Đạo hàm cấp 2

Đ O HÀM C P HAIẠ Ấ
Đ O HÀM C P HAIẠ Ấ
Giáo viên :Lại Thị Ánh Vân
Giáo viên :Lại Thị Ánh Vân
Trường : PTTH Chuyên Nguyễn Du
Trường : PTTH Chuyên Nguyễn Du

Hãy tính và đ o ạ
hàm c a trong các ủ
tr ng h p sau:ườ ợ
3 2
) 5 4
) sin 3
a y x x x
b y x
= − +
=
y
′
y
′
a)
3 2
5 4y x x x
= − +
2
3 10 4y x x
′

= − +
( )
6 10y x
′
′
= −
b)
sin 3y x
=
3cos3y x
′
=
( ) 9sin 3y x
′ ′
= −

I –Định nghĩa:
•
Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại
và hàm số y’ = f’(x) có đạo hàm tại x thì
y” = f”(x) = (y’)’: đạo hàm cấp hai
của hàm số y = f(x).
( )
;x a b
∈

Tương tự như đạo hàm cấp
hai hãy nêu định nghĩa đạo
hàm cấp ba và các đạo hàm
cấp n của hàm số y = f(x)

Đạo hàm cấp ba của hàm số y = f(x)
là đạo hàm của đạo hàm cấp hai của
hàm số y = f(x)
Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x)
là đạo hàm của đạo hàm cấp n -1 của
hàm số y = f(x)
Chú ý:
+ Nếu hàm số y” = f”(x) có đạo hàm tại x thì
+ Nếu hàm số có đạo hàm tại x thì
(3)
( ) ( ) .y f x y
′′′ ′′ ′
= =
( 1)
( )
n
f x
−
( ) ( 1)
( ) ( ( ))
n n
f x f x
−
′
=
( , 4).n n
∈ ≥
¥

Ví dụ: Tính đạo hàm cấp n của hàm số

y = x
5
với
3
20y x
′′
=
2
60y x
′′′
=
(5)
120y
=
*
.n∈¥
4
5y x
′
=
(4)
120y x
=
( )
0, 5
n
y n
= >

Một vật rơi tự do theo phương thẳng

đứng có phương trình
Hãy tính vận tốc tức thời v(t)
tại các thời điểm t
0
= 4s; t
1
= 4,1s.
Tính tỉ số trong khoảng
2
1
2
s gt
=
v
t
∆
∆
1 0
t t t∆ = −

Ta có : v(t) = s’ = gt
(4) 4 39,2 m/s; (4,1) 40,18 m/s.v g v
⇒ = = =
2 2
1 0
1 0
1 0 1 0
1 0
1
( )

( ) ( )
2
1
( ) 39,69.
2
g t t
v t v t
v
t t t t t
g t t
−
−
∆
= =
∆ − −
= + ≈

II -Ý nghĩa cơ học của đạo
hàm cấp hai
Xét chuyển động có phương trình s = f(t),
là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai
+) Vận tốc tức thời: v(t) = f’(t).
+ Số gia và
+ Tỉ số : gia tốc trung bình của chuyển
động trong thời gian t .
Là gia tốc tức thời của chuyển động.
v
∆
t
∆

v
t
∆
∆
0
( ) lim ( )
t
v
v t t
t
γ
∆→
∆
′
= =
∆
1. Ý nghĩa cơ học:sgk/173
2. Ví dụ:
Xét chuyển động có phương trình
Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t
của chuyển động ?
( ) sin( )s t A t
ω ϕ
= +

Đ gi i ể ả
bài toán
ta c n ầ
làm gì?
Cần tính vận tốc tức thời tại

thời điểm t, sau đó tính gia
tốc tức thời tại thời điểm t
Giải: Gọi v(t) là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời
điểm t, ta có:
Hãy xác
đ nh ị
ph ng ươ
trình c a ủ
v(t)
?
[ ]
( ) ( ) sin( ) cos( ).v t s t A t A t
ω ϕ ω ω ϕ
′
′
= = + = +
Vậy gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là:
Hãy xác đ nh gia ị
t c t c th i ố ứ ờ
c a chuy n ủ ể
đ ng ?ộ
2
( ) ( ) ( ) sin( ).t s t v t A t
γ ω ω ϕ
′′ ′
= = = − +

Nhi m v v nhà:ệ ụ ề
•
Xem l i đ nh nghĩa và cách tính đ o ạ ị ạ

hàm c p hai; đ o hàm c p n > 2;ấ ạ ấ
•
Làm bài t p1 và 2 sgk/174;ậ
•
Tính đ o hàm c p cao c a m t s ạ ấ ủ ộ ố
hàm s th ng g p.ố ườ ặ