Một số kỹ năng giúp học sinh THPT giải các bài thi môn toán trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT

A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Môn Toán là một trong những môn thi bắt buộc trong các kỳ thi tốt
nghiệp (TN) trung học phổ thông (THPT) và trung học phổ thông hệ GDTX
(BTTHPT). Với mức độ đề thi cũng không quá phức tạp chủ yếu kiểm tra
về kiến thức và kĩ năng cơ bản của học sinh, với nội dung thi chủ yếu rơi
vào nội chương trình lớp 12. Đây là những điều kiện rất thuận lợi về mặt
thời gian và tâm lý để các em có kế hoạch học, ôn tập để có thể đạt được kết
quả tốt.
Nhưng thực tế tỷ lệ của bộ môn Toán trong các kỳ thi tốt nghiệp hệ
BT THPT gần đây thường không cao và thậm trí có nhiều học sinh bị
điểm liệt. Vì hình thức thi của môn Toán là tự luận, mà khả năng trình bày
và kĩ năng tính toán của các em còn hạn chế, thiếu kinh nghiệm trong quá
trình làm bài tự luận nên thường dẫn tới những sai sót khi làm bài. Để giúp
các em có một số kinh nghiệm và kỹ năng làm bài môn toán trong kỳ thi tốt
nghiệp BTTHPT đạt hiệu quả hơn, tôi đã tìm hiểu và nghiên cứu “Một số
kỹ năng giúp học sinh THPT giải các bài thi môn toán trong các kỳ thi
tốt nghiệp THPT”
II. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
1. Phạm vi:
- Hệ thống chuẩn kiến thức môn giải tích 12
- Hệ thống chuẩn kiến thức môn hình học 12
- Cấu trúc đề thi tốt nghiệp môn toán hệ GDTX cấp THPT.
2. Đối tượng: Đối với học sinh khối 12 hệ GDTX Trung tâm GDTX&DN
Hoằng Hoá.
III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
1. Giúp học sinh phát hiện và khắc phục những lỗi thường gặp khi làm bài thi
môn Toán nói chung và trong kỳ thi tốt nghiệp THPT hệ GDTX nói riêng.
2. Rèn luyện kĩ năng tính toán, và cách trình bày lời giải, từ đó giúp học sinh
tích lũy một số kinh nghiệm trong thi cử, tạo nền tảng cho các kì thi cao hơn
(thi tuyển Đại học, cao đẳng và trung cấp chuyên nghiệp …)

3. Giúp học sinh tự tin, và có một tâm lý ổn định trong phòng thi.
IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Năm học 2011-2012
1
Giúp học sinh có một số kinh nghiệm làm bài thi môn Toán trong
kỳ thi tốt nghiệp đạt hiệu quả. Từ đó từng bước nâng cao chất lượng
bộ môn Toán đồng thời tạo cơ sở để học sinh tích lũy kiến thức, kinh
nghiệm làm bài trong các kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng và trung
cấp chuyên nghiệp….
V. PHƯƠNG PHÁP VÀ TƯ LIỆU NGHIÊN CỨU
1. Phương pháp
- Phương pháp quan sát, đàm thoại, gợi mở trực tiếp đối tượng.
- Phương pháp phân tích và tổng hợp.
- Phương pháp thống kê mô tả.
2 Tư liệu nghiên cứu
- Sách giáo khoa, tài liệu chuẩn kiến thức và kỹ năng môn Toán, tài liệu
hướng dẫn ôn tập tốt nghiệp THPT của hệ GDTX cùng các tài liệu khác có
liên quan.
- Một số đề thi tốt nghiệp THPT & GDTX môn Toán của những năm
gần đây.
- Một số bài viết trên trang let.
B. PHẦN NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Môn Toán là một trong các môn thi tự luận trong kỳ thi tốt nghiệp
THPT. Muốn đạt được điểm cao, ngoài năng lực (giải chính xác kết quả),
thí sinh còn phải trình bày rõ ràng, sạch sẽ và đặc biệt phải chú ý đến qui tắc
vàng khi làm bài là: “ Thời gian và 0.25 điểm”.
Năng lực giải toán là khả năng huy động và vận dụng kiến thức của học
sinh trong quá trình làm bài. Còn qui tắc “ Thời gian và 0.25 điểm” là
kinh nghiệm làm bài thi, thí sinh phải tận dụng triệt để thời gian làm bài,

không để thời gian chết và biết khai thác kiếm điểm ở mỗi câu trong đề thi.
Nói chung với kỳ thi tốt nghiệp THPT và nhất là đối với hệ GDTX
cấp THPT mức độ đề cũng không quá khó và phức tạp. Do vậy các em
nên nắm vững nội dung kiến thức cơ bản của môn Toán trong chương
trình THPT (chủ yếu là nội dung kiến thức 12).Để giúp các em không quá
Năm học 2011-2012
2
lo lắng, tạo tâm lý ổn định trong phòng thi, trình bày bài giải rõ ràng,
tránh những sai sót không đáng có khi làm bài thi.
II. THỰC TRẠNG
Đại đa số học sinh hiện nay vẫn giữ thói quen học thuộc lòng các công
thức một cách máy móc, mà số lượng công thức thì rất nhiều cho nên khả
năng ghi nhớ kiến thức lỏng lẻo, nhanh quên dễ nhầm lẫn giữa các công
thức này với công thức khác.
Đến khoảng 80% học sinh hổng kiến thức, học lực ở các lớp cấp 2 chỉ
đạt trung bình yếu và kém, đặc biệt các em không có hứng thú,và ngán ngẩm
với phần hình học không gian, khả năng giải các bài tập áp dụng công thức
còn hạn chế vì không nắm vững kiến thức hay áp dụng sai công thức. Ngoài
ra học sinh còn chủ quan khi ỷ lại vào máy tính tay đã tạo cho học sinh tính
lười biếng trong tính toán nhanh các phép tính đơn giản.
III. GIẢI PHÁP
Hình thành cho học sinh những kinh nghiệm và kỹ năng làm bài thi.
Khắc phục những sai sót về mặt trình bày, Vận dụng quy tắc vàng khi làm
bài là: “ Thời gian và 0,25 điểm trong phòng khi làm bài thi!”
IV. QUÁ TRÌNH NGHIÊN CỨU
1. Cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT hệ GDTX đối với môn Toán.
Cấu trúc đề sẽ giúp cho học sinh định hướng được phạm vi kiến thức và có
kế hoạch ôn tập trước kỳ thi. Thực tế cấu trúc của đề thi tốt nghiệp THPT hệ
GDTX môn Toán của mấy năm gần đây do Bộ Giáo dục và đào tạo công bố
luôn có các câu hỏi dạng cố định.

Câu Nội dung kiến thức Điểm
I
• Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số.
• Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị
của hàm số: chiều biến thiên của hàm số, cực trị, tiếp tuyến,
tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số. Dựa vào đồ
thịcủa hàm số,biện luấn số nghiệm của phương trình.
3,0
II
• Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
• Tìm nguyên hàm, tính tích phân;ứng dụng của tích phân.
2,0
Năm học 2011-2012
3
III
• Phương pháp toạ độ trong không gian:
• Bài toán xác định toạ độ điểm, toạ độ vectơ.Phươngtrình
mặt phẳng,đường thẳng và phương trình mặt cầu.
2,0
IV
• Hàm số,phương trình,bât phương trình mũ và lôgarit
• Số phức:Xác định môđun của số phức.Các phép toán trên
số phức.Căn bậc hai của số thực âm.Phương trình bậc hai
với hệ số thực có biệt thức
∆
âm.
2,0
V
• Hình học không gian (tổng hợp):Tính thể tích khối lăng
trụ,khối chóp và khối tròn xoay.Tính diện tích mặt cầu và thể

tích khối cầu.
1,0
2. Những lưu ý chung trong quá trình làm bài:
- Là kì thi tốt nghiệp THPT đối với hệ GDTX mức độ đề thi không quá phức
tạp, vì thế thí sinh khi ôn tập chỉ ôn tập từ những kiến thức cơ bản,chủ yếu tập
trung ở sách giáo khoa hệ cơ bản lớp 12.
- Trong phòng thi, thí sinh cần luôn giữ trạng thái tâm lí bình tĩnh, làm chủ thời
gian, huy động kiến thức, vận dụng kĩ năng có hiệu quả.
- Khi nhận được đề thi tránh trường hợp làm ngay lập tức, nên đọc hết toàn bộ
đề thi. Sau đó phân loại mức độ các câu hỏi và làm theo thứ tự từ dễ đến khó.
Khi làm như vậy thí sinh sẽ chắc chắn đạt điểm của những câu dễ (đồng nghĩa
có thể đạt đủ điểm 5), đồng thời tạo được tâm lí “mình làm được”.
- Đối với từng mức độ câu hỏi: tạm chia làm 3 dạng theo tâm lí thí sinh
Năm học 2011-2012
4
Dễ, quen thuộc, tiếp xúc thường xuyên: Là mức độ thí sinh tự tin nhất,
nhưng không nên chủ quan. Thực hiện các bước giải rõ ràng, thận trọng
để đạt 100% điểm.
Trung bình, ít tiếp xúc: Là mức độ thí sinh đã từng giải nhưng chưa thành
thạo, vì thế cần bình tĩnh huy động kiến thức, giải chi tiết, chậm rãi để đạt
khoảng 70% điểm.
Khó, chưa tiếp cận : Là mức độ khó nhất trong đề thi, thí sinh có thể mất
điểm toàn bộ. Nhưng cần viết tất cả những kiến thức có liên quan đến câu
hỏi vào bài làm để may ra được khoảng 20% điểm.
- Tránh trường hợp giải vào giấy nháp rồi chép lại vì rất mất thời gian và dễ sai
sót. Đối với mức độ 1 nên giải trực tiếp vào bài làm, mức độ 2 chỉ thực hiện
trên giấy nháp các bước giải còn lúng túng, mức độ 3 nên thực hiện ở giấy nháp
nhưng phải hết sức thận trọng.
- Các bước giải cần trình bày rõ ràng, không giải tắt (lỗi hay mắc phải của thí
sinh khá giỏi) vì dễ mất điểm. Các bước giải cần có sự liên kết của “câu đệm”

nhưng cần cô đọng, ngắn gọn. Cuối mỗi câu nên có kết luận.
- Không nên nộp bài khi chưa hết giờ làm bài, rà soát lại bài làm cẩn thận tránh
sai sót đáng tiếc (đặc biệt đối với những câu không cho kết quả chẵn, đẹp)
3. Lưu ý cụ thể đối với từng câu, từng dạng của đề thi.
Đối với từng câu, từng dạng trong đề thi học sinh cần lưu ý về phạm vi kiến
thức, thang điểm, thời gian giới hạn.
Câu I:
- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số:
chiều biến thiên của hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang)
của đồ thị hàm số.Dựa vào đồ thị của hàm số,biện luận số nghiệm của
phương trình.
Điểm - thời gian giới hạn:
- KSHS: 2đ - 24 phút (thực tế nếu thành thạo thí sinh chỉ cần 15-17phút, thời
Năm học 2011-2012
5
gian còn lại dành cho ý phụ)
- Ý phụ: 1đ - 12phút
 Phạm vi kiến thức:
- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: chỉ ôn tập 3 hàm số cơ bản: hàm bậc ba
(chú ý dạng có 2 cực trị), hàm bậc bốn (chú ý dạng có 3 cực trị), hàm
phân thức bậc nhất trên bậc nhất (Còn gọi là hàm nhất biến).
- Cực trị và tính đơn điệu: chú ý các dạng bài tập xác định tham số m để
hàm số thoả mãn điều kiện cho trước.
- Tiếp tuyến: Chú ý dạng tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho.
- Biện luận số giao điểm của hai đồ thị cũng như số nghiệm của phương
trình: Chú ý biện luận đối với hàm bậc 3, bậc 4 và trả lời câu hỏi theo đề
bài ra yêu cầu.
- Tương giao giữa hai đố thị: thường gặp trường hợp tương giao giữa hàm
nhất biến và đường thẳng.

 Hình thức trình bày – kỹ năng thực hiện:
- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Đây là dạng câu hỏi cơ bản, quen thuộc, tiếp xúc thường
xuyên: Là mức độ thí sinh tự tin nhất, nhưng không nên chủ
quan, cẩn thận hạn chế những sai sót.
Những sai sót thường mắc phải: Kinh nghiệm cho thấy rất nhiều các
em học sinh thường mắc các lỗi như: trình bày các bước không đầy đủ,
viết tắt, sử dụng kí hiệu tùy tiện không phù hợp, vẽ hình bằng bút chì, đồ
thị vẽ không đúng dạng, thiếu các kí hiệu trên hệ trục tọa độ ( gốc tọa độ,
mũi tên và tên của các trục)….
Cách khắc phục: Phải làm đầy đủ các phần, mỗi phần trên một dòng
riêng biệt như: Tập xác định; Đạo hàm, xét dấu đạo hàm, ghi rõ khoảng
tăng giảm; Các cực trị (nếu có); Các giới hạn
x → +∞
,
x → −∞
; Các tiệm
cận (hàm phân thức); Lập bảng biến thiên (ghi đầy đủ các giá trị ở đầu
Năm học 2011-2012
6
mũi tên). Vẽ đồ thị cần chính xác hóa đồ thị bằng cách sau: Tìm các điểm
đặc biệt như giao điểm với các trục tọa độ, điểm mà ta dễ tính…Tính đối
xứng của đồ thị (tâm đối xứng, trục đối xứng). Hình vẽ nên thực hiện
bằng bút mực thay vì bằng bút chì vì bút chì không được xem là bút làm
bài chính thức, có thề vẽ bằng bút chì rồi sau đó tô lại bằng bút mực bởi
một nét đơn.
Ví dụ1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
y =
3 2
1 3

5
4 2
x x− +
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2010).
Lời giải:( và một số lỗi của thí sinh)
- TXĐ D = R
- y’ =
2
3
3
4
x x−
, y’ = 0
0
4
x
x
=

⇔

=


hàm số đồng biến trên (-∞; 0) ∪ (4; +∞)
hàm số nghịch biến trên (0; 4)
hàm số đạt CĐ tại x = 0, y
CĐ
= y
(0)

= 5
hàm số đạt CT tại x = 4, y
CT
= y
(4)
= -3

lim
x
y
→−∞
= +∞
;
lim
x
y
→+∞
= −∞
- Bảng biến thiên:
x
−∞
0 4
+∞
y’ + 0 - 0 +
y 5
-Đồ thị: -3
Năm học 2011-2012
7
Sử dụng kí hiệu không phù hợp
Viết tắt

Thiếu
giới hạn
Tính các g.hạnsai
Nhận xét:
- Cách trình bày lời giải như trên chưa rõ ràng, thiếu chính xác
Bài giải:
a) Tập xác định D =
¡
b) Sự biến thiên:
Năm học 2011-2012
8
Đồ thị không đúng dạng
( nhánh vểnh ra, nhánh cụp vô)
Hai nhánh vô cực không cắt trục hoành
Đồ thị là 3 đoạn thẳng
Hệ trục thiếu gốc O, tên các trục
- Chiều biến thiên: y’ =
2
3
3
4
x x−
. Ta có
y’ = 0
0
4
x
x
=


⇔

=

; y’ > 0
0
4
x
x
<

⇔

>

và y’ < 0
0 4x⇔ < <
.
Do đó:
+ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 0) và (4; +∞)
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 4)
- Cực trị:
+ Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y
CĐ
= y
(0)
= 5
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 và y
CT
= y

(4)
= -3
- Giới hạn:
lim
x
y
→−∞
= −∞
;
lim
x
y
→+∞
= +∞
- Bảng biến thiên:
x
−∞
0 4
+∞
y’ + 0 - 0 +
5 -3
+∞
y
−∞

c) Đồ thị:
Điểm đặc biệt: x -2 6
y -3 5
Năm học 2011-2012
9

- Cực trị và tính đơn điệu: chú ý các dạng bài tập xác định tham số m để
hàm số thoã mãn điều kiện cho trước. (Nếu không giải được nên tìm
tập xác định, tính đạo hàm để có thể đạt được 0,25đ).
- Tiếp tuyến: Chú ý dạng tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)
tại M
0
(x
0
, y
0
) ( M
0
thuộc đồ thị của hàm số ).
+ Trường hợp 1: Nếu hệ số góc cho dưới dạng trực tiếp ( tức là biết x
0
).
Đây là dạng đơn giản ta trình bày lời giải gắn gọn như sau:
• Trình bày:
+ Tính f’(x) = …
⇒
f’(x
0
) = …
+ Xác định y
0
=… (Nếu biết y
0
rồi thì thôi)
+ Thay f’(x
0

) và y
0
vào phương trình y = f’(x
0
)(x – x
0
) + y
0
, ta
được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
• Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = x
3
– 4x
2
+ 2x + 3 tại M(1, 2).
• Giải:
+ Ta có f’(x) = 3x
2
– 8x + 2
⇒
f’(1) = - 3.
+ Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -3(x – 1) + 2
hay y = -3x + 5.
+ Trường hợp 2: Nếu hệ số góc cho dưới dạng gián tiếp thì viết
phương trình tiếp tuyến dạng tổng quát trước y = f’(x
0
)(x – x
0
) + y

0

(để có có thể được 0,25đ nếu như ta không giải được).
Trình bày
+ Gọi M(x
0
, y
0
) là tiếp điểm
+ Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f’(x
0
)(x – x
0
) + y
0
,
+ Tìm x
0
, y
0
thông qua dữ kiện bài toán
+ Tính f’(x) = …
⇒
f’(x
0
) = …
+ Thay f’(x
0
) và y
0

vào phương trình y = f’(x
0
)(x – x
0
) + y
0
, ta
được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
• Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Năm học 2011-2012
10
y = -x
3
+ 3x
2
+ 9x + 2 tại điểm có hoành độ x
0,

biết y’’(x
0
) = -6.
Giải:
+ Gọi M(x
0
, y
0
) là tiếp điểm
+ Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f’(x
0
)(x – x

0
) + y
0
+ Ta có f’(x) = -3x
2
+ 6x + 9

⇒
f’’(x) = -6x + 6
⇒
f’’(x
0
) = -6x
0
+ 6

⇔
-6x
0
+ 6 = -6
⇔
x
0
= 2
⇒
y
0
=
+ với x
0

= 2
⇒
y
0
= 24 và f’(x
0
) = f’(2) = 9
+ Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9(x – 2) + 24
hay y = 9x + 6.
- Tìm những điểm có tính chất cho trước: dạng câu hỏi tương đối khó, ít gặp,
không chú ý lắm.
- Biện luận: chú ý biện luận đối với hàm bậc 3, bậc 4. Tránh biện luận thiếu
trường hợp.
- Tương giao giữa hai đồ thị: thường gặp trường hợp tương giao giữa hàm nhất
biến và đường thẳng. (Nếu không giải được nên viết phương trình hoành độ
giao điểm để có thể đạt được 0,25đ).
Ví dụ 4 : Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: x
3
– 6x
2
+ m = 0 có ba
nghiệm thực phân biệt. ( ý 2 Câu I Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2010).
Theo hướng dẫn chấm thi môn Toán của Bộ GD&ĐT năm 2010. Chỉ cần biến
đổi
x
3
– 6x
2
+ m = 0 (*)
3 2

1 3
5 5
4 2 4
m
x x⇔ − + = −
là thí sinh có 0,25đ.
Ở câu hỏi này thí sinh cần lập luận chặt chẽ rõ ràng tránh mất điểm. Ta có thể
trình bày lời giải bài toán trên như sau:
Giải: + Ta có: x
3
– 6x
2
+ m = 0 (*)
3 2
1 3
5 5
4 2 4
m
x x⇔ − + = −
.
Năm học 2011-2012
11
Dễ thấy số nghiệm của pt(*) là số giao điểm của đồ thị (C): y =
3 2
1 3
5
4 2
x x− +
và đường thẳng (d): y
5

4
m
= −
.
+ Dựa vào đồ thị ta thấy (*) có 3 nghiệm thực phân biệt
⇔
đường thẳng y
5
4
m
= −
Cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt
⇔
3 5 5
4
m
− < − <
⇔
0 32m< <
.
Kết luận: Vậy
0 32m
< <
thì phương trinh đã cho có 3 nghiệm thực phân biệt
(Nên KL cho lời giải chặt chẽ để ghi điểm đối với những giám thị khó tính )
 Lưu ý:
- Câu I là câu có mức điểm cao nhất trong cả đề thi vì thế cần thận trọng
trong từng bước giải để tránh mất điểm đáng tiếc.
- Khi khảo sát hàm số cần trình bày rõ ràng chi tiết, vẽ đồ thị bằng bút mực.
 Yêu cấu tối thiểu:

- KSHS: 1,5đ - 2đ / 2đ
- Ý phụ: 0,25đ - 0,5đ / 1đ
TỔNG: 1,75đ - 2,5đ / 3đ
Câu II:
-Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
-Tìm nguyên hàm,tích phân;Ứng dụng của tích phân.
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x) = x
3
– 3x
2
– 9x +35 trên [2; 4].
 Lời giải sai:
+ TXĐ: D = [2; 4]
Năm học 2011-2012
12
Không chính xác vì thực chất TXĐ của hàm số là R
+ f’(x) = 3x
2
– 6x – 9, f’(x) = 0
3
1
x
x
=

⇔

= −


+ Ta có: f(2) = 13; f(-1) = 40; f(3) = 8; f(4) = 15.
+ Vậy
[2;4]
min ( ) (3) 8f x f= =
;
[2;4]
max ( ) ( 1) 40f x f= − =
 Lời giải đúng:
+ Hàm đã cho xác định trên [2; 4]
+ f’(x) = 3x
2
– 6x – 9, f’(x) = 0
3
1 [2;4]
x
x
=

⇔

= − ∉


+ Trên [2; 4] ta có: f(2) = 13; f(3) = 8; f(4) = 15.
+ Vậy
[2;4]
min ( ) (3) 8f x f= =
;
[2;4]

max ( ) (4) 15f x f= =
 Yêu cấu tối thiểu: 0,5đ - 0,75đ / 1đ.
 Tìm nguyên hàm, tính tích phân
 Điểm - thời gian giới hạn: 1đ - 12 phút
 Phạm vi kiến thức:
- Thành thạo 2 phương pháp: tích phân từng phần và đổi biến số
- Đề thường yêu cầu tích 1 câu tích phân thuộc 1 trong 2 dạng trên
 Lưu ý:
- Là một câu tương đối khó nên cần thận trọng, nếu không làm được nên
bỏ qua, tránh ảnh hưởng tâm lí.
- Khi tính tích phân không nên trình bày bước thế cận chỉ ghi kết quả
(không được ghi ra dạng số thập phân)
Ví dụ 6: Tính tích phân I =
1
2 2
0
( 1)x x dx−
∫
.
Thông thường khi gặp dạng này thì các em cần nghĩ ngay đến phương pháp
đổi biến số. Nếu đặt t = x – 1
⇒
x = t + 1
⇒
dx = dt ; x = 0
⇒
t = - 1 ; x = 1
⇒
t =
Năm học 2011-2012

13
Không loại
Sai đáp
số
0 khi đó I =
0
2 2
1
( 1)t t dt
−
+
∫
( có dạng tích phân ban đầu). Do vậy cách này không
khả quan, nếu để ý kỹ một chút sẽ thấy ngay cách giải chỉ cần khai triển biểu
thức dưới dấu tích phân rồi áp dụng các công thức tích phân cơ bản để tính.
Trong quá trình tính toán và trình bày lời giải thi sinh cần chú ý tránh
những lỗi sau:
I =
1
2 2
0
( 1)x x dx−
∫
=
1
4 3 2
0
2x x x dx− +
∫
.

⇔
1
5 4 3
0
5 2 3
x x x
− +
=
1
30
 Yêu cấu tối thiểu: 0,25đ - 0,5đ / 1đ.
TỔNG: 1,25đ – 1,5đ / 2đ
Câu III:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của
đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
 Điểm - thời gian giới hạn: 2đ - 24 phút
Năm học 2011-2012
14
Thiếu dấu ( ) Trừ 0,25đ
Dấu (Trừ 0,25đ)
Thiếu dấu ( ) Trừ 0,25đ
 Phạm vi kiến thức:
- Thường gồm 2 ý nhỏ với ý đầu tiên khá đơn giản, ý 2 tương đối khó
hơn.
- Nếu 2 ý có liên quan với nhau thì nhất thiết phải làm được ý 1 để có cơ
sở làm ý 2.

- Nếu không giải được nên viết lại tất cả các công thức có liên quan để có
cơ may được 0,25đ
 Lưu ý:
- Hết sức thận trọng khi tính toán để tránh sai sót, nếu sai 1 số có thể kéo
theo mất trắng 2 điểm.
- Cần tưởng tượng và bình tĩnh khi làm hình học không gian (có thể minh
hoạ thực tế)
 Yêu cấu tối thiểu: 1,25đ - 1,5đ / 2đ.
TỔNG: 1,25đ - 1,5đ / 2đ
Ví dụ7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 2;
0) và C(0; 0; 3).
a)Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng
BC.
b)Tìm tọa độ giao điểm M của (P) và đường thẳng BC .
Giải: a)Vì BC vuông góc với (P) nên
BC
uuur
là một vectơ pháp tuyến của (P).
Ta có:
BC
uuur
= (0; -2; 3).
Do đó phương trình mặt phẳng (P) là: -2y + 3z = 0.
b)Phương trình đường thẳng BC đi qua B và nhận
BC
uuur
làm vectơ chỉ phương.

Năm học 2011-2012
15

Không ghi bị trừ 0,25đ
Tính đúng được cộng
0,25đ
Không ghi bị trừ
0,25đ

Do đó phương trình của đường thẳng BC là:

0
2 2
3
x
y t
z t
=


= −


=


Giao điểm M của mặt phẳng (P) và đường thẳng BC là nghiệm của hệ
phương trình:
0
2 2
3
2 3 0
x

y t
z t
y z
=


= −


=


− + =


Giải hệ phương trình trên cho ta
4
13
t =
và toạ độ điểm
18 12
0; ;
13 13
M
 
 ÷
 

Vậy giao điểm của (P) và đường thẳng BC là:
18 12

0; ;
13 13
M
 
 ÷
 


Nhận xét:
- Đa số các thi sinh đều làm được câu a), nhưng có một vài trường hợp
không lập luận
BC
uuur
là một vectơ pháp tuyến của (P) nên bị trừ điểm
phần này, thí sinh cần lưu ý.
- Câu b) hơi khó một chút, thí sinh có thể gặp khó khăn khi tìm giao
điểm M của mặt phẳng và đường thẳng, vậy cần có gắng viết được
phương trình tham số của đường thăng BC để đạt được 0,25đ.
- Chú ý khi giải xong cần kết luận để khỏi mất 0,25đ
Câu IV:
- Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
Năm học 2011-2012
16
Viết được ptđt được cộng 0,25đ
Viết được hệ cộng 0,25đ
Kết luận cộng 0,25đ
- Số phức:Xác định môđun của số phức, các phép toán trên số phức.
Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức ∆
âm.
 Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.

 Điểm - thời gian giới hạn: 1đ - 12 phút
 Phạm vi kiến thức:
- Đề thường cho một trong 4 dạng: phương trình mũ, bất phương trình
mũ, phương trình lôgarit, bất phương trình lôgarit ở mức độ trung bình,
không quá phức tạp
- Nếu không giải được nên tìm điều kiện cho phương trình có nghĩa để có
cơ may được 0,25đ
Ví dụ 8: Giải phương trình:
2
2 4
2log 14log 3 0x x− + =
Lỗi thường gặp của thí sính khi giải phương trình này là: quên điều kiện
(Đk) cho ẩn x ( Trừ 0,25đ theo hướng dẫn chấm thi môn Toán của Bộ
GD&ĐT ) dư Đk cho ẩn t > 0 ( khi đặt t =
2
log x
); lỗi trình bày và sử dụng kí
hiệu không phù hợp…Sau đây là lời giải mắc lỗi thí sinh cần lưu ý.
Giải:


⇔
2
2 2
2log 7log 3 0x x− + =
. Đặt t =
2
log x
, ĐK t > 0

⇔
2
2 7 3 0t t− + =

3
1
2
t
t
=


⇔

=


8
2
x
x
=


⇔

=



Ghi nhớ: khi giải phương trình hay bất phương trình lôgarit bằng phương
pháp đặt ẩn phụ chẳng hạn đặt t =
2
log x
không cần đk cho ẩn t > 0 ( vì các em
Năm học 2011-2012
17
Thiếu ĐK ?
Lỗi trình
bày?
Dư ĐK
Sử dụng kí hiệu:
{ không phù hợp
hay nhầm với t = a
x
). Điều này hết sức nguy hiểm cho trường hợp nghiệm t tìm
được có giá trị âm khi đó t < 0 bị loại dẫn đến thiếu nghiệm x. Để khác phục lỗi
này trong ví dụ 8 trên ta có thể trình bày ngắn gọn như sau:
Giải:
+ Điều kiện x>0
+ Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương vối phương
trình:

2
2 2
2log 7log 3 0x x− + =

2
2

log 3
1
log
2
x
x
=


⇔

=

8
2
x
x
=

⇔

=

( thỏa đk)
+ Kl: Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x= 8; x =
2
 Lưu ý:
- Các bước giải cần ngắn gọn, đầy đủ, chính xác
- Đối với phương trình khi giải được nghiệm cần kết hợp với điều kiện
để loại nghiệm không phù hợp. Đồng thời thế lại vào phương trình tránh

các nghiệm ngoại lai.
- Đối với bất phương trình phải nhớ kết hợp điều kiện.
- Hoàn thành bài giải phải kết luận tập nghiệm.
 Yêu cấu tối thiểu: 0,5đ - 0,75đ / 1đ.
- Số phức:Xác định môđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn
bậc hai của số thực âm. Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức ∆ âm.
 Điểm - thời gian giới hạn: 1đ - 12 phút
 Phạm vi kiến thức:
- Đây là vùng kiến thức đơn giản nhất.
Lưu ý:
- Nếu đề cho giải phương trình bậc 2 trên C thì nên viết lại công thức
denta, nghiệm . . . để tránh mất điểm.
- Hết sức thận trọng khi tính toán với số phức để tránh mất điểm đáng lẽ
đề “cho không”
Năm học 2011-2012
18
 Yêu cấu tối thiểu: 0,75đ - 1đ.
TỔNG: 0,75đ – 1,0đ / 1đ
Ví dụ 9: Cho hai số phức z
1
= 1 + 2i và z
2
= 2 - 3i. Xác định phần thực và
phần ảo của số phức z
1
– 2z
2

Giải:
+ Ta có: z

1
– 2z
2

⇔
- 3 + 8i
+ Do đó số phức z
1
– 2z
2
có phần thực bằng -3 và phần ảo bằng 8
Chú ý:
- Một số lỗi thừơng gặp ở câu này là:
- Với dạng câu hỏi này tương đối dễ, thí sinh cần lưu ý để lấy trọn điểm
Câu V:
Hình học không gian (tổng hợp):Tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp,
khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích
khối cầu.
 Điểm - thời gian giới hạn: 1đ - 12 phút
 Phạm vi kiến thức:
- Thường yêu cầu tính thể tích của khối chóp hoặc khối lăng trụ.
- Nếu không giải được nên vẽ hình, xác định chiều cao, diện tích đáy, viết
lại công thức tính thể tích để có cơ may được 0,25đ
Lưu ý:
- Thường là câu phức tạp nhất của đề thi, dễ làm thí sính rối do suy nghĩ.
Vì thế nên cảnh giác.
Năm học 2011-2012
19
Ghi dấu “”
Trừ 0,25đ

Ghi 8i Trừ 0,25đ
- Để ý nắm vững định nghĩa hình kẻo lẫn lộn. Ví dụ học sinh có thể sẽ
lẫn lộn giữa hai khái niệm “ hình chóp đều ” và “ hình chóp có đáy là
đa giác(tam giác,tứ giác) đều ”; hai khái niệm “góc giữa cạnh bên và
góc giữa mặt bên với mặt đáy’’, cần trình bày cách xác định các góc
này mà đề thi đưa ra.
- Nếu tìm được cách giải nên thận trọng, trình bày lời giải rõ ràng chi tiết,
theo từng bước để tránh mất điểm đáng tiếc.
 Yêu cấu tối thiểu: 0,25đ - 0,5đ / 1đ.
TỔNG: 0,25đ - 0,5đ / 1đ
V. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
Với phương pháp tiếp cận và truyền đạt kiến thức như trên, khi dạy cho học
sinh được phân công, tôi nhận thấy (khoảng 95 số các em cảm thấy thích thú
hơn, tiếp nhận kiến thức nhanh hơn và nhớ lâu hơn.
Năm học 2011-2012
20
Để đánh giá khả năng tiếp thu và nắm bắt kiến thức của học sinh trong quá
trình áp dụng đề tài này tôi đã cho học sinh làm các bài kiểm tra khác nhau vào
các thời điểm khác nhau và kết quả thu được có trong bảng sau
Năm học
Lớp Số lấn kiểm tra Số bài kiểm
tra
Số bài đạt Tỉ lệ (%)
2009-2010 12A
Lần 1 50 45 90%
Lần 2 50 42 84%
Lần 3 50 47 94%
2010-2011 12C
Lần 1 46 41 89%
Lần 2 46 43 93%

Lần 3 46 44 96%
C. KẾT LUẬN
I. BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Trong quá trình triển khai áp dụng nên đưa cho học sinh phần lý thuyết
theo dạng sườn có từng bước,để học sinh bắt trước làm theo,tạo thành lối
mòn,giúp học sinh nhớ kỹ,đào sâu,và luôn tìm tòi có sáng tạo,để từ đó giúp học
sinh quan niệm “Toán học là môn khoa học của lý thuyết,là môn khoa học của
tư duy”
II. KẾT LUẬN
Đây là một phương phương pháp nhằm giúp học sinh học theo sườn, định
sẵn, giúp các em thấy được mối liên hệ mật thiết giữa toán học và thực tiễn, mối
liên hệ giữa toán học và các môn khoa học khác. Từ đó các em có một cách
nhìn đơn giản hơn,không quá phức tạp hoá môn toán học và đánh giá khác về
toán học không còn khó khăn như các em thường suy nghĩ vì “Toán học là
mảnh đất màu mỡ của các ngành khoa học khác phát triển”
III. LỜI CẢM ƠN
Mặc dù đã hết sức cố gắng song không thể tránh được những thiếu sót. Rất
mong sự đóng góp ý kiến, trao đổi của các đồng nghiệp về phương pháp làm
bài và giúp học sinh ghi nhớ cách làm bài thông qua cách làm các bài cụ thể,để
môn Toán không còn khô khan và khó hiểu đối với học sinh.
Năm học 2011-2012
21
Tôi xin chân thành cảm ơn BGĐ nhà trường, tổ chuyên môn, các đồng nghiệp
trong hội đồng sư phạm, các giáo viên bộ môn Toán, đã giúp đỡ tôi hoàn thành
đề tài này.
Hoằng Hoá, ngày 10 tháng 5 năm 2012
Người viết

Đỗ Bá Tuấn
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO

1/Phương pháp dạy học môn Toán (Phần đại cương) –Nguyễn Bá Kim-
Vũ Dương Thuỵ-Nhà xuất bản Giáo Dục năm 2005.
2/Sai lầm phổ biến khi giải toán-Nguyễn Vĩnh Cận-Lê Thống Nhất-Phan
Thanh Quang-Nhà xuất bản Giáo Dục năm 2004.
3/Các đề thi tốt nghiệp và đáp án chính thức của bộ GD&ĐT trong một
số năm gần đây.
4/Cấu trúc đề thi môn Toán dùng để ôn thi tốt nghiệp THPT và tuyển
sinh đại học cao đẳng năm 2009-Nhà xuất bản Giáo Dục.
Năm học 2011-2012
22
5/Hướng dẫn ôn tập môn Toán lớp 12 )Dùng choGiáo dục thường
xuyên)-Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam năm 2011.
6/Phương pháp giải toán trọng tâm-Các bài giảng luyện thi tôt nghiệp-Đại
học-Cao đẳng-Phan Huy Khải-Nhà xuất bản Đại học Sư Phạm năm 2010.
7/Một số bài viết trên các trang http//www.violet.
8/Sách giáo khoa giải tích-Hình học lớp 12-Ban cơ bản
Ý kiến đánh giá của chuyên môn
1.Ý kiến đánh giá của tổ chuyên môn.
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Năm học 2011-2012
23
……………………………………………………………………………………

…………………………………………………
2.Ý kiến đánh giá của hội đồng khoa học nhà trường.
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Năm học 2011-2012
24