TÓM TẮT CÔNG THỨC CHƯƠNG HÌNH CẦU

CHUYÊN ĐỀ 10: HÌNH CẦU
TÓM TẮT CÔNG THỨC
(1) Phương trình mặt cầu
1) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c) bán kính R là
(x – a)
2
+ (y – b)
2
+ (z – c)
2
= R
2

2) Dạng tổng quát của phương trình mặt cầu là
x
2
+ y
2
+ z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0
sẽ có tâm I(a, b, c) bán kính R =
222
abcd
+
+−
nếu ta có điều kiện
a
2

+ b
2
+ c
2
– d > 0
3) Điều kiện tiếp xúc giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có tâm I bán kính R là khoảng
cách từ I đến (P) bằng bán kính R.
Ví dụ 1:
Lập phương trình mặt cầu có tâm I(2, 3, –1) cắt đường thẳng (d)

54320
34 80
xyz
xyz
−++=
⎧
⎨
−+−=
⎩
0
tại hai điểm A và B sao cho AB = 16
Giải
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và vuông góc đường thẳng (d). Ta có phương trình tham số đường
(d) là

14
12
22
xt
yt

zt
=−
⎧
⎪
⎪
=−
⎨
⎪
=−
⎪
⎩
5

Gọi (P) là mặt phẳng qua I(2, 3, –1) và vuông góc đường thẳng (d) nên có pháp vectơ là
a
G
=
1
1, , 1
2
⎛
−
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
. Vậy phương trình (P) viết
(x – 2) +
1
2

(y – 3) - (z + 1) = 0
⇔
2x + y – 2z – 9 = 0
Giao điểm K giữa (d) và (P) có tọa độ
(
t – 14,
1
2
t –
25
2
, –t
)
thỏa phương trình (P). Vậy ta có

1
2(t – 14) +
(
1
2
t –
25
2
)
+2t – 9 = 0
Suy ra t = 11. Vậy ta có K (–3, –7, –11).
Khoảng cách từ I đến (d) là IK = 25 100 100++ = 15
Do đó bán kính mặt cầu là R =
2
2

4
A
B
IK + = 225 64+
Nên phương trình mặt cầu viết là :
(x – 2)
2
+ (y – 3)
2
+ (z + 1)
2
= 289
Ví dụ 2:
Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d)

24 70
4 5 14 0
xyz
xyz
+−−=
⎧
⎨
++−=
⎩
và tiếp xúc với hai mặt phẳng có phương trình
(P) : x + 2y – 2z – 2 = 0 ; (Q) : x + 2y – 2z + 4 = 0
Giải
Ta có (P) // (Q) nên khi gọi A, B là giao điểm của (d) với (P) và (Q) thì tâm I mặt cầu tiếp xúc
với (P) và (Q) phải là trung điểm đoạn AB và bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ I đến (P).
Ta có tọa độ A là nghiệm của hệ

A(2, 1, 1)
24 70
45 14
2220
xyz
xyz
xyz
+−−=
⎧
⎪
++−=
⎨
⎪
+−−=
⎩
0
0
⇒
Ta có tọa độ B là nghiệm của hệ
B(–4, 5, 5)
24 70
45 14
2240
xyz
xyz
xyz
+−−=
⎧
⎪
++−=

⎨
⎪
+−+=
⎩
⇒
Vậy tâm mặt cầu là I(–1, 3, 3) và bán kính R = 1
Nên phương trình mặt cầu viết thành
(x + 1)
2
+ (y – 3)
2
+ (z – 3)
2
= 1.
Ví dụ 3 ( ĐH KHỐI D –2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm
A (2; 0; 1); B(1;0;0); C (1; 1; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3
điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
Giải

2
Cách 1: x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2ax + 2by + 2cz + d = 0. Mặt cầu qua A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P)
nên ta có:
⇔
++=−

⎧
⎪
+=−
⎪
⎨
+++=−
⎪
⎪
++=−
⎩
4a 2c d 5
2a d 1
2a 2b 2c d 3
abc 2
=−
⎧
⎪
=
⎪
⎨
=−
⎪
⎪
=
⎩
a1
b0
c1
d1
⇔ x

2
+ y
2
+ z
2
– 2x – 2z + 1 = 0
Cách 2: Gọi I(x; y; z) là tâm mặt cầu
Giả thiết cho:
22
IA IB IC
I(P)
⎧
==
⎪
⎨
∈
⎪
⎩
2
2

⇔
⎧
−++−=−++
⎪
⎪
−++=−+−+−
⎨
⎪
++−=

⎪
⎩
22 2 222
222 2 2
(x 2) y (z 1) (x 1) y z
(x 1)
y
z(x1)(
y
1) (z 1)
xyz20


⇔ ⇔ ⇒ I (1; 0; 1)
+−=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪
++−=
⎩
2x 2z 4 0
yz1
xyz20
x1
y0
z1
=
⎧

⎪
=
⎨
⎪
=
⎩
Bán kính R = IB = 1
Suy ra phương trình mặt cầu: (x – 1)
2
+ y
2
+ (z –1)
2
=1
Ví dụ4 ( Đề Dự Trữ KHỐI D -2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho đường
thẳng d : và mặt cầu
⎩
⎨
⎧
=−−+
=+−−
04z2y2x
01zy2x2
(S) : x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4x – 6y + m = 0. Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho khoảng

cách giữa hai điểm đó bằng 9.
Giải
Phương trình mặt cầu (S) : (x + 2)
2
+ (y – 3)
2
+ z
2
= 13 – m
ĐK : m < 13
(S) có tâm I(−2; 3; 0), R = 13 m− .
Vì MN = 9
⇒ HM = HN =
9
2
(IH ⊥ MN)
(d) cho x = 0
⇒ ⇒
2y z 1 0
2y 2z 4 0
−−+=
⎧
⎨
−−=
⎩
y1
z1
=
⎧
⎨

=
−
⎩
⇒ A(0; 1; −1)
(d) có
⇒ = 3(2; 1; 2)
1
2
n (2, 2, 1)
n(1,2,2)
→
→
⎡
=−−
⎢
⎢
=−
⎢
⎣
a
→

A
I
⎯
→
= (−2; 2; 1), [
A
I
⎯

→
, ] = (9; 18; − 18) = 9(1; 2; − 2) a
→
IH = d(I, d) =
⎯→ →
→
⏐
⏐++
==
++
⏐⏐
[AI,a] 9 1 4 4
3
34 1 4
a
.

Δ vuông IHN ta có :
IM
2
= IH
2
+ HN
2
⇔13 – m = 9 +
81 117
44
=

3
⇔ m =
65
4
−
.
Ví dụ 5 ( ĐỀ DỰ TRỮ KHỐI D -2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng
(P) : 2x + 2y + z – m
2
– 3m = 0 (m là tham số) và mặt cầu
(S) : (x – 1)
2
+ (y + 1)
2
+ (z – 1)
2
= 9
Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với m tìm được hãy xác đònh tọa độ tiếp điểm của mặt
phẳng (P) và mặt cầu (S).
Giải
Mặt cầu (S) có tâm I(1; −1; 1), bán kính R = 3.
Mặt phẳng P tiếp xúc với (S) ⇔ d(I: P) = R
⇔
1443m3m122
2
++=−−+−


⇔ m
2

+ 3m – 1 = 9 hay m
2
+ 3m – 1 = −9

⇔ m
2
+ 3m – 10 = 0 hay m
2
+ 3m + 8 = 0 (VN)
⇔ m = −5 hay m = 2 ⇒ (P) : 2x + 2y + z – 10 = 0
Phương trình đường thẳng Δ qua I và ⊥ (P) :
x12t
y12
z1t
=+
⎧
⎪
Δ=−+
⎨
⎪
=+
⎩
t
Thế vào phương trình mp (P)

⇒ 2(1 + 2t) + 2(−1 + 2t) + 1 + t – 10 = 0 ⇒ t = 1

⇒ Tiếp điểm M của P và (S) là M(3; 1; 2).
Cách khác IM
2

= 9 ⇔ 4t
2
+ 4t
2
+ t
2
= 9 ⇒ t =
±
1

⇒ M(3; 1; 2) hay M(-1; -3; 0).Vì M∈ P ⇒ M(3; 1; 2)
PHẠM HỒNG DANH-TRẦN MINH QUANG –TRẦN VĂN TOÀN
( TRUNG TÂM LUYỆN THI CLC VĨNH VIỄN )











4