Sử dụng chiều biến thiên của hàm số để cm BĐT và tìm Min, Max

Bài 2: SD chiều biến thiên c/m BðT và tìm Min,Max – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
BTVN BÀI SỬ DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN CHỨNG MINH BðT VÀ TÌM
MIN, MAX CỦA HÀM SỐ


Bài 1: Tìm Min, Max của:
( )
( )
2
2 2 2 2
3 12
xy
A
x y x x y
=
+ + +

Giải:

(
)
( )
(
)
( )
( )( )
2
2
2 2
2

2 2
2 2
2
2
2
2
2 2
1
ó : . :
3 1 1 12
1 1 12
1
1
1 3 12
1 3 1 1 12
3 1 1 12
1 1 12 1 1
. : 1 12 ( 1) 3 ( )
3 12 4 3
1
'( ) 0 3 ( ) (
3
y
Ta c A Coi t
x
x y
y x
t t
t
A

t t
t t
t
t
t u
Coi u t u A f u
t u
u
f u A f u f
u
= =
 
 
 
 
 
 +  + +
 
 
 
 
 
 
 
 
− +
⇒ = = =
 
+ −
+ + +

+ + +
 
 
+ − −
= = + ≥ ⇒ = =
+ +
= −

⇒ = ⇔ ⇒ = ≤

=

1 1
3) ax .
6 18
à : lim ( ) 0 0
u
M A
V f u MinA
→∞
= ⇒ =
= ⇒ =

Bài 2: Cho 3 số thực thõa mãn: x
2
+ y
2
+ z
2
=1.

Tìm Min, Max của:
( ) ( )
P x y z xy yz zx
= + + − + +

Giải:

ðặ
t:

2 2 2 2
2 2
3( ) 3 3; 3
1 2 1
à ( ) '( ) 0 1 3; 3
2 2
ax (1) 1
ó :
( 3) ( 3 1)
t x y z t x y z t
t t t
V P t f t f t t
M P f
Qua BBT ta c
MinP f
 
= + + ⇒ ≤ + + = ⇒ ∈ −
 
− − + +
 

= − = = ⇒ = ⇔ = ∈ −
 
= =



= − = − +




Bài 2: SD chi
ề
u bi
ế
n thiên c/m B
ð
T và tìm Min,Max – Khóa LT
ð
H
ñả
m b
ả
o – Th
ầ
y Kh
ả
i.
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ

ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t
Bài 3
: Cho 2 s
ố
d
ươ
ng x,y thõa mãn: x+y=5/4. Tìm Min c
ủ
a:
4 1
4
A
x y
= +


Giải:

Ta có:

( )
2
2
5

16
16 60 5
4
.
5
4 4 (5 4 )
4 ( )
4
4 0 , 5
16 16 1 16 1
: à : ( )
5 4 5
5
0
16 1 16
'( ) 0 (1) 1 5
5
4
5
3
y y
y x y
A
xy y y
y y
a y a b
a b
Coi V A f a
b y a b
ab b a a a

a
f a MinA f
a
a
a
+ −
+ +
= = =
−
−
= < <
 
+
⇒ = = + = + =
 
= − + =
−
 
=


⇒ = − = ⇒ ⇒ = = + =

= −
−


D
ấ
u “=” x

ả
y ra khi và ch
ỉ
khi x=1; y=1/4
Bài 4
: CMR: V
ớ
i m
ọ
i tam giác ABC ta luôn có:

1 os 1 os 1 os
2 2 2
3 3
A A A
c c c
A A A
+ + +
+ + >


Giải:

Xét hàm s
ố
:
2
cos 1
2
x

y x
= + −


' sin à '' 1 cos 0; ;
2
y x x v y x x o
 
= − = − > ∀ ∈
 
 
π

Ta th
ấ
y y’
ñồ
ng bi
ế
n và ta có: y > 0. V
ậ
y ta có:
2
cos 1
2
x
x
> −

Áp d

ụ
ng cho các góc A/2, B/2 , C/2 ta có:

2 2 2
cos 1 ;cos 1 ;cos 1
2 8 2 8 2 8
A A B B C C
> − > − > −

Bài 2: SD chi
ề
u bi
ế
n thiên c/m B
ð
T và tìm Min,Max – Khóa LT
ð
H
ñả
m b
ả
o – Th
ầ
y Kh
ả
i.
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ

a h
ọ
c trò Vi
ệ
t

2
1 1 1 1 9
2 ( ) 2.
8 8
18 144
3 3
8 8
A B C
VT A B C
A B C A B C
+ +
 
⇒ > + + − + + ≥ −
 
+ +
 
−
= − = >
π π
π π

Bài 5
: Cho 2 s
ố

không âm tùy ý x,y thõa mãn x+y=1: Tìm Min, Max c
ủ
a:
1 1
x y
S
y x
= +
+ +


Giải:
Ta có:

2 2
2
2
( ) ( ) 2 2
.
1 1 ( ) 1 2
( ) 1 1 2 2 6
à : 0 . : 0; à 2 ( )
4 4 4 2 2
1 2
inS ( )
6
' 0
4 3
( 2)
ax (0) 1

x y x y x y xy
S
y x xy x y xy
x y t
M xy Coi t xy t v S f t
t t
M f
S
t
M S f
+ + + −
= + = =
+ + + + + +
+ −
 
≤ ≤ = = ⇒ ∈ = = − + =
 
+ +
 

= =
−

⇒ = < ⇒

+

= =


………………….Hết…………………
Nguồn:
Hocmai.vn