Định nghĩa về giới hạn hàm số

1. Tìm ?
3
2
2 1
lim
2 1
n
n n
−
− +
§
1. Giới hạn của hàm số tại một điểm
2. Giới hạn của hàm số tại vô cực
3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn.
Nội dung

Củng cố
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn

ĐỊNH NGHĨA 1 (sgk, tr 146)
Giả sử (a;b) là khoảng chứa điểm và f là một
hàm số xác định trên tập hợp . Ta
nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x
dần đến (hoặc tại điểm ) nếu với mọi dãy số
. trong tập hợp (tức
và với mọi n) mà ta
đều có

Khi đó ta viết
hoặc
0
x
0
( ; ) \{ }a b x
0
x
0
x
( )
n
x
0
( ; ) \{ }a b x
( ; )
n
x a b
∈
0n
x x
≠
0
lim
n
x x
=
lim ( )
n
f x L

=
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
0
( )f x L khi x x
→ →
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
Tóm tắt định nghĩa
Giả sử và f là một hàm số xác định trên
0
( ; )x a b
∈
0
( ; ) \{ }a b x
0
0 0
( ) ( ; ) \{ } lim
lim ( )
lim ( )
n n
x x
n

x a b x x x
f x L
f x L
→
∀ ⊂ =
 
= ⇔
 ÷
⇒ =
 
mà
3 2
3 2
3 2
lim ( ) lim( 3 5)
lim lim3 lim lim5
2 3.2 2 5 3
n n n n
n n n
f x x x x
x x x
⇒ = − + + =
= − + + =
= − + + =

Ví dụ 1: Cho
3 2
( ) 3 5f x x x x= − + +
- Với mọi dãy số (x
n

) trong (-2;5)\{2} mà
lim x
n
= 2, ta có
3 2
( ) 3 5
n n n n
f x x x x= − + +
- Ta nói hàm số f có giới hạn là 3 khi x
dần đến 2
3 2
2
lim( 3 5) 3
x
x x x
→
− + + =
- Khi đó ta viết
- Xét
0
2x
=
ta có (-2;5) là khoảng chứa 2
- Ta có (-2;5) là khoảng chứa 2
- f xác định trên tập (-2;5)\{2}
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn


Ví dụ 2: Tìm ?
2
3
4 3
lim
3
x
x x
x
→
− +
−
Giải
+Ta có
2
4 3 ( 1).( 3)
( ) ( 1)
3 3
x x x x
f x x
x x
− + − −
= = = −
− −
lim ( ) lim ( 1) 3 1 2
n n
f x x
= − = − =
H1? Tìm

2
1
3 2
lim
1
x
x x
x
→−
+ +
+
3 0 3x x
− ≠ ⇔ ≠
+ ĐK:
2
4 3 0 1 3x x x x
− + = ⇔ = =
+ và
Do đó:
2
4 3 ( 1)( 3)x x x x
− + = − −
mà , ta có
( ) \{3} lim 3
n n
x x
∀ ⊂ =
R
•
B2:

3
2
lim 2
4 3
3
x
x x
x
→
=
− +
−
•
B3: Kết luận
•
B1: Xét hàm số:
2
4 3
( )
3
x x
f x
x
− +
=
−
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu

hạn
Giải
+Ta có
2
3 2 ( 1)( 2)
( ) ( 2)
1 1
x x x x
f x x
x x
+ + + +
= = = +
+ +
lim ( ) lim ( 2) 1 2 1
n n
f x x
= + =− + =
H1? Tìm
2
1
3 2
lim
1
x
x x
x
→−
+ +
+
1 0 1x x

+ ≠ ⇔ ≠ −
+ ĐK:
2
3 2 0 1 2x x x x
+ + = ⇔ = − = −
+ và
Do đó:
2
3 2 ( 1)( 2)x x x x
+ + = + +
mà , ta có
( ) \{ 1} lim 1
n n
x x
∀ ⊂ − = −
R
•
B2:
2
1
3 2
lim 1
1
x
x x
x
→−
+ +
=
+

•
B3: Kết luận
•
B1: Xét hàm số:
2
3 2
( )
1
x x
f x
x
+ +
=
+
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn

Nhận xét
a) Nếu , trong đó c là
hằng số, thì
( ) ,f x c x
= ∀ ∈
R
0
,x
∀ ∈
R

0 0
lim ( ) lim
x x x x
f x c c
→ →
= =
a) Nếu , thì
( ) ,g x x x
= ∀ ∈
R
0
,x
∀ ∈
R
0 0
0
lim ( ) lim
x x x x
g x x x
→ →
= =
Ví dụ:
2
) lim3 3
x
a
→
=
6
) lim 3 3

x
b
→−
=
2
) lim 2
x
c x
→
=
6
) lim 6
x
d x
→−
= −
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
b) Giới hạn vô cực
a) Giới hạn hữu
hạn

ĐỊNH NGHĨA

Ví dụ 3: Tìm ?
2
2
1
lim

( 2)
x
x
→−
+
Giải
0
lim ( )
x x
f x
→
• = +∞
0 0
( ) ( ; ) \{ } lim
lim ( )
n n
n
x a b x x x
f x
∀ ⊂ =
 
⇔
 ÷
⇒ = +∞
 
mà
0
lim ( )
x x
f x

→
• = −∞
Tương tự:
•
B1: Xét hàm số
2
1
( )
( 2)
f x
x
=
+
+ ĐK:
2
( 2) 0 2x x
+ ≠ ⇒ ≠ −
•
B2: mà , ta có
( ) \{ 2}
n
x
∀ ⊂ −
R
lim 2
n
x
= −
2
1

lim ( ) lim
( 2)
n
n
f x
x
=
+
+ Vì
2
lim 1 1 0,lim( 2) 0
n
x= > + =
và
2
( 2) 0,
n
x n
+ > ∀
nên
lim ( )
n
f x
= +∞
•
B2: Kết luận
2
2
1
lim

( 2)
x
x
→−
= +∞
+
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
2. Giới hạn của
hàm số tại vô
cực

ĐỊNH NGHĨA 2 (sgk, tr 148)
Giả sử hàm số f xác định trên , ta nói
( ; )a
+∞
( ) ( ; ) lim
lim ( )
lim ( )
n n
x
n
x a x
f x L
f x L
→+∞
∀ ⊂ +∞ = +∞

 
= ⇔
 ÷
⇒ =
 
mà

Các giới hạn
lim ( )
x
f x L
→−∞
• =
lim ( )
x
f x
→−∞
• = +∞
lim ( )
x
f x
→+∞
• = +∞
lim ( )
x
f x
→+∞
• = −∞
lim ( )
x

f x
→−∞
• = −∞
b) Giới hạn vô cực
được định nghĩa tương tự.
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn

Nhận xét: Với mọi số nguyên dương k, ta có
) lim ;
k
x
a x
→+∞
= +∞
1
) lim 0
k
x
c
x
→+∞
=
1
) lim 0
k
x

d
x
→−∞
=
) lim
k
x
b x
→−∞
+∞

=

−∞

nếu k chẵn
nếu k lẻ
2. Giới hạn của
hàm số tại vô
cực
b) Giới hạn vô cực
Ví dụ:
3
) lim
x
a x
→+∞
= +∞
4
) lim

x
b x
→−∞
= +∞
3
') lim
x
b x
→−∞
= −∞
2
1
) lim 0
x
c
x
→+∞
=
3
1
) lim 0
x
d
x
→−∞
=
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu

hạn
2. Giới hạn của
hàm số tại vô
cực
b) Giới hạn vô cực
3. Một số định lí
về giới hạn hữu
hạn.

ĐỊNH LÍ 1 (sgk tr 149)
Giả sử và . Khi đó
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
0
lim ( )
x x
g x M
→
=
0
) lim[ ( ) ( )]
x x
a f x g x L M
→
+ = +
0

) lim[ ( ) ( )]
x x
b f x g x L M
→
− = −
0
) lim[ ( ). ( )] .
x x
c f x g x L M
→
=
0
( )
lim
( )
x x
f x L
g x M
→
=
Đặc biệt, nếu c là một hằng số thì
0
lim[ . ( )] .
x x
c f x c L
→
=
d) Nếu thì
0M
≠


Chú ý: Định lí 1 vừa nêu và định lí 2 tiếp theo
vẫn đúng khi thay bởi hoặc
0
x x
→
x → −∞
.x
→ +∞
3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn:
ĐỊNH LÍ 1:
( )
0
lim
x x
f x L
→
=
( ) ( )
0
lim , , .
x x
g x M L M
→
= ∈¡
Giả sử: và Khi đó:
( ) ( )
0
) lim ;
x x

a f x g x L M
→
+ = +
 
 
( ) ( )
0
) lim ;
x x
b f x g x L M
→
− = −
 
 
( ) ( )
0
) lim ;
x x
c f x g x LM
→
=
 
 
( )
( )
0
) lim ; 0
x x
f x
L

d M
g x M
→
= ≠
( )
0
lim ; c: haèng soá
x x
cf x cL
→
=
 
 
ĐỊNH LÍ 2:
( )
0
lim
x x
f x L
→
=
Giả sử: khi đó:
( )
0
) lim | | | | ;
x x
a f x L
→
=
( )

0
3
3
) lim ;
x x
b f x L
→
=
⇐
c) Nếu f(x) ≥0 với mọi x∈J\{x
0
}, trong đó J là một khoảng nào đó chứa x
0
thì
L≥0 và
( )
0
lim
x x
f x L
→
=
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
2. Giới hạn của
hàm số tại vô
cực

b) Giới hạn vô cực
3. Một số định lí
về giới hạn hữu
hạn.

Nhận xét: Nếu k là một số nguyên dương
và a là một hằng số thì với mọi ta có
0
,x R∀ ∈
0
0
lim
k k
x x
ax ax
→
=

Ví dụ 4:
3 2
1
) lim( 3 2 3)
x
a x x x
→
+ − −
2
2
1
2 1

) lim
x
x x
b
x x
→−
+ +
+
Ví dụ:
3 3
2
lim2 2.2 16
x
x
→
= =
Giải

Ví dụ 5:
2
2
1
lim
2 1
x
x
x x
→+∞
+
− +

Giải
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
2. Giới hạn của
hàm số tại vô
cực
b) Giới hạn vô cực
3. Một số định lí
về giới hạn hữu
hạn.
3 2
1
) lim( 3 2 3)
x
a x x x
→
+ − −
Ta có
3 2
1
3 2
1 1 1 1
3 2
lim( 3 2 3)
lim lim3 lim 2 lim3
1 3.1 2.1 3 1
x

x x x x
x x x
x x x
→
→ → → →
+ − − =
= + − − =
= + − − = −
3 2
1
lim( 3 2 3) 1
x
x x x
→
+ − − = −
Vậy
2
2
1
2 1
) lim
x
x x
b
x x
→−
+ +
+
Với , ta có
2 2

2
2 1 ( 1) 1
( 1)
x x x x
x x x x x
+ + + +
= =
+ +
1x ≠ −
Do đó
2
1
2
1 1
1
lim( 1)
2 1 1 1 1
lim lim 0
lim 1
x
x x
x
x
x x x
x x x x
→ −
→ − → −
→ −
+
+ + + − +

= = = =
+ −
Vậy
2
2
1
2 1
lim 0
x
x x
x x
→−
+ +
=
+
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
2. Giới hạn của
hàm số tại vô
cực
b) Giới hạn vô cực
3. Một số định lí
về giới hạn hữu
hạn.

Ví dụ 5:
2

2
1
lim
2 1
x
x
x x
→+∞
+
− +
Giải
Chia tử và mẫu phân thức cho x
2
ta được
2
2
2
2
1
1
1
, 0
1 1
2 1
2
x
x
x
x x
x x

+
+
= ∀ ≠
− +
− +
2 2
1 1
lim (1 ) lim 1 lim 1 0 1
x x x
x x
→ +∞ → +∞ → +∞
+ = + = + =
Ta có
2 2
1 1 1 1
lim (2 ) lim 2 lim lim 2 0 0 2
x x x x
x x x x
→ +∞ → +∞ → +∞ → +∞
− + = − + = − + =
Do đó
2
2 2
2
2 2
1 1
1 lim (1 )
1 1
lim lim
1 1 1 1

2 1 2
2 lim (2 )
x
x x
x
x
x x
x x
x x x x
→ +∞
→ +∞ → +∞
→ +∞
+ +
+
= = =
− +
− + − +
16





<
≥+
==
0nếu
0nếu
2
xx

xx
xx
-
Đặt bậc cao nhất của tử và mẫu làm nhân tử chung

Nếu bậc tử < bậc mẫu thì f(x)→0

Nếu bậc tử = bậc mẫu thì f(x)→số thực

Nếu bậc tử > bậc mẫu thì f(x)→∞
∞.0
0
0
∞−∞
Khử dạng vô đònh
Khử dạng vô đònh

Dạng hay
∞
∞
∞.0
∞
∞

Dạng dùng lượng liên hợp
∞−∞
))((
22
bababa
−+=−

))((
2233
babababa ++−=−
17
9
3
lim
2
3

+

x
x
x
Caực baứi taọp vớ duù:
1
4
6
lim
2
2
2

+

x
xx
x
2

x
x
x
2
121
lim
0
+

3
39
4
lim
0
+

x
x
x
4
1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
b) Giới hạn vô cực
3. Một số định lí
về giới hạn hữu
hạn.
CỦNG CỐ BÀI HỌC

1. Theo định nghĩa, để tính giới hạn của hàm
số tại x
0
ta thực hiện ba bước:
•
B1: Xét hàm số f(x) trên tập xác định của nó
+ Nếu f(x) xác định tại x
0
thì thực hiện bước 2.
+ Nếu f(x) không xác định tại x
0
thì biến đổi tử
và mẫu f(x) thành tích, sau đó rút gọn.
•
B2: : Với mọi dãy số mà
*
0
( ), ,
n n
x x x n N
≠ ∀ ∈
0
lim
n
x x
=
+ Tính
lim ( )
n
f x L

=
2. Giới hạn tại vô
cực:
PP: Tương tự như giới hạn dãy số
•
B3: : Kết luận
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
3. Tính giới hạn bằng định
lí
2. Giới hạn của
hàm số tại vô
cực
§
1. Giới hạn của hàm số tại một điểm
2. Giới hạn của hàm số tại vô cực
3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn.
Nội dung

Củng cố