Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 10

Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Chủ đề 1 : ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Các định nghĩa về VTCP và PVT của đường thẳng:
1. VTCP của đường thẳng :
a
r
là VTCP của đường thẳng (
∆
)
đn
⇔
0
a có giá song song hoặc trùng với ( )
a

≠


∆


r r
r
n
r
là VTPT của đường thẳng (
∆
)

đn
⇔
0
n có giá vuông góc với ( )
n

≠


∆


r r
r
* Chú ý:
• Nếu đường thẳng (
∆
) có VTCP
1 2
( ; )a a a=
r
thì có VTPT là
2 1
( ; )n a a= −
r
hoặc
= −
r
2 1
( ; )n a a

• Nếu đường thẳng (
∆
) có VTPT
( ; )n A B=
r
thì có VTCP là
( ; )a B A= −
r
hoặc
= −
r
( ; )a B A
* Nhận xét :
Đường thẳng
( )∆
đi qua hai điểm A, B thì ta chọn :
( ; )
B A B A
AB x x y y= − −
uuur
làm VTCP của
( )∆
.
Bài tập áp dụng :
1. Cho đường thẳng
( )∆
đi qua hai điểm A(1;-2), B(-1;3). Tìm một VTCP và một VTPT của
( )∆
.
2: Cho tam giác ABC biết

( 1;2), (5;7), (4; 3)A B C− −
1. Tìm một VTCP và một VTPT của các đường cao của tam giác.
2. Tìm một VTCP và một VTPT của các đường trung trực của tam giác
II. Phương trình đường thẳng :
1. Phương trình tổng qt của đường thẳng :
a. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M
0
(x
0
;y
0
) và có VTPT
( ; )n A B=
r
là:
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 1
)(∆
n

n

y
a

a

)(∆
a

n


)(∆
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net

0 0
( ): ( ) ( ) 0A x x B y y∆ − + − =
(*)


b. Phương trình tổng quát của đường thẳng :
Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy). Phương trình đường thẳng (
∆
) có dạng :

Ax + By + C = 0 với
2 2
0A B+ ≠
Chú ý:
Từ phương trình (
∆
):Ax + By + C = 0 ta luôn suy ra được :
1. VTPT của (
∆
) là
( ; )n A B=
r
2. VTCP của (
∆
) là

= − = −
r r
( ; ) hay u ( ; )u B A B A
3.
0 0 0 0 0
( ; ) ( ) 0M x y Ax By C∈ ∆ ⇔ + + =

⇒
Cách tìm tọa độ của
0 0 0
( ; )M x y
Ta chọn x =x
o
,thế vào phương trình Ax + By + C = 0 tìm
y
o
.
Mệnh đề (3) được hiểu là :
Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đường thẳng là tọa độ điểm đó
nghiệm đúng phương trình của đường thẳng .
Bài tập áp dụng :
Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng biết phương trình tổng quát của nó là
5 2 3 0x y− + =
Bài 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua M(-1;2) và song song
( ) : 2 3 4 0x y∆ − + =
Bài 3: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua N(-1;2) và vuông góc
( ) : 2 3 4 0x y∆ − + =
Bài 4: Cho hai điểm A(-1;2) và B3;4) . Tìm điểm C trên đường thẳng x-2y+1=0 sao cho tam giác
ABC vuông ở C.
2. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng :

a. Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng (
∆
) qua M
0
(x
0
;y
0
) và nhận
=
r
( ; )u a b
làm
VTCP sẽ có :
+

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 2
);(
000
yxM
);( yxM
x
O
);(
000
yxM
);( BAn =

x
y

O
);( ABa −=

);( ABa −=

);( yxM
a

x
y
O
Phương trình tham số là :
= +

∆ ∈

= +

¡
0
0
( ): ( )
x x at
t
y y bt
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net
Phương trình chính tắc là :
0 0
1 2

( ):
x x y y
a a
− −
∆ =
Điều kiện :
0
0
a
b
≠
≠
Chú ý:


∆ ∈



= +
= +
¡
0
0
( ): ( )


t
x x a t
y y b t

Chú ý:Từ phương trình (
∆
):Ax + By + C = 0 ta luôn suy ra được :
1. VTPT của (
∆
) là
( ; )n A B=
r
2. VTCP của (
∆
) là
= − = −
r r
( ; ) hay u ( ; )u B A B A
Ghi nhớ:
Dữ kiện cần Dạng phương trình
Phương
trình
tổng
quát
Tọa độ của điểm M
( )
;
o o
x y
thuộc
đthẳng
∆
.
VTPT

∆
=
uur
( ; )n A B
của .
( ) ( )
− + − = 0
o o
A x x B y y
Phương
trình
tham số
Tọa độ của điểm M
( )
;
o o
x y
thuộc .
VTCP
∆
=
uur
( ; )u a b
của .

= +


= +



0
0
x x at
y y bt
Phương
trình
chính
tắc
Tọa độ của điểm M
( )
;
o o
x y
thuộc .
VTCP
∆
=
uur
( ; )u a b
của .
− −
=
o o
x x y y
a b

3. Các dạng khác của phương trình đường thẳng :
a. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x
A

;y
A
) và B(x
B
;y
B
) :

( ):
A A
B A B A
x x y y
AB
x x y y
− −
=
− −

( ):
A
AB x x=

( ):
A
AB y y=
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 3
C
h
ú

ý
:

Tọa độ M thuộc
đường thẳng.
Tọa độ
VTCP
Trng THPT Lp Vũ 1 GV : o Trng Hu
WWW.ToanCapBa.Net
BI TP P DNG:
Cho tam giỏc ABC bit A(1;-1), B(-2;1), C1;5). Vit phng trỡnh ba cnh ca tam giỏc
b. Phng trỡnh ng thng i qua mt im M
0
(x
0
;y
0
) v cú h s gúc k:
nh ngha: Trong mp(Oxy) cho ng thng

. Gi
( , )Ox

=
thỡ
k tg

=
c gi l h s gúc
cang thng

nh lý 1: Phng trỡnh ng thng

qua
0 0 0
( ; )M x y
cú h s gúc k l :


0 0
y - y = k(x - x )
(1)

Chỳ ý 1: Phng trỡnh (1) khụng cú cha phng trỡnh ca ng thng i qua M
0
v vuụng gúc
Ox nờn khi s dng ta cn ý xột thờm ng thng i qua M
0
v vuụng gúc Ox l
x = x
0
Chỳ ý 2: Nu ng thng

cú phng trỡnh
y ax b= +
thỡ h s gúc ca ng thng l
k a
=
nh lý 2: Gi k

1
, k
2
ln lt l h s gúc ca hai ng thng
1 2
,
ta cú :

1 2 1 2
// k k =


1 2 1 2
k . 1k =
BI TP P DNG:
Vit phng trỡnh ng thng qua A(-1;2) v vuụng gúc vi ng thng
3 4 0x y + =
c. Phng trỡnh t i qua mt im v song song hoc vuụng gúc vi mt t cho trc:
Kin thc thng s dng:

i.
1 1
Phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng ( ) //( ): Ax+By+C=0 coự daùng: Ax+By+m =0
K: (
1
m C
)
ii.
1 2
Phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng ( ) ( ): Ax+By+C=0 coự daùng: Bx-Ay+m =0

Chỳ ý:
1 2
;m m
c xỏc nh bi mt im cú ta ó bit nm trờn
1 2
;
Phng phỏp ta trong mt phng WWW.ToanCapBa.Net Trang 4
x
y
O

0:
21
=+ mAyBx
x
y
O
0
x
1
M
0:
1
=++ CByAx
);( yxM
x
y
O
0

x
0
y
0:
11
=++ mByAx
x
y
O
0
x
0:
1
=++ CByAx
1
M
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net
Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:
1=+
b
y
a
x
Dạng toán
Bài toán: Cho điểm M
( )
0 0
;x y
và đường thẳng

( ) : 0ax by c∆ + + =
.Tìm hình chiếu vuông góc của
M lên
( )∆
.
Phương pháp:
 Bước 1:Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) đi
qua M và vuông góc
∆
.Khi đó ta có :
( ; ) ( ; )u n a b n b a
d d
= = ⇒ = −
∆
uuur uuur uuur
.
 Bước 2:Gọi H = (d)
∆I
,tọa độ H là nghiệm hệ phương trình:
d


∆

Giải pt tìm tọa độ H
⇒
H là điểm cần tìm.
VD : Cho điểm M(2;-3) và đường thẳng
( ) : 2 1 0x y∆ + − =
.Tìm hình chiếu vuông góc của M lên

( )∆
.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua M(-1;2) và song song
( ) : 2 3 4 0x y∆ − + =
Bài 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua N(-1;2) và vuông góc
( ) : 2 3 4 0x y∆ − + =
Bài 3: Cho tam giác ABC biết
( 1;2), (5;7), (4; 3)A B C− −
1. Viết phương trình các đường cao của tam giác
2. Viết phương trình các đường trung trực của tam giác
Bài 4: Cho tamgiác ABC với A(1;-1) ; B(-2;1); C(3;5).
a) Viết phương trình đường vuông góc kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác ABC .
b) Tính diện tích tam giác ABK.
III. Vị trí tương đối của hai đường thẳng :
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 5
1
∆
x
y
O
2
∆
21
// ∆∆
1
∆
x
y
O

2
∆
21
∆∆ caét
1
∆
x
y
O
2
∆
21
∆≡∆
d
∆
H
M
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net

Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng :
1 1 1 1
2 2 2 2
( ): 0
( ): 0
A x B y C
A x B y C
∆ + + =
∆ + + =
Vị trí tương đối của

1 2
( ) và ( )∆ ∆
phụ thuộc vào số nghiệm của hệ phương trình :

1 1 1
2 2 2
0
0
A x B y C
A x B y C
+ + =


+ + =

hay
1 1 1
2 2 2
(1)
A x B y C
A x B y C
+ = −


+ = −

Chú ý: Nghiệm duy nhất (x;y) của hệ (1) chính là tọa độ giao điểm M của
1 2
( ) và ( )∆ ∆
Định lý 1:

1 2
1 2
1 2
. Hệ (1) vô nghiệm ( )//( )
. Hệ (1) có nghiệm duy nhất ( ) cắt ( )
. Hệ (1) có vô số nghiệm ( ) ( )
i
ii
iii
⇔ ∆ ∆
⇔ ∆ ∆
⇔ ∆ ≡ ∆
 Định lý 2: Nếu
2 2 2
; ;A B C
khác 0 thì

∆ ∆ ⇔ ≠
∆ ∆ ⇔ = ≠
∆ ≡ ∆ ⇔ = =
1 1
1 2
2 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1 1 1
1 2
2 2 2

A
. ( ) cắt ( )
A
A
. ( ) // ( )
A
A
. ( ) ( )
A
B
i
B
B C
ii
B C
B C
iii
B C
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho tam giác ABC có phương trình ba cạnh là
( ) :8 3 17 0
( ) :3 5 13 0
( ) :5 2 1 0
AB x y
AC x y
BC x y
− + =
− − =
+ − =
Tìm toạ độ ba đỉnh A, B, C

Bài 2: Cho tamgiác ABC có đỉnh A(2;2) .Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.Biết rằng
các đường thẳng 9x-3y-4=0 và x+y-2=0 lần lượt là các đường cao của tam giác xuất phát từ
B và C.
Bài 3: Tuỳ theo m, hãy biện luận vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

1
2
: 1 0
: 2 0
d mx y m
d x my
+ − − =
+ − =
Bài 4: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau,và tìm tọa độ giao điểm (nếu có):

1
2
:3 1 0
: 3 2 0
d x y
d x y
+ − =
+ − =
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho hai điểm A(-1;3), B(1;2). Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng qua A, B
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 6
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net
Bài 2: Các điểm P(2;3); Q(4;-1); R(-3;5) là các trung điểm của các cạnh của một tam giác .Hãy lập
phương trình chính tắc của các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác đó.

Bài 3: Các điểm A(2;3) và đường thẳng
( ) : 2 1 0x y∆ + − =
.Hãy lập phương trình của đường thẳng
( ')∆
đối
xứng
( )∆
qua M.
Chủ đề 2 :
KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
I. Góc giữa hai đường thẳng
Định lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng :
1 1 1 1
2 2 2 2
( ): 0
( ): 0
A x B y C
A x B y C
∆ + + =
∆ + + =
Gọi
ϕ
(
0 0
0 90
ϕ
≤ ≤
) là góc giữa
1 2
( ) vaø ( )∆ ∆

ta có :

1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
.
A A B B
A B A B
ϕ
+
=
+ +
Hệ quả:

1 2 1 2 1 2
( ) ( ) A 0A B B∆ ⊥ ∆ ⇔ + =
II. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng
( ): 0Ax By C∆ + + =
và điểm
0 0 0
( ; )M x y
Khoảng cách từ M
0
đến đường thẳng
( )∆
được tính bởi công thức:

0 0

0
2 2
( ; )
Ax By C
d M
A B
+ +
∆ =
+
DẠNG 1:Tính Góc Giữa Hai Đường Thẳng
Phương pháp:
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 7
1
∆
x
y
O
2
∆
ϕ
x
y
O
)(∆
0
M
H
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net
Để tìm góc giữa hai đường thẳng

1 1 1 1
2 2 2 2
: a x 0
: a x 0
b y c
b y c
∆ + + =
∆ + + =
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1:Tìm tọa độ hai vec-tơ chỉ phương của
1 2
;∆ ∆
.
Bước 2:Thay vào công thức :
ϕ
+
=
+ +
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
.
a a b b
a b a b
.
Bước 3:Sử dụng máy tính suy ra góc
ϕ
Phân biệt góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai vec-tơ chỉ phương của chúng:
Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai vec-tơ chỉ phương của chúng

ϕ
+
=
+ +
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
.
a a b b
a b a b
β
+
=
+ +
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
.
a a b b
a b a b
Có dấu GTTĐ Không có dấu GTTĐ
0 0
0 90
ϕ
≤ ≤
0 0
0 180
β

≤ ≤
DẠNG :Tính Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng
Phương pháp:
Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng góc giữa hai đường thẳng
: ax 0by c∆ + + =
ta thực hiện
các bước sau:
Bước 1: Xem đường thẳng đã cho ở dạng nào ,chuyển về dạng tổng quát.
Bước 2: Khoảng cách từ M
0
đến đường thẳng
( )∆
được tính bởi công thức:

+ +
∆ =
+
0 0
0
2 2
( ; )
ax by c
d M
a b
DẠNG :Tính Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Song Song ta có thể sử dung công thức:

1 1 1 1
2 2 2 2
: a x 0
: a x 0

b y c
b y c
∆ + + =
∆ + + =

( )
1 2
1 2
2 2
;
c c
d
a b
−
∆ ∆ =
+
Dạng toán thường gặp :
+Tính độ dài đường cao của tam giác khi biết tọa độ 3 đỉnh của tam giác đó.
+Viết phương trình đường thẳng song song và cách đường thẳng ax+by+c= 0 một khoảng
bằng h cho trước.
+Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách đều C và B.
Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai vec-tơ chỉ phương của chúng
ϕ
+
=
+ +
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos

.
a a b b
a b a b
β
+
=
+ +
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
.
a a b b
a b a b
Có dấu GTTĐ Không có dấu GTTĐ
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 8
Trng THPT Lp Vũ 1 GV : o Trng Hu
WWW.ToanCapBa.Net
0 0
0 90


0 0
0 180



Ch 3 :
NG TRềN
I. Phng trỡnh ng trũn:

1. Phng trỡnh chớnh tc:
nh lý : Trong mp(Oxy). Phng trỡnh ca ng trũn (C) tõm I(a;b), bỏn kớnh R l :

2 2 2
( ):( ) ( )C x a y b R + =
(1)
Phng trỡnh (1) c gi l phng trỡnh chớnh tc ca ng trũn
c bit: Khi I

O thỡ
2 2 2
( ):C x y R+ =
(hay:
2 2
y R x=
)
Phng trỡnh tng quỏt:
nh lý : Trong mp(Oxy). Phng trỡnh :
2 2
2 2 0x y ax by c+ + =
vi
2 2
0a b c+ >
l phng
trỡnh ca ng trũn (C) cú tõm I(a;b), bỏn kớnh
2 2
R a b c= +

Dng toỏn: Vit phng trỡnh tip tuyn ca ng trũn:
Dng 1:Tip tuyn ti M nhn

( ; )IM A B=
uuur
lm vtpt nờn phng trỡnh cú dng:

+ =
0 0
( ) ( ) 0A x x B y y
Dng 2: Tip tuyn song song hoc vuụng gúc vi ng thng d cho
trc :
S dng gt:


1
( ) //(d): Ax+By+C=0 phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng ( )coự daùng: Ax+By+m =0

K: (
1
m C
)


2
( ) (d): Ax+By+C=0 phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng ( )coự daùng: Bx-Ay+m =0
.
S dng iu kin :

tip xỳc ng trũn tõm I (a;b) ,bỏn kớnh R

( )
;d I R =

Phng phỏp ta trong mt phng WWW.ToanCapBa.Net Trang 9
x
y
O
);( baI
R
a
b
);( yxM
(C)
I(a;b)
)(
);(
000
yxM
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net
Giải tìm m ,phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Dạng 3:Tiếp tuyến đi qua A
( )
0 0
;x y

Phương pháp:
+Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm.
+Do tiếp tuyến đi qua A
( )
0 0
;x y
nên phương trình tiếp tuyến có dạng:

⇔ + ⇔ + = 0
0 0 0 0 0 0
y - y = k(x - x ) y = kx - kx y kx - y - kx y
Sử dụng điều kiện :
∆
tiếp xúc đường tròn tâm I (a;b) ,bán kính R
⇔
( )
;d I R∆ =
BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Bài 1: Viết phương trình đường tròn đường kính AB biết A(1;3), B(3:-5)
Bài 2: Viết phương trình đường tròn có tâm I(-1;2) và tiếp xúc đường thẳng
( ) :3 4 2 0x y∆ − + =
Bài 3: Xác định tâm và bán kính của đường tròn
2 2
( ) : 2 4 20 0C x y x y+ + − − =
Bài 4: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(3;3), B(1;1),C(5;1)
Bài 5: Cho phương trình :
2 2
4 2 2 3 0x y mx my m+ + − + + =
(1)
Bài 6: Định m để phương trình (1) là phương trình của đường tròn (C
m
)
Xét đường tròn (C) qua ba điểm A(-1;2), B(2;0), C(-3;1). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại A
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh là A(1;1); B(-1;2); C(0;-1).
Bài 2: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh là A(-1;7); B(4;-3); C(-4;1).
Bài 3: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm A(-1;1) và B(1;-3) có tâm nằm trên đường
thẳng (d):2x - y + 1 = 0.

Bài 4: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(-1;-2) và tiếp xúc với đường thẳng
(d): 7x-y-5=0 tại điểm M(1;2).
Bài 5: Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng 2x+y=0 và tiếp xúc với đường
thẳng x-7y+10=0 tại điểm A(4;2).
Bài 6: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng 4x +3y - 2 = 0 và tiếp
xúc với hai đường thẳng : x + y + 4 = 0 và 7x - y + 4 = 0.
Bài 7: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A(2;-1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox,Oy.
Bài 8: Cho đường tròn (C):(x-1)
2
+(y-2)
2
=4 và đường thẳng (d):x-y-1=0. Viết phương trình
đường tròn (C
'
) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng (d). Tìm toạ độ giao điểm
của (C) và (C
'
).
Bài 9: Cho điểm M(6;2) và đường tròn (C):
2 2
2 4 0x y x y+ − − =
. Lập phương trình đường thẳng
(d) qua M cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
10AB =
Bài 10: Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C):
2 2
2 6 9 0x y x y+ − − + =
1. Tiếp tuyến song song với đường thẳng x-y=0
2. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x-4y=0
Bài 11: Cho hai điểm A(2;0), B(6;4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm

A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5 (TS.K.B2005)
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 10
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net
Một số bài tập nâng cao

Bài 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(10;5), B(3;2), C(6;-5).
a/ Tìm tọa độ điểm D xác định bởi hệ thức :
ACABAD 23 −=
.
b/ Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tìm giao điểm của đường tròn này với
đường thẳng y = 5.
Giải:
a. /
ACABAD 23 −=



−−−−=−
−−−=−
⇔
)55(2)52(35
)106(2)103(310
D
D
y
x




=
−=
⇔
16
3
D
D
y
x
Vậy tọa độ của điểm D(-3;16)
b/

0)7(33.7.
)7;3(
)3;7(
=−+=
−=
=
BCBA
BC
BA
⇒
Tam giác ABC vuông tại B
Do
0
90=B

nên đường tròn ( C ) ngọai tiếp tam giác ABC có tâm I là trung điểm của AC
Ta có:
8

2
610
2
=
+
=
+
=
CA
I
xx
x

0
2
55
2
=
−
=
+
=
CA
I
yy
y

Đường tròn ( C) có tâm I(8;0) và bán kính
295)810(
22

=+−== IAR
Vậy phương trình ( C) là :
29)8(
22
=+− yx

( C) cắt đường thẳng y = 5 tại
)5;(
M
xM
Ta có:




=
=
⇔
=+−
6
10
2925)8(
2
M
M
M
x
x
x
Vậy có hai giao điểm là

)5;10(
1
M
và
)5;6(
2
M
.
Bài 2:Cho hai điểm A(1;6), B(-3; -4). Hãy tìm điểm M trên đường thẳng d: 2x–y–1= 0 sao cho :
MA + MB bé nhất.
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 11
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net
Giải:
Ta có A, B ở cùng phía đối với d ( xem hình).
Gọi C là điểm đối xứng của A qua D. Với mọi điểm M
trên d ta có:
MA+MB = MC+MB ≥ BC.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là giao
điểm của d và BC.
Trước hết ta xét đường thẳng l qua A và vuông góc
với d có phương trình: x + 2y – 13 = 0.
Tọa độ hình chiếu H của A trên d là nghiệm hệ:




=
=
⇔




=−−
=−+
5
3
012
0132
y
x
yx
yx
Vậy điểm H(3;5).
Tọa độ của điểm C là :



=−=−=
=−=−=
46102
5162
AHC
AHC
yyy
xxx
Vậy C(5;4)
Phương trình đường thẳng BC là: x – y – 1 = 0.
Tọa độ điểm M phải tìm là nghiệm hệ:




−=
=
⇔



=−−
=−−
1
0
012
01
y
x
yx
yx

Vậy điểm M(0; -1).
Bài 3:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho hình thoi ABCD có tọa độ các đỉnh A(0;3), B(5;3) .
Tâm I của hình thoi nằm trên đường thẳng (d):
02 =−+ yx
.Xác định tọa độ của các đỉnh C và D ?
Giải :
Gọi tọa độ tâm
)y;I(x
00
,ta có:

2
0
2
0
2
)3()0( −+−= yxAI

2
0
2
0
2
)3()5( −+−= yxBI


25)33()05(
222
=−+−=AB
Tam giác IAB vuông tại I và I thuộc (d) nên ta có hệ phương trình



=−+
=−+−+−+
02
25)3()5()3(
00
2
0
2

0
2
0
2
0
yx
yxyx






=
=
⇔
1
1
0
0
y
x

)1;1( I⇒
Gọi tọa độ điểm
);(
CC
yxC
,
);(

DD
yxD
,ta có
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 12
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net








+
=
=
2
3
1
2
1
C
C
y
x



−=

=
⇔
1
2
C
C
y
x









+
=
+
=
2
3
1
2
5
1
D
D
y

x



−=
−=
⇔
1
3
C
D
y
x

Vậy tọa độ
)1;2( −C

)1;3( −−D
.
Bài 4:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Hãy lập phương trình các cạnh của tam giác ABC . Biết
A( 1; 3 ) và hai đường trung tuyến phát xuất từ B và C lần lượt có phương trình là :
x – 2 y + 1 = 0 và y – 1 = 0
Giải:
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm của hệ phương trình:



=+−
=−
012

01
yx
y
=> G ( 1 ; 1 )
Dựng hình bình hành BGCE
Tính được E( 1 ; - 1 )
Phương trình đường thẳng ( EC ) là
x – 2y – 3 = 0
C là nghiệm của hệ phương trình :



=−−
=−
032
01
yx
y
=> C ( 5; 1 )
Phương trình đường thẳng ( EB ) là : y + 1 = 0
B là nghiệm của hệ phương trình :



=+−
=+
012
01
yx
y

=> B ( - 3 ; - 1 )
Vậy : (AB) : x – y + 2 = 0
( AC ) : x + 2y – 7 = 0
( BC ) : x – 4y – 1 = 0

Bài 5:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I . Gọi D là trung điểm của cạnh AB, E là trọng
tâm của tam giác ADC . Chứng minh rằng nếu AB = AC thì IE vuông góc với CD
Giải:
Chọn hệ tọa độ Oxy cho O trùng với trung điểm của BC, điểm A thuộc trục Oy và ta có:
+ A(0 ; a), B(-c ; 0), C(c ; 0)
Suy ra D(
2
c
−
;
2
a
), E(
6
c
;
2
a
)
Do AB = AC nên tâm I
∈
Oy => I(0 ; y
0
)
IA

(0 ; a - y
0
),
IC
(c ; -y
0
)
IA = IC <=>
22
ICIA =
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 13
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net
<=> (a - y
0
)
2
= c
2
+ y
0
2
<=> y
0
=
a
ca
2
22
−

Vậy I(0 ;
a
ca
2
22
−
)
Hệ số góc của đường thẳng IE là : k
a
c
xx
yy
YE
IE
3
=
−
−
=
Hệ số góc củTa có: k . k’ = -1
Vậy IE
⊥
CDa đường thẳng CD là: k’
c
a
xx
yy
CD
CD
3

−=
−
−
=

Bài 6:Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d:
01yx =−+
. Xác định tọa
độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A ∈ d.
Giaûi:
Đường tròn (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = 2
Tọa độ của I(4, –3) thỏa phương trình (d): x + y – 1 = 0. Vậy I ∈ d
Vậy AI là một đường chéo của hình vuông ngoại tiếp đường tròn, có bán kính R =
2 , x = 2 và x= 6 là 2 tiếp tuyến của (C ) nên
. Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 2 ⇒ A(2, –1)
. Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 6 ⇒ A(6, –5)
. Khi A(2, –1) ⇒ B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1)
. Khi A(6, –5) ⇒ B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5)
Bài 7 :Cho tam giác ABC đều ABC.Gọi D là điểm đối xứng của C qua AB.Vẽ đường tròn tâm D
qua A, B; M là điểm bất kì trên đường tròn đó (
), BMAM ≠≠
. Chứng minh rằng độ dài MA, MB,
MC là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
Giaûi:
O
M(x0;y 0)

B
D
^
>
C
A
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 14
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net
Chọn hệ trục Oxy sao cho Ox trùng với AB , chiều dương hướng từ A đến B,trục Oy là đường
trung trực của đoạn AB
⇒
A(-1;0); B(1;0) ,C(0;
)3
,D(0;-
)3
Phương trình đường trịn tm D qua A, B l :
4)3(
22
=++ yx
(1)
Giả sử
);( baM
l điểm bất kì trên đường tròn (1) .Ta có :
222
)1( baMA ++=
222
)1( baMB +−=
222
)3( −+= baMC

132)3(
222222
−+++−+=+ bbabaMBMA

=
4)3(
222
−+++ baMC

M nằm trên đường tròn (1) nên :
04)3(
22
=−++ ba
222
MCMBMA =+⇒
⇒
MA, MB, MC là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

Bài 8:Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có diện tích S =
3
2
, A(2; - 3), B(3; -2).
Trọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng 3x – y – 8 = 0 . Xác định toạ độ điểm C.
Giải:
Theo giả thiết S
ABC
=
3
2
⇒ S

GAB
=
1
2
AB
uuur
=(1; 1) ⇒ AB =
2
Từ đó suy ra khoảng cách từ G đến đường thẳng AB là d =
1
2
Phương trình đường thẳng AB :
x – y – 5 = 0.
Gọi G(x
0
; y
0
); d =
1
2
=
0 0
5
2
x y− −
⇒
0 0
5 1x y− − =
Lại do G thuộc đường thẳng 3x – y – 8 = 0 nên toạ độ G là nghiệm hệ
0 0

5 1
3 8 0
x y
x y
 − − =


− − =


⇒ G(1; - 5) hoặc G(2; -2).
Từ
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
suy ra C(-2; -10) hoặc C(1; -1).
Bài 9 :Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ba điểm A(0;a),B(b;0) ,C (-b; 0) với a>0 ,b >0 .
1/.Viết phương trình đường tròn ( C ) tiếp xúc với đường thẳng AB tại B và tiếp xúc với đường
thẳng AC tại C.
2/. Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường tròn ( C ) và
1 2 3
, ,d d d
là các khoảng cách từ M đến các
đường thẳng AB,AC,BC.Chứng minh rằng
2
1 2 3
d d d=

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 15
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net

Giải:
a/-∆ABC cân tại A;tâm I của ( C) thuộc Oy
);0(
0
yI⇒
,
);(),;(
0
abABybIB −=−=
.Do
a
b
yaybABIB
2
00
2
00. −=⇒=+⇒=
(0,5d)
Mặc khác
2
4
22
0
222
a
b
bybIBR +=+==
(0,5d)
Vậy pt của ( C) là
2

4
22
2
2
)(
a
b
b
a
b
yx +=++
(0,5d)
b/- Đương thẳng AB có pt:
0=−+ abbyax
AC có pt:
0=+− abbyax
BC có pt: y = 0 (0,5d)
Xét điểm
)();(
00
CyxM ∈
Ta có :
03
22
00
2
22
00
1
yd

ba
abbyax
d
ba
abbyax
d
=
+
+−
=
+
−+
=

(0,5d)
Do
2
4
22
2
0
2
000
)()();(
a
b
b
a
b
yxCyxM +=++⇔∈

2
3
2
0
22
2
0
22
0
2
21
2
0
2
0
2222
0
2
2
dy
ba
yayb
dd
yayabbaxa
==
+
−−
=⇒
−=+−⇔
Bài 10:Trong mặt phẳng 0xy cho đường tròn (C): x

2
+y
2
-2x+4y+4 = 0.Gọi
∆
là
đường thẳng song song đường thẳng (D):3x+4y-1 = 0 và chia đường tròn ( C) thành hai
cung mà tỉ số độ dài bằng 2.Tìm phương trình đường thẳng
∆
Giaûi:
B
A
H
I
N
M
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 16
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net
Đường tròn (C ) có tâm I(1;-2); R=1
∆
// (D) nên
∆
:3x+4y+C=0
∆
cắt ( C) tại A và B ,đường thẳng qua I vuông góc
∆
tại H cắt ( C) tại M và N giả sử độ dài cung
AMB bằng 2 lần độ dài cung ANB suy ra góc AIB=120
0

Tính được IH= R.cos60
0
=
2
1
IH=
2
1

2
1
5
83
2
1
);( =
+−
↔=∆↔
C
Id
Tìm được:






=++=∆
=++∆

→






=
=
0
2
5
43
0
2
15
43:
2
5
2
15
2
1
2
1
yx
yx
C
C
Bài 11:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC với A(2;0), C(-2;3) và trọng

tâm G
1
;1
12
 
 ÷
 
. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Giaûi:
Cho tam giác ABC có A(2;0), C(-2;3) G
1
;1
12
 
 ÷
 

⇒
B
1
;0
4
 
 ÷
 
Phương trình các cạnh AB : 3x + 4y - 6 = 0
AC : 4x + 3y - 1 = 0
BC : y = 0
Phương trình phân giác trong góc A là : x + y -1 = 0
Phương trình phân giác trong góc B là : x + 3y - 2 = 0

Gọi I(x, y) tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
⇒
tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình
1
1 0
2
3 9 6 0 1
2
x
x y
x y
y

=

+ − =


⇔
 
+ − =


=


Vậy phương trình đường tròn là :
2 2
1 1 1
( ) ( )

2 2 4
x y
− + − =
Bài 11:Trong mặt phẳng (Oxy) cho tam giác ABC với A(2,−1) và phương trình đường phân giác
trong của B và C lần lượt là:
d
1
: x−2y+1=0và d
2
: x+y+3=0
Viết phương trình cạnh BC.
Giaûi:
Gọi A
1
, A
2
là điểm đối xứng của A qua d
1
, d
2
thì A
1
,A
2
nằm trên BC
Vậy pt cạnh BC là pt đường thẳng đi qua A
1
, A
2
Gọi H

1
là hình chiếu của A trên d
1
thì tọa độ H là nghiệm hệ phương trình:
)1,1(
032
012
H
yx
yx
⇒



=−+
=+−
H
1
là trung điểm của AA
1
⇒ A
1
(0,3)
Tương tự gọi H
2
là hình chiếu của A trên d
2
⇒ H
2
(0,−3)

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 17
Trường THPT Lấp Vò 1 GV : Đào Trọng Hữu
WWW.ToanCapBa.Net
H
2
là trung điểm của AA
2
⇒ A
2
(−2,−5)
Phương trình cạnh BC là: 4x−y+3=0
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng WWW.ToanCapBa.Net Trang 18