Bài tập về giới hạn của dãy số

B I T PÀ Ậ
B I T PÀ Ậ
bµi T P Ậ
bµi T P Ậ
B i s 1à ố
B i s 1à ố
SAI ĐÚNG
Dãy số q, q
2
, q
3
,…….q
n
… có giới hạn 0 nếu < 1
8
Dãy số ( an) = {1, ,………… } có giới hạn bằng 0
7
Lim = 0
6
Dãy số (U
n
) với U
n
= m có giới hạn bằng 0
5
Lim = 9
4
lim
3
Dãy số (Un)có giới hạn là 0 khi và chỉ khi dãy số ( trò tuyệt

đối của (Un) có giới hạn 0
2
Ta nói dãy số ( Un) có giới hạn là 0 nếu m số hạng của dãy số
đều có giá trò tuyệt đối nhỏ hơn một số dư ng nhỏ tuỳ ý cho ơ
trước kể từ một số hạng nào đó trở đi .
1
ĐÁP ÁN NỘI DUNG CÂU HỎISTT
2
0
n
=
1
n
q
1
2
1
n
q
3
1
n
Đ
Đ
Đ
S
S
S
Đ
Đ

BÀI SỐ 2
BÀI SỐ 2
Xét câu sau:
Xét câu sau:

(1) lim( )
(1) lim( )
n
n
=
=
0
0

(2) lim = 0
(2) lim = 0


Trong hai câu trên :
Trong hai câu trên :
(
(
A). chỉ có câu 1 đúng (B). cả 2 câu đều đúng
A). chỉ có câu 1 đúng (B). cả 2 câu đều đúng
( C). chỉ có câu 2 đúng ( D). cả 2 câu đều sai
( C). chỉ có câu 2 đúng ( D). cả 2 câu đều sai
1
3
3
1

Đáp án
1
k
n
A
A
BÀI SỐ 3
BÀI SỐ 3


Câu a:
Tìm lim
Câu b:
Tìm lim
2
3
1 1
3
1 1
2
n n
n
n
− −
+ −
2
2
3
1
n n

n
−
+


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số


Lời giải câu a
Lời giải câu a


vậy lim = 3/2
vậy lim = 3/2


2 2
1 1 1 1
lim(3 ) lim 3 lim lim 3
n n n n
− − = − − =
3 3
1 1 1 1
lim(2 ) lim 2 lim lim 2
n n
n n
+ − = + − =
2 2
3 3

1 1 1 1
3 lim(3 )
1 1 1 1
2 lim(2 )
n n n n
n n
n n
− − − −
=
+ − + −


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số


Đáp án câu b
Đáp án câu b


2
2
2
2
2 2
2
1
3
3
1

1
1
1
3
1 3
lim( 1) 1 lim lim 3
1
1
1
n n
n
n
n
n n
n
n n
n
−
−
=
+
+
−
−
+ = ⇒ = =
+
+
Vì
1
lim(3 ) 3

n
− =


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số


BÀI SỐ 4
BÀI SỐ 4


2
1 4
lim
1 2
n
n
+
−


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số


Lời giải
Lời giải

2
1 4
li m
1 2
n
n
+
−
2
1
4
1
1
2
n
n
+
= −
−
= lim


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

A. 3 B. 1/2 C. 3/2 D. 1
A. 1 B.3 C. 0 D. 2

1. lim
2. lim
2
2
3 5
2 5
n n
n n
+ −
+ −
2
3
2
3 1
n n
n n
+
+ −
C
C


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số

Chọn đáp án đúng
Chọn đáp án đúng




A. 2 B. 1/2 C.3 D. -2
A. 2 B. 1/2 C.3 D. -2

A.2 B. 1 C. 3 D. 0
2
3.lim( )n n n+ −
2
2
4.lim
2
n
n n n+ +
B
B


Giôùi haïn daõy soá
Giôùi haïn daõy soá




A. 2 B. 1/2 C. 1/3 D 1

A. 2 B. 1/2 C. 1/3 D 1
A.0 B. 1 C. 2 D. đáp án khác
1 2
5.lim
1 2
n
n
−
+
1 1 1
6.lim( )
1.2 2.3 ( 1)n n
+ + +
+
D
B


Giôùi haïn daõy soá
Giôùi haïn daõy soá


Cho dãy s vơ h nố ạ
Cho dãy s vơ h nố ạ
1. Dãy số có là cấp số nhân không? vì sao?
Tính q và so sánh với 1
2. Tính S
n
và tìm lim S
n

1 1 1 1
; ; ; ; ;
2 4 8 2
n
q


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số


Ta có
Ta có


= U
= U
1
1
+ U
+ U
2
2
+ …… + U
+ …… + U
n
n
=

=
lim S
lim S
n
n
= lim vì
= lim vì
1
1 ( )
2
1
1
n
−
=
1
1 1
(1 ( ) )
(1 )
1 1 1
2 2

1
2 4 2 1
1
2
n
n
n
U q

q
−
−
+ + + = =
−
−
n
S
1
lim( ) 0
2
n
=
Lời giải


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số


S = U1 + U2 + …… + Un +…
S = U1 + U2 + …… + Un +…


=
=
½ + ¼
½ + ¼
+ ………+ 1/2
+ ………+ 1/2

n + ……
n + ……




V
V
yậ
yậ
S= limS
S= limS
n
n
= 1
= 1
1lim

2
1

4
1
2
1
==
++++=
n
n
Ss

Giôùi haïn daõy soá
Giôùi haïn daõy soá


BÀI SỐ 5
BÀI SỐ 5
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ( U
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ( U
n
n
):
):


U
U
n
n
=
=
1
3
n


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số

Lời giải
Lời giải
Vì Un = nên U
Vì Un = nên U
1
1
= , q=
= , q=
Vậy S=
Vậy S=
1
3
n
1
3
1
3
1
1
1 1 1 1
3

1
3 9 3 1 2
1
3
n
U
q

+ + + + = = =
−
−


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số


BÀI SỐ 6
BÀI SỐ 6
Để trang hoàng cho căn hộ của mình chú chuột Mickey tô màu
Để trang hoàng cho căn hộ của mình chú chuột Mickey tô màu
cho một bức tường hình vuông có cạnh là 1 m. các bức tô như
cho một bức tường hình vuông có cạnh là 1 m. các bức tô như
sau: tô hình vuông cạnh nhỏ là tô tiếp hình vuông có
sau: tô hình vuông cạnh nhỏ là tô tiếp hình vuông có
cạnh bằng cạnh hình vuông vừa tô…. cứ tô tiếp mãi.
cạnh bằng cạnh hình vuông vừa tô…. cứ tô tiếp mãi.
1
2
m
1
2


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số

Hỏi diện tích mà chú chuột tô được là bao nhiêu?
Hỏi diện tích mà chú chuột tô được là bao nhiêu?


Giôùi haïn daõy soá
Giôùi haïn daõy soá


1
1 1 1 1
4

1
4 16 4 3
1
4
n
S = + + + + = =
−
Lời giải


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số


CỦNG CỐ
CỦNG CỐ

Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số


ĐỊNH LÝ 1
ĐỊNH LÝ 1
a) nếu lim U
a) nếu lim U
n
n
= a và lim V
= a và lim V
n
n
= b thì :
= b thì :
+ lim ( U
+ lim ( U
n
n
+ V
+ V
n
n
) = a + b
) = a + b
+ lim ( U
+ lim ( U

n
n
- V
- V
n
n
) = a - b
) = a - b
+ lim(U
+ lim(U
n
n
.V
.V
n
n
) = a.b
) = a.b
+ lim ( nếu )
+ lim ( nếu )
b) nếu U
b) nếu U
n
n
với mọi n và lim U
với mọi n và lim U
n
n
= a thì a
= a thì a

và lim
và lim
n
n
U
V
a
b
=
0b ≠
0≥
0≥
n
U a=


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số


Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn



Cấp số nhân vô hạn ( Un)có q với gọi là cấp số
Cấp số nhân vô hạn ( Un)có q với gọi là cấp số
nhân lùi vô hạn
nhân lùi vô hạn


Kí hiệu: S = U1 + U2 + … +Un + ….
Kí hiệu: S = U1 + U2 + … +Un + ….
vậy S =
vậy S =
1
1
U
q−
1q <


Giới hạn dãy số
Giới hạn dãy số


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM


Chọn đáp án đúng
Chọn đáp án đúng


1. Lim
1. Lim
2 1
3 2
n
n
−

+
A. 2/3 B. 3/2 C. -1/2 D. 1/2
2. Lim
3
3 2
2 1
3 2 6
n n
n n
+ +
+ +
3. Lim
4. Lim
5. Lim
2
4 1
6
n
n
+
+
2
1
2 1
n n
n n
+ +
+ +
4
2.3 4

n
n n
+
A. 1 B.1/3 C. 1/6 D. 0
A. 4 B.2/3 C.0 D. 1/6
A. 1/2 B. 1/3 C.2/3 D.0
A. 1/2 B. 1 C.1/3 D.0
A
B
C
A
B


Giôùi haïn daõy soá
Giôùi haïn daõy soá