Bài tập và cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Bài 1 :PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
A/ LÝ THUYẾT :
Để chứng minh mệnh đề p(n) đúng với mọi số tự nhiên n
≥
p (p là một số tự nhiên )
thì ta làm như sau :
Bước 1 : Ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p ;
Bước 2 : Ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n=k (k
≥
p) và ta phải
chứng minh rằng nó cũng đúng với n=k+1 .
B/ BÀI TẬP :
Bài 1 : Cmr với n
∈
N* ,ta có :
a) 2 + 5 + 8 + ………….+ 3n-1 =
(3 1)
2
n n +
;
b)
1 1 1 1 2 1
;
2 4 8 2 2
n
n n
−
+ + + + =
c)
2 2 2 2
( 1)(2 1)

1 2 3 ;
6
n n n
n
+ +
+ + + + =

Bài 2: Cmr với n
∗
∈Ν
, ta có :
a)
3 2
3 5n n n+ +
chia hết cho 3 ;
b)
4 15 1
n
n+ −
chia hết cho 9 ;
c)
3
11n n+
chia hết cho 6 ;
Bài 3 : Cmr với mọi số tự nhiên n
≥
2 ,ta có các bất đẳng thức :
a)
3
n

>3n+1 ;
b)
1
2
n+
>2n+3 .
Bài 4 : Cho tổng
s s s
S
n
=
1 1 1

1.2 2.3 ( 1)n n
+ + +
+
với n
∗
∈Ν
.
a) Tính S
1
,

S
2
,

S
3

.
b) Dự đoán công thức tính tổng S
n
và chứng minh bằng quy nạp .
Bài 5 : cmr với n
∗
∈Ν
, ta có :
a) 3+9+27+…….+3
n

=
1
1
(3 3)
2
n+
−
.
b)
2
2 2 2 2
(4 1)
1 3 5 (2 1) ;
3
n n
n
−
+ + + + − =
c)

2 2
3 3 3 3
( 1)
1 2 3 .
4
n n
n
+
+ + + + =
d) 1.2+2.5+………… +n(3n-1) =n
2
(n+1) ;
Bài 6 : Cmr với n
∗
∈Ν
,ta có :
a)
3 2
2 3n n n− +
chia hết cho 6 ;
b)
1 2 1
11 12
n n+ −
+
chia hết cho 133 ;
Bài 7 : Cho tổng :
S
n
=

1 1 1 1
.
1.5 5.9 9.13 (4 3)(4 1)n n
+ + + +
− +
a) Tính
1 2 3 4
, , , ;s s s s
b) Dự đoán công thức tính S
n
và chứng minh bằng phương pháp quy nạp .