Bài 11. Phương pháp quy nạp toán học

DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG
VÀ CẤP SỐ NHÂN
11A
11A
Ch¬ng: III
Trong chương này chúng ta sẽ
nghiên cứu về một phương pháp
chứng minh nhiều khẳng định trong
toán học liên quan tập hợp số tự
nhiên đó là “ Phép quy nạp toán học.”
Tiếp đó chúng ta sẽ nghiên cứu về
“dãy số” và cuối cung các em sẽ
được tìm hiểu một số vấn đề xung
quanh 2 dãy số đặc biệt là “cấp số
cộng” và “cấp số nhân.”
Tiết 37: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP
TOÁN HỌC
Xét 2 mệnh đề chứa biến
a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
b. Với mọi thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
( ) :"3 3 1"& ( ) :"2 ", *
n n
P n n Q n n n
> + > ∈
¥
*n
∈
¥
Trả lời:
a. P(n) Q(n)

n ? 3n+1
1
2
3
4
5
3
n
n ? n
1
2
3
4
5
2
n
b. Với mọi P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định
chắc chắn là đúng hay sai.
*n
∈
¥
3
9
27
81
243
4
7
10
13

16
<
>
>
>
>
2
8
16
32 5
4
3
2
1
4
>
>
>
>
>
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
S

Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
1. Phương pháp qui nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi ta thực hiện theo các
bước sau:
*n
∈
¥
1n k= ≥
B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1
B2: Giả sử mệnh đề đúng với (Giả thiết qui nạp-GTQN)
Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1
2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ1
Ví dụ1
: Chứng minh rằng với mọi n
: Chứng minh rằng với mọi n
∈
∈
N*, ta có:
N*, ta có:
( 1)
1 2 3 (1)
2
n n
n
+
+ + + + =
Ví dụ1
Ví dụ1

: Chứng minh rằng với mọi n
: Chứng minh rằng với mọi n
∈
∈
N*, ta có:
N*, ta có:
( 1)
1 2 3 (1)
2
n n
n
+
+ + + + =
Lời giải:
+) Với n = 1, ta có ,đẳng thức (1) đúng.
1(1 1)
VT(1) 1 VP(1)
2
+
= = =
+) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là (GTQN)
( 1)
1 2 3
2
k k
k
+
+ + + + =
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:
( 1)[( 1) 1]

1 2 3 ( 1) (2)
2
k k
k k
+ + +
+ + + + + + =
Thật vậy:
(2) (1 2 3 ) ( 1)VT k k= + + + + + +
( 1)
( 1)
2
k k
k
+
= + +
[ ]
( 1) ( 1) 1
2
k k+ + +
=
(2)VP
=
Vậy với mọi n ∈N*, ta có:
( 1)
1 2 3 (1)
2
n n
n
+
+ + + + =

Xét 2 mệnh đề chứa biến
a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
b. Với mọi thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
*n ∈¥
Trả lời:
a. P(n)
n ? 3n+1
1
2
3
4
5
3
n
b. Với mọi P(n) sai;
*n ∈¥
3
9
27
81
243
4
7
10
13
16
<
>
>
>

>
c.
( ):"3 3 1"& ( ) :"2 ", *
n n
P n n Q n n n
> + > ∈
¥
2, : 3 3 1
n
n n N n≥ ∀ ∈ > +cã
c. Dự đoán kết quả tổng quát của P(n)
§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
1. Phương pháp qui nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi ta thực hiện theo các
bước sau:
*n ∈¥
1n k= ≥
B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1
B2: Giả sử mệnh đề đúng với (Giả thiết qui nạp-GTQN)
Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1
2. Ví dụ áp dụng:
Chú ý: (SGK- 82)
HOẠT ĐỘNG NHÓM
HOẠT ĐỘNG NHÓM
: 2, : 3 3 1
n
n n N n≥ ∀ ∈ > +CMR cã
2
:1.4 2.7 (3 1) ( 1)n n n n+ + + + = +CMR
: * 13 1 6

n
n
n N u∀ ∈ = − MCMR cã
( )
* 2
: 1.4 2.7 (3 1) ( 1) 1n n n n n
∀ ∈ + + + + = +
¥CMR

Với n = 1, ta có VT(1) = 1.(3.1+1) =4 = 1.(1+1)
2
=VP(1), đẳng thức đúng

Giả sử đẳng thức đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:
2
1.4 2.7 (3 1) ( 1)k k k k+ + + + = +
Ta phải chứng minh đúng với n = k+ 1, tức là :
[ ] [ ]
( )
2
1.4 2.7 (3 1) ( 1) 3( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 2k k k k k k+ + + + + + + + = + + +
Thật vậy:
[ ]
(2) [1.4 2.7 (3 1)] ( 1) 3( 1) 1VT k k k k= + + + + + + + +
[ ]
2
( 1) ( 1) 3( 1) 1k k k k= + + + + +
( 1)[ ( 1) 3 4]k k k k= + + + +
2
( 1)( 4 4)k k k= + + +

2
( 1)( 2)k k= + +
(2)VP=
(GTQN)
Vậy với mọi n ∈N*, ta có:
( )
2
1.4 2.7 (3 1) ( 1) 1n n n n
+ + + + = +
2
( 1)( 2)k k= + +
: * 13 1 6 (2)
n
n
n N u∀ ∈ = − MCMR cã
1
1
13 1 12 6u = − = M
1
1
13 1 6
k
k
u
+
+
= − M

Với n = 1 ta có: (Mệnh đề (2) đúng)


Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:
Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k+ 1, tức là :
Thật vậy:
13 1 6
k
k
u = − M
1
1
13 1 13.13 1
k k
k
u
+
+
= − = −
13(13 1) 12
k
= − +
13 12 6
k
u
= +
M
Vậy với mọi n ∈N*, ta có:
13 1 6
n
n
u = − M
3 3 1

k
k
> +
( )
: 2, : 3 3 1 3
n
n n N n≥ ∀ ∈ > +CMR cã

Với n = 2, ta có VT(1) = 9 > 7 = VP(1), bất đẳng thức (3) đúng

Giả sử bất đẳng thức (3) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:
Ta phải chứng minh bđt đúng với n = k+ 1, tức là :
Thật vậy: theo giả thiết qui nạp có:
1
3 3( 1) 1
k
k
+
> + +
1
3 3 1 3 3(3 1)
k k
k k
+
> + ⇔ > +
1
3 9 3
k
k
+

⇔ > +
1
3 3 4 6 1
k
k k
+
⇔ > + + −
1
6 1 0 : 3 3 4
k
k k
+
− > > +
V × nª n
Vậy:
2, : 3 3 1
n
n n N n≥ ∀ ∈ > +cã