Định nghĩa giới hạn hàm số (tiếp theo)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (168.94 KB, 16 trang )
Tuần 25 Tiết 64
Chương 4: Giới hạn.
§4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ
GiỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tt)
1. Giới hạn của hàm số tại một điểm:
a) Giới hạn hữu hạn:
Định nghĩa 1:
b) Giới hạn vô cực:
2. Giới hạn của hàm số tại vô cực:
Định nghĩa 2:
3. Một số định lý về giới hạn hữu hạn:
Định lí 1:
Định lí 2:
Tuần 25 Tiết 64
Chương 4: Giới hạn.
§4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ
GiỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tt)
1. Giới hạn của hàm số tại một điểm:
a) Giới hạn hữu hạn:
ĐỊNH NGHĨA 1:
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; b) có thể trừ tại x 0 ∈ (a; b)
∀ daõy ( x n ) , x n ∈ ( a; b ) , xn ≠ x0
lim f ( x ) = L ⇔
x → x0
lim xn = x0 ⇒ lim f ( xn ) = L
Tương tự, ta đn giới hạn vô cực
b) Giới hạn vô cực:
lim f ( x ) = +∞ , lim f ( x ) = −∞
x → x0
x → x0
Tuần 25 Tiết 64
Chương 4: Giới hạn.
§4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ
GiỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tt)
2. Giới hạn của hàm số tại vô cực:
ĐỊNH NGHĨA 2:
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; +∞)
lim f ( x ) = L
x →+∞
∀ daõy ( x n ) , x n ∈ ( a; +∞ )
⇔
lim xn = +∞ ⇒ lim f ( xn ) = L
Tương tự, hãy định nghĩa:
lim f ( x ) = L , lim f ( x ) = +∞ ,
x →−∞
x →+∞
lim f ( x ) = −∞ , lim f ( x ) = −∞ ,
x →+∞
x →−∞
lim f ( x ) = +∞ ,
x →−∞
Tuần 25 Tiết 64
Chương 4: Giới hạn.
§4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ
GiỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tt)
2. Giới hạn của hàm số tại vơ cực:
1
Ví dụ 3: lim = 0 ,
x →−∞ x
1
Vì: ∀ dãy ( x n ) , x n ∈ ( −∞;0 ) maø lim xn = −∞ ⇒ lim
=0
xn
1
Tương tự: lim = 0 ,
x →+∞ x
dn2
Nhận xét: Với mọi số nguyên dương k, ta có:
a ) lim x = +∞
k
x →+∞
1
c) lim k = 0
x →+∞ x
+∞ nếu k chẵn
b) lim x =
x →−∞
-∞ nếu k lẻ
k
1
d ) lim k = 0
x →−∞ x
Tuần 25 Tiết 64
Chương 4: Giới hạn.
§4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ
GiỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tt)
3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn:
ĐỊNH LÍ 1:
Giả sử:
lim f ( x ) = L và lim g ( x ) = M , ( L, M ∈ ¡ ) . Khi đó:
x → x0
x → x0
a ) lim f ( x ) + g ( x ) = L + M ;
x → x0
b) lim f ( x ) − g ( x ) = L − M ;
x → x0
c) lim f ( x ) g ( x ) = LM ;
lim cf ( x ) = cL; c: hằng số
x → x0
x → x0
f ( x)
L
d ) lim
= ; M ≠0
x → x0 g ( x )
M
(
Nhận xét: lim ax = lim a lim x. lim x... lim x = a. lim x
k
x → x0
x → x0
x → x0
x → x0
x → x0
1 4 44 2 4 4 4
3
k thừa số
x → x0
)
k
k
= ax0
Tuần 25 Tiết 64
Chương 4: Giới hạn.
§4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ
GiỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tt)
3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn:
Ví dụ 4: Tìm
a) lim ( x3 − 5 x 2 + 7 )
x→2
Giải:
x2 − x − 2
b) lim 3
x →−1 x + x 2
= lim x 3 − lim 5 x 2 + lim 7 = 23 − 5.22 + 7 = −5
a) lim ( x − 5 x + 7 ) x →2
x →2
x→2
3
2
x→2
x2 − x − 2
b) lim 3
x →−1 x + x 2
dli1
x 2 − x − 2 ( x + 1) ( x − 2 ) x − 2
Với x ≠ 1, ta có:
=
= 2 nên:
3
2
2
x +x
x ( x + 1)
x
x2 − x − 2
x−2
lim
= lim 2 = −3
x →−1 x 3 + x 2
x →−1 x
Tuần 25 Tiết 64
Chương 4: Giới hạn.
§4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ
GiỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tt)
3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn:
2x2 − x + 1
4
(H2) Tìm: lim
=
= −4
2
x →−1 x + 2 x
−1
2 1 10
− 2+ 3
2
2 x − x + 10
x = 0 =0
= lim x x
Ví dụ 5: Tìm lim 3
x →+∞
x →+∞ x + 3 x − 3
3 3
1
1+ 2 − 3
x
x
1 1
2− + 3
2 x 4 − x3 + x
x x = 2=2
= lim
(H3) Tìm: lim 4
x →+∞
x →+∞ x + 2 x 2 − 7
2 7
1
1+ 2 − 4
x
x
nhanxet
Tuần 25 Tiết 64
Chương 4: Giới hạn.
§4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ
GiỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tt)
3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn:
ĐỊNH LÍ 2: Giả sử:
lim f ( x ) = L khi đó:
x → x0
a ) lim | f ( x ) |=| L | ;
x → x0
b) lim
x → x0
3
f ( x) = 3 L ;
c) Neáu f ( x ) ≥ 0 với mọi x ∈ J \ { x0 } , trong đó J là một
khoảng nào đó chứa x 0 ,
thì L ≥ 0 và lim
x → x0
f ( x) = L;
Tuần 25 Tiết 64
Chương 4: Giới hạn.
§4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ
GiỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tt)
3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn:
2 x 4 − x3 + x
Ví dụ 6: Tìm lim
x →−∞
x4 + 2 x2 − 7
2 x 4 − x3 + x
2 x 4 − x3 + x
Giải: Vì lim
= 2
= 2 neân: xlim
4
2
→−∞
x →−∞ x 4 + 2 x 2 − 7
x + 2x − 7
(H4) Tìm:
lim | x3 + 7 x | và lim 3 x 3 + 7 x
x →−1
x →−1
Ta coù lim ( x3 + 7 x ) = −8
x →−1
⇒ lim | x 3 + 7 x | = | −8 | = 8
x →−1
lim 3 x3 + 7 x = 3 −8 = −2
x →−1
dly2
Tuần 25 Tiết 64
Chương 4: Giới hạn.
§4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ
GiỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tt)
Tuần 25 Tiết 64
Chương 4: Giới hạn.
§4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ
GiỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tt)
3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn:
ĐỊNH LÍ 2: Giả sử:
lim f ( x ) = L khi đó:
x → x0
a ) lim | f ( x ) |=| L | ;
x → x0
b) lim
x → x0
3
f ( x) = 3 L ;
c) Neáu f ( x ) ≥ 0 với mọi x ∈ J \ { x0 } , trong đó J là một
khoảng nào đó chứa x 0 ,
thì L ≥ 0 và lim
x → x0
f ( x) = L;
trolai
tr1
Tuần 25 Tiết 64
Chương 4: Giới hạn.
§4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ
GiỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tt)
2. Giới hạn của hàm số tại vô cực:
ĐỊNH NGHĨA 2:
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; +∞)
lim f ( x ) = L
x →+∞
∀ daõy ( x n ) , x n ∈ ( a; +∞ )
⇔
lim xn = +∞ ⇒ lim f ( xn ) = L
trolai
tr1
Tuần 25 Tiết 64
Chương 4: Giới hạn.
§4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ
GiỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tt)
3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn:
ĐỊNH LÍ 1:
Giả sử:
lim f ( x ) = L và lim g ( x ) = M , ( L, M ∈ ¡ ) . Khi đó:
x → x0
x → x0
a ) lim f ( x ) + g ( x ) = L + M ;
x → x0
b) lim f ( x ) − g ( x ) = L − M ;
x → x0
c) lim f ( x ) g ( x ) = LM ;
x → x0
d ) lim
x → x0
lim cf ( x ) = cL; c: hằng số
x → x0
f ( x)
L
= ; M ≠0
g ( x) M
trolai
tr1
Tuần 25 Tiết 64
Chương 4: Giới hạn.
§4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ
GiỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tt)
2. Giới hạn của hàm số tại vô cực:
Nhận xét: Với mọi số nguyên dương k, ta có:
a ) lim x = +∞
k
x →+∞
1
c) lim k = 0
x →+∞ x
+∞ neáu k chẵn
b) lim x =
x →−∞
-∞ nếu k lẻ
k
1
d ) lim k = 0
x →−∞ x
quaylai
Tuần 25 Tiết 64
Chương 4: Giới hạn.
§4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ
GiỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tt)
1. Giới hạn của hàm số tại một điểm:
a) Giới hạn hữu hạn:
ĐỊNH NGHĨA 1:
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; b) có thể trừ tại x 0 ∈ (a; b)
∀ daõy ( x n ) , x n ∈ ( a; b ) , xn ≠ x0
lim f ( x ) = L ⇔
x → x0
lim xn = x0 ⇒ lim f ( xn ) = L
Tương tự, ta đn giới hạn vô cực
b) Giới hạn vô cực:
lim f ( x ) = +∞ , lim f ( x ) = −∞
x → x0
x → x0
tr1
Tuần 25 Tiết 64
Chương 4: Giới hạn.
§4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ
GiỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tt)
1. Giới hạn của hàm số tại một điểm:
a) Giới hạn hữu hạn:
ĐỊNH NGHĨA 1:
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; b) có thể trừ tại x 0 ∈ (a; b)
∀ daõy ( x n ) , x n ∈ ( a; b ) , xn ≠ x0
lim f ( x ) = L ⇔
x → x0
lim xn = x0 ⇒ lim f ( xn ) = L
Tương tự, ta đn giới hạn vô cực
b) Giới hạn vô cực:
lim f ( x ) = +∞ , lim f ( x ) = −∞
x → x0
x → x0
tr1
