Dãy số có giới hạn bằng 0

Ch¬ng IV:

Giíi h¹n
a. giíi h¹n cña d·y sè
Bµi 1
D·y sè cã giíi h¹n 0
Kiểm tra bài cũ:
Em hãy nhắc lại định nghĩa về dãy số
Một hàm số u xác định trên tập các
số nguyên d'ơng N* đ'ợc gọi là một
dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy
số)
1). §Þnh nghÜa d y sè cã giíi h¹n 0· :
( )
n
n
n
1
u
−
=
H·y x¸c ®Þnh c¸c sè h¹ng u
1
; u
2
, u
3
,
u
10
, u

11
, u
23
, u
24
cña d·y sè trªn?
)
VÝ dô: Cho d·y sè (u
n
)

víi
(
n
1
u
n
n
−
=
H·y biÓu diÔn d·y sè trªn d'íi
d¹ng khai triÓn?
|
1

|
0
|
1
2

|
1
4
|
1
10
|
1
24
|
1
3

|
1
5

|
1
11

|
1
23

Biểu diễn các số hạng của dãy số (u
n
) trên trục số ta thấy :
1 1 1 1 1 1 1 1
1; ; ; ; ; ; ; ; ;

2 3 4 5 10 11 23 24

Khi n tăng dần thì khoảng cách từ
điểm u
n
đến điểm 0 thay đổi nh' thế
nào ?
Khi n tăng thì các điểm biểu diễn chụm lại
quanh điểm 0, nghĩa là khoảng cách |u
n
|
từ điểm u
n
đến điểm 0 trở nên nhỏ bao
nhiêu cũng đ'ợc miễn là n đủ lớn.
52515023 24 25

10 11 12



|u
n
|
21n
1
2
1
10
1

1
11
1
12
1
23
1
24
1
25
1
50
1
51
1
52
Mọi số hạng của dãy số đã cho có giá
trị tuyệt đối nhỏ hơn kể từ số hạng
thứ mấy trở đi ?
1
23
Nhìn vào bảng trên hãy nhận xét xem:
Mọi số hạng của dãy số đã cho có giá
trị tuyệt đối nhỏ hơn kể từ số hạng
thứ mấy trở đi ?
1
10
Mọi số hạng của dãy số có giá trị tuyệt đối
nhỏ hơn , kể từ số hạng thứ 11 trở đi.
1

10
Mọi số hạng của dãy số có giá trị tuyệt đối
nhỏ hơn , kể từ số hạng thứ 24 trở đi.
1
23
Ta có bảng các giá trị t'ơng ứng
Nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
một số d'ơng nhỏ tuỳ ý cho tr'ớc, kể từ một số hạng nào đó
trở đi. Ta nói: dãy số có giới hạn là 0
52515023 24 25

10 11 12


1
|u
n
|
21n
1
2
1
10
1
11
1
12
1
23
1

25
1
50
1
51
1
52
1
24
Với dãy số trên ta thấy, mọi số hạng
của dãy số có giá trị tuyệt đối nhỏ
hơn , kể từ số hạng thứ n+1 trở đi.
1
n
Nh' vậy:
1
( , *)
n
u n m n m N
m
< >
với mọi
1). Định nghĩa d y số có giới hạn 0:ã
= =
lim( ) 0 hoặc limb) Kí h 0iệu ho : c 0 ặ
n n n
u u u
n
Kí hiệu: " " còn đ'ợc viết " ",
đọc là: Dãy số có giới hạn là 0 khi n

lim 0 l
dần đến vô cự
im u =0
c
n
n
u

=

=

=
( 1)
Ví dụ: Dãy số có giới hạn là
T
0
( 1)
la vi t: imế 0
n
n
n
u
n
n
Dãy số (u
n
) có giới hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi
số d'ơng nhỏ tuỳ ý cho tr'ớc, mọi số hạng của dãy số, kể từ
một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số

d'ơng đó.
a) Định nghĩa
c) NhËn xÐt:
* D·y sè kh«ng ®æi (u
n
), víi u
n
= 0 cã giíi h¹n 0.
* lim 0 lim 0
n n
u u
= ⇔ =
VÝ dô:
0
n
1
lim =
V× :
( )
n
1
n
1
n
−
=
mµ
0
=
( )

1
lim
n
n
−
2). Một số dãy số có giới hạn 0
=
=
3
1
) lim 0
1
) lim 0
a
n
b
n
a) Bài toán 1:
Cho hai dãy số (u
n
) và (v
n
) nếu với mọi n
và lim v
n
= 0. Chứng minh rằng lim u
n
= 0

n n

u v
b) Định lí 1:
,
lim 0
lim 0
n n
n
n
u v n
u
v



=

=


Cho hai dãy số (u
n
) và (v
n
) nếu
sin
VD1: Chứng minh rằng: lim 0
n
n
=
Giải:

1
Mà: lim
n
= 0
d y số có giới hạn 0ã
=

ữ
ữ
ữ

lim 0
Mọi | | đều nhỏ hơn một số
d'ơng nhỏ tuỳ ý cho tr'ớc
kể từ một số hạng nào đó trở đi
n
n
u
u
1
lim 0
n
=
=
=
3
1
lim 0
1
lim 0

n
n
,
lim 0
lim 0
n n
n
n
u v n
u
v



=

=


sin n
n
1
n
Ta có
<
Nên theo định lí 1 ta có:
sin
lim
n
n

=
0
1
VD2: Chứng minh rằng: lim 0,
k
k Z
n
+
=
Giải:
Ta có
Với mọi n.

Nên theo định lí 1 ta có:
0.
=

1
k
n
1
k
n
1
n
1
Mà lim =
n
1
lim =

k
n
d y số có giới hạn 0ã
=

ữ
ữ
ữ

lim 0
Mọi | | đều nhỏ hơn một số
d'ơng nhỏ tuỳ ý cho tr'ớc
kể từ một số hạng nào đó trở đi
n
n
u
u
1
lim 0
n
=
=
=
3
1
lim 0
1
lim 0
n
n

,
lim 0
lim 0
n n
n
n
u v n
u
v



=

=


=
1
lim 0
k
n
0
d) §Þnh lý 2: (Thõa nhËn )
NÕu th× lim q
n
= 0
¸p dông: T×m giíi h¹n cña c¸c d·y sè sau:

1q <

( )
1
1) lim
5
sin
2) lim
5
cos 2
3) lim
1
n
n
n
n
n
n
−
+
+
+
a)
b)
VD: Hãy điền vào chỗ trống để đ'
ợc mệnh đề đúng?
VD: Hãy điền vào chỗ trống để đ'
ợc mệnh đề đúng?
=
=
= =
( )

2
lim
3
n
n

2
lim
3
n


ữ

0
1
lim
2
n

ữ

0
1
lim
2
n
)1
3
2

(
<
d y số có giới hạn 0ã
=

ữ
ữ
ữ

lim 0
Mọi | | đều nhỏ hơn một số
d'ơng nhỏ tuỳ ý cho tr'ớc
kể từ một số hạng nào đó trở đi
n
n
u
u
1
lim 0
n
=
=
=
3
1
lim 0
1
lim 0
n
n

,
lim 0
lim 0
n n
n
n
u v n
u
v



=

=


Giải:
1
lim
4
n

=
ữ

<
1
Mà 1 ê
4

n n
0
Theo định lí 1 ta có:
0.
VD: Chứng minh rằng:

1
4
n
1
4
n

ữ

=

3
4
n
n
cos

Vì
3
lim
4
n
n
cos

=
d y số có giới hạn 0ã
=

ữ
ữ
ữ

lim 0
Mọi | | đều nhỏ hơn một số
d'ơng nhỏ tuỳ ý cho tr'ớc
kể từ một số hạng nào đó trở đi
n
n
u
u
=
1
lim 0
n
=
=
3
1
lim 0
1
lim 0
n
n

,
lim 0
lim 0
n n
n
n
u v n
u
v



=

=


Nếu thì lim q
n
= 0
<
1q

=
cos
5
lim 0
4
n
n

Các mệnh đề sau đúng hay sai?
2
). lim 0
3
n
A

=
ữ

3
). lim 0
2
n
B

=
ữ

sin 1
sin
). lim 0
1
lim 0
n
n
n n
C
n
n

=


=


sin 1
sin
). lim 0
1
lim 0
n
n
n n
D
n
n

=


=


Đúng
Đúng
Sai
Sai
d y số có giới hạn 0ã
=

ữ
ữ
ữ

lim 0
Mọi | | đều nhỏ hơn một số
d'ơng nhỏ tuỳ ý cho tr'ớc
kể từ một số hạng nào đó trở đi
n
n
u
u
=
1
lim 0
n

=
=
3
1
lim 0
1
lim 0
n
n
,
lim 0
lim 0
n n
n
n
u v n
u
v



=

=


Nếu thì lim q
n
= 0
<

1q
Bài học cần nắm đợc
1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
3
1 1 1
2). lim 0, lim 0, lim 0
n
n n
= = =
4). Định lí 2: 1 lim 0
n
q q
< =
3) Định lí 1:
= =
lim 0 lim 0
n n n n
Nếu u v với mọi n và v u
Bµi 2: Chøng minh r»ng hai d·y sè (u
n
) vµ (v
n
) víi:
( )
( )
2
1
1
1 cos
1

n
n
n
u
n n
n
v
n
=
+
−
=
+
Cã giíi h¹n 0
Bµi 3: Chøng minh r»ng c¸c d·y sè sau ®Òu cã giíi h¹n 0
( )
( )
( )
) 0,99
1
)
2 1
sin
5
)
1,01
n
n
n
n

n
n
n
a u
b v
n
c x
π
=
−
=
+
=
Bài 4: Cho dãy số (u
n
) với
a) Chứng minh rằng với mọi n
b) Bằng ph'ơng pháp quy nạp, chứng minh rằng
với mọi n
c) Chứng minh rằng dãy số (u
n
) có giới hạn 0


3
n
n
n
u =
1

2
3
n
n
u
u
+

2
0
3
n
n
u

<
ữ