Đề cương bài giảng học phần hình học họa hình và vẽ kĩ thuật

Đề cương bài giảng
học phần hình học họa hình
và vẽ kĩ thuật
1
FPHẦN I
HÌNH HỌC - HỌA HÌNH
CHƯƠNG 1
Điểm, đường thẳng, mặt phẳng
Số tiết: 08 (Lý thuyết: 06 tiết; Bài tập, thảo luận: 02 tiết)
A) MỤC TIÊU:
Sinh viên cần:
- Biết được khái niệm, tính chất và ứng dụng của các phép chiếu cơ bản trong hình học họa hình,
đặc biệt là phép chiếu vuông góc.
- Hiểu được cách biểu diễn điểm, đường thẳng, mặt phẳng bằng đồ thức và mối liên thuộc giữa chúng.
Trên cơ sở đó, vận dụng vẽ được hình chiếu của điểm, đường thẳng, mặt phẳng bất kì, xác định
được điểm thuộc đường thẳng hay mặt phẳng, xác định được giao của đường thẳng với mặt
phẳng, giao của hai mặt phẳng.
- Rèn luyện khả năng tư duy hình không gian, hình thành thói quen vẽ hình chính xác, khoa học.
B) NỘI DUNG:
1.1. Khái quát về các phép chiếu
1.1.1. Phép chiếu xuyên tâm
a. Khái niệm
Trong không gian lấy mặt P làm mặt phẳng hình chiếu, điểm S không thuộc mặt phẳng P
làm tâm chiếu. Hình chiếu xuyên tâm của điểm A trong không gian lên mặt phẳng P là giao điểm
A' của đường thẳng SA với mặt phẳng P.
b. Tính chất
Tính chất 1: Hình chiếu xuyên tâm của một đường thẳng
không đi qua tâm chiếu là một đường thẳng (hình 1.1).
- Hệ quả:
+ Hệ quả 1: Một điểm M thuộc AB thì hình chiếu
xuyên tâm M' của nó cũng thuộc A'B'.

+ Hệ quả 2: d' là hình chiếu của mọi đường thẳng thuộc
mặt phẳng Π (S,d), d' gọi là hình chiếu suy biến của mặt phẳng
chiếu Π.
+ Đường thẳng đi qua tâm chiếu thì hình chiếu
xuyên tâm của nó suy biến thành một điểm.
Tính chất 2: Hình chiếu xuyên tâm của các đường
thẳng song song nói chung là các đường đồng quy.
- Hệ quả: Hình chiếu của các đường thẳng song song và song song
với mặt phẳng hình chiếu thì song song với nhau.
1.1.2. Phép chiếu song song
a. Khái niệm
Trong không gian lấy mặt phẳng P’ làm mặt phẳng
hình chiếu và đường thẳng h không song song với P’ làm
hướng chiếu. Từ điểm A bất kỳ trong không gian, kẻ đường
2
Л
P
B
M
A
d
S
B'
M'
A'
d'
Hình 1.1 Phép chiếu xuyên tâm
h
A
P’

A’
Hình 1.2 Phép chiếu song song
thẳng // h, cắt P’ tại A’ thì A’ gọi là hình chiếu song song của điểm A và đường thẳng AA’ gọi là
đường thẳng chiếu hoặc tia chiếu của phép chiếu song song.
b. Tính chất
Phép chiếu song song có đầy đủ các tính chất của phép chiếu xuyên tâm.Ngoài ra còn có
các tính chất riêng:
Tính chất 1: Hình chiếu song song của các đường thẳng song song là các đường thẳng
song song (AB // CD → A’B’ // C’B’).
Tính chất 2: Tỷ số các hình chiếu song song của các đoạn thẳng song song bằng tỷ số các
đoạn thẳng đó (AB // CD →
A'B' AB
=
C'D' CD
).
- Hệ quả: Nếu 3 điểm thẳng hàng thì tỷ số đơn của 3 điểm hình chiếu bằng tỷ số đơn của 3 điểm đó.
Giả sử 3 điểm A, M, B thẳng hàng, ta có:

A'M' AM
M'B' MB
=
;
A'M' AM
A'B' AB
=
và ký hiệu: (A’, M’, B’) = (A, M, B).
1.1.3. Phép chiếu chiếu vuông góc
a. Khái niệm
Phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song khi hướng chiếu
vuông góc với mặt phẳng hình chiếu.

b. Tính chất
Phép chiếu vuông góc có đầy đủ các tính chất của chiếu song song, ngoài ra nó còn có
tính chất sau:
Độ dài hình chiếu vuông góc của một đoạn thẳng bằng độ dài của đoạn thẳng đó nhân với
cosφ (φ là góc hợp bởi đoạn thẳng đó và mặt phẳng hình chiếu):A'B' = AB.cos φ{φ =
∠
(AB,P)}
1.1.4. Phương pháp hai hình chiếu vuông góc
Trong không gian lấy hai mặt phẳng P
1
và P
2
vuông góc với nhau theo giao tuyến x. P
1
được gọi là mặt phẳng chiếu đứng; P
2
được gọi là mặt phẳng chiếu bằng và x là trục hình chiếu.
Chọn hai phương chiếu s
1
⊥ P
1
và s
2
⊥ P
2
. Vật thể cần biểu diễn được đặt trong khoảng không
gian phía trước P
1
và trên P
2

. Chiếu vật thể theo phương s lên các mặt phẳng P, hình thu được
được gọi là hình chiếu của vật thể.
Hai mặt phẳng P
1
, P
2
chia không gian ra làm
4 phần gọi là 4 góc phần tư: I, II, III, IV.
+ Góc phần tư I là phần không gian ở trước P
1
và trên P
2
.
+ Góc phần tư II là phần không gian ở sau P
1
và trên P
2
.
+ Góc phần tư III là phần không gian ở sau P
1
và dưới P
2
.
+ Góc phần tư IV là phần không gian ở trước
P
1
và dưới P
2
.
1.2. Điểm

1.2.1. Hình chiếu của điểm
Để biểu diễn một điểm A bất kỳ trong không gian bằng các hình chiếu, người ta chiếu
vuông góc điểm A lên các mặt phẳng hình chiếu P
1
, P
2
. Hình chiếu thu được trên P
1
là hình chiếu
3
Hình 1.3 Hệ thống hai mặt phẳng
hình chiếu
đứng A
1
của A; hình chiếu thu được trên P
2
là hình chiếu bằng A
2
của A. Cặp điểm A
1
, A
2
gọi
hình biểu diễn của điểm A.
Bằng cách xoay P
2
về trùng với vị trí của P
1
, A
1

và A
2
lúc này cùng nằm trên một đường
gióng vuông góc với trục x. Hình thu được bằng cách làm như vậy gọi là đồ thức của điểm A.
(hình 1.4b).
Trong đó: x: là trục hình chiếu; A
1
: là hình chiếu đứng của A; A
2
: là hình chiếu bằng của A.
Ax: là giao điểm của trục x với đường gióng A
1
A
2
.
P
1
P
2
II
I
IV
III
x
Ax
A
A
1
A
2

A
2
x
Ax
A
1
A
2
P
1
=P
2
x
A
1
A
2
a) b) c)
Hình 1.4 Hình chiếu và đồ thức của một điểm
Ta có:
1 2
A Ax = AA
là khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng P
2
.

2 1
A Ax = AA
là khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng P
1

.
Vì xem P
1
, P
2
như các mặt phẳng chuẩn nên gọi A
1
Ax là độ cao và A
2
Ax là độ xa của
điểm A. Với qui ước:
- Nếu A ở phía trước P
1
ta có độ xa dương; nếu A ở phía sau P
1
ta có độ xa âm và nếu A thuộc
P
1
thì độ xa bằng 0.
- Nếu A ở phía trên P
2
ta có độ cao dương; nếu A ở phía dưới P
2
ta có độ cao âm và nếu A thuộc
P
2
thì độ cao bằng 0.
1.2.2. Các điểm có vị trí đặc biệt
Mặt phẳng phân giác 1-3: Là mặt phẳng chứa trục x và chia đôi góc phần tư I và III.
Mặt phẳng phân giác 2-4: Là mặt phẳng chứa trục x và chia đôi góc phần tư II và IV.

- Điểm thuộc P
1
: Mọi điểm thuộc P
1
đều có hình chiếu đứng trùng với chính nó và hình chiếu
bằng nằm trên trục chiếu x.
- Điểm thuộc P
2
: Mọi điểm thuộc P
2
đều có hình chiếu bằng trùng với chính nó và hình chiếu
đứng nằm trên trục chiếu x.
- Điểm thuộc mặt phẳng phân giác 1-3: Mọi điểm thuộc mặt phẳng phân giác 1-3 và không thuộc
trục x đều có hai hình chiếu đối xứng nhau qua trục chiếu x.
- Điểm thuộc mặt phẳng phân giác 2-4: Mọi điểm thuộc mặt phẳng phân giác 2-4 và không thuộc
trục x đều có hai hình chiếu trùng nhau.
1.2.3. Hình chiếu thứ ba của điểm
Để xác định hình chiếu thứ ba của điểm A, người ta đặt điểm trong hệ thống 3 mặt phẳng
hình chiếu, nghĩa là ngoài A
1
, A
2
xác định hình chiếu A
3
là hình chiếu thu được bằng cách chiếu
vuông góc điểm A lên mặt phẳng P
3
vuông góc đồng thời với cả P
1
và P

2
(hình 1.5). A
3
được gọi
là hình chiếu cạnh của điểm A. Để biểu diễn A
3
trên đồ thức ta cũng xoay P
3
về trùng với vị trí
4
của P
1
. Đồ thức lúc này có thêm hai trục hình chiếu: y là giao của P
3
với P
2
và z là giao của P
3
với P
1
. Khoảng cách từ A
3
tới trục z bằng độ xa của điểm A, khoảng cách từ A
3
tới trục y bằng
độ cao của A. Như vậy A
1
, A
3
cùng nằm trên đường gióng vuông góc với trục z và khoảng cách

từ A
2
tới trục x bằng khoảng cách từ A
3
tới trục z.
a) b)
Hình 1.5 Cách xác định hình chiếu thứ ba của điểm
1.3. Đường thẳng
1.3.1. Đồ thức của đường thẳng
Để biểu diễn một đường thẳng bất kỳ trong không gian, người ta chiếu đường thẳng ấy
lên các mặt phẳng hình chiếu như khi biểu diễn điểm. Hình chiếu của một đường thẳng là một
đường thẳng và một đường thẳng thì được xác định bởi 2 điểm, vì vậy đồ thức của đường thẳng
được xác định khi biết đồ thức của 2 điểm thuộc đường thẳng đó.
Hình 1.6 Đồ thức của đường thẳng
1.3.2. Vết của đường thẳng
- Định nghĩa: Vết của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng với các mặt phẳng hình chiếu.
+ Vết đứng (N): N = d ∩ P
1
.
+ Vết bằng (M): M = d ∩ P
2
.
- Cách xác định các hình chiếu của các vết
Cách xác định các hình chiếu của các vết khi biết hai hình chiếu d
1
và d
2
(hình 1.7).
A
A

2
x
Z
A
1
A
2
A
3
A
x
A
z
A
3
A
1
A
3
A
2
P
2
P
3
y
z
P
1
x

0
y
Ay
Ax
Az
x
A
1
B
1
B
2
A
2
d
1
d
2
d
2
d
1
A
1
B
1
A
2
B
2

B
A
d
x
P
1
P
2
5
y
Hình 1.7 Vết của đường thẳng
1.3.3. Các đường thẳng đặc biệt
a. Đường bằng
- Định nghĩa: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P
2
.
- Tính chất:
+ Hình chiếu đứng (A
1
B
1
) song song với trục x (tính chất đặc trưng).
+ Hình chiếu bằng của bất kỳ đoạn thẳng nào thuộc đường bằng cũng có độ dài bằng chính nó.
+ Góc của hình chiếu bằng của đường bằng với trục x chính là góc giữa đường bằng đó
với mặt phẳng hình chiếu đứng P
1
{∠(h
2
, x) = ∠(h, P
1

)}.
Hình 1.8 Đường bằng
b. Đường mặt
- Định nghĩa: Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P
1
- Tính chất:
+ Hình chiếu bằng A
2
B
2
song song với trục x (tính chất đặc trưng)
+ Hình chiếu đứng của bất kỳ đoạn thẳng nào thuộc đường mặt cũng có độ dài bằng chính nó.
+ Góc của hình chiếu đứng của đường mặt với trục x bằng góc giữa đường thẳng đó với
mặt phẳng hình chiếu bằng P
2
{∠(h
1
, x) = ∠(h, P
2
)}.
d
d
1
M≡M
2
N
2
M
1
d

2
x
d
1
d
2
N
1
M
2
M
1
N
2
N≡N
1
x
P
1
P
2
A
1 B
1
B
A
B
2
A
2

x
P
1
P
2
x
A
1
B
1
A
2
B
2
6
Hình 1.9 Đường mặt
c. Đường cạnh
- Định nghĩa: Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh P
3
.
- Tính chất:
+ Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng (A
1
B
1
, A
2
B
2
) cùng nằm trên đường gióng vuông

góc với trục x (tính chất đặc trưng).
+ Hình chiếu cạnh của bất kỳ đoạn thẳng nào thuộc đường cạnh cũng có độ dài bằng chính nó.
+ Góc giữa hình chiếu cạnh của đường cạnh với trục z bằng góc giữa đường thẳng đó với
mặt phẳng hình chiếu đứng P
1
{∠(A
3
B
3
, z) = ∠(d, P
1
)}.
+ Góc giữa hình chiếu cạnh của đường cạnh với trục y bằng góc giữa đường thẳng đó với
mặt phẳng hình chiếu bằng P
2
{∠(A
3
B
3
, y) = ∠(d, P
2
)}.
Hình 1.10 Đường cạnh
d. Đường thẳng chiếu bằng
- Định nghĩa: Đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng.
- Tính chất:
+ Hình chiếu bằng suy biến thành một điểm: A
2
≡ B
2

(tính chất đặc trưng).
+ Hình chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với trục x: A
1
B
1
⊥
x.
+ Hình chiếu đứng của bất kỳ đoạn thẳng nào thuộc đường thẳng chiếu bằng cũng có độ
dài bằng độ dài thật của nó: A
1
B
1
= A
3
B
3
= AB.
A
B
A
1
B
1
A
2
B
2
x
A
1

B
1
A
2
B
2
x
z
B
3
A
3
y
A
1
B
1
A
2
B
2
y
7
x
P
1
P
2
z
x

P
2
P
1
P
3
B
A
A
3
B
3
d
x
A
1
P
2
B
1
B
A
A
2
=B
2
P
1
Hình 1.11 Đường thẳng chiếu bằng
e. Đường thẳng chiếu đứng

- Định nghĩa: Đường thẳng chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng.
- Tính chất:
+ Hình chiếu đứng suy biến thành một điểm: A
1
≡ B
1
(tính chất đặc trưng).
+ Hình chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với trục x: A
2
B
2
⊥
x.
+ Hình chiếu bằng của bất kỳ đoạn thẳng nào thuộc đường thẳng chiếu đứng cũng có độ
dài bằng độ dài thật của nó: A
2
B
2
= A
3
B
3
= AB.
x
P
2
B
A
A
1

=B
1
P
1
A
2
B
2

Hình 1.12 Đường thẳng chiếu đứng
f. Đường thẳng chiếu cạnh
- Định nghĩa: Đường thẳng chiếu cạnh là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh.
- Tính chất:
+ Hình chiếu cạnh suy biến thành một điểm: A
3
≡ B
3
(tính chất đặc trưng).
+ Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng cùng song song với trục x: A
1
B
1
//A
2
B
2
// x.
x
A
1

B
1
A
2 ≡
B
2
x
B
2
A
2
A
1 ≡
B
1
8
+ Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của bất kỳ đoạn thẳng nào thuộc đường thẳng
chiếu cạnh cũng có độ dài bằng độ dài thật của nó: A
1
B
1
= A
2
B
2
= AB.
Hình 1.13 Đường thẳng chiếu cạnh
1.4. Mặt phẳng
1.4.1. Biểu diễn mặt phẳng
Trong không gian, mặt phẳng được xác định bởi: 3 điểm không thẳng hàng; 1 điểm và 1

đường thẳng; 2 đường thẳng cắt nhau hoặc 2 đường thẳng song song. Vì vậy đồ thức của mặt
phẳng cũng được xác định bởi đồ thức của các yếu tố xác định các mặt phẳng đó.
Hình 1.14 Đồ thức của mặt phẳng
1.4.2. Vết của mặt phẳng
a. Định nghĩa
Vết của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với các mặt phẳng hình chiếu.
- Vết đứng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng P
1
(nếu mặt phẳng là α,
vết đứng ký hiệu là nα).
- Vết bằng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu bằng P
2
(nếu mặt phẳng là α,
vết đứng ký hiệu là mα).
- Vết cạnh là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu cạnh P
3
(nếu mặt phẳng là α,
thì vết đứng ký hiệu là pα).
A
3≡
B
3
A
1
B
1
A
2
B
2

A
B
x
z
A
1
B
1
A
3≡
B
3
A
2
Hì
nh
2.1
4
B
2
α ( A,B,C)
A
1
A
2
B
2
B
1
C

1
C
2
x
x
A
1
A
2
d
1
d
2
α (A,d)
x
a
1
b
1
b
2
a
2
α (a x b)
x
m
1
n
1
n

2
m
2
α (m // n )
9
z
x
P
2
P
1
P
3
n
α≡
n
α
1
n
α
2
≡
m
α
1
m
α≡
m
α
2

p
α≡
p
α
3
P
2
P
1
P
3
α
x
y
z
m
α≡
m
α
2
n
α≡
n
α
1
p
α≡
p
α
3

x
y
z
y
0
Hình 1.15 Vết của mặt phẳng
b. Hình chiếu của các vết mặt phẳng
- Vết đứng nα:
+ Hình chiếu đứng của vết đứng là: nα
1
≡ nα.
+ Hình chiếu bằng của vết đứng là: nα
2
≡ x.
Quy ước, trên đồ thức chỉ biểu diễn hình chiếu đứng của vết đứng là nα.
- Vết bằng mα:
+ Hình chiếu bằng của vết bằng là: mα
2
≡ mα.
+ Hình chiếu đứng của vết bằng là: mα
1
≡ x.
Quy ước, trên đồ thức chỉ biểu diễn hình chiếu bằng của vết bằng là mα.
- Vết cạnh pα:
+ Hình chiếu cạnh của vết cạnh là: pα
3
≡ pα
+ Hình chiếu đứng là pα
1
≡ z và hình chiếu bằng là: pα

2
≡ y.
Quy ước, trên đồ thức chỉ biểu diễn hình chiếu cạnh của vết cạnh là pα.
1.4.3. Các mặt phẳng đặc biệt
a. Mặt phẳng chiếu bằng
- Định nghĩa: là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng P
2
- Tính chất:
+ Hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu bằng suy biến thành một đường thẳng trùng với
vết bằng của nó (tính chất đặc trưng).
+ Vết đứng của mặt phẳng chiếu bằng vuôn góc với trục x (nα
⊥
x).
+ Góc giữa hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu bằng với trục x bằng góc giữa mặt
phẳng đó với mặt phẳng hình chiếu đứng: φ = ∠(α, P
1
).
b. Mặt phẳng chiếu đứng
- Định nghĩa: là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chiếu đứng P
1
.
- Tính chất:
+ Hình chiếu đứng của mặt phẳng chiếu đứng suy biến thành đường thẳng trùng với vết
đứng của nó (tính chất đặc trưng).
+ Vết bằng của mặt phẳng chiếu đứng vuông góc với trục x (mQ
⊥
x).
+ Góc giữa hình chiếu đứng của mặt phẳng chiếu đứng với trục x chính là góc giữa mặt
phẳng đó với mặt phẳng hình chiếu bằng: ψ = ∠(Q, P
2

).
c. Mặt phẳng chiếu cạnh
10
- Định nghĩa: là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chiếu cạnh P
3
.
- Tính chất:
+ Hình chiếu cạnh của mặt phẳng chiếu cạnh suy biến thành đường thẳng trùng với vết
cạnh của nó: pQ≡Q
3
(tính chất đặc trưng).
+ Mặt phẳng chiếu cạnh có vết đứng và vết bằng song song với trục x (nQ // mQ// x).
+ Góc giữa hình chiếu cạnh của mặt phẳng chiếu cạnh với trục z chính là góc giữa mặt
phẳng đó với mặt phẳng hình chiếu đứng P1: θ = ∠(Q, P
1
), và góc của nó với trục y (≡x) chính là
góc giữa mặt phẳng đó với mặt phẳng hình chiếu bằng P
2
: β = ∠(Q, P
2
).
d. Mặt phẳng bằng
- Định nghĩa: Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P
2
.
- Tính chất:
+ Hình chiếu đứng của mặt phẳng suy biến thành một đường thẳng trùng với vết đứng và
song song với trục x: (nα≡α
1
)//x.

+ Hình chiếu bằng của bất kỳ hình phẳng nào thuộc mặt phẳng bằng cũng có độ lớn bằng
hình thật của nó: A
2
B
2
C
2
=ABC
e. Mặt phẳng mặt
- Định nghĩa: Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P
1
.
- Tính chất:
+ Hình chiếu bằng của mặt phẳng suy biến thành một đường thẳng trùng với vết bằng và
song song với trục x: (mα≡α
2
)//x.
+ Hình chiếu đứng của bất kỳ hình phẳng nào thuộc mặt phẳng mặt cũng có độ lớn bằng
độ lớn thật của nó: A
1
B
1
C
1
=ABC.
f. Mặt phẳng cạnh
- Định nghĩa: Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh P
3
.
- Tính chất:

+ Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của mặt phẳng cạnh suy biến thành một đường
thẳng vuông góc với trục x.
+ Hình chiếu cạnh của bất kỳ hình phẳng nào thuộc mặt phẳng cạnh cũng có độ lớn bằng
độ lớn thật của nó: A
3
B
3
C
3
=ABC.
1.5. Sự liên thuộc của điểm, đường thẳng, mặt phẳng
1.5.1. Điểm thuộc đường thẳng
a. Trường hợp đường thẳng không phải là đường cạnh
Định lý: Điều kiện cần và đủ để 1 điểm thuộc 1 đường thẳng là các hình chiếu của điểm
phải thuộc các hình chiếu cùng tên của đường thẳng.
b. Trường hợp đường thẳng là đường cạnh
Để một điểm thuộc đường cạnh thì hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của
đường cạnh và hình chiếu cạnh của điểm thuộc hình chiếu cạnh của đường cạnh: C
1
⊂
A
1
B
1
, C
3
⊂
A
3
B

3
; hoặc (biết hình chiếu đứng và hình chiếu bằng) dựa vào tính chất không đổi của tỷ số
đơn của 3 điểm thẳng hàng trong phép chiếu song song: C
⊂
AB thì tỷ lệ (A
1
B
1
C
1
)= (A
2
B
2
C
2
)
11
x
P
2
P
1
A
1
A
C'
1
C
1

B
1
B
C
C'
B
3
A
3
C
3
C'
3
P
3
B
2
A
2
C'
2
=C
2
x
y
z
y
A
1
C'

1
C
1
B
1
B
2
A
2
C'
2
=C
2
A
3
B
3
C
3
C'
3
Hình 1.16 Điểm thuộc đường cạnh
1.5.2. Độ lớn thật của đoạn thẳng
Giả thiết: Cho các hình chiếu A
1
B
1
và A
2
B

2
của đoạn thẳng AB. Ta cần tìm độ lớn thật
của AB và góc nghiêng của nó với các mặt phẳng hình chiếu P
1
và P
2
.
x
P
2
P
1
B
1
A
2
α
B
2
A
1
A
B
Ax
Bx
B
0
M
x
A

1
A
2
B
2
B'
B
1
B''
AB∩P
2
AB∩P
1
ÐLT-AB
ÐLT-AB
a) b)
Hình 1.17 Độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng
Giải: Lấy A
2
B
2
làm một cạnh của góc vuông, vẽ cạnh góc vuông B
2
B' = Z
A
- Z
B
. Ta được
tam giác vuông A
2

B
2
B' bằng tam giác AB
0
B, vậy cạnh huyền A
2
B' = AB và góc ∠B
2
A
2
B'=
∠BAB
0
= α, là góc nghiêng của AB với P
2
.
Tương tự, vẽ tam giác vuông có cạnh là hình chiếu đứng, cạnh còn lại là hiệu độ xa của
hai đầu đoạn thẳng, thì cạnh huyền của tam giác là độ dài thật của nó, góc đối diện với cạnh hiệu
độ xa là góc nghiêng giữa đoạng thẳng với mặt phẳng P
1
.
1.5.3. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
a. Hai đường thẳng cắt nhau
- Trường hợp hai đường thẳng thường: Điều kiện cần và đủ để 2 đường thẳng cắt nhau là hai
hình chiếu đứng của chúng cắt nhau, 2 hình chiếu bằng của chúng cắt nhau và các giao điểm phải
nằm trên đường dóng thẳng đứng.
- Trường hợp có đường thẳng là đường cạnh: Có 2 phương pháp để xác định d có cắt AB tại
giao điểm M hay không:
Phương pháp 1: Dựa vào hình chiếu cạnh (xem M
3

thuộc A
3
B
3
không).
Phương pháp 2: Dựa vào tỷ số đơn của 3 điểm (A
1
M
1
B
1
) và (A
2
M
2
B
2
).
Nếu M thuộc AB thì đường thẳng d cắt đường cạnh AB (hình 1.18a). Nếu M không thuộc
AB, thì d và AB chéo nhau (hình 1.18b)
12
x
M
1
B
1
B
2
A
1

d
1
M*
B*
M
2
A
2
d
2
x
M
1
B
1
B
2
A
1
d
1
M*
B*
M
2
A
2
d
2
M'

2
a) b)
Hình 1.18 Hai đường thẳng cắt nhau
b. Hai đường thẳng song song
- Trường hợp hai đường thẳng thường: Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng song song với
nhau là các hình chiếu cùng tên song song với nhau.
- Trường hợp cả hai đường thẳng là đường cạnh:
Cách 1: Xét hình chiếu cạnh.
Cách 2: Áp dụng tính chất về hình chiếu của hai đoạn thẳng song song.
Cách 3: Xét điều kiện đồng phẳng của hai đường thẳng song song.
c. Hai đường thẳng chéo nhau
Hai đường thẳng chéo nhau là 2 đường thẳng không cắt nhau, cũng không song song với
nhau. Vậy hai đường thẳng chéo nhau thì đồ thức của chúng không thỏa mãn các điều kiện của
hai đường thẳng cắt nhau và song song.
d. Hai đường thẳng vuông góc
Định lý: Hình chiếu của một góc vuông nói chung là một góc vuông.
- Điều kiện để một góc vuông chiếu thẳng góc vẫn là góc vuông là: ít nhất 1 cạnh của góc vuông
song song với mặt phẳng hình chiếu, còn cạnh kia không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu.
- Đồ thức hai đường thẳng vuông góc.
+ Hai đường thẳng vuông góc (cắt nhau hoặc chéo nhau) trong không gian, nếu có một
đường là đường mặt, còn đường kia không phải là đường chiếu đứng thì các hình chiếu đứng của
chúng vuông góc với nhau.
+ Hai đường thẳng vuông góc (cắt nhau hoặc chéo nhau) trong không gian, nếu có một
đường là đường bằng, còn đường kia không phải là đường chiếu bằng thì các hình chiếu bằng
của chúng vuông góc với nhau.
1.5.4. Đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng
a. Đường thẳng thuộc mặt phẳng
Điều kiện để 1 đường thẳng thuộc 1 mặt phẳng là đường thẳng đó phải có 2 điểm thuộc
mặt phẳng hoặc đường thẳng có 1 điểm thuộc mặt phẳng và song song với 1 đường thẳng của
mặt phẳng.

b. Điểm thuộc mặt phẳng.
Điểm A thuộc mặt phẳng α nếu điểm A thuộc một đường thẳng nào đó của mặt phẳng α.
c. Các đường thẳng đặc biệt của mặt phẳng
13
- Đường bằng của mặt phẳng: Đường bằng của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng và
song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P
2
. Như vậy nó có tính chất sau:
+ Hình chiếu đứng song song với trục x.
+ Hình chiếu bằng song song với vết bằng của mặt phẳng.
- Đường mặt của mặt phẳng: Đường mặt của MP là đường thẳng thuộc MP và song song với mặt
phẳng hình chiếu đứng P
1
. Như vậy nó có tính chất sau:
+ Hình chiếu bằng song song với trục x.
+ Hình chiếu đứng song song với vết đứng của mặt phẳng.
1.5.5. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
a. Hai mặt phẳng song song
Hai mặt phẳng song song với nhau là trong mặt phẳng này có 2 đường thẳng cắt nhau
tương ứng song song với 2 đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng kia.
Trường hợp mặt phẳng cho bằng vết: 2 mặt phẳng song song thì các vết tương ứng của
chúng cũng song song với nhau.
Hình 1.19 Hai mặt phẳng song song
b. Hai mặt phẳng cắt nhau
- Trường hợp đặc biệt:
+ Hai mặt phẳng đều là mặt phẳng chiếu đứng hoặc chiếu bằng: Giao tuyến của chúng sẽ
là đường thẳng chiếu đứng hoặc chiếu bằng.
Hình 1.20 Hai mặt phẳng đều là mặt phẳng chiếu đứng hoặc chiếu bằng
+ Một mặt phẳng là mặt phẳng chiếu đứng, một mặt phẳng là mặt phẳng chiếu bằng:
Giao tuyến của 2 mặt phẳng trên có hình chiếu đứng trùng với hình chiếu đứng suy biến

của mặt phẳng chiếu đứng, hình chiếu bằng trùng với hình chiếu bằng suy biến của mặt phẳng
chiếu bằng (hình 1.21a).
x
nα
nβ
mα
mβ
g
2
g
1
x
nP
nR
mP
mR
g
1
g
2
x
nV nR
mR
mV

14
x
z
nB
pV

pB
nV
a) b)
Hình 1.21 Hai mặt phẳng cắt nhau
+ Một mặt phẳng là mặt phẳng chiếu, một mặt phẳng là bất kỳ (hình 1.21b):
Giao tuyến của hai mặt phẳng có một hình chiếu hình chiếu trùng với hình chiếu suy biến
của mặt phẳng chiếu.Hình chiếu còn lại của giao tuyến được xác định theo bài toán đường thẳng
thuộc mặt phẳng.
- Trường hợp bất kỳ:
Để tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng bất kỳ, ta phải tìm được ít nhất 2 điểm chung của 2
mặt phẳng đó (nếu trên đồ thức đã cho chưa có điểm nào chung).
Phương pháp chung là: Dùng “mặt phẳng phụ trợ”.
Nội dung phương pháp:
Bước 1: Dựng 1 mặt phẳng δ (gọi là mp
phụ trợ).
Bước 2: Tìm giao tuyến của mặt phẳng δ
với (P) & (R), được a & b (Gọi là các giao
tuyến phụ).
Bước 3: Tìm giao điểm của các giao tuyến
phụ, được 1 điểm chung thứ nhất Tìm
điểm chung thứ 2 ta làm tương tự như
cách tìm điểm chung thứ nhất.
Nối 2 điểm chung ta có giao tuyến
của 2 mặt phẳng.
1.5.6. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
a. Đường thẳng song song với mặt phẳng
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng song song
với mặt phẳng là đường thẳng đó phải song song với 1
đường thẳng thuộc mặt phẳng.
Từ điều kiện trên, ta thấy: Qua 1 điểm, có thể kẻ

được vô số đường thẳng song song với 1 mặt phẳng
cho trước. Muốn cho đường thẳng được xác định duy
nhất, cần gán thêm cho nó 1 điều kiện nào đó nữa.
b. Đường thẳng cắt mặt phẳng
- Trường hợp đặc biệt:
x
mR
nR
g
1 ≡
g
2 ≡
nP
mP
nP
mP
mR
nR
g
1
N
1
M
1
N
2
M
2
g
2

x
15
a b
b’
a’
1
2
R
δ
δ’
P
Hình 1.22 Phương pháp dùng mặt phẳng phụ trợ
P
d
a
d // a thuộc P d // P
Hình 1.23 Đường thẳng song song
với mặt phẳng
+ Đường thẳng hoặc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu, trường hợp này
theo tính chất của đường thẳng và mặt phẳng chiếu, ta đã biết 1 hình chiếu của giao điểm (áp
dụng tính liên thuộc sẽ tìm được hình chiếu thứ 2 của giao điểm).
+ Đường thẳng là đường thẳng chiếu, mặt phẳng là bất kỳ: Hình chiếu của giao điểm đã
biết trùng với hình chiếu suy biến của đường thẳng chiếu. Dựa theo tính liên thuộc của điểm và
mặt phẳng đề tìm hình chiếu còn lại (Hình 1.24a).
a) b)
Hình 1.24 Trường hợp đặc biệt
+ Mặt phẳng là mặt phẳng chiếu, đường thẳng là bất kỳ: Biết một hình chiếu của giao
điểm là giao giữa hình chiếu suy biến của mặt phẳng chiếu với hình chiếu cùng chỉ số của đường
thẳng. Áp dụng tính liên thuộc của điểm và đường thẳng để tìm hình chiếu còn lại (hình 1.24b).
- Trường hợp bất kì.

Đường thẳng và mặt phẳng đều có vị trí bất kì đối với các mặt phẳng hình chiếu, trường
hợp này cả 2 hình chiếu của giao điểm đều chưa biết. Vậy để tìm giao điểm ta phải dùng phương
pháp mặt phẳng phụ trợ.
- Quy ước thấy khuất:
Quy ước chung: Khi xét thấy khuất, người quan sát đứng ở đằng trước của mặt phẳng P
1
và phía trên của mặt phẳng P
2
để quan sát; các tia quan sát vuông góc với các mặt phẳng hình
chiếu → Như vậy, xem như người quan sát đứng ở xa vô cùng để quan sát. Các mặt phẳng biểu
diễn là các mặt phẳng “đục”, không nhìn xuyên qua được → những điểm nằm ở góc tư I mới
thấy trên đồ thức.
- Xét thấy khuất trên đồ thức dựa vào hai điểm cùng tia chiếu:
a) b)
Hình 1.25 Quy ước thấy khuất trên hình chiếu
+ Xét trên hình chiếu đứng: Xét 2 điểm cùng tia chiếu đứng, điểm nào ở xa hơn sẽ thấy trên
hình chiếu đứng. Trên đồ thức, điểm A
1
che khuất điểm B
1
vì điểm A xa hơn điểm B (hình 1.25a).
K
2
≡
K
1
d
1
d
2

n
α
m
α
x
d
1
d
2
nα
m
α
x
K
2
K
1
x
A
T
1 ≡
B
K
1
A
2
B
2
x
C

1
D
1
C
T
2
≡ D
K
2
16
+ Xét trên hình chiếu bằng: Xét 2 điểm cùng tia chiếu bằng, điểm nào ở cao hơn sẽ thấy trên
hình chiếu bằng. Trên đồ thức, điểm C
2
che khuất điểm D
2
vì điểm C cao hơn điểm D (hình 1.25b).
c. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Định lý: Trong không gian điều kiện để 1 đường thẳng vuông góc với 1 mặt phẳng là nó
vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng đó.
Xét trên đồ thức, điều kiện cần và đủ để một đường thẳng (không phải là đường cạnh)
vuông góc với một mặt phẳng bất kỳ là:
+ Hình chiếu đứng của đường thẳng phải vuông góc với hình chiếu đứng của đường mặt
thuộc mặt phẳng, hay vuông góc với vết đứng của mặt phẳng.
+ Hình chiếu bằng của đường thẳng phải vuông góc với hình chiếu bằng của đường bằng
thuộc mặt phẳng, hay vuông góc với vết bằng của mặt phẳng.
C) TÀI LIỆU HỌC TẬP
1. Nguyễn Đình Điện (2003), Hình học họa hình tập 1, NXB Giáo dục.
2. Nguyễn Đình Điện (2003), Bài tập hình học họa hình tập 1, NXB Giáo dục.
D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN CỦA CHƯƠNG
1. Hãy vẽ đồ thức của các điểm sau:

- Điểm A thuộc mặt phẳng P
1
- Điểm B thuộc mặt phẳng P
2
- Điểm C thuộc mặt phân giác 1-3 - Điểm D thuộc mặt phân giác 2-4
- Điểm E thuộc trục hình chiếu x
2. Cho đồ thức của các điểm F, G, H (như hình 1.26). Hãy vẽ hình chiếu cạnh của chúng và cho
biết chúng thuộc góc phần tư thứ mấy?

x
y
z
F
1
F
2
H
1
H
2
G
1
G
2
y

x
B
2
A

2
A
1
B
1

Hình 1.26 Hình 1.27 Hình 1.28
3. Cho đường thẳng AB (Hình 1.27). Hãy xác định:
a) Vết bằng, vết đứng của đường thẳng AB.
b) Điểm C trên đường thẳng AB có độ cao gấp đôi độ xa.
4. Cho điểm A (A
1
,A
2
) và hình chiếu đứng của điểm B. Hãy vẽ các hình chiếu của đường mặt đi
qua A, B và xác định hình chiếu bằng của điểm B (hình 1.28).
5. Cho hình chiếu bằng h
2
của đường bằng h và hình chiếu đứng A
1
của điểm A thuộc h. Hãy vẽ
hình chiếu đứng h
1
của h và hình chiếu bằng A
2
của A (hình 1.29).
17

Hình 1.29 Hình 1.30
6. Cho mặt phẳng P được xác định bởi hai đường thẳng song song m,n và hình chiếu bằng của

tam giác ABC thuộc P. Hãy vẽ hình chiếu đứng của tam giác ABC (hình 1.30).
7. Cho đồ thức của điểm A và đường mặt f (hình 1.31). Xác định khoảng cách từ A tới đường f.

x
A
1
A
2
f
1
f
2

x
b
2
a
1
b
1
a
2
Hình 1.31 Hình 1.32
9. Xác định các vết đứng và bằng của mặt phẳng
α
(a x b) (hình 1.32).
10. Vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng P và Q cho bởi vết như ở hình 1.33.
18
V
2

P
V
1
Q
x
V
1
Q
V
1
P
Hình 1.33
CHƯƠNG 2
Đường cong, đa diện, mặt cong
Số tiết: 07 (Lý thuyết: 06 tiết; bài tập, thảo luận: 01 tiết)
A) MỤC TIÊU:
Sinh viên cần:
- Biết cách biểu diễn đa diện, điểm thuộc đa diện; biểu diễn mặt cong và điểm thuộc mặt cong.
- Hiểu được những tính chất cơ bản về hình chiếu của đường cong, đa diện và mặt cong, từ đó
biết cách biểu diễn chúng trên đồ thức và vận dụng giải bài toán tìm giao của mặt phẳng, đường
thẳng với đa diện, mặt cong; giao của hai đa diện.
- Rèn luyện khả năng tư duy hình không gian, hình thành tác phong làm việc chính xác, tuân thủ
các bước cơ bản của phương pháp giải một bài toán hình họa.
B) NỘI DUNG:
2.1. Khái quát chung về đường cong, đa diện, mặt cong
2.1.1. Đường cong
a. Định nghĩa
Đường cong là quỹ đạo của điểm chuyển động theo một quy luật nào đó. Ngoài ra đường
cong có thể là giao của hai mặt.
Đường cong có thể là đường cong phẳng hay đường cong ghềnh.

Bậc của đường cong là số giao điểm tối đa
của đường cong với mặt phẳng hoặc là số mũ cao
nhất của đối số trong phương trình đại số biểu diễn
đường cong. Ví dụ: đường elip, đường thân khai,
đường tròn là đường cong bậc 2.
b. Các tính chất về hình chiếu của đường cong
Tính chất 1: Hình chiếu của tiếp tuyến đường
cong phẳng ở một điểm nói chung là tiếp tuyến của
hình chiếu đường cong tại hình chiếu của điểm đó.
Tính chất 2: Hình chiếu của đường cong đại số bậc n là đường cong đại số bậc n (hình
chiếu của elip, parabol, hypebol, đường bậc 3 là elip, parabol, hypebol, đường bậc 3 ).
c. Hình chiếu song song của đường tròn
Hình chiếu song song của đường tròn nói chung là elip.Tâm của elip hình chiếu là hình
chiếu của tâm đường tròn. Hình chiếu của hai đường kính vuông góc của đường tròn là hai
đường kính liên hiệp của elip hình chiếu. Nói chung các đường kính liên hiệp của elip không
vuông góc với nhau. Hai đường kính liên hiệp vuông góc với nhau ta gọi là trục ngắn và trục dài
của elip.
Các trường hợp đặc biệt khác:
- Nếu mặt phẳng của đường tròn song song với mặt phẳng hình chiếu, thì hình chiếu của nó vẫn
là đường tròn.
- Nếu mặt phẳng của đường tròn vuông góc với mặt phẳng hình chiếu thì hình chiếu của nó suy
biến thành đoạn thẳng dài bằng đường kính của đường tròn.
2.1.2. Đa diện
a. Định nghĩa
Đa diện là 1 mặt kín được giới hạn bởi các đa giác phẳng ghép kín với nhau.
19
P
S
t'
t

M'
M
c
c'
N'
N
Hình 2.1 Đường cong
Các đa giác phẳng giới hạn đa diện gọi là các mặt của đa diện. Giao tuyến giữa các mặt
của đa diện gọi là các cạnh. Giao điểm của các cạnh gọi là các đỉnh.
b. Biểu diễn đa diện
Đa diện được biểu diễn bằng hình chiếu của các cạnh, các đỉnh và các mặt của nó. Trên
mỗi hình chiếu cần phân biệt được các mặt bên thấy và khuất.
c. Điểm thuộc đa diện
Điểm thuộc đa diện nghĩa là điểm thuộc các mặt bên, hoặc thuộc các cạnh của đa diện
Ví dụ: Điểm M thuộc đa diện SABC (hình 2.3). Muốn biểu diễn 1 điểm thuộc mặt đa
diện, ta gắn điểm vào đường thẳng đi qua đỉnh đa diện, hoặc gắn vào đường thẳng song song với
cạnh đáy của đa diện.
2.1.3. Mặt cong
a. Định nghĩa
Mặt cong là quỹ tích các vị trí của một đường (đường thẳng hoặc đường cong) chuyển
động theo một quy luật nào đó. Đường chuyển động này gọi là đường sinh của mặt cong, đường
có quy luật là đường chuẩn.
b. Các loại mặt cong
- Mặt nón: Là quỹ đạo của 1 đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định và tựa trên một đường
cong cho trước (hình 2.4).
- Mặt trụ: Là quỹ tích của một đường thẳng chuyển động luôn song song với 1 đường thẳng và
tựa trên một đường cong cho trước. (hình 2.5).
- Mặt xuyến: Là quỹ tích một đường tròn bán kính r quay quanh trục đồng phẳng với nó và cách
tâm một khoảng bằng R.
- Mặt cầu: Là mặt tròn xoay khi quay một đường tròn quanh đường kính của nó tạo ra.

S
2
S
1
A
1
B
1
C
1
C
2
A
2
B
2
x
Hình 2.2 Đa diện
Hình 2.3 Điểm thuộc đa diện
C
M
E
E
1
M
2
E
2
M
1

20
B
1
S
2
s
1
A
2
A
1
B
2
C
2
C
1
S
A
B
x

S

d
Hình 2.4 Mặt nón Hình 2.5 Mặt trụ
c. Biểu diễn mặt cong
Trên đồ thức, mặt cong được biểu diễn bằng hình chiếu của đường tiếp xúc giữa mặt cong
với mặt trụ chiếu, thường là đường sinh và đường chuẩn nằm ngoài cùng, gọi là đường biên.
Phần mặt cong nằm ở phía trước theo hướng chiếu thì thấy, phần ở phía sau theo hướng chiếu

thì khuất.
- Mặt nón: Biểu diễn mặt nón bao gồm hình chiếu của đỉnh nón và đường chuẩn, vẽ đường bao
ngoài và xác định phần thấy và khuất trên từng hình chiếu đó.
- Mặt trụ: Biểu diễn mặt trụ bao gồm hình chiếu của đường chuẩn và hướng đường sinh.
- Mặt cầu: Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của mặt cầu là hai vòng tròn có đường kính bằng
đường kính mặt cầu đã cho. Đó chính là hình chiếu tương ứng của hai vòng tròn lớn thuộc mặt
phẳng mặt và mặt phẳng bằng đi qua tâm cầu.
2.2. Giao của mặt phẳng với đa diện, mặt cong
2.2.1. Giao của mặt phẳng với đa diện
a. Dạng giao
Giao tuyến của mặt phẳng với đa diện là 1 đa giác
phẳng. Các đỉnh của đa giác giao tuyến là giao điểm của mặt
phẳng với các cạnh của đa diện. Các cạnh của đa giác giao là
giao tuyến của mặt phẳng với các mặt bên của đa diện.
b. Cách xác định giao tuyến trên đồ thức
Phương pháp chung:
- Tìm các đỉnh của đa giác giao tuyến.
- Nối các đỉnh sẽ có các cạnh của đa giác giao tuyến.
- Xác định thấy khuất của các cạnh của đa giác giao tuyến trên các hình chiếu.
Ta chỉ nghiên cứu trường hợp đặc biệt: Một hình chiếu của giao tuyến đã biết hoặc mặt
phẳng hoặc đa diện là lăng trụ vuông góc với 1 mặt phẳng hình chiếu. Trường hợp này, áp dụng
bài toán điểm thuộc đa diện hoặc bài toán điểm thuộc mặt phẳng, ta sẽ tìm được hình chiếu thứ 2
của giao.
2.2.2. Giao của mặt phẳng với mặt cong
a. Dạng giao tuyến
- Dạng giao tuyến của mặt phẳng với mặt trụ: Ta chỉ xét trường hợp giao của mặt phẳng với mặt
trụ tròn xoay.
+ Là đường tròn nếu mặt phẳng vuông góc với trục mặt trụ.
+ Là elip nếu mặt phẳng xiên góc với trục 1 góc θ < 90
0

.
+ Là một hoặc hai đường sinh nếu mặt phẳng song song với trục của mặt trụ.
α// đường sinh α
⊥
đường sinh α x đường sinh
21
P
1
2
3
s
A
B
C
Hình 2.7 Giao của mặt phẳng
với đa diện
a) α x trụ là đường thẳng b) α x trụ là đường tròn c) α x trụ là elip
Hình 2.8 Giao của mặt phẳng với mặt trụ
- Dạng giao tuyến của mặt phẳng với mặt nón: Xét các vị trí khác nhau của mặt phẳng với nón
tròn xoay:
+ Là đường tròn nếu mặt phẳng
α
vuông góc với trục nón.
+ Là elip nếu mặt phẳng
α
cắt tất cả đường sinh nón.
+ Là một hoặc hai đường sinh nếu mặt phẳng
α
qua đỉnh nón và chứa 1 hoặc 2 đường sinh nón.
+ Là parabol nếu mặt phẳng

α
song song với 1 đường sinh nón.
+ Là hypebol nếu mặt phẳng
α
song song với 2 đường sinh nón.
- Giao tuyến của mặt phẳng với mặt cầu: Giao tuyến của mặt phẳng với mặt cầu là 1 đường tròn.
- Giao tuyến của mặt phẳng với mặt xuyến: Giao tuyến nói chung là đường cong bậc 4.
b. Cách xác định giao tuyến trên đồ thức
Ta chỉ xét các trường hợp đặc biệt, một hình chiếu của giao tuyến đã biết. Đó là trường
hợp có một đối tượng là mặt phẳng chiếu hoặc mặt trụ chiếu.
- Giao của mặt phẳng chiếu và mặt cong: Giao của mặt phẳng chiếu với mặt cong có một hình
chiếu suy biến trùng với hình chiếu suy biến của mặt phẳng. Từ hình chiếu đã biết,tìm hình chiếu
còn lại theo bài toán vẽ điểm thuộc mặt cong.Trình tự vẽ hình chiếu thứ 2 của giao tuyến:
+ Xác định dạng hình chiếu của giao tuyến
+ Tìm hình chiếu của một số điểm cần thiết thuộc giao tuyến như: Các điểm giới hạn thấy
khuất (nếu có); điểm cao nhất, thấp nhất; điểm xa nhất, gần nhất… Các điểm xác định dạng
đường cong trên hình chiếu.
α
α
α
22
+ Nối các điểm đã tìm được và xét thấy khuất.
Ví dụ: Vẽ giao tuyến của mặt phẳng chiếu đứng (
α
) và mặt trụ xiên (hình 2.9).
Giải:
- Mặt phẳng cắt trụ theo giao tuyến là elip.
- Hình chiếu đứng của giao là đoạn thẳng 1
1
4

1
nằm trên
1
α
.
- Xác đinh hình chiếu bằng của giao:
+ Xác định hình chiếu bằng của các điểm 1, 2, 3, 4, 5, 6.
+ Với 2
2
, 5
2
là các điểm giới hạn thấy khuất trên hình chiếu bằng.
+ Nối các điểm tìm được, ta được elip chiếu bằng.
- Giao của mặt phẳng bất kỳ và mặt trụ chiếu:
Giao tuyến có một hình chiếu đã biết trùng với hình chiếu suy biến của trụ chiếu.Từ hình
chiếu đã biết tìm được hình chiếu còn lại dựa vào bài toán 1 và 2.
Ví dụ: Vẽ giao tuyến của mặt phẳng
α
(n
α
, m
α
) và trụ chiếu bằng
Giải: Giao tuyến là một elip (hình 2.10).
- Hình chiếu bằng của giao suy biến thành đường tròn, trùng với hình chiếu bằng của mặt trụ.
- Hình chiếu đứng của giao là elip, được xác định bằng cách gắn các điểm cần xác định vào các
đường thẳng thuộc
α
(đường 1
3

là trục dài, đường 2
4
là trục ngắn của elip).
2.3. Giao của đường thẳng với đa diện, mặt cong
2.3.1. Giao của đường thẳng với đa diện
Giao của đường thẳng với đa diện là điểm vừa
thuộc đa diện vừa thuộc đường thẳng. Việc tìm giao của
đường thẳng với đa diện được qui về bài toán tìm giao
của đường thẳng với các mặt hoặc các cạnh của đa diện.
Phương pháp chung:
Bước 1: Qua đường thẳng dựng mặt phẳng phụ trợ.
O
1
O
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
1
1
2

1
3
1
4
1
5
1
≡6
1
n
α
≡
α
1
O'
1
O'
2
x
Hình 2.9 Giao tuyến của mặt phẳng chiếu
đứng và mặt trụ xiên
x
1
2
4
2
O
2
n
α

m
α
2
2
3
2
M
2
1
1
2
1
3
1
4
1
M
1
O
1
N
2
N
1
Hình 2.10 Giao tuyến của mặt phẳng (nα,
mα) và trụ chiếu bằng
23
E
F
m

a
b
c
σ
Bước 2: Vẽ giao tuyến phụ của mặt phẳng phụ trợ với đa diện.
Bước 3: Tìm giao của đường thẳng với giao tuyến phụ vừa tìm được.
Trường hợp đặc biệt: Đường thẳng hoặc lăng trụ hoặc mặt trụ vuông góc với mặt phẳng
hình chiếu. Một hình chiếu của giao điểm đã biết trùng với hình chiếu suy biến của đường thẳng
chiếu hoặc lăng trụ hoặc mặt trụ, áp dụng tính liên thuộc của các yếu tố hình học tìm hình chiếu
còn lại.
Ví dụ: Tìm giao điểm của đường thẳng t với đa diện? (hình 2.12).
Giải:
- t là đường thẳng chiếu bằng → hình chiếu bằng của
giao điểm đã biết.
- Gọi giao điểm của đường thẳng t với đa diện là 1 và
2 → 1
2
≡ 2
2
≡ t
2

- Tìm hình chiếu đứng của giao điểm: → gắn điểm 1
và 2 vào mặt bên của đa diện
- Xác định thấy khuất:
+ Điểm 1
1
∈ mặt SAC → khuất .
+ Điểm 2
1

∈ mặt SBC → thấy .
Thấy khuất của đường thẳng t như trên hình vẽ.
2.3.2. Giao của đường thẳng với mặt cong
Trường hợp này chưa có hình chiếu nào của
giao điểm đã biết ta phải dùng phương pháp mặt phẳng
phụ trợ.
Phương pháp chung:
Bước 1: Dựng mặt phẳng phụ trợ (σ) qua đường m.
Bước 2: Tìm giao phụ c của mặt phẳng (σ) với mặt Ф
Bước 3: Giao của đường thẳng m và giao phụ c được
là giao cần tìm.
Chú ý:
- Mặt phẳng phụ trợ (σ) phải chọn sao cho dễ tìm giao
phụ nhất.
- Nếu là Ф đa diện, thường chọn (σ) là các mặt phẳng
chiếu chứa đường thẳng.
- Nếu Ф là lăng trụ hay trụ, thường chọn (σ) là mặt
phẳng song song với đường sinh trụ hoặc lăng trụ.
- Nếu Ф là tháp hay nón, thường chọn (σ) là mặt
phẳng đi qua đỉnh nón hoặc tháp.
- Khi xác định được giao điểm thì phải xét thấy khuất.
2.4. Giao của hai đa diện
2.4.1. Dạng của giao
24
σ
m
c
E
F
Φ

Hình 2.13 Giao của đường thẳng
với mặt cong
Hình 2.11 Giao của đường thẳng
với đa diện
1
1
2
1
t
1
t
2
1
2
≡
2
2
≡
C
1
A
1
S
1
B
1
S
2
A
2

B
2
C
2
x
Hình 2.12 Giao của đường thẳng
với đa diện
- Giao tuyến là 1 hay 2 đường gãy khúc ghềnh khép kín
+ Các điểm gãy: là giao điểm của các cạnh của đa diện này với các mặt bên của đa diện
kia và ngược lại
+ Các đoạn thẳng giao tuyến: là giao tuyến của hai mặt bên của 2 đa diện
- Hai mặt cắt nhau theo 1 hay 2 đường tuỳ theo chúng cắt nhau hoàn toàn (2 đường) hay không
hoàn toàn (1 đường).
+ Nếu cả hai mặt đa diện đều có cạnh không tham gia vào giao (không cắt đa diện kia) thì
giao là 1 đường gãy khúc → trường hợp giao không hoàn toàn
+ Nếu tất cả các cạnh của 1 đa diện đều cắt đa diện kia thì giao là 2 đường gãy khúc →
trường hợp giao hoàn toàn
Hình 2.14 Giao là một đường gãy khúc Hình 2.15 Giao là hai đường gãy khúc
2.4.2. Phương pháp tìm giao của hai đa diện
Chỉ xét trường hợp đặc biệt: Biết 1 hình chiếu của giao tuyến.
Nội dung phương pháp:
- Xác định hình chiếu đã biết, số lượng đường giao tuyến.
- Xác định số điểm gãy.
- áp dụng bài toán điểm thuộc đa diện, tìm hình chiếu
thứ hai của các điểm gãy.
- Nối các điểm gãy theo các nguyên tắc nhất định.
- Xét thấy khuất của giao tuyến.
- Xét thấy khuất của hai đa diện so với nhau (thấy
khuất toàn hình).
Ví dụ: Tìm giao tuyến của 2 đa diện, xét thấy khuất?

(hình 2.16)
Giải:
- Nhận xét:
+ Lăng trụ abc là lăng trụ chiếu bằng → hình
chiếu bằng của giao tuyến đã biết
+ Từ hình chiếu bằng suy biến của giao tuyến:
ta biết giao của 2 đa diện là 1 đường gãy khúc khép
kín, có 6 điểm gãy.
- Cách tìm hình chiếu đứng:
1
2
3
4
5
6
a
b
c
n
m
k
1
2
3
5
6
7
8
4
a

c
b
m
k
n
25
1
2
2
2
3
2
4
2
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
x
k
1
n

1
m
1
n
2
k
2
m
2
b
2
a
2
c
2
5
2≡
6
2
≡
a
1
b
1
c
1
Hình 2.16 Giao của hai đa diện