
+=
⇔=
παπ
πα
α
2
2
sinsin
kx
kx
x
*



+−=
+=
⇔=
ππ
π
2arcsin
2arcsin
sin
kax
kax
ax
( với
1≤a
và a

không phải là giá trị đặt biệt)
*




+−=
+=
⇔=
000
00
0
360180
360
sinsin
kx
kx
x
β
β
β
*



+−=
+=
⇔=
πα
πα

α
2
2
coscos
kx
kx
x
*



+−=
+=
⇔=
π
π
2arccos
2arccos
cos
kax
kax
ax
( với
1≤a
và a
không phải là giá trị đặt biệt)
*





+−=
+=
⇔=
00
00
0
360
360
coscos
kx
kx
x
β
β
β
*
παα
kxx +=⇔= tantan
*
π
kaxax
+=⇔=
arctantan
(với a không phải là
giá trị đặt biệt)
*
000
180tantan kxx +=⇔=
ββ

10. Công thức nhân ba:
*
παα
kxx +=⇔= cotcot
*
π
kaarcxax
+=⇔=
cotcot
(với a không
phải là giá trị đặt biệt)
*
000
180cotcot kxx +=⇔=
ββ
3: Công thức lượng giác cơ bản:
*
1cossin
22
=+
αα
*
α
α
2
2
cos
1
tan1 =+

*
α
α
2
2
sin
1
cot1 =+
*
1cot.tan
=
αα

4: Công thức đối:
*
αα
cos)cos( =−
*
αα
sin)sin( −=−

*
αα
tan)tan( −=−
*
αα
cot)cot( −=−

5: Công thức bù:

*
ααπ
sin)sin( =−
*
ααπ
cos)cos( −=−

*
ααπ
tan)tan( −=−
*
ααπ
cot)cot( −=−

6:Công thức phụ:
*
αα
π
cos)
2
sin( =−
*
αα
π
sin)
2
cos( =−

*
αα

π
cot)
2
tan( =−
*
αα
π
tan)
2
cot( =−
7:Công thức hơn kém
:
π

*
ααπ
sin)sin( −=+
*
ααπ
cos)cos( −=+

*
ααπ
tan)tan( =+
*
ααπ
cot)cot( =+

8:Công thức cộng:
*

bababa sin.sincos.cos)cos( +=−

*
bababa sin.sincos.cos)cos( −=+

*
bababa sin.coscos.sin)sin( −=−

*
bababa sin.coscos.sin)sin( +=+

*
ba
ba
ba
tan.tan1
tantan
)tan(
−
+
=+
*
ba
ba
ba
tan.tan1
tantan
)tan(
+
−

=−
9:Công thức nhân đôi:
*
2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1a a a a= − = −
a
2
sin21−=
.
*
aaa cos.sin22sin
=

*
α
α
α
2
tan1
tan2
2tan
−
=
1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm
Chuyên đề phương trình lượng giác 1 LTĐH
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình -
0983499890
I. Ph ương trình lượng giác cơ bản:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
a.

sin 2 sinxx
= −
b.
sin 2 2cosx x
=
c.
os3 sinxc x
=
d.
osx=-sin
2
x
c
e.
2
3
2 4
x
sin =
f.
sin4x 2sin . os4x
3
c
π
=
g.
3
os
4 2
x

c = −
Giải:
a.
2
2 2
sin 2 sinx sin2x=sin(-x)
3
2 2
2
x x k
x k
x
x x k
x k
π
π
π π
π π

= − +
=


= − ⇔ ⇔ ⇔


= + +

= +


b.
( )
2cos 0
2sin .cos 2cos 0 2cos sinx 1 0
sinx 1 0
x
pt x x x x
=

⇔ − = ⇔ − = ⇔

− =

cos 0
2
sinx 1
2
2
2
x k
x
x k
x k
π
π
π
π
π
π


= +

=

⇔ ⇔ ⇔ = +


=


= +


c.
3 2 4 2
2 2
os3 sinx cos3 os
2
3 2 2 2
2 2
x x k x k
c x x c x
x x k x k
π π
π π
π
π π
π π
 
= − + = +

 
 
= ⇔ = − ⇔ ⇔
 
 ÷
 
 
= − + + = − +
 
 
8 2
4
x k
x k
π π
π
π

= +

⇔


= − +


d.
2
2
osx=-sin osx sin osx cos

2 2 2
2
2
x
x k
x x x
c c c
x
x k
π π
π
π π

= + +

   
⇔ = − ⇔ = + ⇔

 ÷  ÷
   

= − − +


2 4
2
2
2 4
3
2

3 3
2
x
x k
k
x
x k
k
π π
π π
π π
π π

= +
= +



⇔ ⇔


= − +

= − +



e.
2
3 1 cos 3 1 2

2 2cos 3 2cos 1 cos cos os
2 4 2 4 2 3
x x
sin x x x x c
π
−
= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ =
2
2
3
2
2
3
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔


= − +


Chuyên đề phương trình lượng giác 2 LTĐH
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình -

0983499890
f.
3 sin 4
sin4x 2sin . os4x sin4x=2. . os4 sin 4 3 os4 3
3 2 os4
x
c c x x c x
c x
π
= ⇔ ⇔ = ⇔ =
tan 4 3 tan 4 tan 4
3 3 12 4
x x x k x k
π π π π
π
⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = +
g.
5 10
2 8
3 5
4 6 3
os os os
5 10
4 2 4 6
2 8
4 6 3
x
k x k
x x
c c c

x
k x k
π π
π π
π
π π
π π
 
= + = +
 
= − ⇔ = ⇔ ⇔
 
 
= − + = − +
 
 
Ví dụ 2: Giải phương trình
3 3
sin .sin 3 os .cos3 1
8
tan .tan
6 3
x x c x x
x x
π π
+
= −
   
− +
 ÷  ÷

   
Giải:
Điều kiện:
6 2
k
x
π π
≠ +
Ta có
tan .tan tan .cot tan .cot 1
6 3 6 6 6 6
x x x x x x
π π π π π π
           
− + = − − = − − − = −
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
           
Phương trình tương đương với:
3 3
sin .sin 3 os .cos3 1
1 8
x x c x x+
⇔ = −
−
3 3 2 2
1 1
sin .sin 3 os .cos3 sin .sinx.sin 3 os .cos . os3
8 8
x x c x x x x c x x c x⇔ + = ⇔ + =

( )
1 os2 os2 os4 1 os2 os2 os4 1
. .
2 2 2 2 8
1
2 os2 os2 . os4
2
c x c x c x c x c x c x
c x c x c x
− − + +
⇔ + =
⇔ − =
3
1 1
os os2
8 2
c x c x⇔ = ⇔ =
( )
ai
6
,
6
x k lo
k Z
x k
π
π
π
π


= +

⇔ ∈


= − +


.
Vậy :
6
x k
π
π
= − +

Chuyên đề phương trình lượng giác 3 LTĐH
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình -
0983499890
Ví dụ 3: Giải phương trình:
x
xx
xx
2
32
2
cos
1coscos
tan2cos
−+

=−
Giải:
Điều kiện: cosx ≠ 0

2 2 2
cos 1
cos2 tan 1 cos (1 tan ) 2cos cos -1 0
1
cos
2
2 ( )
2
2 ( )
3
x
pt x x x x x x
x
x k n
x k n
π
π
π
=


⇔ − = + − + ⇔ − = ⇔

= −

=



⇔

= ± +


Ví dụ 4: Tìm các nghiệm trên
( )
0;2
π
của phương trình :
sin 3x sin x
sin 2x cos2x
1 cos2x
−
= +
−
Giải:
ĐK :
2 2
1 cos2x 0 2sin x 0 sin x 0 sinx 0 x− > ⇔ > ⇔ > ⇔ ≠ ⇔ ≠ πk
pt
2cos2x.sin x
2cos 2x
4
2 sin x
π
 
⇔ = −

 ÷
 
Khi
( )
x 0;∈ π
thì sinx > 0 nên :
(1)
2⇔
cos2x =
2
cos
2x
4
π
 
−
 ÷
 
x
16 2
π π
⇔ = +
k
Do
( )
x 0;∈ π
nên
9
x hay x
16 16

π π
= =
Khi
( )
x ;2∈ π π
thì sinx < 0 nên :
(1)
2⇔ − π
cos2x =
2
cos
2x
4
π
 
−
 ÷
 
( )
cos -2x = cos 2x-
4
π
 
⇔ π
 ÷
 
5
x
16 2
π π

⇔ = +
k
Do
( )
x ;2∈ π π
nên
21 29
x hay x
16 16
π π
= =
Ví dụ 5: Giải phương trình :
5
2 2 os sin 1
12
c x x
π
 
− =
 ÷
 
Giải:
Chuyên đề phương trình lượng giác 4 LTĐH
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình -
0983499890
5
2 2 os sin 1
12
c x x
π

 
− =
 ÷
 
5 5
2 sin 2 sin 1
12 12
x
π π
 
 
⇔ − + =
 ÷
 
 
 
5 5 1 5 5
sin 2 sin sin sin 2 sin sin
12 12 4 12 4 12
2
2cos sin sin
3 12 12
x x
π π π π π π
π π π
   
⇔ − + = = ⇔ − = − =
 ÷  ÷
   
   

= − = −
 ÷  ÷
   
( )
5
2 2
5
6
12 12
sin 2 sin
5 13
3
12 12
2 2
12 12
4
x k
x k
x k
x k x k
π
π π
π
π
π π
π π
π
π π



= +
− = − +


   
⇔ − = − ⇔ ⇔ ∈


 ÷  ÷
   


− = + = +




¢
Ví dụ 6: Giải phương trình:
1 2(cos sin )
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
Giải:
Điều kiện:sinx.cosx
≠
0 và cotx

≠
1
Phương trình đã cho tương đương với
1 2(cos sin )
sin cos 2 cos
1
cos sin 2 sin
x x
x x x
x x x
−
=
+ −
1 2(cos sinx) 1
2 sinx
sin 2 sin os2 cos cos sinx cos
cos sin 2 sinx cos sin 2
sinx 0 ( )
sin 2 2 sinx 0 2sin cos 2 sinx 0
2
cos
2
x
x x c x x x x
x x x x
loai
x x x
x
−
⇔ = ⇔ =

+ −
=


⇔ − = ⇔ − = ⇔

=


⇒
cosx =
2
2
⇒
x =
2
4
k
π
π
± +
Đối chiếu điều kiện pt có 1 họ nghiệm x =
2
4
k
π
π
− +
II. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác:
Phương trình dạng : a.f

2
(x) + b.f(x) + c = 0 , trong đó f(x) là hàm số lượng giác.
Và a, b, c là các hệ số a
≠
0.
Cách giải: Đặtë t = f(x) ( nếu f(x) là sinx hoặc cosx thì
1t ≤
)
+ Giải phương trình at
2
+ bt + c = 0 và chọn t thoả mãn điều kiện.
+ Giải phương trình f(x) = t.
Chun đề phương trình lượng giác 5 LTĐH
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình -
0983499890
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
a.
2 2
sin 3cos 2cos 3cos 2 2x x x x+ + − =
b.
2 2
5sin 2cos 3sin 10 2cos2x x x x− + = +
c.
os3 .cos 1c x x =
Giải:
a. pt
2 2 2
1 os 3cos 2cos 3(2cos 1) 2c x x x x⇔ − + + − − =
2
cos 1

5cos 3cos 2 0
2
cos
5
x
x x
x
=


⇔ − − = ⇔

= −

2
2
arccos 2
5
2
arccos 2
5
x k
x k
x k
π
π
π


=



 
⇔ = − +

 ÷
 


 
= − − +

 ÷
 

b.
2 2 2
5sin 2(1 sin ) 3sin 10 2(1 2sin )pt x x x x⇔ − − + = + −
2
sinx 1
11sin 3sin 14
11
sinx ( )
4
x x
VN
=


⇔ + − ⇔


= −

2
2
x k
π
π
⇔ = +
c.
( )
2
1
os4 os2 1 os4 os2 2 2cos 2 1 os2 2
2
pt c x c x c x c x x c x⇔ + = ⇔ + = ⇔ − + =
2
os2 1
2cos 2 os2 3 0 os2 1 2 2
3
os2 ( )
2
c x
x c x c x x k
c x VN
x k
π
π
=



⇔ + − = ⇔ ⇔ = ⇔ =

= −

⇔ =
Ví dụ 2. Giaûi các phương trình sau:
a.
2
2cos4 6 s 1 3cos2
0
cos
x co x x
x
+ + +
=
(1) b.
1
cos1
sin2)1cos2(cos1
=
−
−+−
x
xxx
(2)
c.
2
3 2 3(1 ).cotcosx cosx x− = − −
(3) d.

6 6 2
sin 2 1x cos x cos x+ = −
(4)
Giải:
a. Đk
π
π
mx +≠
2
.
Ta có (1)
( )
02cos312cos1(312cos22
2
=++++−⇔ xxx







+±=
=
⇔




=

=
⇔=+−⇔
π
π
π
kx
k
x
x
x
xx
6
2
2
1
2cos
12cos
012cos32cos2
2
Đối chiếu với điều kiện ta được
Chuyên đề phương trình lượng giác 6 LTĐH
Giỏo Viờn: Nguyn Anh Tun Trng THPT Nguyn Thỏi Bỡnh -
0983499890
Zkhkxhx +== ,;
6
;



.

b. K :

21cos mxx
Ta cú: (2)
0sin2)sin1(2cos1sin2coscos21
22
== xxxxxx

2
2
sin
2sin 2 sin 2 0
2
sin 2 ( )
x
x x
x VN

=

=


=

+=
+=







==





2
4
5
2
4
4
sin
2
2
sin
kx

kx
x
( Tha iu kin)
c. K :

mx
Ta cú (3)
=
x
x
xx
2
2
sin
cos
)cos1(322cos3


=
x
x
xx
2
2
cos1
cos
)cos1(322cos3
02coscos6
cos1
cos3

2cos3
2
2
=+
+
= xx
x
x
x






+=
+=







=
=

2)
3
2
arccos(
2
3
3
2
cos
2
1
cos
kx
kx
x
x
(Tha K)
d. Ta cú:

( )
4
1
2cos
4
3
2sin
4
3
1)cos(sincossin3)cos(sin
)(cossincossin

2
22222322
32
3
266
+=
==++=
=+=+
x
xxxxxxx
xxxx
Khi ú: (4)
012cos42cos32cos
4
1
2cos
4
3
22
=+=+ xxxx





+=
=

=
=



2
3
1
arccos
2
1
3
1
2cos
12cos
kx
kx
x
x
Vớ d 3: Tỡm caực nghieọm treõn khoaỷng
( )
0;

cuỷa phửụng trỡnh :

sin 3 cos3
7 4 cos2
2sin 2 1

x x
cosx x
x


=
ữ


(5)
Gii:
Chuyờn phng trỡnh lng giỏc 7 LTH
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình -
0983499890
ĐK : sinx







+≠
+≠
⇔≠
π
π
π
π
2

12
2
12
5
2
1
mx
mx
Ta có
3 3
sin 3 cos3 3sin 4sin 4cos 3cos
3(sin cos ) 4(sin cos )(1 sin cos )
x x x x x x
x x x x x x
− = − − + =
+ − + −
)12sin2)(cos(sin)1cossin4)(cos(sin −+=−+= xxxxxxx
xx
x
xx
cossin
12sin2
3cos3sin
+=
−
−
⇒
Ta có (5)
)sin21(4sin72cos4)coscos(sin7
2

xxxxxx −−=⇔−=−+⇔
2
sin 3 ( )
2sin 7sin 3 0
1
sin
2
x VN
x x
x
=


⇔ − + = ⇔

=


2
1
6
sin
5
2
2
6
x k
x
x k
π

π
π
π

= +

⇔ = ⇔


= +


*Chọn nghiệm thuộc khoảng
( )
π
;0
ta được hai nghiệm của phương trình là:

6
5
;
6
ππ
== xx
Ví dụ 4: Giải phöông trình :
cos 2 5sin 3 0 (*)x x+ − =
.
Giải:
(*)
2

1 2sin 5sin 3 0x x⇔ − + − =
2
2sin 5sin 2 0x x⇔ − + =
1
sinx
2
sinx 2 ( )VN

=

⇔

=


2
1
6
sin
5
2
2
6
x k
x
x k
π
π
π
π


= +

⇔ = ⇔


= +


Ví dụ 5. Giải phương trình
2
17
sin(2 ) 16 2 3.sin cos 20sin ( )
2 2 12
x
x x x
π π
+ + = + +
Giải:

1 3
os2 3 sin 2 10 os( ) 6 0 os2 sin 2 5 os( ) 3 0
6 2 2 6
π π
⇔ − + + + = ⇔ − + + + =pt c x x c x c x x c x

os(2 ) 5 os( ) 3 0
3 6
c x c x
π π

⇔ + + + + =

2
2 os ( ) 5 os( ) 2 0
6 6
c x c x
π π
⇔ + + + + =
Chuyên đề phương trình lượng giác 8 LTĐH
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình -
0983499890

1
os( )
2
6 2
2
5
2
os( ) 2 ( )
6
6
π
π
π
π
π
π



+ = −
= +


⇔ ⇔




= − +
+ = −




c x
x k
x k
c x VN

Ví dụ 6. Giải phöông trình
4 4
4
sin 2 os 2
os 4
tan( ).tan( )
4 4
x c x
c x
x x

π π
+
=
− +
.
Giải:
Điều kiện:
,
4 2
x l l Z
π π
≠ + ∈
Ta có :
tan( ) tan( ) tan( )cot( ) 1
4 4 4 4
x x x x
π π π π
− + = − − =

4 4 2 2
1 1 1
sin 2 os 2 1 sin 4 os 4
2 2 2
x c x x c x
+ = − = +

2
4 2
2
os 4 1

2cos 4 os 4 1 0
1
os 4 ( )
2
c x
pt x c x
c x VN

=

⇔ − − = ⇔

= −


2 2
1 os 4 0 sin 4 0 sin 4 0 4
4
c x x x x k x k
π
π
⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là
,
2
x k k Z
π
= ∈
Ví dụ 7. Giải phöông trình
2 2

2 3 sin x
sin x sin x
3 3 2
π π −
   
+ + + =
 ÷  ÷
   
Giải:
Pt ⇔
2 2
1 cos 2x 1 cos 2x
3 sin x
3 3
2 2 2
π π
   
− + − −
 ÷  ÷
−
   
+ =

⇔
2 2
1 sin x cos 2x cos 2x 0
3 3
π π
   
− + + + − =

 ÷  ÷
   
⇔
1
1 sin x 2cos 2x 0
2
 
− + − =
 ÷
 
⇔ 1 – cos2x – sinx = 0 ⇔ 2sin
2
x – sinx = 0
⇔
sin x 0
1
sin x
2
=



=

⇔
x k
x k2
6
5
x k2

6


= π

π

= + π


π

= + π

(k ∈ Z)
Chuyên đề phương trình lượng giác 9 LTĐH
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình -
0983499890
Ví dụ 8. Giải phương trình:
sin 2 cos 2
tan cot
cos sin
x x
x x
x x
+ = −
(1)
Giải:
Điều kiện:
cos 0

sin 2 0
sinx 0
2
x
x x k
π
≠

⇔ ≠ ⇔ ≠

≠

(1)
xsin
xcos
xcos
xsin
xcosxsin
xsinx2sinxcosx2cos
−=
+
⇔
( )
2 2
2 2
cos 2
sin cos
cos sin os
sin cos sin cos
x x

x x
x x c x
x x x x
−
−
⇔ = ⇔ = −
2
2 ( )
cos 1
2cos cos 1 0
2
1
2 ( )
cos
3
2
x k l
x
x x
x k n
x
π π
π
π
= +
= −





⇔ + − = ⇔ ⇔


= ± +
= −


Ví dụ 9. Giải phương trình :
01cossin2sinsin2
2
=−++− xxxx
Giải:
Ta có:
01cossin)1cos2(sin201cossin2sinsin2
22
=−+−−⇔=−++− xxxxxxxx
.

22
)3cos2()1(cos8)1cos2( −=−−−=∆ xxx
.
Suy ra
5,0sin =x
hoặc
1cossin −= xx
.
Với
5,0sin =x
ta có
π

π
kx 2
6
+=
hoặc
π
π
kx 2
6
5
+=
Với
1cossin
−=
xx
ta có






−=−=






−⇔−=−

4
sin
2
2
4
sin1cossin
ππ
xxx

Vậy nghiệm của phương trình là
π
kx 2
=
hoặc
π
π
kx 2
2
3
+=
Ví dụ 10. Giải phương trình:
2cos5 .cos3 sin cos8 x x x x+ =
Giải:
PT ⇔ cos2x + cos8x + sinx = cos8x
⇔ 1- 2sin
2
x + sinx = 0
⇔ sinx = 1 hoặc
1
sin

2
x = −

⇔
7
2 ; 2 ; 2 ,( )
2 6 6
x k x k x k k Z
π π π
π π π
= + = − + = + ∈
Ví dụ 11. Giải phương trình:
2
3 4 2sin 2
2 3 2(cot 1)
sin 2
cos
x
x
x
x
+
+ − = +
.
Giải:
Đk:
2
x k
π
≠

Chuyên đề phương trình lượng giác 10 LTĐH
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình -
0983499890
Phương trình đã cho tương đương với:
( )
2
4
3 1 tan 2 3 2cot
sin 2
x x
x
+ + − =
2 2
2
2
2(sin cos )
3tan 3 2cot
sin cos
3tan 2tan 3 0
x x
x x
x x
x x
+
⇔ + − =
⇔ + − =
⇔
tan 3
3
1

tan
3
6
x k
x
x
x k
π


= − + π
= −


⇔


π
=

= + π




So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm :
6 2
x k
π π
= +

; k∈Z
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :

1. Giải phương trình :
a.
2 2
4sin 2 6sin 9 3cos 2
0
cos
x x x
x
+ − −
=
b.
( )
2
cos 2 3 2 2 1
1
1 sin 2
x sinx cos x
x
+ − −
=
+
c.
2
5 2 3(1 ).tansinx sinx x− = −
d.
8 8 2
17

sin 2
16
x cos x cos x+ =
2. Tìm các nghiệm trên khoảng
( )
0;2
π
của phương trình :

cos3 sin3
5 3 cos 2
1 2sin 2
x x
sinx x
x
+
 
+ = +
 ÷
+
 

III. Phương trình bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung:

Phương trình dạng : asinx + bcosx = c , với a.b
≠
0
+ Điều kiện phương trình có nghiệm : a
2
+ b

2

≥
c
2
.
+ Cách giải :
- Chia 2 vế phương trình cho
2 2
a b+
ta được :

2 2 2 2 2 2
cosasinx b x c
a b a b a b
+ =
+ + +
- Đặt
2 2 2 2
sin
a b
cos
a b a b
α α
= ⇒ =
+ +
và đặt
2 2
sin
c

a b
β
=
+
ta có phương trình:

sin( ) sinx
α β
+ =

Chun đề phương trình lượng giác 11 LTĐH
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình -
0983499890
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a.
3 sin 2 os2 2x c x+ =
b.
sinx 3 cos 2sin3x x− = −
c.
cos 3 sin3 os3 3 sinx x c x x+ = +
d.
2 2
3sin os 3sinx cosx c x x− = +
Giải:
a. pt
3 1
sin 2 os2 1 os sin 2 sin os2 1
2 2 6 6
x c x c x c x
π π

⇔ + = ⇔ + =
sin 2 1 2 2
6 6 2
x x k
π π π
π
 
+ = ⇔ + = +
 ÷
 
6
x k
π
π
⇔ = +
b.
1 3
sinx cos sin3 os sinx sin cos sin3x
2 2 3 3
pt x x c x
π π
⇔ − = − ⇔ − = −
3 2
3
sin sin( 3 )
3
3 2
3
x x k
x x

x x k
π
π
π
π
π π

− = − +

 
⇔ − = − ⇔

 ÷
 

− = + +


12 2
2
3
x k
x k
π π
π
π

= +

⇔



= − −



3 1 3 1
. 3 sin3 os3 3 sin cos sin 3 os3 sinx cos
2 2 2 2
os sin 3 sin os3 os sinx sin os
6 6 6 6
3 2
6 6
sin 3 sin
6 6
3 2
3 2
6 6
c pt x c x x x x c x x
c x c x c c x
x k
x x k
x x
x k
x x k
π π π π
π π
π
π
π π

π π
π π
π π
⇔ − = − ⇔ − = −
⇔ − = −

=
− = − +


   

⇔ − = − ⇔ ⇔

 ÷  ÷

= +
   

− = − + +



d.
( )
2
2
3 sinx os ( 3sinx cos ) 0
( 3 sinx cos )( 3 sinx cos ) ( 3sinx cos ) 0 ( 3sinx cos )( 3 sinx cos 1) 0
3 1

os sinx sin cos 0
sinx cos 0
3 sinx cos 0
6 6
2 2
3 sinx cos 1 3 1 1
os sinx-si
sinx- cos
6
2 2 2
pt c x x
x x x x x
c x
x
x
x
c
x
π π
π
⇔ − − + =
⇔ − + − + = ⇔ + − − =

+ =
+ =


+ =

⇔ ⇔ ⇔



− =


=


sin 0
6
1
n cos
sin sin
6 2
6 6
6 6
2 2
6 6 3
2
2
6 6
x
x
x
x k x k
x k x k
x k
x k
π
π

π π
π π
π π
π π π
π π
π π π π
π π

 

+ =
 ÷


 

⇔


 

=
− =

 ÷


 

 

+ = = − +
 
 
 
⇔ − = + ⇔ = +
 
 
= +
 
− = − +
 
 
Ví dụ 2: Giaûi phöông trình :
Chuyên đề phương trình lượng giác 12 LTĐH
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình -
0983499890
a.
xxxx 2cos34cos26sin32cos4
3
+=+
(1) b.
3 1
8sinx
cosx sinx
= +
(2)
c.
0sincos2cos2sin =−−− xxxx
(3) d.
82cos2sin3cos3sin9 =+−+ xxxx

(4)
e.
3
2 cos2 0cos x x sinx+ + =
(5) f.
3 3
sin x cos x sinx cosx+ = −
(6)
g. 4
4 4
(sin ) 3 sin 4 2x cos x x+ + =
(7) h.
xxxx sin3cos)cos3(sin3 +=−
(8)
Giải:
a. (1)
( )
xxxx 4cos26sin32cos32cos4
3
=+−⇔

xxxxxx 4cos6sin
2
3
6cos
2
1
4cos26sin36cos =+⇔=+⇔

xx 4cos

3
6cos =






−⇔
π
.
b. ĐK :
( )
Zm
m
xx
x
x
∈≠⇔≠⇔



≠
≠
2
02sin
0cos
0sin
π
Ta có (2)

xxxxxxxx cossin3)3cos(cos2cossin3sin2sin4 +=−⇔+=⇔
xxxxx 3cos
3
cos3cossin
2
3
cos
2
1
=






+⇔=−⇔
π
c. Ta có (3)
( )
01coscos2)sincossin2(
2
=−+−−⇔ xxxxx
0)1cos)(sin1cos2(
0)1)(cos1cos2()1cos2(sin
=−−−⇔
=+−−−⇔
xxx
xxxx
1)

4
sin(2
2
1
cos =−∨=⇔
π
xx
d. Ta có (4)
( )
( )
09cos2cos3cossin6sin9
2
=−++−⇔ xxxxx

0)3)(cos3cos2()cos23(sin3 =+−+−⇔ xxxx

03sin3cos0)3sin3)(cos3cos2( =+−⇔=+−−⇔ xxxxx

ααα
sinsinsincoscos
10
3
sin
10
3
cos
10
1
−=−⇔−=−⇔ xxxx
Đặt

1 3
cos à sin
10 10
v
α α
= =
Phương trình
cos( ) cos cos( ) cos
2 2
x x
π π
α α α α
   
⇔ + = − ⇔ + = − +
 ÷  ÷
   
e. Ta có (5)
0)sin1()1(coscos20sin1cos2cos2
223
=−−+⇔=+−+⇔ xxxxxx

0)sin1()1)(cossin1)(sin1(2 =−−++−⇔ xxxx

[ ]
0)12sincos2sin2)(sin1(
01)cos1)(sin1(2)sin1(
=+++−⇔
=−++−⇔
xxxx
xxx

[ ]
0)cos(sin)cos(sin2)sin1(
2
=+++−⇔ xxxxx
Chuyên đề phương trình lượng giác 13 LTĐH
Giỏo Viờn: Nguyn Anh Tun Trng THPT Nguyn Thỏi Bỡnh -
0983499890




=+
=
=+++
0cossin
0sin1
0)2cos)(sincos)(sinsin1(
xx
x
xxxxx
f. Ta cú (6)
xxxxxx cossin)cossin1)(cos(sin =+

xxxxxxxx cossin)cos(sincossincossin =++

0)cossinsin2(cos0)cos(sincossincos2
2
==+ xxxxxxxxx

0)2sin2cos3(cos0)2sin
2
1
2
2cos1
2(cos =+=

xxxx
x
x

0cos
=
x
g. Ta cú
xxxxx 4cos
4
1
4
3
)4cos1(
4
1
12sin
2
1
1cossin
244
+===+
Nờn (7)

2
1
4sin
2
3
4cos
2
1
24sin34cos3 =+=++ xxxx


3
2
cos
3
4cos

=






x

h. Ta cú (8)
xxxxxxxx cos
2
3

sin
2
1
3cos
2
1
3sin
2
3
cos3sin3cos3sin3 +=+=







+=







3
sin
6
3sin

xx
Vớ d 3. Gii phng trỡnh :
2
2 os3x.cosx+ 3(1 sin2x)=2 3 os (2 )
4
c c x

+ +
Gii:

os4x+cos2x+ 3(1 sin 2 ) 3 1 os(4x+ )
2
os4x+ 3sin 4 os2x+ 3 sin 2 0
PT c x c
c x c x


+ = +
ữ

+ =

sin(4 ) sin(2 ) 0
6 6
18 3
2sin(3 ). osx=0
6
x=
2
x x

x k
x c
k





+ + + =

= +

+


+


Vy PT cú hai nghim
2
x k


= +
v
18 3
x k

= +
.

BAỉI TAP TệễNG Tệẽ :
1) Giaỷi phửụng trỡnh :
xxxx 3sin43cos29cos33sin3
3
+=
2) Giaỷi phửụng trỡnh :
3 1
8
sin
cosx
x cosx
= +
Chuyờn phng trỡnh lng giỏc 14 LTH
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình -
0983499890
3) Giải phương trình :
2
sin 2 2sin 1 4 2 2sin cos2x x sin xcosx cos x x x+ − = + −
4) Giải phương trình :
4cos sin 2 2cos 2 1sinx x x x+ − + =
5) Giải phương trình :
3
2sin cos 2 0x x cosx− + =
6) Giải phương trình :
3 3
sin x cos x sinx cosx− = +
7) Giải phương trình :
( )
24sin33cossin8
66

=−+ xxx
8) Giải phương trình :
xxxx cos3sin)sin3(cos3 −=+
IV. Phương trình đẳng cấp thuần nhất theo sin và côsin cùng một cung:

1) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc hai theo sin và côsin cùng một cung:
*Phương trình có dạng : asin
2
x + bsinxcosx + ccos
2
x + d = 0. (1)

*Cách giải 1: (Dùng cơng thức hạ bậc và cơng thức nhân đơi đưa về PT bậc nhất
theo sin2x và cos2x )
(1)
⇔

1 cos 2 1 cos2
sin 2 0
2 2 2
x b x
a x c d
− +
+ + + =

sin 2 ( )cos2 (2 )b x c a x d a c⇔ + − = − + +
.

* Cách giải 2: (Đưa về PT bậc hai đối với tanx )
Xét hai trường hợp :

+ Nếu x =
;
2
k k Z
π
π
+ ∈
có là nghiệm phương trình hay không.
+ Nếu x
;
2
k k Z
π
π
≠ + ∈
, chia hai vế phương trình cho cos
2
x ta được:
atan
2
x + btanx + c + d(1 + tan
2
x) = 0

⇔
(a + d)tan
2
x + btanx + c + d = 0.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a. cos

2
x -
3
sin2x = 1 + sin
2
x (1) b. 4sin
2
x – 3sinxcosx +
( )
3 4+
cos
2
x = 4 (2)
c. 10cos
2
x – 5sinxcosx + 3sin
2
x = 4 (3) d. cos
2
x + sinxcosx + 3sin
2
x = 3. (4)
Giải
a. (1)
( )
12sin32cos12sin3sincos
22
=−⇔=−−⇔ xxxxx
Chun đề phương trình lượng giác 15 LTĐH
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình -

0983499890

3
cos
3
2cos
2
1
2sin
2
3
2cos
2
1
ππ
=






+⇔=−⇔ xxx
b. +Xét cosx = 0 thì
1sin
2
=x
nghiệm đúng phương trình (2).
Vậy (2) có nghiệm
π

π
kx +=
2
.
+ Xét
0cos ≠x
. Chia hai vế PT(2) cho
x
2
cos
ta được
2 2
4 t anx 3t anx 3 4 4(1 tan )x− + + = +
tan tan
6 6
x x k
π π
π
⇔ = ⇔ = +
Vậy PT (2) có nghiệm là :
π
π
kx +=
2
;
Zkkx ∈+= ;
6
π
π
c. (3)

3)2cos1(
2
3
2sin
2
5
)2cos1(5 =−+−+⇔ xxx
72sin52cos7 −=−⇔ xx
d. Xét cosx = 0 thì
1sin
2
=x
nghiệm đúng phương trình (2).
Vậy (2) có nghiệm
π
π
kx +=
2
.
+Xét
0cos ≠x
. Chia hai vế PT(2) cho
x
2
cos
ta được
2 2
1 t anx 3tan 3(1 tan ) tan 2 arctan 2x x x x k
π
+ + = + ⇔ = ⇔ = +

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1) Giải phương trình : 3sin
2
x - 5
3
sinxcosx – 6cos
2
x = 0
2) Giải phương trình : sin
2
x +
2
(1 3)sin cos 3 0x x cos x+ + =

3) Giải phương trình : 2sin
2
x + sinxcosx – 5cos
2
x = 1
4) Giải phương trình : cos
2
x – 3sin
2
x – 4sinxcosx = 0
2) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc cao theo sin và côsin cùng một cung:
Đây là loại phương trình được mở rộng từ PT đẳng cấp bậc hai dựa trên cơ sở sau:
+ Một biểu thức theo sinx hoặc cosx có bậc k có thể biến đổi thành một biểu thức
theo sinx và cosx có bậc k + 2n nhờ đẳng thức :
1cossin
22

=+ xx
.
),( Nnk ∈
Chẳng hạn : sinx (bậc 1) = sinx.
xxxxx
2322
cossinsin)cos(sin +=+
(bậc 3).
Hoặc sinx = sinx.
xxxxxxx
4235222
cossincossin2sin)cos(sin ++=+
(bậc 5).
+ Chú ý : i) Số 0 khơng có bậc. Một hằng số khác 0 có bậc là 0.
ii) Xác định bậc của mỗi hạng tử trong PTLG chứa sin và cơsin là khi
chúng đã cùng một cung ( ví dụ với cung 3x thì sin3x có bậc 1, với cung 1x thì sin3x
có bậc 3)
Từ những ý tưởng trên ta có thể nêu định nghĩa về PTLG đẳng cấp bậc n theo sin và
cơsin của cùng một cung như sau:
Chun đề phương trình lượng giác 16 LTĐH
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình -
0983499890
“ PT đẳng cấp bậc n theo sinx và cosx là PT có bậc các hạng tử hơn, kém nhau 2k, k
N∈
”
Cách giải 1: ( tương tự đẳng cấp bậc 2)
(Cách giải này thường phát hiện được cách giải ngay từ ban đầu và có thuật toán,
nhưng nhược điểm dài hơn cách giải thứ hai)
+Bước 1: Xét cosx = 0 có nghiệm đúng PT không. (nếu đúng ghi nhận kết quả)
+Bước 2: -Xét cosx

≠
0. Chia hai vế PT cho
x
n
cos
và thay
( )
k
k
x
x
2
2
tan1
cos
1
+=






.
-Đặt ẩn phụ t = tanx và thu gọn thì được PT đa thức bậc n theo t.
-Giải tìm nghiệm t = t
0
rồi giải PT tanx = t
0
để tìm x.

Cách giải 2 : (Biến đổi về PT tích theo sin và côsin)
( Cách giải này thường ngắn gọn nhưng không định hướng được kết quả biến đổi. Đòi
hỏi kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử của mỗi học sinh).Không có thuật toán
như cách 1. Sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
xxxx
2
coscossintan −=
(1)
Giải cách 1:
+ĐK:
π
π
mx +≠
2
.
+(1)
xxxx
32
coscossinsin −=⇔
(*) (đẳng cấp bậc 3).
+cosx = 0 không nghiệm đúng PT. (vì
01 =±
; vô lý)
+cosx
≠
0, chia hai vế (*) cho cos
3
x được :

π
π
kxxttxxx +−=⇔−=⇔−=⇔−=⇔−=+
4
1tan111tan)tan1(tan
32
(t = tanx)
Giải cách 2:
(*)
xxxxx
3332
cossincos)cos1(sin −=⇔−=−⇔
(**)


π
π
kxxx +−=⇔−=⇔−=
4
1tan1tan
3

Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tôi minh họa lại như sau:
(**)
0)2sin2)(cos(sin0)cossin1)(cos(sin0cossin
33
=−+⇔=−+⇔=+⇔ xxxxxxxxx

π
π

kxxxx +−=⇔−=⇔=+⇔
4
1tan0cossin
.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
xxx cossincos
3
+=
(2) (đẳng cấp bậc 3)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 không nghiệm đúng (2)
+ cosx
≠
0, chia hai vế (2) cho cos
3
x được :
)tan1()tan1(tan1
2
xxx +++=
π
kxxtttt =⇔=⇔=⇔=++⇔ 0tan00)1(
2
(với t = tanx )
Giải cách 2:
(2)
0)1cos(sinsin0sinsincossin)1(coscos
22
=+⇔=+⇔=−⇔ xxxxxxxxx
Chuyên đề phương trình lượng giác 17 LTĐH
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình -

0983499890

π
kxxxx =⇔=⇔=+⇔ 0sin0)22(sinsin
Ví dụ 3: Giải phương trình:
0cos2cossincos2sin3
233
=++− xxxxx
(3)
(đẳng cấp bậc 3)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 không nghiệm đúng (3)
+ cosx
≠
0, chia hai vế (3) cho cos
3
x được :

0)3(3033)tan1(2tan2tan3
223223
=+⇔=+⇔+++− ttttxxx





+−=
=
⇔




−=
=
⇔



−=
=
⇔
π
π
π
kx
kx
x
x
t
t
3
3tan
0tan
3
0
Giải cách 2:
(3)
( )
0)cos1(cos2cossinsin3
223

=−++⇔ xxxxx

( )
0cos3sin3sin0sincos2)cossin3(sin
222
=+⇔=++⇔ xxxxxxxx





+−=
=
⇔



−=
=
⇔



=+
=
⇔
π
π
π
π

kx
kx
x
kx
xx
x
3
3tan0cos3sin
0sin

Ví d ụ 4 : Giaûi phöông trình 3cos
4
x – 4sin
2
xcos
2
x + sin
4
x = 0 (4) (đẳng cấp bậc 4)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 thì sinx =
1±
không nghiệm đúng ptrình . Vậy cosx
0
≠
+ Chia hai vế (2) cho cos
4
x rồi đặt ẩn phụ t = tan
2
x thì được:

31034
2
=∨=⇔=+− tttt
Giải cách 2:
(4)
0)sincos(sin)cossin3cos3(
422224
=−−−⇔ xxxxxx
0)sin(cossin)sin(coscos3
222222
=−−−⇔ xxxxxx



±=
=
⇔=−⇔
3tan
02cos
0)sincos3(2cos
22
x
x
xxx
Ví dụ 5: Giải phương trình :
xxxxx cossin2coscossin
266
−=+
(5)

Giải cách 1:
Nếu biến đổi :
)cossincos)(sincos(sincossin
22442266
xxxxxxxx −++=+
=
=
xxxx
2244
cossincossin −+
Và biến đổi :
xxxxxxx
22442222
cossin2sincos)sin(cos2cos −+=−=
Thì PT (5)
0cossincossin
22
=+⇔ xxxx
(*)
Khi đó PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản
+ Nếu từ PT:
xxxxxx cossin)sin(coscossin
22266
−−=+
(đẳng cấp bậc 6)
Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình: (Với t = tanx )
Chuyên đề phương trình lượng giác 18 LTĐH
Giỏo Viờn: Nguyn Anh Tun Trng THPT Nguyn Thỏi Bỡnh -
0983499890

=++++
=
=++++
)1.5(012
0
02
234
2345
tttt
t
ttttt
Khi ú PT (5.1)
02
11
0
11
2
2
2
2
2
=+

++






+=++++
t
t
t
t
t
t
tt
(5.2)
PT (5.2) t n ph
t
tu
1
+=
thỡ c PT bc hai
100
2
===+ uuuu
.
Tr li vi n t thỡ cỏc PT ny vụ nghim.
+ Vi t = 0

kxx == 0tan
.
Chỳ ý: Khi xột cosx = 0 thỡ nú nghim ỳng PT ng cp bc 6 nờn:


kx +=
2
cng l nghim PT. Kt hp nghim thỡ c x =
2

k
. Phự hp vi mi
cỏch gii.
BAỉI TAP TệễNG Tệẽ: Cú th gii li cỏc bi trong cỏc vớ d v bi tp tng t
phõn PT a v PT bc nht theo sin v cụsin cựng mt cung nh :
1) Giaỷi phửụng trỡnh sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x (ng cp bc 3)
2) Giaỷi phửụng trỡnh sin3x + cos3x + 2cosx = 0 (ng cp bc 3)
3) Giaỷi phửụng trỡnh sinx 4sin
3
x + cosx = 0 (ng cp bc 3)
4) Giaỷi phửụng trỡnh :
3 3
sin x cos x sinx cosx = +
(ng cp bc 3)
5) Giaỷi phửụng trỡnh :
( )
24sin33cossin8
66

=+ xxx
(ng cp bc 6)
6) Gii phng trỡnh :
xxxx cos3sin)sin3(cos3 =+
(ng cp bc 3)
7) Giaỷi phửụng trỡnh :
3 3
sin x cos x sinx cosx+ =
(ng cp bc 3)
8) Giaỷi phửụng trỡnh : 4
4 4
(sin ) 3 sin 4 2x cos x x+ + =
(ng cp bc 4)
9) Gii phng trỡnh :
xxxx sin3cos)cos3(sin3 +=
(ng cp bc 3)
10) Giaỷi phửụng trỡnh :
8 8 2
17
sin 2
16
x cos x cos x+ =
(ng cp bc 8)
11) Giaỷi phửụng trỡnh :
6 6 2
sin 2 1x cos x cos x+ =
(ng cp bc 6)
V. Phng trỡnh cha tng (hoc hiu) v tớch ca sin v cụssin cựng mt
cung:
1) Phng trỡnh cha tng v tớch (cũn gi l phng trỡnh i xng theo sin v

cụsin)
Dng phng trỡnh: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c
)R
(1)
Cỏch gii : t t = sinx + cosx =
2
4
sin2






+ tx


(*)
2
1
cossincossin21
2
2

=+=
t
xxxxt
Chuyờn phng trỡnh lng giỏc 19 LTH
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình -
0983499890

(1)
)1.1(0220
2
1
.
2
2
=−++⇔=+
−
+⇔ bcatbtc
t
bat
.
Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t
0
thỏa mãn
2
0
≤t
.
Thay giá trị t
0
vào PT (*) và giải PT sin2x =
1
2
0
−t
để tìm x.
2) Phương trình chứa hiệu và tích ( còn gọi là phương trình phản xứng)
Dạng phương trình: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c

)R∈
(2)
Cách giải : Đặt t = sinx - cosx =
2
4
sin2 ≤⇒






− tx
π

(**)
2
1
cossincossin21
2
2
t
xxxxt
−
=⇒−=⇒
(1)
)1.2(0220
2
1
.

2
2
=−−−⇔=+
−
+⇔ bcatbtc
t
bat
.
Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t
0
thỏa mãn
2
0
≤t
.
Thay giá trị t
0
vào PT (**) và giải PT sin2x = 1-
2
0
t
để tìm x.
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
x x x x
π π
π π

   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
   
− = − =− +
 ÷  ÷
   

Ví dụ 1: Giải phương trình
( )
02cos12)sin(cos122sincossin =+−+− xxxxxx
(1)
Ví dụ 2: Giải phương trình






+−=−
4
sin27cos2sin3sin2sin32cos8
π
xxxxxx
(2)
Ví dụ 3: Giải phương trình
02cos2sinsin
23
=−++ xxx

(3)
Ví dụ 4: Giải phương trình
12cossin)2sincos(sin12cossin
22
=−+−+ xxxxxxx
(4)
Ví dụ 5: Giải phương trình
1)1(sin2sin2coscossinsin
2
=−++− xxxxxx
(5)
Ví dụ 6: Giải phương trình
0sincos2cos)1cos(sin =−+− xxxxx
(6)
Giải:
Ví dụ 1: (1)
⇔
( )
[ ]
012)cos(sin122sincossin =−+−− xxxxx




=+−+
=−
⇔
)1(0122sin)cos(sin12
)1(0cossin
bxxx

axx
(1a)
sin 0
4 4 4
x x k x k
π π π
π π
 
⇔ − = ⇔ − = ⇔ = +
 ÷
 
Chuyên đề phương trình lượng giác 20 LTĐH
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình -
0983499890
(1b)
( )
xxtt
t
t
tt cossin1
13
1
01312
2
+=−=⇒



=
−=

⇔=−−⇔

1
1 2 sin 1 sin sin sin
4 4 4 4
2
t x x x
π π π π
       
+ = − ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ + = −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
2
2
4 4
2
2
2
4 4
x k
x k
x k
x k
π π
π
π
π
π π
π π
π π


+ = − +


= − +

⇔ ⇔



= +
+ = + +



+ Vậy (1) có nghiệm là
)(
2
;
4
Zk
k
xkx ∈=+=
π
π
π
Ví dụ 2: (2)
( )
[ ]
072sin3)sin(cos8sincos =+−−+⇔ xxxxx




=+−−
=+
⇔
)2(072sin3)sin(cos8
)2(0cossin
bxxx
axx
(2a)
π
π
kx +−=⇔
4
(2b) : Đặt t =
(*)12sin2sin1)2(;sincos
22
txxttxx −=⇒−=⇒≤−
(2b)
3
2
3
2
2
0483
2
−=⇒





−=
−=
⇔=++⇔ t
t
t
tt

Ví dụ 3: (3)
0)1cossincos)(sincos1( =−++−⇔ xxxxx





=
=
⇔



=−++
=
⇔
2
2
01cossincossin
1cos

π
π
k
x
kx
xxxx
x
Ví dụ 4: (4)

( )
[ ]



=+−−
=−
⇔
=+−−−⇔
012)cos(sin12cossin
0cossin
012)cos(sin12cossincossin
xxxx
xx
xxxxxx








=
=
⇔
2
4
π
π
k
x
x

Ví dụ 5: (5)
( )
0)1(sin2sin2)coscos(sin1sin
2
=−+−−−⇔ xxxxxx

( )( ) ( )
( )( )



=++−
=
⇔
=++−−⇔
=−+−−+−⇔
012sin2cossin
1sin

012sin2cossin1sin
0)1(sin2sin21sincos1sin1sin
xxx
x
xxxx
xxxxxx
Chuyên đề phương trình lượng giác 21 LTĐH
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình -
0983499890
Ví dụ 6: (6)
( )
( )
( )
0sincossincos1cossin
22
=−+−−⇔ xxxxxx

( )( )( ) ( )
0sincossincossincos1cossin =−++−−⇔ xxxxxxxx

[
( )( )
]
01sincos1cossin)sin(cos =++−−⇔ xxxxxx




=++−
=−

⇔
)6(01)sin)(cos1cos(sin
)6(0sincos
bxxxx
axx
(6a)
π
π
kx +=⇔
4
(6b): Đặt t = sinx +cosx (
2≤t
) ;
12sin2sin1
22
−=⇒+= txxt
(*)
(6b)
⇔

01.1
2
1
2
=+









−
−
t
t

023
3
=+−⇔ tt

0)2)(1(
2
=−+−⇔ ttt

1
2
1
=⇒



−=
=
⇔ t
t
t
thay vào (*) thì sin2x = 0
2

π
k
x =⇔
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Giải các phương trình sau :
1)
2
4
cos2)1cos(sin2sin2 =






−+−+
π
xxxx
. 2)
xxxxx cossin4sin
2
1
cossin
44
−=+−
3)
02sin2coscos
23
=−++ xxx
4)
( )

( )
)cos2(8sin3sin3
2
xxx −=++
5)
0sincos)cossin1(2cos =+++ xxxxx
6)
06cos6sin3sin
23
=+−− xxx
VI. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
1. Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.
Ví dụ 1. Giải phương tình: sin
2
x + sin
2
3x = cos
2
2x + cos
2
4x (1).
Giải
Chuyên đề phương trình lượng giác 22 LTĐH
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình -
0983499890
Phương trình (1) tương đương với:
1 cos2 1 cos6 1 cos 4 1 cos8
2 2 2 2
x x x x− − + +
+ = +

⇔ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
⇔ 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
⇔ 2cos5x(cos3x+cosx) = 0
⇔ 4cos5x.cos2x.cosx = 0
5
10 5
2
cos5 0
cos2 0 2 , ( , , )
2 4 2
cos 0
2 2

π kπ
π
x
x kπ
x
π π lπ
x x kπ x k l n
x
π π
x kπ x nπ


= +
= +


=







⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈




=





= + = +




¢
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos
6
x+sin
6
x = 2 ( cos
8
x+sin

8
x) (2).
Giải
Ta có (2) ⇔ cos
6
x(2cos
2
x−1) = sin
6
x(1−2sin
2
x)
⇔ cos2x(sin
6
x–cos
6
x) = 0
⇔ cos2x(sin
2
x–cos
2
x)(1+sin
2
x.cos
2
x) = 0
⇔ cos2x = 0
⇔
2 ,( )
2 4 2

π π kπ
x kπ x k= + ⇔ = + ∈¢
Ví dụ 3: Giải phương trình:
6 3 4
8 2 cos 2 2 sin sin 3 6 2 cos 1 0x x x x+ − − =
(3).
Giải
Ta có:
3 3 3
2 2
(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0
2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2
x x x x x
x x x x x x x
⇔ − + − =
⇔ + =
(1 cos 2 )(cos2 cos4 ) (1 cos2 )(cos2 cos4 ) 2
2(cos2 cos 2 cos4 ) 2
x x x x x x
x x x
⇔ + + + − − =
⇔ + =
2
2 2
cos2 (1 cos4 ) cos2 .cos 2
2 4
2
cos2 ,( )
2 8
x x x x

π
x x kπ k
⇔ + = ⇔ =
⇔ = ⇔ = ± + ∈¢
Ví dụ 4. Giải phương trình:
cosx cos3x 1 2sin 2x
4
π
 
+ = + +
 ÷
 
.
Giải:
Chuyên đề phương trình lượng giác 23 LTĐH
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình -
0983499890
( )
( ) ( )
2
cosx cos3x 1 2sin 2x 2cosxcos2x 1 sin 2x cos2x
4
2cos x 2sin xcosx 2cosxcos2x 0 cos x cos x sinx cos2x 0
cosx 0
cosx cos x sinx 1 sinx cosx 0 cosx sinx 0
1 sinx cosx 0
x k
2
x k
4

1
sin x
4
2
π
 
+ = + + ⇔ = + +
 ÷
 
⇔ + − = ⇔ + − =
=


⇔ + + − = ⇔ + =


+ − =

π
= + π
π
= − + π
π
 
− = −
 ÷
 
x k
2
x k

2
x k
4
x k
4
x k2
x k2
4 4
5
x k2
4 4
π

= + π


π

= + π



π



= − + π

π



⇔ ⇔ = − + π



π π

− = − + π


= π






π π


− = + π


Ví dụ 5. Giải phương trình
cos2x 2sin x 1 2sin xcos 2x 0+ − − =
Giải:
Ta có:
cos2x 2sin x 1 2sin xcos 2x 0+ − − =
( ) ( ) ( ) ( )
os2 1 0

os2 1 2sin 1 2sin 0 os2 1 1 2sin 0
1 2sin 0
c x
c x x x c x x
x
− =

⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔

− =


2 2
os2 1
2
1
6
sinx
2
5
2
6
x k
c x
x k
x k
π
π
π
π

π


=
=




⇔ ⇔ = +


=



= +

Ví dụ 6. Giải phương trình sau: (1 – tanx) (1+ sin2x) = 1 + tanx.
Giải
Điều kiện:
cos 0
2
x x l
π
π
≠ ⇔ ≠ +
Ta có:
Chuyên đề phương trình lượng giác 24 LTĐH
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn –Trường THPT Nguyễn Thái Bình -

0983499890
( ) ( ) ( )
( ) ( )
[ ]
2 2
2 2
sinx sinx
1 – tanx 1 sin2x 1 tanx 1 1 2sin cos 1
cos cos
(cos sinx) sinx cos cos sinx (cos sinx) sinx cos (cos sinx)=0
(sinx cos ) (cos sinx)(cos sinx) 1 0
(sinx cos ) os sin 1
x x
x x
x x x x x x
x x x
x c x x
 
+ = + ⇔ − + = +
 ÷
 
⇔ − + = + ⇔ − + − +
⇔ + − + − =

⇔ + − −

[ ]
0 (sinx cos ) os2x 1 0
2 sin 0
sinx cos 0

( )
4
4 4
os2 1 0
2 2 ( )
os2 1
x c
x
x
x k x k n
c x
x k x k n
c x
π
π π
π π
π π

= ⇔ + − =


 
 
+ =
+ =
+ = = − +

 ÷

 

⇔ ⇔ ⇔ ⇔
 


 
− =

= =

=
 

Ví dụ 7: Giải phương trình:
2 2
2sin 2sin tanx
4
x x
π
 
− = −
 ÷
 
.
Giải:
Điều kiện :
cos 0
2
x x l
π
π

≠ ⇔ ≠ +
(*)
2
sinx
1 cos 2 2sin
2 cos
pt x x
x
π
 
⇔ − − = −
 ÷
 
( )
2
cos sin 2 .cos 2sin .cos sinx cos sinx sin 2 cos sinx 0x x x x x x x x
⇔ − − + ⇔ + − + =
( )
2
cos sin 2 .cos 2sin .cos sinx cos sinx sin 2 cos sinx 0
(cos sinx)(1 sin 2 ) 0
x x x x x x x x
x x
⇔ − − + ⇔ + − + =
⇔ + − =
sinx cos tanx 1
4
( â )
4 2
sin 2 1 2 2

2 4
x x k
x k nh n
x x l x l
π
π
π π
π π
π π

= − ⇒ = − ⇔ = − +

⇔ → = +


= ⇔ = + ⇔ = +


Ví dụ 8. Giải phương trình
2 os6x+2cos4x- 3 os2x =sin2x+ 3c c
Giải:
( )
2
2
2 os6 os4 3(2cos 1) 2sin cos 3
4cos5 cos 2 3 os 3 2sin cos 3
pt c x c x x x x
x x c x x x
⇔ + − − = +
⇔ − + = +

( )
2
4cos5xcosx -2sinxcosx - 2 3cos x 0 2cos 2cos5x -sinx - 3cosx 0
cos 0
2
2
2cos5x -sinx - 3cosx=0
sinx cos 2cos5
sinx 3 cos 2cos5
x
x
x k
x k
x x
x x
π
π
π
π
⇔ = ⇔ =


=
= +

= +


⇔ ⇔ ⇔





+ =
+ =



Chuyên đề phương trình lượng giác 25 LTĐH