Các quy tắc tính dạo hàm tiết 1

CH O M NG C C TH Y CÔ N À Ừ Á Ầ ĐẾ
D TI T H C L P 11B8Ự Ế Ọ Ớ
CH O M NG C C TH Y CÔ N À Ừ Á Ầ ĐẾ
D TI T H C L P 11B8Ự Ế Ọ Ớ

KI M TRA B I CỂ À Ũ
Câu 1: a) Nêu định nghĩa đạo hàm của hàm
số tại một điểm?
b) Nêu quy tắc tính đạo hàm theo định
nghĩa trên một khoảng?
Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số y = x
3
+ x
2
theo
định nghĩa?
Câu 3: Nêu đạo hàm của một số hàm số
thường gặp?

P N
Câu 1: a) Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm: Cho hàm
số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x
0
thuộc khoảng
(a;b). Giới hạn hữu hạn nếu có của tỉ số
khi x dần đến x
0
đ ợc gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm
x
0

, kí hiệu là f (x
0
) hoặc y (x
0
):
b) Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa trên một khoảng:
B c 1: Tại x bất kì thuộc tập xác định cho 1 số gia

x tính

y=f(x+

x)-f(x)
B c 2 : Tớnh
0
lim



x
y
x
( )
( )
0
0
xx
xfxf

( )
( ) ( )
0
0
0
'
0
lim
xx
xfxf
xf
xx


=


C©u 2: Tính o h m c a h m s y = xđạ à ủ à ố
3
+ x
2
theo nh đị
ngh a: ĩ
TX§: R, t¹i x bÊt k× thuéc TX§, cho 1 sè gia
∆
x
-TÝnh
∆
y = f(x+
∆

x) f(x) =(x+–
∆
x)
3
+(x+
∆
x)
2
-x
3
-x
2
= (
∆
x)
3
+ 3(
∆
x)
2
.x+(
∆
x)
2
+3
∆
x.x
2
+2
∆

x.x
-TÝnh
VËy f (x) = 3x’
2
+2x
C©u 3: §¹o hµm cña mét sè hµm sè th êng gÆp:
xxxxxxxx
x
y
xx
23)23.3(limlim
222
00
+=++∆+∆+∆=
∆
∆
→∆→∆
(c)’ = 0
(x)’ = 1
(x
n
)’=nx
n-1
(n ≥ 2; n
∈
N)
1
( )' , 0
2
x x

x
= >
NÕu ®Æt u(x) = x
3
; v(x) = x
2

vµ f(x) = x
3
+x
2,
TÝnh u’(x);
v’(x) vµ f’(x).
Em cã nhËn xÐt g× vÒ
u’(x) + v’(x) vµ f’(x) ?




Bµi 2: C¸c quy t¾c tÝnh ®¹o
Bµi 2: C¸c quy t¾c tÝnh ®¹o
hµm
hµm
TiÕt 76
TiÕt 76
: 1. §¹o hµm cña tæng hay hiÖu hai hµm sè.
: 1. §¹o hµm cña tæng hay hiÖu hai hµm sè.


2. §¹o hµm cña tÝch hai hµm sè

2. §¹o hµm cña tÝch hai hµm sè

1. Đạo hàm của tổng hay hay hiệu hai hàm số.
Định lí 1:
Nếu hai hàm số u = u(x) và
v = v(x) có đạo hàm trên J thì
hàm số y = u(x)+v(x) và
y = u(x) v(x) cũng có đạo
hàm trên J và :
a) [u(x) + v(x)] = u(x) +v(x);
b) [u(x) - v(x)] = u(x) - v(x);

Ghi chú: công thức trên viết
gọn là
(u+v) = u+v và (u-v)=u-v
Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm
Chứng minh:
a) Tại mỗi điểm x J, ta có:

y =[u(x+x)+v(x+x)]-[u(x)+v(x)]
=[u(x+x)-u(x)]+[v(x+x)-v(x)]
= u +v
( ) ( )
xvxu
x
v
x
u
x
vu

x
y
x
x
xx
''
0
0
00
limlim
limlim
+=


+


=
=

+
=





Vậy [u(x)+v(x)]= u(x)+v(x)
b) Chứng minh t ơng tự

1. Đạo hàm của tổng hay hay hiệu hai hàm số.
Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm
(u+v) = u+v và (u-v)=u-v
Nhận xét : Có thể mở rộng định
lí trên cho tổng, hay hiệu của
nhiều hàm số u,v, , w có đạo
hàm trên J thì trên J ta có:
( )
' ''' wvuwvu =
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số
trên khoảng (0;+)
Giải: Trên khoảng (0;+) ta có:
( )
( )
( )
( )
x
x
xxxx
2
1
8
20092009
7
'
'
'
8
'
8

+=
++=++
Vậy :
( )
x
xxf
2
1
8
7'
+=
( )
2009
8
++= xxxf

1. Đạo hàm của tổng hay hay hiệu hai hàm số.
Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm
(u+v) = u+v và (u-v)=u-v
Nhận xét : Có thể mở rộng định
lí trên cho tổng, hay hiệu của
nhiều hàm số u,v, , w có đạo
hàm trên J thì trên J ta có:
( )
' ''' wvuwvu =
Ví dụ 2: a) Tính f(-1) nếu
f(x) = x
5
-x
4

+x
2
-1
b) Cho hai hàm số:
( )
1
;
1
1
)(
2
2
2
+
=
+

=
x
x
xg
x
xf
Biết rằng hai hàm số này có đạo hàm
trên R, chứng minh rằng với mọi x
thuộc R, ta có: f(x) = g(x)

VÝ dô 2: a) TÝnh f’(-1) nÕu f(x) = x
5
-x

4
+x
2
-1
b) Cho hai hµm sè:
( )
1
;
1
1
)(
2
2
2
+
=
+
−
=
x
x
xg
x
xf
BiÕt r»ng hai hµm sè nµy cã ®¹o hµm trªn R, chøng minh r»ng víi
mäi x thuéc R, ta cã: f’(x) = g’(x).
Gi¶i:
a) f’(x) = 5x
4
-4x

3
+ 2x, suy ra f’(-1) = 7
b) g(x) = 1 + f(x) , suy ra g’(x) = f’(x)

2. Đạo hàm của tích hai hàm số
Định lí 2:
Nếu hai hàm số u = u(x) và
v = v(x) có đạo hàm trên J thì hàm
số y = u(x)v(x) cũng có đạo hàm
trên J, và :
[u(x).v(x)] =u(x).v(x)+u(x).v(x)
Ghi chú: công thức trên viết gọn là
(uv) = uv+u.v và (ku)=ku
k là hằng số
Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm
Nhận xét : Có thể mở rộng định
lí trên cho tích của ba hàm số
u,v,, w có đạo hàm trên J thì
trên J ta có:
(uvw) = uvw+u.vw+uvw
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số
y = f(x) trong mỗi tr ờng hợp sau:
( )
( )
( ) ( )( )
51)
12)
2
3
+=

+=
xxxxgb
xxxfa

2. Đạo hàm của tích hai hàm số
(uv) = uv+u.v và
(ku)=ku
Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm
(uvw) = uvw+u.vw+uvw
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số
y = f(x) trong mỗi tr ờng hợp sau:
( )
( )
( ) ( )( )
51)
12)
2
3
+=
+=
xxxxgb
xxxfa
Giải:
( )
( )
[ ]
( ) ( )
( )
( )
x

xxx
xxxxxxxfa
2
1
126
1212'12)
32
'
3
'
3'3'
++=
+++=+=
( ) ( )( )
[ ]
( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
xxx
xxxxxxx
xxxxxx
xxxxxxxgb
10124
1151512
5151
51'51)
23
22
'

2
'
2
'
22
'
+=
++++=
+++
++=+=

23
23
+−= xxy
x
Cho . Tìm để:

VÝ dô 4
0'>y
a)
3'<y
b)
xxy 63'
2
−=
0630'
2
>−⇔> xxy
Xét
0'=y

063
2
=−⇔ xx
0=⇔ x
2=x
hoặc
Từ bảng xét dấu ta tìm
được thoả là:
x
0'>y
0<x
2>x
hoặc
x
'y
0
2
0
0
-
+ +
Bảng xét dấu:
Bµi 2: C¸c quy t¾c tÝnh ®¹o hµm

23
23
+−= xxy
x
Cho . Tìm để:

VÝ dô 4
0'>y
a)
3'<y
b)
xxy 63'
2
−=
Từ bảng xét dấu ta tìm
được thoả là:
x
3'<y
3633'
2
<−⇔< xxy
012
2
<−−⇔ xx
Xét
0'=y
012
2
=−−⇔ xx
hoặc
21−=⇔ x
21+=x
2121 +<<− x
Bảng xét dấu:
x
'y

0
0
+-
21−
21+
+
Bµi 2: C¸c quy t¾c tÝnh ®¹o hµm

Ghi nhớ:
1
1) ( )' .
n n
x n x
−
=
2) ( )' 0; ( )' 1c x= =
1
3) ( )'
2
x
x
=
5) ( . )' '. . '; ( )' . 'u v u v u v ku k u= + =
4) ( )' ' 'u v u v± = ±
Bài tập về nhà:
-
Học thuộc các quy tắc.
-
C/m ®Þnh lÝ 2.
-

Xem ĐH của th ¬ng hai h/s,
®¹o hµm cña h/s hợp
-
Làm BT: 16,17,18 Sgk_204
Bµi 2: C¸c quy t¾c tÝnh ®¹o hµm
( )
' ''' wvuwvu ±±±=±±± 
(uvw)’ = u’vw+u.v’w+uvw’

CHÚC C C TH Y CÔ S C KH E, Á Ầ Ứ Ỏ
C C EM H C T TÁ Ọ Ố
Gv th c hi n:ự ệ
H Th Bìnhồ ị
Gv tr ng THPT H m R ngườ à ồ