Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 2 :
Phương Trình Lượng Giác
Cơ Bản
Bài 2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
Phương trình có một trong các dạng:
sinx = m, cosx = m, tanx = m, cotx = m được gọi là ptlg cơ bản.
Trong đó x là ẩn số ( x) và m là một số cho trước

1. Phương trình sinx = m
a) Xét phương trình : sinx =
sin = =>x = là một nghiệm của
phương trình sinx =
sin(OA, OM
1
) = sin(OA, OM
2
) =
(OA, OM
1
) = + k2 (k
(OA, OM
2
) = + k2 (k
Vậy:
sinx = <=> (k)

trụcsin
Bài 2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
b) Công thức nghiệm của phương trình sinx = m
Nếu là một nghiệm của pt sinx = m, tức là sin = m thì
sinx = m sinx = sin


Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
a) sinx = ; b) sinx = - ; c) sinx = ; d) sinx =
Giải
b) Vì = sin nên ta có:

sinx = <=>sinx = sin

<=>

<=> (k

Nhận xét: Phương trình vô nghiệm khi m>1 hoặc m <-1
Phương trình luôn có nghiệm khi

Bài 2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
b) Công thức nghiệm của phương trình sinx = m
Nếu là một nghiệm của pt sinx = m, tức là sin = m thì
sinx = m sinx = sin

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a) sinx = ; b) sinx = - ; c) sinx = ; d) sinx =
Giải
b) Vì - = - sin

sinx = <=>sinx = sin

<=>

<=> (k


= sin(- )nên ta có:

Bài 2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
b) Công thức nghiệm của phương trình sinx = m
Nếu là một nghiệm của pt sinx = m, tức là sin = m thì
sinx = m sinx = sin

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a) sinx = ; b) sinx = - ; c) sinx = ; d) sinx =
Giải
c) Vì < 1 nên tồn tại số để sin = . Do đó ta có

sinx = <=>sinx = sin

<=> (k

d) > 1 nên phương trình sinx = vô nghiệm

Bài 2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
Chú ý:
1) Đặc biệt, khi m thì công thức nghiệm được viết gọn như sau:
•)
sinx = 1 <=> x = + k2
•)
sinx = -1<=> x = - + k2
•)
sinx = 0 <=>x = k

Bài 2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

2) Nếu m thì công thức nghiệm của phương trình sinx = m có thể được viết như sau:
sinx = m

sinx =

<=>(k

Chẳng hạn:
arcsinm (đọc là ác-sin m).
Bài 2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
3) sin = sin

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
a) sin(2x - ) = sin
Giải
sin(2x - ) = sin





Bài 2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
3) sin = sin

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
b) sin2x = sin
Giải
sin2x = sinx





Bài 2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
2.Phương trình cosx = m
a) Xét phương trình : cosx =
cos = => x = là một nghiệm của
Phương trình cosx =
cos(OA, OM
1
) = cos(OA, OM
2
) =
(OA, OM
1
) = + k2 (k
(OA, OM
2
) = + k2 (k
Vậy:
cosx = <=> (k)

côsin
Bài 2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
b) Công thức nghiệm của phương trình cosx = m
Nếu là một nghiệm của pt cosx = m, tức là c = m thì
cosx = m cosx = cos

Ví dụ 3. Giải phương trình : cosx = -
Giải


cosx = - <=>cosx = cos

<=>

Nhận xét: Phương trình vô nghiệm khi m>1 hoặc m <-1
Phương trình luôn có nghiệm khi

a) Vì - = - cos
 = cos(- )

= cos nên ta có: 
Bài 2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
Chú ý:
1) Đặc biệt, khi m thì công thức nghiệm được viết gọn như sau:
•)
cosx = 1
•)
cosx = -1
•)
cosx = 0

<=> x = k2

<=> x =+ k2

<=> x = + k

Bài 2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
2) Nếu m thì công thức nghiệm của phương trình cosx = m có thể được viết như sau:
cosx = m


arccosm (đọc là ác-côsin m).
3) c = c

Ví dụ 4. Giải phương trình: cos(2x + 1) = cos(2x – 1)
Giải
cos(2x + 1) = cos(2x – 1)



Bài 2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
3.Phương trình tanx = m
m= = tan(OA, OM
1
)
= tan(OA, OM
2
)
(OA, OM
1
) = + k2 (k
(OA, OM
2
) = + + k2 (k
Vậy:
tanx = m <=>

<=>

<=>


Trụctan
Nếu là một nghiệm của pt tanx = m, tức là t = m thì
tanx = m tanx = tan

Bài 2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
Nếu là một nghiệm của pt tanx = m, tức là t = m thì
tanx = m tanx = tan

Ví dụ 5. Giải phương trình: a) tanx = , b) tan
Giải

a) tanx =

tanx = tan


b) Gọi là một số sao cho tan= ,tacó:
tan

<=> tan

<=>

<=>

Bài 2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
Chú ý:
1) tanx = m <=> x = arctanm + k
2) tan= tan<=> = + k


Ví dụ 6. Giải phương trình: tan2x = tan
Giải

 2x = 
tan2x = tan
 x = 
Bài 2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
4.Phương trình cotx = m
Nếu là một nghiệm của pt cotx = m, tức là c = m thì
cotx = m cotx = c

Chú ý:
1) cotx = m <=> x = arctanm + k
2) c= c<=> = + k

Ví dụ 6. Giải phương trình: a) cotx = , b) c
c) cot
Giải

a) cotx =

<=>cotx =

<=> x = +k

b) cot3x =
 <=> 3x =+k
<=> x =+
Bài 2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

c) cot
Nếu là một nghiệm của pt cotx = m, tức là c = m thì
cotx = m cotx = c

<=>cot)
<=>+

<=>+
<=>+
<=>+
<=>+
Bài 2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
5.Một số điều cần lưu :
a) arcsinm, arccosm (-1 m arctanm được tính bằng máy tính bỏ túi với các phím sin
-1
,cos
-1
,tan
-1
.

b) arcsinm, arccosm (-1 m arctanm và arccotanm là những số thực. Do đó ta viết, chẳng hạn arctan1 =
mà không viết arctan1 =
0

c) Đôi khi ta còn gặp những bài toán yêu cầu tìm số đo độ của các góc (cung) lượng giác sao cho sin
(côsin, tang hoặc côtang) của chúng bằng số m cho trước chẳng hạn:
sin(x + 20
0
) = .Khi giải các phương trình này ta áp dụng các công thức nêu trên và sử dụng kí hiệu số đo

độ trong “công thức nghiệm” cho thống nhất, chẳng hạn viết x = 30
0
+ k360
0
chứ không viết x = 30
0
+ k2

Bài 2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
5.Một số điều cần lưu :
c) Ta quy ước rằng nếu không có giải thích gì thêm hoặc trong ptlg không sử dụng đơn vị đo góc là độ
thì mặc nhiên ẩn số là số đo rađian của góc lượng giác
Ví dụ 7. Giải phương trình: a) cos(3x – 15
0
) = ,
b) t
0
Giải

GTLG
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0

Góc
1
2
0
sin
cos
tan
cot
2
2
3
2
1
1
3
2
2
2
1
2
0
0
1
3
1
3
||
||
3
1

1
3
0

0



Bảng giá trị lượng giác của một số góc(cung) đặc biệt