ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC VẬT LÝ THỐNG KÊ

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG
HỌC PHẦN
NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC VẬT LÝ
THỐNG KÊ
1
Chương 1
Đối tượng và phương pháp của nhiệt động lực học và vật lí thống kê. Các cơ sở của lí
thuyết xác suất
(LT: 6, BT: 2)
*) Mục tiêu:
1.1. Đối tượng và phương pháp của nhiệt động lực học và vật lí thống kê
1.1.1. Đối tượng của nhiệt động lực học và vật lí thống kê
Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê đều nghiên cứu những hệ bao gồm một sô rất lớn
các hạt như nguyên tử, phân tử, iôn và các hạt khác mà người ta gọi là hệ vi mô hay hệ nhiều hạt,
nhưng bằng các phương pháp khác nhau.
1.1.2. Phương pháp của nhiệt động lực học và vật lí thống kê
a) Phương pháp của nhiệt động lực học
- Nhiệt đông lực học nghiên cứu các quy luật tính của chuyển động nhiệt trong các hệ cân
bằng và khi hệ chuyển về trạng thái cân bằng, đồng thời nó cũng khái quát hóa các quy luật tính
đó cho các hệ không cân bằng.
- Cơ sở của nhiệt động lực học là những định luật tự nhiên tổng quát mà người ta gọi là
các nguyên lí. Các nguyên lí này chỉ là sự tổng quát hóa các kinh nghiệm lâu đời của nhân loại
và được xác nhận bằng thực nghiệm.
- Nhiệt động lực học không phân tích chi tiết các quá trình phân tử mà khảo sát các hiện
tượng theo một quan điểm duy nhất, đó là quan điểm về sự biến đôi năng lượng trong các hiện
tượng đó.
b) Phương pháp của vật lí thống kê
- Vật lí thống kê là nghiên cứu mối liên hệ giữa các đặc tính vĩ mô của hệ mà ta khảo sát
với các đặc tính và các định luật chuyển động của các hạt vi mô cấu thành hệ. có thể có hai loại:
+ Tìm các đặc tính vĩ mô của hệ dựa vào các tính chất đã biết của các hạt tạo thành hệ.
+ Tìm các đặc tính của các hạt cấu thành hệ dựa vào các tính chất vĩ mô của hệ.

Như vậy, Vật lí thống kê là ngành vật lí nghiên cứu các hệ nhiều hạt dùng phương pháp
thống kê, nói khác đi, Vật lí thống kê hiện đại là lí thuyết thống kê về các hệ nhiều hạt.
- Trong trường hợp các hệ cân bằng, Vật lí thống kê đã đặt cơ sở lí thuyết cho các quy luật
nhiệt động lực học. Vì vậy người ta thường gọi vật lí thống kê về các hệ cân bằng là Nhiệt động
lực học thống kê. Nhiệt động lực học thống kê thiết lập mối liên hệ giữa các trạng thái phân tử với
đặc tính vĩ mô của hệ và cho phép ta tính được các hàm nhiệt động của các hệ khác nhau.
- Trong Vật lí thống kê cố điển, người ta đã dùng các phương trình cơ hoc cho hệ nhiều hạt
làm cơ sở cho phương pháp lấy trung bình. Vì vậy Vật lí thông kê thường được gọi là Cơ học
thống kê.
- Tùy thuộc vào loại mô hình vật chất mà ta dùng để diễn tả hiện tượng này hay hiện tượng
khác mà người ta thường tách Vật lí thống kê làm hai phần: Vật lí thông kê cổ điển và Vật lí thống kê
2
lượng tử.
1.2. Các biến cố ngẫu nhiên và các đại lượng ngẫu nhiên
1.2.1. Các hiện tượng ngẫu nhiên
- Hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng có thể xảy ra hay là có thể không xảy ra, thường là
xảy ra một cách bất ngờ và chúng ta không biết trước kết quả của chúng. Bởi vì ta không biết khi
nào hiện tượng đó sẽ xảy ra và xảy ra như thế nào.
- Ví dụ: sự phân rã của hạt nhân nguyên tử, sự bức xạ phôtôn từ nguyên tử, sự bùng nổ trên
Mặt Trời, vụ nô của sao, sự va chạm của các phân tử…
- Mỗi hiện tượng ngẫu nhiên đều được gây ra bởi những nguyên nhân nào đó, bởi một hoặc
nhiều nguyên nhân. Chúng ta không thể luôn luôn theo dõi được những nguyên nhân đã đưa đến
hiện tượng đó. Vì vậy, đối với chúng ta những hiện tượng đó là ngẫu nhiên, mặc dù chúng do
những nguyên nhân nào đó gây ra.
1.2.2. Các biến cố ngẫu nhiên
- Biến cố ngẫu nhiên là sự biểu hiện của dấu hiệu này hay dấu hiệu khác, bao gồm tính chất
(hoặc đặc tính) này hay tính chất khác của quá trình, mà cũng là cả hiện tượng ngẫu nhiên nào
đó.
- Ví dụ: hiện tượng ngẫu nhiên về sự va chạm của các phân tử là một biến cố ngẫu nhiên.
Một phân tử nào đó có một vận tốc xác định hoặc là có phương chuyển động xác định, số phân

tử trong một đơn vị thể tích và năng lượng của chúng cũng được coi như là những biến cố ngẫu
nhiên.
1.2.3. Các đại lượng ngẫu nhiên
- Các đại lượng ngẫu nhiên là các đại lượng mà trị số của chúng phụ thuộc vào trường
hợp ngẫu nhiên.
- Ví dụ: vận tốc của phân tử trong chất khí biến đổi tùy thuộc vào những va chạm với
phân tử này hoặc phân tử khác của chất khí, hoặc với thành bình. Đối với mỗi phân tử, những va
chạm như vậy là ngẫu nhiên, trong các va chạm ngẫu nhiên đó vận tốc cũng sẽ biên đổi một cách
ngẫu nhiên, nên vận tốc đó sẽ là đại lượng ngẫu nhiên.
- Nếu x là một đại lượng ngẫu nhiên nào đó thì một hàm bất kì f(x) cũng sẽ là đại lượng
ngẫu nhiên.
- Để đặc trưng hoàn toàn một đại lượng ngẫu nhiên nào đó ta cần phải biết bảng kê tất cả
các giá trị khả hữu của nó và biết xác suất của mỗi giá trị đó.
1.3. Khái niệm xác suất, các tính chất của xác suất. Công thức cộng và nhân xác suất
1.3.1. Khái niệm xác suất của biến cố
- Muốn đưa vào những quy luật thống kê chặt chẽ đòi hỏi phải có một định nghĩa toán học
chặt chẽ về sác xuất, coi như là đại lượng đo mức độ của khả năng khách quan của biến cố ngẫu
nhiên.
- Nếu một biến cố nào đó xảy ra n lần trong tổng cộng N lần thử thì xác suất được xác định
như là giới hạn của tỉ số của số biến cố thuận lợi n
i
chia cho số biến cố tổng cộng N (của một
nhóm đồng tính các phép thử) với điều kiện là số lần thử trong nhóm đó tiến đến vô hạn. Nói
một cách khác, xác xuất W
i
của biến cố đó sẽ bằng:
3
W lim
i
i

N
n
N
→∞
=
(1.1)
- Trong vật lí học, các đại lượng ngẫu nhiên thường biến thiên theo thời gian. Khi đó xác
suất của một trạng thái nào đó của hệ có thể xác định theo công thức:

W lim
i
T
t
T
→∞
=
(1.2)
trong đó t là thời gian lưu lại của hệ trong trạng thái đã cho, còn T là thời gian quan sát
tổng cộng. Từ đó suy ra rằng, để xác định bằng thí nghiệm xác suất của một biến cố nào đó, ta
cần phải tiến hành nếu không phải là một số vô hạn thì cũng là một số rất lớn phép thử N, tìm số
biến cố thuận lợi n
i
và tìm xác suất W của biến cố đó bằng cách lập tỉ số của chúng. Khi đó, xác
suất được xác định càng chính xác nếu số lần thử càng lớn, hay là, thời gian khảo sát biến cố
càng lớn.
1.3.2. Hàm phân bố
- Những đại lượng ngẫu nhiên có thể có một tập hợp vô hạn các trị số khác nhau vô cùng
gần nhau (phổ liên tục). Khi đó sẽ xảy ra trường hợp đặc biệt sau đây: xác suất của một biến cố
riêng biệt trong đó đại lượng ngẫu nhiên có một trị số nào đó thật là xác định sẽ bằng không. Vì
vậy, sẽ chỉ có nghĩa khi ta nói về xác suất sao cho đại lượng ngẫu nhiên đó có các trị số phân bố

trong một khoảng nào đó từ x cho đến x + ∆x. Xác suất tìm thấy đại lượng x trong khoảng ∆x
được kí hiệu là ∆W(x). Khi chuyển tới khoảng vô cùng nhỏ các giá trị dx thì, xác suất sẽ là
dW(x), đồng thời các kí hiệu ∆ và d chỉ rõ rằng đại lượng ngẫu nhiên có thể có trị số trong
khoảng ∆x hoặc dx, nghĩa là từ x đến x + ∆x hoặc đến x + dx. Xác suất dW(x) sao cho đại lượng
ngẫu nhiên có thể lấy các trị số từ x đến x + dx sẽ phụ thuộc vào chính số x đó, nghĩa là nó là
một hàm f(x) và dW(x) tỉ lệ với chiều rộng của khoảng dx. Vì vậy ta có thể viết xác suất dW(x)
như sau:
dW(x) = f(x)dx (1.3)
- Tập hợp tất cả các trị số của xác suất của một
đại lượng ngẫu nhiên đã cho sẽ tạo nên sự phân bố
của đại lượng ngẫu nhiên đó, sự phân bố này được xác
định bởi hàm f(x). Vì vậy, hàm f(x) này thường được
gọi là hàm phân bố xác suất. Hàm đó chứng tỏ là: xác
suất trên cùng một khoảng dx được phân bố phụ thuộc
vào giá trị của chính đại lượng X như thế nào. Hàm
đó còn thường được gọi là mật độ xác suất, bởi vì f(x)
có nghĩa là xác suất ứng với một đơn vị của chiều
rộng của khoảng biến thiên.

W( )
( )
d x
f x
dx
=
(1.4)
Hàm phân bố f(x) thường được biểu diễn bằng đồ thị, hoặc là được biểu thị bằng một công
thức xác định. Trên hình 1.1 có vẽ đồ thị của một hàm phân bố bất kì.
Theo công thức (1.3), xác suất dW(x) được xác định bằng diện tích của phần kẻ gạch có
đáy là dx. Trị số của đại lượng ngẫu nhiên X tương ứng với cực đại của hàm f(x) được gọi là trị số có xác

suất lớn nhâ't hay trị số cái nhiên nhất.
4
Hình 1.1: đồ thị hàm phân bố bất kỳ
1.3.2. Các tính chất của xác suất
- Vì 0 < n
i
< N, theo công thức tính xác suất (1.2) thì xác suất là một đại lượng không thứ
nguyên, không thể là số âm cũng không thể lớn hơn đơn vị:

0 W 1
≤ ≤

+ Nếu W = 0 thì biến cố đó được gọi là biến cố không thể có.
+ Nếu W = 1 thì điều đó có nghĩa là: bất cứ phép thử nào cũng đều là phép thử thuận lợi
đối với biến cố đã cho. Biến cố có xác suất bằng đơn vị được gọi là biến cố chắc chắn.
1.3.3. Công thức cộng và nhân xác suất
a) Định lí cộng xác suất
Giả sử có hai biến cố xung khắc A và B (tức là hai biến cố không thể xảy ra đồng thời). Ta
xét một biến cố phức tạp trong đó hoặc biến cố A hoặc biến cô B sẽ xảy ra. Khi đó theo định
nghĩa (1.1) ta có thể viết xác suất của biến cố phức tạp đó như sau:

A B
N
n n
W(A B) lim
N
→∞
+
∨ =

trong đó N là số tổng cộng các phép thử còn
A
n
và
B
n
là số lần xảy ra các biến cố A và B
tương ứng. Theo định nghĩa (1.1).


lim W(A)
→∞
=
A
N
n
N
và
lim W(B)
B
N
n
N
→∞
=
Vì vậy, biến cố phức tạp được biểu thị như là tổng các xác suất của biến cố riêng biệt:

W(A B) W(A) W(B)∨ = +
(1.5)
Trong trường hợp hàm phân bố liên tục, nếu ta chú ý tới xác suất sao cho đại lượng ngẫu

nhiên sẽ nằm, hoặc là trong khoảng từ (
1 1 1
x x dx→ +
) hoặc là trong khoảng từ
2 2 2
(x x dx )→ +
,
thì chúng ta sẽ có:
1 2 1 2 1 1 2 2
dW(x x ) dW(x ) dW(x ) f (x )dx f (x )dx∨ = + = +

- Mở rộng định lí đó ra cho một số bất kì các biến cố xung khắc:
W(A hoặc B, hoặc C, , hoặc K) = W(A) + W(B) + + W(K).
Xác suất của một biến cố sao cho một đại lượng ngẫu nhiên liên tục có một trong các trị số
nằm trong khoảng từ x
1
đến x
2
bằng:

2
1
x
1 2 i
i
x
W(x x )ΔW(x ) dW(x)→ = =
∑
∫
(1.6)

- Hệ đủ các biến cố là tất cả các biến cố có thể xảy ra trong phép thử đã cho. Tổng các xác
suất đối với hệ đủ các biến cố là bằng 1, bởi vì, việc xuất hiện của một biến cố bất kỳ nào trong
hệ đủ đều là một biến cố chắc chắn. Nếu các biến cố A, B, C, … D tạo thành một hệ đủ thì:
W(A) + W(B) + + W(D) = 1 (1.7)
Đối với các đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì hệ đủ các biến cô’ có thê có bất kì trị số nào
trong toàn bộ khoảng biến thiên của đại lượng ngẫu nhiên từ a đến b hoặc là từ
−∞ → +∞
. Tất
nhiên là xác suất tìm một đại lượng ngẫu nhiên trong toàn bộ khoảng các giá trị khả dĩ của nó là
5
một biến cố chắc chắn. Vì vậy:

dW(x) f (x)dx 1
+∞ +∞
−∞ −∞
= =
∫ ∫
(1.8)
b) Định lí nhân xác suất
Đôi khi, một biến cố phức tạp nào đó chỉ xảy ra với điều kiện là có biến cố khác xảy ra.
Trong trường hợp đó, xác suất của biến cố phức tạp đó được gọi là xác suất có điều kiện. Xác suất
có điều kiện xảy ra biến cố A với điều kiện là có biến cố B xảy ra được xác định theo công thức
W(A với điều kiện có B ) = W(A) . W(B) (1.9)
Cũng đúng như vậy, xác suất của một biến cố phức tạp sao cho đồng thời xảy ra hai biến cố
độc lập A và B được xác định bằng tích của các xác suất W(A) và W(B) của các biến cố độc lập
riêng biệt A và B theo công thức:
W(A và B) =W(A) ∙ W(B) (1.10)
Công thức này có thể mở rộng cho trường hợp có nhiều biến cố độc lập:
W(A và B, và C , và K) = W(A) W(B) W(K) (1.11)
- Trường hợp các đại lượng liên tục x và y là độc lập thì xác suất của một biến cố phức tạp,

sao cho đại lượng ngẫu nhiên x có trị số trong khoảng từ x đến x + dx và đồng thời đại lượng
ngẫu nhiên y có trị số trong khoảng từ y đến y + dy, sẽ được xác định bằng tích các xác suất:
dW (x, y) = dW(x) dW(y) = f(x)dx f(y)dy = f(x) f(y) dxdy (1.12)
1.4. Trị trung bình của các đại lượng ngẫu nhiên. Các ví dụ về các định luật phân bố
của các đại lượng ngẫu nhiên.
14.1. Trị trung bình của các đại lượng ngẫu nhiên
- Trị trung bình: Giả sử đại lượng ngẫu nhiên x có thể có:
Trị số x
1
với xác suất W
1
(hoặc là trị số đó xuất hiện n
1
lần trong số N lần thử);
Trị số x
2
với xác suất W
2
(hoặc là trị số đó xuất hiện n
2
lần trong số N lần thử) … và sau
cùng, trị số x
k
với xác suất (hoặc là trị số đó xuất hiện n
k
lần trong số N lần thử).
Khi đó, trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên x được tính bởi công thức:

1 1 2 2 k k
x n x n x n

x
N
+ + +
=
(1.13)
Khi số lần thử tổng cộng N là khác nhau thì các trị số của đại lượng trung bình cũng sẽ là
khác nhau do các đại lượng mà ta xét mang tính ngẫu nhiên. Tuy nhiên khi N tăng lên thì trị trung bình của
đại lượng x sẽ tiến tới một giới hạn xác định a và khi N càng lớn thì càng gần tới bằng a:

1 k
1 k
x x x
k
1 1 2 2 k k i i
i 1
n n
a lim x x lim x lim
N N
x W x W x W x W
→∞ →∞ →∞
=
= = + +
= + + + =
∑
(1.14)
Công thức (1.14) biểu thị định luật về các số lớn hay định lí Chêbưxép: trị trung bình của
một đại lượng ngẫu nhiên sẽ dần tới một số không đổi khi số phép đo (thử) là rất lớn.
Như vậy, trị trung bình của một đại lượng ngẫu nhiên là bằng tổng các tích của trị số của
đại lượng ngẫu nhiên nhân với xác xuât tương ứng. Nếu đại lượng ngẫu nhiên X biến thiên liên
tục thì trị trung bình của nó có thể tìm được bằng cách lấy tích phân:

6

x xf (x)dx
∞
−∞
=
∫
(1.15)
- Trị toàn phương trung bình:
Đối với các đại lượng có trị số gián đoạn:
k
2 2
i i
i 1
(x) x W
=
=
∑
(1.16)
Đối với các đại lượng ngẫu nhiên biến thiên liên tục:

2 2
(x) x f(x)dx
∞
−∞
=
∫
(1.17)
- Độ lệch so với trị trung bình:
1 1 2 2 k k

Δx (x x); Δx (x x); Δx (x x);= − = − = −

Trị trung bình của độ lệch của đại lượng ngẫu nhiên so với trị trung bình bằng không:

Δx 0=

Trị trung bình của môđun độ lệch của đại lượng ngẫu nhiên so với trị trung bình:

k
i i
i 1
Δx x x W
=
= −
∑
hoặc
Δx x x f(x)dx= −
∫
(1.18)
Trị trung bình của bình phương độ lệch hay phương sai của đại lượng ngẫu nhiên:

k
2 2
i i
i 1
Δx (x x) W
=
= −
∑
hoặc

2 2
Δx (x x) f (x)dx= −
∫
(1.19)
Ta có:
2 2 2 2
Δx (x x) x x= − = −
(1.20)
1.4.2. Các ví dụ về các định luật phân bố của các đại lượng ngẫu nhiên.
a) Phân bố đều của đại lượng gián đoạn
Nếu như xác suất của các trị số bất kì của đại lượng ngẫu nhiên là như nhau thì chúng ta sẽ
có định luật phân bố đều. Trong trường hợp đó, ta có thể xác định ngay xác suất của một trị số
bất kì nào đó:
1
W
N
=
(N là số các trị số khả hữu của đại lượng ngẫu nhiên). Đẳng thức đó tương
đương với điều kiện chuẩn hóa. Trong thí dụ gieo con xúc xắc, đại lượng ngẫu nhiên tương ứng
với số điểm (con số) thu được sẽ có xác suất lấy các trị số nguyên từ 1 đến 6 là bằng nhau. Vì
vậy, xác suất thu được một trị số nào đó là bằng 1/6 bởi vì có tất cả là 6 trị số khả hữu.
b) Phân bố Poisson
Đại lượng ngẫu nhiên gián đoạn x có trị số là các số nguyên từ không đến vô cực, cũng có
thể tuân theo định luật phân bố Poisson. Định luật đó được viết dưới dạng:

x
a
a
W(x) e
x!

−
=
(1.21)
Trong đó a là một đại lượng không đổi có trị số bằng trị trung bình của đại lượng ngẫu
nhiên trong phân bố đó
a = x
. Số phân tử trong một thể khí đã cho hoặc lượng hạt bay hơi sau
một khoảng thời gian xác định thỏa mãn định luật phân bố Poisson.
7
c) Phân bố đều của đại lượng liên tục
Trong trường hợp phân bố đều của một đại lượng ngẫu
nhiên liên tục như mật độ, năng lượng, phương của các phân
tử, được biểu diễn trên hình 1.2. về phương diện giải tích ta
có thể biểu thị hàm phân bố đó như sau:

const; a x b
f (x)
0 ; x a, x b
≤ ≤

=

< >

(1.22)
Từ điều kiện chuẩn hóa, tìm được biểu thức của hàm
phân bố:
1
; a x b
f (x)

b a
0 ; x a, x b

≤ ≤

=
−


< >

(1.23)
d) Phân bố có dạng hàm mũ
Phân bố dạng mũ có biểu thức giải tích:

αx
αe ; 0 x
f (x)
0 ; x 0
−

≤ ≤ ∞
=

−∞ < <

(1.24)
Và đồ thị hàm phân bố như trên hình 1.3.
e) Phân bố Gauss (định luật chuẩn tắc trong lí thuyết
sai số)

Chúng ta rất thường gặp hàm phân bố Gauss trong phân bố của hình chiếu vận tốc trong
chất khí, trong lí thuyết thăng giáng, trong chuyển động Brown… Hàm đó có dạng:

2
αx
f (x) const e ( x )
−
= −∞ < < +∞
(1.25)
Đồ thị của hàm phân bố Gauss như hình 1.4. Theo điều kiện chuẩn hóa ta thu được biểu
thức của hàm phân bố:
2
α
f (x) exp(αx )
π
= −
(1.26)
Đôi khi, trong phân bố Gauss, chỉ xét các trị
dương của x
(0 x )< < +∞
, khi đó:
2
αx
α
f (x) 2. .e
π
−
=
(1.27)
*) Tài liệu học tập

[1] Vũ Thanh Khiết (2008), Nhiệt động học và vật lí thống kê, NXB Đại học Quốc Gia Hà
Nội.
[2]
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
8
Hình 1.2: Đồ thị hàm phân bố
đều của đại lượng liên tục
Hình 1.3: Đồ thị hàm phân bố có
dạng hàm mũ
Hình 1.4: đồ thị hàm phân bố bất kỳ
1. Tìm xác suất sao cho trong hai lần gieo liên tiếp con xúc xắc, ta đều thu được điểm 5.
2. Tìm số điểm trung bình gieo trúng được trong một lần tung con xúc xắc.
3. Chứng minh định lí về trị trung bình của tích và của tổng hai đại lượng ngẫu nhiên độc
lập.
4. Chứng minh rằng:
(A A)(B B) AB A B− − = −

5. Chứng minh rằng định luật Poisson dưới dạng (1.21) thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa.
6. Hãy tìm trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên tuân theo phân bố Poisson.
7. Hãy tìm các trị số của X và X
2
và phương sai (∆x)
2
trong phân bố đểu của đại lượng X
giữa a và b.
8. Hãy tìm
x
và
2
x

trong phân bố có dạng hàm mũ đã chuẩn hóa sau:

ax
f (x) a.e (0 x )
−
= ≤ ≤ ∞

9
Chương 2
Thuyết động học phân tử chất khí
(LT: 6, BT: 2)
*) Mục tiêu:
2.1. Mẫu khí lí tưởng, phương trình cơ bản của thuyết động học khí lí tưởng
2.1.1. Mẫu khí lí tưởng
Khí lí tưởng là một hệ thống kê đơn giản nhất. Những đặc điểm cơ bản nhất của khí lí
tưởng là:
- Trong một thể tích vĩ mô của khí lí tưởng có chứa một số rất lớn phân tử.
- Kích thước phân tử rất nhỏ so với khoảng cách giữa chúng, do đó, trong phần lớn phép
tính toán ta có thể bỏ qua kích thước của phân tử và coi phân tử như chất điểm.
- Các phân tử chuyển động hỗn độn không ngừng, chúng luôn luôn va chạm với nhau và
với thành bình đựng khí.
- Lực tương tác giữa các phân tử chỉ xuất hiện khi va chạm; vì vậy giữa hai va chạm liên
tiếp mỗi phân tử chuyển động tự do nghĩa là chuyển động thẳng đều. Sự va chạm giữa các phân
tử với nhau và với thành bình xảy ra theo quy luật va chạm đàn hồi.
2.1.2. Phương trình cơ bản của thuyết động học khí lí tưởng
- Áp suất mà khí tác dụng lên thành bình:
Áp suất mà khí tác dụng lên thành bình chứa là kết quả của những va chạm của các phân tử
khí lên thành bình chứa. Trong cơ học áp suất được tính theo công thức:

F

p
S
=
(2.1)
Trong đó F là lực tác dụng vuông góc lên diện tích S.
- Thành lập công thức tính áp suất của khí: Để thành lập công thức tính áp suất mà khí tác
dụng lên thành bình ta cần phải tính lực trung bình theo thời gian mà các phân tử khí tác dụng
lên diện tích S của thành bình:

2
0
3
=
Nm
v
F
l
(2.2)
Từ đó ta tìm được phương trình cơ bản của thuyết động học chất khí:

2
00
vnm
3
1
p
=
(2.3)
Phương trình (2.3) là phương trình cơ bản của thuyết động học khí lí tưởng, từ phương
trình ta thấy, áp suất mà các phân tử khí tác dụng lên thành bình tỷ lệ với khối lượng phân tử khí,

mật độ phân tử và vận tốc toàn phương trung bình của phân tử khí.
2.2. Phân bố vận tốc của các phân tử trong chất khí ở trạng thái cân bằng nhiệt
2.2.1. Phân bố về hướng của vận tốc phân tử
- Theo giả thiết về sự hỗn độn sơ cấp, trong trạng thái cân bằng nhiệt của chất khí, tất cả
các hướng vận tốc của các phân tử khí là có xác suất như nhau, nghĩa là không có hướng nào ưu
10
tiên hơn trong chuyển động của các phân tử; bởi vì, nếu có như vậy thì đã xảy ra chuyển động
dòng (vĩ mô) do chênh lệch về áp suất hoặc nhiệt độ. Vì vậy, trong trạng thái cân bằng nhiệt của
chất khí, hướng vận tốc của các phân tử tuân theo một định luật phân bố đơn giản: tất cả các
hướng chuyển động đều có thể gặp thấy một cách phổ biến như nhau ở các phân tử. Tính đồng
xác suất của tất cả các hướng chuyển động của các phân tử cho phép ta có thể thay chuyển động
thực của các phân tử bằng chuyển động trung bình.
- Thí dụ khi khảo sát chất khí đựng trong bình lập phương ta có thể phân tích chuyển động
của các phân tử theo ba trục tọa độ vuông góc và coi rằng số phân tử chuyển động theo các trục
khác nhau là như nhau.
2.2.2. Phân bố về độ lớn của vận tốc phân tử - Phân bố vận tốc Maxwell
- Phân bố này do Mắcxoen tìm ra lần đầu tiên năm 1867, vì vậy còn mang tên là phân bố
vận tốc Mắcxoen. Gần đây phân bô' vận tốc Mắcxoen đã được thực nghiêm xác nhận là đúng.
- Do tính đẳng hướng của chuyển động phân tử, ta có thể tìm, hoặc là sự phân bố của hình
chiếu vận tốc của các phân tử theo một phương nào đó, hoặc là sự phân bố của các phân tử theo
môđun vận tốc.
- Xác suất để phân tử có hình chiếu vận tốc trên trục Ox trong khoảng từ v
x
đến v
x
+ dv
x
bằng.

2

x x x
dW(v ) f (v )dv=
(2.4)
Tương tự, xác suất sao cho phân tử có các hình chiếu của vận tốc lên trục Oy từ v
y
đến v
y
+
dv
y
và lên trục Oz từ v
z
đến v
z
+ dv
z
là:

2 2
y y y z z z
dW(v ) f (v )dv ; dW(v ) f (v )dv= =
Maxwell coi rằng các hình chiếu của vận tốc của phân tử là các đại lượng ngẫu nhiên độc
lập. Do đó xác suất để phân tử khi có đồng thòi ba hình chiếu vận tốc v
x
, Vy và v
z
trong các
khoảng dv
x
, dv

y
, dv
z
, sẽ được xác định bởi tích của ba xác suất:

2 2 2
x y z x y z x y z
dW(v ,v ,v ) f (v )f (v )f (v )dv dv dv=
(2.5)
Do tính đồng xác suất của các hướng chuyển động, nên hàm phân bố f(v
x
, Vy, v
z
) không
phụ thuộc vào hướng, phải là hàm của môđun vận tốc

2 2 2
x y z x y z x y z
dW(v ,v ,v ) f (v v v )dv dv dv= + +
(2.6)
So sánh các biểu thức (2.5) và (2.6) ta có:

2 2 2 2 2 2
x y z x y z
f (v )f (v )f (v ) f (v v v )= + +
(2.7)
Hay:
2
2 2
y

x z
αv
αv αv
2 1/3 2 1/3 2 1/3
x y z
f (v ) A e ; f (v ) A e ; f (v ) A e= = =

Từ điều kiện chuẩn hóa, tìm được
α
A
π
=
.
Biểu thức hình chiếu vận tốc của phân tử lên một
phương l tùy ý:

2
αv
2
α
f (v ) e
π
−
=
l
l
(2.8)
11
Hình 2.1: Đồ thị của hàm
phân bố vận tốc Maxwell

Công thức (2.8) là phân bố vận tốc Maxwell
có dạng biểu diễn trên hình (2.1), đường cong I.
- Hàm phân bố vận tốc của phân tử theo môđun v có dạng:

2
3
αv
α
f (v) 4. e
π
−
=
(2.9)
Công thcs (2.9) cũng gọi là phân bố Maxwell và có dạng biểu diễn như đường cong II trên
hình 2.1.
- Nếu trong hệ có N phân tử thì số hạt có hình chiếu vận tốc
v
l
trong khoảng từ
v
l
đến
v dv+
l l
hay là
có môđun v từ v đến v + dv sẽ được xác định theo công thức:
dn(v) = NdW(v) (2.10)
trong đó dW(v) là xác suất tương ứng đối với một hạt. Ta cũng có thể viết dn(v) = n(v)dv
với n(v) là hàm phân bố số hạt, ta có:

2
3
2αv
α
dn(v) 4N. v e dv
π
−
=
(2.11)
Một cách tương ứng, hàm phân bố số hạt sẽ được chuẩn hóa không phải bằng đơn vị mà
bằng số hạt toàn phần N. Giữa f(v) và n(v) có mối liên hệ sau đây:

dn(v) n(v)
f (v)
Ndv N
= =
(2.11)
2.3. Mối liên hệ giữa phân bố vận tốc Maxwell và nhiệt độ tuyệt đối
Ở trên ta đã tìm được phân bố vận tốc Maxwell với thông số chưa xác định a, và phân bố
này là đúng đốì với các chất khí khác nhau trong các điều kiện khác nhau. Tuy nhiên, khi nhiệt
độ của chất khí thay đổi, thì vận tốc chuyển động hỗn độn của các phân tử cũng sẽ thay đổi. Khi
nhiệt độ tăng lên, vận tốc của các phân tử cũng tăng lên, do đó, trong sự phân bố theo vận tốc, số
phân tử có vận tốc lớn phải tăng lên. Một sự biến đổi như vậy trong sự phân bố vận tốc của các
phân tử chỉ có thể xảy ra khi thông số a phụ thuộc vào nhiệt độ.
Giả sử trong 1cm
3
chất khí chứa
0
n
phân tử. Khi đó số phân tử trong 1cm

3
có hình chiếu
vận tốc v
z
trong khoảng từ v
z
đến v
z
+ dv
z
được xác định theo công thức:

2
z
αv
0 z 0 z
π
dn (v ) n e dv
α
−
=
(2.12)
Tất cả các phân tử đó tác dụng lên thành bình một áp suất dp(v
z
) = 2mv
z
dn(v
z
). Nếu chỉ
xét các phân tử va chạm với thành có v

z
biến

thiên từ
0 → +∞
, thì áp suất toàn phần p được xác
định:

2
z
αv
2
0
z 0 z
0
mn
α
p 2mv n e dv
π 2α
∞
−
= =
∫
(2.13)
Theo phương trình Clapeyron - Mendeleev cho 1mol khí
RT
p
V
=
, mật độ

0
0
N
n
V
=
và
R = kN
0
với N
0
là số Avogadro, V là thể tích của hệ, k là hằng số Bonztmann. Cuối cùng ta thu
được:
12

0 0
0
mn kN T
m
n kTα
2α V 2kT
= = ⇒ =
(2.14)
Thay trị số của thông số
α
vào, ta có thể viết phân bố Maxwell liên hệ với nhiệt độ tuyệt
đối theo công thức:


2

mv
2
2kT
m
f (v ) e
2πkT
−
=
l
l
Và
2
3
mv
2
2kT
m
f (v) 4π v e
2πkT
−
 
=
 ÷
 

(2.15)
Các hàm phân bố của hình chiếu và môđun động lượng có dạng tương ứng:

2
p

2
2mkT
1
f (p ) e
2πkTm
−
=
l
l
Và
2
3
v
2
2mkT
1
f (p) 4π p e
2πkTm
−
 
=
 ÷
 
(2.16)
2.4. Các vận tốc đặc trưng trong phân bố Maxwell
2.4.1. Các vận tốc đặc trưng
- Vận tốc cái nhiên nhất hay vận tốc có xác suất lớn nhất

c
2kT

v
m
=
(2.17)
- Trị trung bình của môđun vận tốc:

0
8kT 2kT
v vf(v)dv 2
πm πm
∞
= = =
∫
(2.18)
+ Trị trung bình của hình chiếu vận tốc lên một phương l bất kỳ:


2
v v f (v )dv 0
∞
−∞
= =
∫
l l l l
+ Trị trung bình của hình chiếu vận tốc của các phân tử theo 1 chiều
O
uur
l
đã cho:

2
mv
2kT
0
m 2kT
v 2 e v dv
2πkT πm
+∞
−
= =
∫
l
l l l
- Vận tốc toàn phương trung bình và vận tốc căn quân phương
+ Vận tốc toàn phương trung bình:

2 2
0
3kT
v v f (v)dv
m
+∞
= =
∫
(2.19)
13
+ Vận tốc căn quân phương:

2
cqp

3kT
v v
m
= =
(2.20)
2.4.2. Động năng trung bình của chất khí
Động năng trung bình của chất khí là bằng tổng các động năng trung bình của các phân tử
của nó.

0
n
2 2
0
i
2
d
i 1
mn
mv ρv
ε v
2 2 2
=
= = =
∑
(2.21)
Khi đó phương trình cơ bản của thuyết động học chất khí lí tưởng có dạng:

d
2
pε

3
=
(2.22)
Như vậy, áp suất của khí lí tưởng tỉ lệ với mật độ động năng trung bình. Động năng trung
bình của một phân tử khí:

d
3
E kT
2
=
(2.23)
Như vậy, động năng trung bình của chuyển động tịnh tiến của phân tử sẽ không phụ thuộc
vào bản chất của phân tử và tỉ lệ với nhiệt độ tuyệt đối T của chất khí. Từ đó suy ra, nhiệt độ tuyệt
đôi là thước đo động năng trung bình của phân tử.
2.5. Sự tương ứng giữa mô hình khí lí tưởng với khí thực
2.5.1. Phương trình trạng thái
Phương trình trạng thái của khí lí tưởng (2.22). So sánh phương trình đó với phương trình
trạng thái Clapeyron – Mendeleev đã cho phép đưa vào (đối với khí lí tưởng) khái niệm về nhiệt
độ tuyệt đối.

2
mv 3
kT
2 2
=
(2.24)
Phương trình trạng thái của khí lí tưởng dưới dạng định luật Clapeyron – Mendeleev đối
với hệ N hạt trong thể tích V:
pV = kNT (2.25)

Như vậy, khí thực nào mà tuân theo phương trình trạng thái Clapeyron – Mendeleev (và tuân theo các hệ
quả của phương trình đó, tức là các phương trình Boillo - Mariott, Saclor và Gay Luyxac) có thể
coi như là khí lí tưởng. Các khí thực càng có tính chất gần giống với khí lí tưởng khi chúng càng
loãng, ở những nhiệt độ và áp suất nhất định. Tất nhiên, các phân tử của khí thực khác vể căn
bản với các hạt của khí lí tưởng. Các phân tử thực không phải luôn luôn là tuyệt đối đàn hồi,
chúng tương tác với nhau không chỉ là do va chạm trực tiếp. Thế tương tác của chúng có dạng rất
phức tạp; ngoài ra, chúng có thể có các bậc tự do nội tại.
Khi mật độ và áp suất của khí thực tăng lên, các phân tử sẽ tới gần nhau đến nỗi ta không
thể bỏ qua lực hút cũng như lực đẩy giữa các phân tử. Ngoài các va chạm cặp đôi (tức là giữa 2
phân tử) thì các tương tác cặp ba cũng như các tương tác phức tạp hơn sẽ đóng vai trò đáng kể.
Do đó, các tính chất của khí thực sẽ khác biệt với các tính chất của khí lí tưởng.
14
Phương trình trạng thái đơn giản của khí thực là phương trình Van de Walls là nghiệm gần
đúng bậc nhất của bài toán về hệ các phân tử tương tác:

2
0
0
2
a N
p (V b N) kNT
V
 
+ − =
 ÷
 
(2.26)
Phương trình Vanđe Vanxơ là phương trình đầu tiên đã cho phép ta giải thích tính liên tục
của sự chuyển pha "hơi - lỏng" và điểm tới hạn.
3.5.2. Hàm phân bố vận tốc

Các nhà bác học như Stern, Compton đã tiến
hành nhiều thí nghiệm để thử lại sự phân bố của các
phân tử theo vận tốc trong các khí thực. Việc thử lại
phân bố vận tốc Maxwell của các phân tử trong chất
khí rất khó tiến hành; vì vậy, trong chân không người
ta tạo ra hơi của các kim loại khác nhau (như bitmút,
cađimi, xêdi, v.v ) và xem nó là chất khí. Sơ đồ các thí
nghiệm như trên hình 2.2. Thực nghiệm chứng tỏ rằng
số phân tử trong hơi kim loại n(v) có vận tốc từ v đến v
+ dv đã nghiệm đúng phân bố Maxwell.
Như vậy thực nghiệm đã xác nhận, đối với khí
thực ta cũng thu được phân bốvận tốc Maxwell.
2.6. Phân bố quãng đường tự do của các phân tử khí
Quãng đường tự do của phân tử là quãng đưòng mà phân tử đi được giữa hai va chạm liên
tiếp với các phân tử khác, ở trạng thái cân bằng nhiệt, trong chất khí có tồn tại một sự phân bố
nào đó của các quãng đường tự do.
Ký hiệu P(x) là xác suất để phân tử đi hết quãng đưòng X mà chưa bị va chạm và là xác
suất để phân tử đi hết quãng đường x + dx mà chưa bị va chạm. Việc phân tử đi hết quãng đường
x + dx mà chưa bị va chạm được gọi như là một biến cố phức tạp gồm hai biến cố độc lập: phân
tử đi hết quãng đường x mà chưa bị va chạm và phân tử đi hết quãng đường dx cũng chưa bị va
chạm. Gọi P(dx) là xác suất để phân tử đi quãng đường dx chưa bị va chạm, ta có:
P(x + dx) = P(x) P(dx) (2.27)
Ký hiệu Q(dx) là xác suất để phân tử đi quãng đường dx hết sức nhỏ và bị va chạm; ta coi
rằng Q(dx) tỉ lệ thuận với dx, nghĩa là
Q(dx) = adx. (2.28)
trong đó a là hệ số tỉ lệ. Ta có:
P(dx) = 1 - Q(dx) = 1 - adx
Và P(x + dx) = P(x) (1 - adx)
Phân tích P(x + dx) thành chuỗi theo dx, vì dx hết sức nhỏ, nên trong chuỗi thu được ta chỉ
giữ lại số hạng chứa bậc một của dx:

15
Hình 2.2: Sơ đồ thí nghiệm thử lại
sự phân bố của các phân tử theo
vận tốc trong các khí thực

( ) ( )
dP(x) dP(x)
P x dx P(x) dx P( P(xx) 1 adx dx
dx d
)
x
= ++ = + ⇔ −

Từ đó ta có:
ax
dP(x)
adx P(x) e
dx
−
= − ⇒ =
Xác suất để phân tử đi hết quãng đường x mà chưa bị va chạm nhưng sau đó, phân tử đi
quãng đường dx thì bị va chạm là:

ax
dW(x) P(x)Q(dx) P(x)adx a e dx
−
= = =
(2.29)
Ký hiệu
λ

là quãng đường tự do (
λ
= x), từ công thức (2.29) suy ra hàm phân bố của
quãng đường tự do:

aλ
f (λ) a e
−
=
(2.30)
- Quãng đường tự do trung bình:

aλ
0
1 1
λ λae dλ a
aλ
∞
−
= = ⇒ =
∫
(2.31)
Thay (2.31) vào (2.29) và (2.30) ta có:

1
λ
λ
1
dW(λ) e dλ
λ

−
=
và
1
λ
λ
1
f (λ) e
λ
−
=
(3.32)

*) Tài liệu học tập
[1] Bùi Trọng Tuân (2005), Nhiệt học, NXB Đại học Sư phạm.
16
[2] Đàm Trung Đồn, Nguyễn Trọng Phú (1994), Vật lí phân tử và nhiệt học, NXB Giáo
dục, Hà Nội
[3] Lê Văn (1978) , Vật lí phân tử và nhiệt học, NXB Giáo dục Hà Nội
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
1. Hãy xác định vận tốc trung bình của các phân tử hyđrô, ni tơ và ôxy ở 273°K.
2. Hãy tìm số phân tử nitơ va chạm với một diện tích lcm
2
của thành bình trong một giây ở
các điểu kiện chuẩn bằng cách áp dụng phân bố vận tốc Maxwell.
3. Có bao nhiêu phần phân tử hyđrô ở nhiệt độ 300°K có vận tốc nằm trong khoảng từ
1800 đến 1810m/s?
4. Có bao nhiêu phần phân tử nitơ ở nhiệt độ 273°K có vận tốc trong khoảng từ 250 đến
255 m/s.

17
Chương 3
Cơ sở thuyết động học phân tử cho quá trình không cân bằng
(LT: 4, BT: 1)
*) Mục tiêu:
3.1. Các hiện tượng truyền
Các phân tử khí luôn tham gia chuyển động, hỗn loạn và không ngừng. Vận tốc của chúng
phụ thuộc vào nhiệt độ. Trong quá trình chuyển động, chúng va chạm nhau, truyền động năng và
năng lượng cho nhau để đưa hệ đến cân bằng nhiệt độ. Nếu mật độ ban đầu không đồng nhất thì
quá trình chuyển động sẽ làm cho mật độ chất khí đồng đều. Có thể cho rằng: mọi quá trình xuất
hiện khi có chuyển động nhiệt được gọi là các hiện tượng truyền.
3.1.1. Quá trình khuếch tán
Quá trình khuếch tán được hiểu là một quá trình
truyền các phân tử chất khí từ chỗ này đến chỗ kia
làm cho chúng đồng nhất về mật độ và áp suất.
Nếu gọi khối lượng khí là ∆M đã truyền qua
diện tích ∆S trong thời gian ∆t. Khối lượng khí này
được chuyển từ nơi có mật độ cao (ρ
1
) đến nơi có mật
độ thấp (ρ
2
) làm cho chúng đồng nhất về mật độ và áp
suất. Các phân từ khí được truyền theo phương vuông
góc với ∆S (hình 3.1).
Giả sử các phân tử khí được truyền theo phương x, khi đó
(x)ρ = ρ
. Nếu
1 2
ρ > ρ

thì đại
lượng đặc trưng cho sự thay đổi mật độ là đạo hàm
x
∂ρ
∂
(hoặc gradρ). Đại lượng này chỉ sự biến
thiên khối lượng trên một đơn vị độ dài theo phương x.
- Định luật Fick (định luật thực nghiệm): Khối lượng khí (∆M) truyền qua diện tích (∆S) tỷ
lệ với diện tích ∆S, với thời gian (∆t) và độ biến thiên khối lượng trên 1 đơn vị độ dài (
x
∂ρ
∂
) theo
phương vuông góc với ∆S.

M D. S. t
x
∂ρ
∆ = − ∆ ∆
∂
(3.1)
Trong đó D là hệ số khuếch tán và dấu (-) cho biết quá trình khuếch tán xảy ra theo
phương giảm dần của mật độ.
Đơn vị của D là: [D] = m
2
/s.
Thuyết động học phân tử đã chứng minh rằng:

3
2

1 1
D v. T
3 p
≈ λ :
(3.2)
18
z
y
x
ρ
1
ρ
2
∆S
Hình 3.1: Quá trình khuếch tán
O
Hệ số khuếch tán D tỷ lệ thuận với đoạn đường tự do trung bình và vận tốc trung bình của
các phân tử, tỷ lệ nghịch với áp suất và tỷ lệ thuận với
3/2
T
. Như vậy áp suất càng nhỏ và nhiệt
độ càng cao thì quá trình khuếch tán càng mạnh.
3.1.2. Quá trình nội ma sát
Quá trình nội ma sát là quá trình truyền làm cho
chất khí ở nhiều lớp có vận tốc khác nhau, đồng nhất
về vận tốc chuyển động theo một phương xác định.
Hiện tượng này xảy ra khi có hai hoặc nhiều
lớp khí (hoặc lỏng) chuyển động với vận tốc song
song nhưng độ lớn khác nhau. Kết quả là lớp chuyển
động nhanh bị kéo chậm lại, lớp chuyển động chậm

được kéo nhanh lên và trên mặt tiếp xúc giữa hai lớp
khí đã xuất hiện một lực. Lực xuất hiện đó được gọi
là lực nội ma sát.
Gọi ∆x là khoảng cách giữa 2 lớp khí có vận
tốc v
1
và v
2
(hình 3.2). Trong quá trình chuyển động theo cùng một phương sẽ xuất hiện các phân
tử khí ở hai lớp khí nhảy sang nhau. Số phân tử khí từ lớp 1 sang lớp 2 bằng số phân tử khí từ
lớp 2 sang lớp 1. Như vậy, ở mặt tiếp xúc giữa hai lớp khí, số phân tử khí ở lớp chuyển động
nhanh có động năng lớn hơn truyền cho lớp chuyển động chậm thông qua va chạm. Các phân tử
khí ở lớp chuyển động chậm nhận thêm năng lượng và chuyển động nhanh lên, còn lớp chuyển
động nhanh thì bị mất năng lượng nên chuyển động chậm lại. Điều này dẫn đến hiện tượng giữa
hai lớp xuất hiện các lực nội ma sát.
- Định luật Newton: Lực nội ma sát (∆F) tỷ lệ với diện tích tiếp xúc (∆S) giữa hai lớp khí
và độ biến thiên vận tốc
v
x
∂
 
 ÷
∂
 
r
theo phương vuông góc với ∆S.

v
F S
x

∂
∆ = −η ∆
∂
r
(3.3)
Trong đó
η
là hệ số ma sát có đơn vị là kg/ms hoặc Ns/m
2
, ri phụ thuộc vào bản chất khối
khí. Dấu (-) trong phương trình (3.3) cho biết lực nội ma sát có chiều chuyển động ngược với
chiều chuyển động định hướng của các lớp khí.
Thuyết động học phân tử đã chứng minh rằng:

1
v D
3
η = λρ = ρ
r
r
(3.4)
Ý nghĩa của hệ số nội ma sát: phương trình (3.4) có
v
r
và
λ
r
đều phụ thuộc vào nhiệt độ (T)
cho nên
η

phụ thuộc vào T. Khi nhiệt độ tăng
η
cũng tăng. Ở đây
η
không phụ thuộc vào áp
suất. Nếu chọn ∆S = 1,
v
1
x
∂
=
∂
r
thì ∆F =
η
. Vậy
η
chính là lực tác dụng lên một đơn vị diện tích
giữa hai lớp khí chuyển động khác nhau một đơn vị vận tốc khi cách nhau một đơn vị độ dài.
3.1.3. Quá trình dẫn nhiệt
- Quá trình dẫn nhiệt lượng(truyền nhiệt lượng) làm cho chất khí đồng nhất về nhiệt độ
19
∆x
v
1
> v
2
Lớp 1
Lớp 2
v

1
v
2
x
Hình 3.2: Quá trình nội ma sát
được gọi là quá trình dẫn nhiệt. Quá trình dẫn nhiệt xảy ra khi có sự chênh lệch nhiệt độ trong
hệ, khi đó dòng nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao đến nơi có nhiệt độ thấp. Bản chất của quá
trình này là do chuyển động nhiệt của các phân tử ở nơi có nhiệt độ cao dịch chuyển đến nơi có
nhiệt độ thấp và ngược lại. Các phân tử ở nơi có nhiệt độ cao truyền năng lượng cho các phân tử
ở nơi có nhiệt độ thấp thông qua va chạm, làm cho phân tử có nhiệt độ thấp nóng lên còn phân tử
có nhiệt độ cao thì lạnh đi. Như vậy, đã có sự truyền nhiệt lượng từ nơi có nhiệt độ cao đến nơi
có nhiệt độ thấp thông qua va chạm của các phân tử khí trong chuyển động nhiệt. Sự biến thiên
nhiệt độ theo phương x đươc đặc trưng bằng đại lượng
T
x
∂
∂
hoặc gradT.
- Định luật Fourier: Nhiệt lượng truyền qua (∆Q) một diện tích (∆S) tỷ lộ với ∆S, với thời
gian truyền nhiệt (∆t) và độ biến thiên nhiệt độ (gradT) theo phương vuông góc với ∆S.

T
Q S. t
x
∂
∆ = −χ ∆ ∆
∂
(3.5)
Trong đó
χ

là hệ số truyền nhiệt và có đơn vị là
[J/m.độ.s]. Dấu (-) trong biểu thức biểu thị nhiệt lượng
truyền theo chiều từ nơi có nhiệt độ cao tới nơi có nhiệt
độ thấp (hình 3.3). Thuyết động học phân tử đã chứng
minh rằng hệ số truyền nhiệt có giá trị:

v v v
1
v C D C C
3
χ = ρ λ = ρ = η

(3.6)
Hệ số truyền nhiệt chính là nhiệt lượng truyền
qua một đơn vị thời gian khi nhiệt độ biến thiên trên một đơn vị độ dài là 1 độ.
3.1.4. Phương trình truyền
Trong các phương trình mô tả các quá trình khuếch tán, nội ma sát và truyền nhiệt trên đây
cho chúng ta thấy các phương trình có dạng giống nhau, do đó có thể biểu diễn chung cho một
dạng phương trình như sau:

H
G k S. t
x
∂
∆ = ∆ ∆
∂
(4.7)
Phương trình (4.7) gọi là phương trình truyền. Ở đây ∆G có thể là các đai lượng như: khối
lượng khí, nhiệt lượng, lực nội ma sát và
H

x
∂
∂
có thể là các đại lượng tương ứng như khối lượng
riêng trong quá trình khuếch tán, vận tốc trong quá trình nội ma sát và nhiệt độ trong quá trình
truyền nhiệt. Còn k là hệ số tỷ lệ đóng vai trò hệ số khuếch tán (D), hệ sổ nội ma sát (
η
) và hệ số
truyền nhiệt (x) trong các trường hợp đã trình bày ở trên.
3.2. Tính chất của khí ở áp suất rất thấp
Nếu hạ áp suất của chất khí xuống thấp tới mức quãng đường tự do trung bình của phân tử
khí bằng hay lớn hơn kích thước của bình chứa thì tính chất của nó cũng thay đổi
3.2.1. Hiện tượng phóng lưu
20
O
y
x
T
1
T
2
∆S
Hình 3.3: Quá trình dẫn nhiệt
T
1
> T
2
Có 2 bình A và B đựng 2 chất khí khác nhau
đều có áp suất rất thấp là p
A

và p
B
. Hai bình nối với
nhau qua van K (hình 3.4).
a) Giả thiết rẳng nhiệt độ 2 bình như nhau (T
A
=
T
B
). Gọi n
A
là số phân tử trên 1 đơn vị thể tích ở bình
A, n
B
là số phân tử trên 1 đơn vị thể tích ở bình B,
A
v
và
B
v
là vận tốc trung bình của các phân tử khí ở hai
bình A và B.
Mở van K, số phân tử khí chuyển qua 1 đơn vị
diện tích trong một đơn vị thời gian từ bình A sang B
là kn
A
v
A
và từ B sang A là kn
B

v
B
(với k là hệ số tỷ lệ).
Hai luồng khí chuyển qua nhau nhưng không va chạm
nhau. Sự "chảy" của chất khí như vậy gọi là hiện tượng phóng lưu. Hiện tượng này dừng lại khi
số phân tử chuyển qua 2 bình trong 1 đơn vị thời gian là bằng nhau.
b) Trường hợp nhiệt độ hai bình khác nhau
Tính áp suất (p) và nhiệt độ (T) khi cân bằng: Ở trạng thái cân bằng ta có: (Tức là số phân
tử khí chuyển từ bình A qua bình B bằng nhau). Theo phương trình cơ bản của thuyết động học
phân tử ta có
0 B
p n k T=
nên:

A B A
A B A B
A B B
p p T
T T hay p p
T T T
= =
(4.8)
Từ đây suy ra, trong trường hợp (
A B
T T≠
), khác với trường hợp áp suất thường là: ở trạng
thái cân bằng vẫn có sự chênh lệch về áp suất, và độ chênh lệch nhiệt độ càng lớn thì độ chênh
lệch áp suất càng lớn.
3.2.2. Hiện tượng truyền nhiệt của chất khí ỏ áp suất thấp và ứng dụng
Ở áp suất thấp đoạn đường tự do trung bình của các phân tử bằng hay lớn hơn kích thước

bình chứa, cho nên các phân tử trong quá trình chuyển động chỉ va chạm với thành bình mà
khồng va chạm nhau. Do đó, sự biến đổi động lượng và sự trao đổi nhiệt chỉ xảy ra khi va chạm
với thành bình và sự truyền nhiệt mang tính trực tiếp.
Áp suất càng thấp, số phân tử đập vào thành bình càng ít, do đó sự truyền nhiệt càng kém.
Khi đó, hệ số truyền nhiệt phụ thuộc vào áp suất.
Hiện tượng chất khí dẫn nhiệt kém ở áp suất thấp được ứng dụng để chế tạo các bình cách
nhiệt 2 lớp: Dewar. Áp suất giữa 2 lớp của bình chứa phải nhỏ để sao cho quãng đường tự do
trong bình (
λ
) của các phân tử khí lớn hơn khoảng cách giữa hai lớp vỏ bình (d). Các bình này
được dùng để đựng các chất lỏng nóng hoặc lạnh hơn môi trường. Do cơ chế truyền nhiệt kém
như đã trình bày ở trên, nên các bình có cách nhiệt bằng lớp khí áp suất thấp (hoặc chân không)
giữ nhiệt được lâu hơn (ví dụ như: phích đựng nước nóng hoặc nước đá, bình chứa nitơ lỏng
v.v ).
3.2.3. Sự chảy của chất khí ở áp suất rất thấp
Ở áp suất rất thấp, sự chảy của chất khí tuân theo phương trình Knútxen. Nếu gọi V là thể
tích khí truyền qua ống trong một đơn vị thời gian, d là đường kính của ống dẫn cho khí chảy
21
Hình 3.4: Hiện tượng phóng lưu
qua, p là khối lượng riêng của chất khí ở áp suất là 10
-1
Pa,
l
là chiều dài của ống dẫn khí và
1 2
p , p
là áp suất ở hai đầu ống dẫn thì phương trình Knútxen có dạng:

3
1 2

1 2
V d (p p )
6
π
= −
ρl
(3.9)
Đặt
3
1 2
d
6
π
Ω =
ρl
là đại lượng đặc trưng cho khả năng dẫn khí của một ống cho trước, nó
chính là thể tích khí chảy qua ống trong một đơn vị thời gian khi hiệu áp suất giữa hai đầu ống
dẫn là
1
p 10 Pa
−
∆ =
thì đại lượng nghịch đảo của nó là
1
Φ =
Ω
được gọi là sức cản của ống dẫn
khí. Thực tế cho thấy sức cản cửa một dãy ống ghép liên tiếp bằng tổng sức cản của từng ống. Sức cản
của ống tỷ lệ nghịch bậc ba với đường kính của ống dẫn
3

1
d
Φ :
nên trong các hệ thống dẫn khí,
muốn giảm sức cản của ống dẫn, trong thực tế ta phải tăng đường kính ống dẫn để khí lưu thông
nhanh hơn.
3.3. Phương pháp tạo chân không cao
3.3.1. Một số loại bơm chân không thông dụng
a) Bơm cơ học: Là loại bơm hoạt động dưới áp suất khí quyển. Chân không đạt được cỡ 10
-
1
-10
-2
Pa.
- Cấu tạo của bơm cơ học được minh
hoạ trên hình 3.5 bao gồm: ngoài cùng là
một ống hình trụ rỗng (1), phía trong là một
khối trụ đặc nhẵn (2). Hai ống trụ đặt lệch
tâm nhau và tiếp xúc nhau. Hai lá gạt (3) và
(4) luôn tiếp xúc với thành trong ống trụ rỗng
nhờ lò xo nén (7). Toàn bộ bơm nhúng gập
trong dầu để tránh không khí lọt vào (gọi là
bơm dầu).
- Bơm hoạt động được là nhờ một mô
tơ kéo khối trụ đặc làm quay các lá gạt (3)
và (4), khí lần lượt được hút vào bơm theo
ống (5) và thoát ra ngoài qua ống thoát (6).
b) Bơm khuếch tán
- Cấu tạo:
Một bình đựng dầu khuếch tán (hoặc thuỷ ngân). Phía dưới là lò đốt cho dầu (hoặc Hg) bốc

thành hơi. Hơi dầu (hoặc Hg) phun qua ống phun vào một bình chứa hơi, bình này được làm lạnh
bằng H
2
O hoặc không khí đủ lạnh để làm cho hơi dầu (hoặc Hg) ngưng tụ lại. Khi ngưng tụ, hơi
thuỷ ngân nhả ra lượng không khí đã hấp phụ trước đó vào bình chứa, khí này được hút ra ngoài.
Lượng dầu (hoặc Hg) ngưng tụ sẽ dồn trở lại bình chứa ban đầu và lại được nung nóng để bốc
hơi. Quá trình cứ tiếp tục như vậy (hình 3.6).
22
- Hoạt động của bơm khuếch tán nhờ hai hiện tượng cơ bản:
+ Hiện tượng khuếch tán khí ở áp suất thấp: Nhờ bơm đầu (cơ học) tạo chân không ban đầu
ở bộ phận cần hút, nên từ đó khí dễ dàng khuếch tán qua ống nối vào luồng hơi dầu (hoặc Hg) và
thoát ra từ ống phun. Áp suất càng thấp hiện tượng khuếch tán càng xảy ra nhanh.
+ Hiện tượng hấp phụ khí: Hơi dầu (hoặc Hg) phụt mạnh qua ống phun kéo theo khí khuếch
tán từ bộ phận cần hút chân không. Khí được các giọt dầu (hoặc Hg) nhỏ li ti hấp phụ trên bề
mặt. Khi chuyển động xuống dưới, dầu (hoặc Hg) đọng thành giọt ngày càng to hơn làm cho số
phân tử khí bị hấp phụ bay ra khỏi giọt dầu (hoặc Hg) và thoát ra theo ống thoát khí. Còn các
giọt dầu (hoặc Hg) quay trở về bình chứa ban đầu
Bơm khuếch tán được dùng nhiều trong các phòng thí nghiệm nhằm phục vụ nghiên cứu.
Nó có thể tạo được chân
không đến 10
-6
Pa.
c) Bơm phân tử
- Cấu tạo gồm: Phía
ngoài là một ống trụ rỗng (1)
và phía trong là khối trụ đặc
có xẻ các rãnh xoắn ốc trên bề
mặt sâu cỡ 1 ÷ 2 mm (2). Một
môtơ gắn vào để làm quay
khối trụ đặc (3), ống hút khí

(4) được nối với bộ phận cần
hút chân không (hình 3.7).
- Hoạt động của bơm
phân tử: nhờ vào hiện tượng khuếch tán khí và hiện tượng kéo theo các phân tử khí từ bình cần
hút chân không khuếch tán qua ống hút khí (4) đến đập vào các rãnh của khối trụ đặc (2). Do
23
khối trụ đặc quay nhanh nên các phân tử khí bật ra với góc lớn hơn góc đập vào. Phân tử bật ra
lại đập trở lại ống trụ rỗng rồi đập vào khối trụ đặc với góc đập lớn hơn. Quá trình cứ tiếp tục
như vậy và làm cho các phân tử khí bị ''cuốn" ra ngoài theo ống thoát (5).
Sử dụng bơm phân tử có thể cho áp suất đạt đến 10
-3
÷ 10
-4
Pa. Tuy nhiên, việc lắp ráp loại
bơm này rất phức tạp.
3.3.2. Một số phương pháp xác định chân không
Muốn đo chân không cao ta phải dùng các loại áp kế. Một số loại áp kế thường được sử
dụng như sau:
a) Áp kế Máclêốt
Đó là loại áp kế có hình chữ u chứa thuỷ ngân. Dựa vào mức chênh lệch thuỷ ngân ở hai
nơi có áp suất khác nhau để đo mức chân không tại nơi cần đo. Trước khi đo, áp suất khí được
khuếch đại nhiều lần. Giới hạn đo của loại khí áp kế này từ 100 ÷ 10
-2
Pa
b) Áp kế rung
Nguyên tắc hoạt động dựa vào dao động tắt dần của một vật tỷ lệ với áp suất trong môi
trường khí. Giối hạn đo của khí áp kế này tù 10 ÷ 10
-3
Pa.
c) Khí áp kế điện

Hoạt động dựa trên nguyên tắc đòng điện giới hạn chạy qua khối khí bị ion hoá phụ thuộc
vào vào áp suất khối khí. Còn áp kế Pirani dựa vào sự phụ thuộc của hệ số dẫn nhiệt vào áp suất.
Giới hạn đo của khí áp kế này từ: 1 ÷ 10
-7
Pa.
*) Tài liệu học tập
[1] Bùi Trọng Tuân (2005), Nhiệt học, NXB Đại học Sư phạm.
[2] Đàm Trung Đồn, Nguyễn Trọng Phú (1994), Vật lí phân tử và nhiệt học, NXB Giáo
dục, Hà Nội
[3] Lê Văn (1978) , Vật lí phân tử và nhiệt học, NXB Giáo dục Hà Nội
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
24
Chương 4
Khái niệm cơ bản của vật lí thống kê cổ điển
(LT: 7, BT: 1)
*) Mục tiêu:
4.1. Mô tả vĩ mô và vi mô một hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động. Quy luật tính
động lực và quy luật tính thống kê
4.1.1. Mô tả vĩ mô và vi mô một hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động
4.1.2. Quy luật tính động lực và quy luật tính thống kê
a) Quy luật tính động lực
Nội dung tổng quát nhất của quy luật tính đó là: dựa vào giá trị đã cho một cách chính xác
của một số đại lượng đặc trưng cho một quá trình hay hiện tượng nhất định ta sẽ tính được một
cách triệt để các giá trị của các đại lượng khác bất kì. Theo quan điểm đó, khi cho biết một cách
tuyệt đối chính xác các nguyên nhân ta sẽ xác định được một cách tuyệt đối chính xác các kết
quả. Quy luật tính động lực không những đã được vận dụng trong cơ học mà cả trong lĩnh vực
khác như trong lí thuyết về điện từ trường chẳng hạn. Các đặc thù của quy luật tính động lực thể
hiện rõ khi mô tả và khảo sát các hệ bao gồm một sô" tương đốì ít các phần tử (hạt). Thí dụ như,
khi mô tả định luật tương tác của hai phân tử, chuyển động của hành tinh quanh mặt trời…
Nhưng nếu chúng ta xét các quá trình trong các hệ gồm một số lớn hạt, như một lượng khí

vĩ mô (bao gồm một số lớn phân tử), hoặc một thanh kim loại (bao gồm một số rất lớn các
electron), thì, trong các hệ đó, quy luật tính động lực phải nhường chỗ cho quy luật tính thống kê.
b) quy luật tính thống kê
- Các tính chất của hệ nhiều hạt mang tính chất thống kê, cụ thể: tính chất của hệ nhiều hạt
(như khí lí tưởng chẳng hạn) ở thời điểm đang xét thực tế là hoàn toàn không phụ thuộc vào
trạng thái ban đầu, tức là vào các điều kiện ban đầu.
- Các va chạm ngẫu nhiên của các phân tử riêng lẻ đã làm thay đổi hướng chuyển động
cũng như vận tốc chuyển động của các phân tử đó, từ đó hình thành sự hỗn độn sơ cấp. Kết quả
là, trong toàn bộ hệ nhiều hạt, các điều kiện ban đầu hình như “tiêu tan” mất và không thể làm
ảnh hưởng tới các tính chất kế tiếp về sau của toàn bộ hệ. Từ đó suy ra rằng, trong hệ nhiều hạt
(tức là trong các hệ vĩ mô tồn tại trong thực tể) có biểu hiện quy luật tính thống kê. Qui luật tính
thống kê có tính chất khác hẳn các quy luật tính động lực và là hệ quả của tính chất số đông, đặc
thù cho cả tập thể to lớn của hệ nhiều hạt.
- Quy luật tính thống kê cũng mang tính chất hoàn toàn khách quan, nó cũng không phụ
thuộc vào con người và thể hiện ngay trong bản thân thiên nhiên thực tại. Trong các hệ nhiều hạt
của các định luật thống kê cho phép ta có những kết luận hoàn toàn khẳng định về hành vi của
toàn bộ hệ, và, các đặc trưng tính toán được chính là trị trung bình tính theo tập hợp.
25