SKKN_ Giải bài toán = cách lập phương trình

PHÒNG GD&ĐT TÂN HIỆP
TRƯỜNG THCS TÂN HIỆP A5

ĐỀ TÀI
HƯỚNG DẪN HỌC SINH
GIẢI BÀI TOÁN
BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG
TRÌNH
Người viết: NGUYỄN THANH PHONG
Chức vụ: Giáo viên
Năm học 2010-2011
I/- LỜI NÓI ĐẦU :
1. Lý do chọn đề tài :
a. Cơ sở lý luận :
Mục tiêu cơ bản của giáo dục nói chung, của nhà trường nói riêng là đào
tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn
diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực
tế hiện nay.
Để thực hiện được mục tiêu đó, trước hết người giáo viên phải biết áp dụng
phương pháp dạy học một cách phù hợp giúp học sinh phát triển năng lực tư duy,
năng lực giải quyết vấn đề, từng bước rèn luyện cho học sinh hình thành năng lực
giải quyết vấn đề một cách có phương pháp. Từ đó, đem đến cho học sinh một
phong cách học tập thoải mái, tự tin, kích thích hơn nữa niềm say mê tìm tòi –
sáng tạo, tính tự học, nghiên cứu nhằm tạo ra những thế hệ tương lai có phẩm chất
tốt đẹp, có năng lực, bản lĩnh đáp ứng được những đòi hỏi của xã hội.
Dạy Toán thực chất là dạy hoạt động toán. Do đó, nên dạy cho học sinh
một “toán học” đang hình thành, vận động và phát triển chứ không dạy cho học
sinh một “toán học” đã hình thành xong xuôi. Giáo viên cần tổ chức các hoạt động
học thật tốt để khơi gợi hứng thú, cuốn hút các em tham gia xây dựng lâu đài toán
học, không biến học sinh tham quan mà phải đặt các em vào vị trí là người thiết
kế, thi công lâu đài đó.

b. Cơ sở thực tiễn :
Ngay từ những ngày mới cắp sách đến trường, học sinh đã được giải
phương trình. Từ những phương trình đơn giản như điền số thích hợp vào ô trống,
là bài toán tìm số chưa biết trong một đẳng thức, bài toán tìm x học ở chương trình
tiểu học; và đến năm học lớp 8 thì các bài toán tìm x mới có tên gọi đúng của nó là
phương trình.
Trong năm học lớp 8 các em đã được tiếp cận với các bài toán mà khi giải
ta phải lập phương trình. Dạng toán này tương đối khó và mới mẻ, nó mang tính
trừu tượng rất cao, đòi hỏi học sinh phải có các kiến thức tổng hợp về số học, đại
số, hình học, vật lí và phải biết suy luận logic để tìm mối liên hệ giữa các yếu tố
của bài toán, sau đó giải phương trình, phải kiểm tra xem nghiệm của phương trình
có thỏa mãn điều kiện của ẩn không rồi mới kết luận. Chính vì thế, việc giúp cho
học sinh giải được dạng toán này là một nhiệm vụ rất khó khăn đối với giáo viên.
2. Sơ lược lịch sử vấn đề :
Trong quá trình giảng dạy, chấm các bài kiểm tra và qua các tiết dự giờ tôi
nhận thấy các em học sinh thường không giải được hoặc không tìm được phương
trình trong các bài toán giải bằng cách lập phương trình mặc dù các em nắm được
quy tắc chung (các bước giải). Có nhiều em nắm được rất rõ các bước giải nhưng
lại không biết vận dụng vào giải bài tập vì các em không biết xuất phát từ đâu để
tìm lời giải hoặc chưa biết suy luận để “nối” các đại lượng, các mối quan hệ của
bài toán để lập phương trình. Có những em chỉ biết giải những bài tập mà giáo
viên đã giải trên lớp, khi gặp những bài toán khác thì lại không giải được.
Vì vậy, để nâng cao chất lượng giảng dạy, giúp các em học sinh và giáo
viên tháo gỡ phần nào khó khăn khi giải dạng bài toán này mạnh dạn thực hiện đề
tài này.
3. Phạm vi đề tài :
Đề tài được thực hiện ở §6,7 chương III môn Đại số lớp 8. Trong đề tài chỉ
đề cập đến các bài toán thường gặp và được giải bằng cách lập phương trình là:
Dạng 1. Toán về tỉ số và quan hệ giữa các số.
Dạng 2. Toán chuyển động.

Dạng 3. Toán về công việc, năng suất.
Dạng 4. Toán làm chung công việc.
II/- THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ :
1/ Thực trạng tình hình
a) Đặc điểm :
Trường Tân Hiệp A5 nằm trên đia bàn khá đặc thù về địa lý : giáp gianh
giữa hai huyện Tân Hiệp và Châu Thành với diện tích gần 24 km
2
người dân sống
chủ yếu bằng nghề nông. Trong đó, còn một số gia đình không có ruộng đất phải
làm thuê, làm mướn.
Những năm gần đây tình hình giáo dục trong địa bàn cũng tương đối biến
chuyển tốt. Người dân đã có những động thái tích cực quan tâm đến giáo dục.
Hệ thống trường đang được đầu tư mạnh mẽ. Đội ngũ giáo viên trẻ, nhiệt
tình công tác và rất quan tâm đến sự tu dưỡng, rèn luyện của các em.
Trường học đang được mở rộng cả quy mô đến chất lượng.
b) Thuận lợi :
Được sự quan tâm sâu sát của ban giám hiệu, tổ chức công đoàn, đoàn đội
và nhất là tinh thần đoàn kết, sẵn sàng chia sẻ kinh nghiệm chuyên môn cũng như
kinh nghiệm công tác của các đồng nghiệp trong nhà trường.
Trong những năm gần đây vấn đề dạy - học môn toán đã và đang đổi mới
nhất là đổi mới mạnh mẽ về phương pháp dạy học. Dạy học tính tư duy logic, suy
luận chặt chẽ, tính khoa học, yêu cầu thẩm mỹ trong cách trình bày gọn gàng ngăn
nắp của toán học là một nhiệm vụ quan trọng và cũng mang tính cấp thiết của xã
hội nhất là trong thế giới đang bùng nổ về khoa học công nghệ.
Chương trình sách giáo khoa đã có những bước chuyển mình tích cực rõ
rệt, có nhiều đổi mới về nội dung cũng như các kênh thông tin ( kênh hình, kênh
chữ) và có nhiều hơn các bài tập mang tính thực tiễn cao giúp các em không tiếp
thu kiến thức đơn thuần, giáo điều, xa rời thực tế, xuất phát đúng từ quan điểm
nhận thức : “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và tư duy trừu tượng

đến thực tiễn” .
Bản thân nhà trường đã được công nhận trường chuẩn nên phòng học và
các trang thiết bị phục vụ cho việc dạy học đã đáp ứng được nhu cầu dạy và học
của cả thầy và trò.
2/ Hạn chế, khó khăn :
Giải bài toán bằng cách lập phương trình là bài toán dễ kích thích sự tích
cực của học sinh nhưng là một dạng toán khó. Đa số các bài toán đều là các bài
toán liên quan đến thực tế, các em đã được gặp ở các năm học trước nhưng được
giải bằng phương pháp số học, còn ở các bài toán này thì được giải bằng phương
pháp đại số; khó ở chỗ muốn giải được bài toán thì đòi hỏi các em phải tổng hợp
nhiều kiến thức, kĩ năng như: các em phải biết “dịch” các dữ kiện bài toán sang
ngôn ngữ đại số, phải có kiến thức tổng hợp, phải biết suy luận logic để tìm ra
được phương trình. Vì thế, việc giảng dạy cho học sinh hiểu bài và giải một bài kỹ
năng cơ bản quả thật là không phải chuyện đơn giản từ khâu chuẩn bị đến khâu lên
lớp.
Học sinh lớp 8 ở độ tuổi từ 13-15 tuổi, các em rất tích cực tham gia vào các
hình thức học tập; tuy nhiên các em cũng dễ nản chí, mệt mỏi, mất tập trung khi
các hoạt động đó khó hoặc không vừa sức của các em. Do đó, việc chuẩn bị các
bài tập, tổ chức các hoạt động vừa sức cho các em không phải là vấn đề dễ giải
quyết.
Bên cạnh các em có thái độ học tập nghiêm túc, có tinh thần cầu tiến, có ý
thức vươn lên trong học tập thì một số em vẫn chưa nhận thức được vấn đề này thể
hiện qua một số việc :
• Làm bài tập về nhà chưa đầy đủ hoặc chưa làm.
• Học bài qua loa, không xem kĩ lại các bước giải.
• Chưa có nề nếp trong việc chuẩn bị bài.
• Tiếp thu bài một cách thụ động, ít chịu suy nghĩ, tìm tòi cách giải quyết
vấn đề, cách giải bài tập.
• Kỹ năng suy luận, tính toán còn hạn chế.
Về mặt kinh tế - xã hội thì tuy đã có những biến chuyển lớn, theo hướng

tích cực, đời sống của nhân dân trong vùng khá hơn nhiều nhưng không đồng bộ,
vẫn còn đó những hoàn cảnh kinh tế không giống nhau. Có những gia đình không
có ruộng phải đi làm thuê, làm mướn sống qua ngày, một số em sống với ông bà,
xa cha mẹ nên không có được sự quan tâm sâu sát trong học tập của các em.
Việc học của các em trên thực tế còn khá nhiều trường hợp chưa có động
cơ và thái độ học tập đúng đắn, một số em đến trường chủ yếu là để vui chơi cùng
bạn bè, hoặc do gia đình bắt đi học chứ không chú ý đến việc học.
Trình độ nhận thức của các em trong lớp rất đa dạng, không đồng đều nên
việc tạo ra các “tần số” phát sóng sao cho phù hợp với trình độ “bắt sóng” của các
em là việc làm không hề đơn giản; các em khá giỏi không cảm thấy nhàm chán,
các em học yếu không cảm thấy quá sức của mình.
Kết quả khảo sát khối lớp 8 năm học 2009 - 2010 như sau :
Tổng
số
Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém
TS Tỉ lệ TS Tỉ lệ TS Tỉ lệ TS Tỉ lệ TS Tỉ lệ
119 12 10,08% 31 26,05% 56 47,06% 13 10,92% 7 5,88%
Từ kết quả trên ta thấy tuy chỉ có một bài toán nhỏ nhưng tỷ lệ yếu kém vẫn
còn nhiều đều đó khẳng định sự chuẩn bị bài của các em không được tốt hoặc các
em chưa nắm được kiến thức cơ bản của bài học trước.
Các lỗi mà học sinh thường gặp là :
- Chưa xác định được dạng của bài toán.
- Chưa nắm được các bước giải.
- Chọn ẩn một cách máy móc nên xác định ẩn một cách tùy tiện, máy
móc; điều kiện đưa ra không phù hợp. Một số em giải phương trình được nhưng
không kết luận được nghiệm của bài toán.
- Không đọc kỹ đề bài, không tóm tắt được bài toán nên thể suy luận, tìm
mối liên hệ của các đại lượng để “dịch” bài toán sang ngôn ngữ đại số.
Vấn đề đặt ra cho tôi lúc này là làm thế nào để giúp các em khắc phục các
lỗi trên, giúp các em giải tốt những bài toán “Giải bài toán bằng cách lập hệ

phương trình”.
III/- GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ :
1. Giải pháp :
Nắm bắt được tình hình học sinh ngại khó khi giải bài toán bằng cách lập
phương trình nên tôi đã đưa ra các dạng bài tập khác nhau để phân loại cho phù
hợp với khả năng nhận thức của từng đối tượng. Các bài tập ở dạng từ thấp đến
cao để các em nhận thức chậm có thể làm tốt những bài toán ở mức độ trung
bình, đồng thời kích thích sự tìm tòi và sáng tạo của những học sinh khá.
Bên cạnh đó tôi thường xuyên hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh,
lắng nghe ý kiến của các em để điều chỉnh phương pháp dạy học cho phù hợp.
Học sinh ngoài làm việc cá nhân còn phải tham gia trao đổi nhóm khi cần thiết.
Ngoài ra giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh nắm được các kiến thức sau
trong khi giải “bài toán bằng cách lập phương trình”.
a. Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình
Mặc dù khả năng nhận thức và suy luận của học sinh trong mỗi lớp chưa
đồng bộ nhưng khi giải bài toán bằng cách lập phương trình tất cả đều phải dựa
vào một quy tắc chung: Đó là các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Cụ thể như sau :
* Bước 1: Lập phương trình (gồm các công việc sau):
• Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) và đặt điều kiện cho ẩn;
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
* Bước 2: Giải phương trình: Tuỳ từng phương trình mà chọn cách giải cho ngắn
gọn và phù hợp.
* Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm
nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận).
b. Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán.
Phân tích bài toán là việc làm không thể thiếu khi giải toán, nó giúp các em
nhận dạng và định hướng cách giải một cách đúng đắn. Do đó, giáo viên phải rèn
cho học sinh thói quen phân tích bài toán để nó trở thành một kỹ năng giải toán

của học sinh.
Để học sinh phân tích được bài toán người giáo viên phải hướng dẫn học
sinh tìm hiểu đề toán. Tìm hiểu đề toán các em sẽ nhận dạng đề, chỉ ra được các
đại lượng tham gia vào bài toán, đại lượng nào đã biết, đại lượng nào cần phải đi
tìm; sau đó tóm tắt đề bài toán; tiến hành “dịch” sang ngôn ngữ đại số bằng cách
suy luận để “nối” các đại lượng đã biết thông qua các đại lượng đã biết. Việc phân
tích đề toán giúp học sinh rất nhiều trong việc chọn ẩn, đặt điều kiện của ẩn, suy
luận, lập luận logic…
• PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
Dạng 1. Toán về tỉ số và quan hệ giữa các số
Dạng 2. Toán chuyển động
Dạng 3. Toán về công việc, năng suất
Dạng 4 . Toán làm chung công việc
c. Hướng dẫn chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
Trong các bước giải thì bước chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn là rất quan trọng.
Thông thường đề bài yêu cầu đi tìm đại lượng nào thì ta đặt đại lượng đó là ẩn số.
Xác định đơn vị và điều kiện của ẩn phải phù hợp với đại lượng đó.
Ví dụ : trong bài toán đi tìm đại lượng là số người, số cây, số quả… nếu đặt
x là đại lượng cần tìm thì điều kiện của x phải là số nguyên dương(
Z
+
), không thể
là số âm hoặc phân số.
Hoặc trong bài toán chuyển động, vật A chuyển động nhanh hơn vật B là a
km/h (a > 0). Nếu gọi x(km/h) là vật tốc của vật A, y(km/h) là vật tốc của vật B thì
điều kiện của x là : x > y > 0 và x > a.
Tuy nhiên trong một số ít bài toán thì cần phải chọn ẩn là một đại lượng trung
gian, tìm được đại lượng trung gian thì mới tìm được đại lượng cần tìm của bài
toán.
d. Sử dụng dữ kiện bài toán để lập phương trình

Muốn giải bài toán bằng cách lập phương trình thì điều quan trọng là phải
biết cách diễn đạt những mối quan hệ trong đầu bài thành những quan hệ toán học.
Nhà bác học vĩ đại Newton nói : “ Muốn giải quyết các vấn đề liên quan đến các
số hoặc các quan hệ trườu tượng thì cần phải phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ mẹ
đẻ sang ngôn ngữ đại số”.
Trong các bài toán ta thường gặp các từ nhanh hơn, chậm hơn, đắt hơn, rẻ
hơn, muộn hơn, thêm, bớt …; tương ứng với các phép toán cộng, trừ, nhân, chia
trong đại số. Cần suy nghĩ để “phiên dịch” cho đúng.
Trong các bài toán ta cũng gặp hai loại tương quan quen thuộc là tương
quan tỉ lệ thuận và tương quan tỉ lệ nghịch ( bài toán chuyển động, toán về mua
bán, toán về vòi nước chảy, toán về năng suất …)
Do vậy, cần phải lưu ý và quan hệ cơ bản sau :
Nếu một người làm xong một công việc trong x ngày thì trong 1 ngày anh
ta làm xong 1/x công việc.
Nếu một vòi nước chảy đầy bể trong x giờ thì trong 1 giờ nó chỉ chảy được
1/x phần của bể.
Nếu một người đi một đoạn đường trong x giờ thì trong 1 giờ anh ta chỉ đi
được 1/x đoạn đường.
Một điều chú ý khác là đôi khi bài toán được phát biểu với nhiều thông tin
thừa. Cần suy nghĩ để không bị lạc hướng, cố gắng phát hiện liên hệ bản chất toán
học của các đại lượng.
e. Kết luận nghiệm
Trong bài toán “giải bài toán bằng cách lập phương trình”, bước chọn ẩn và đặt
điều kiện cho ẩn là rất quan trọng, nó quyết định “hình dạng” của phương trình
đồng thời thu hẹp phạm vi nghiệm của bài toán thì bước kết luận nghiệm lại mang
tính quyết định sự đúng sai của đáp án. Dù cho học sinh có tìm được nghiệm của
phương trình mà không biết kết luận hay lầm tưởng nghiệm của phương trình là
nghiệm của bài toán thì bài giải vẫn chưa hoàn thiện.
Do đó, khi đã tìm được nghiệm của phương trình thì phải tiến hành kiểm tra
xem nó có phù hợp với điều kiện đặt ra ở bước 1 hay không rồi mới kết luận.

Ngoài ra, người giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh kiểm tra lại bằng cách thử
lại xem kết quả có phù hợp với tất cả các giả thiết của bài toán đưa ra hay không.
f. Áp dụng vào giải bài toán cụ thể
Dạng 1. Toán về tỉ số và quan hệ giữa các số
Phương pháp giải :
• Tỉ số giữa hai số a và b (b≠0) là số
a
b
.
• a % =
100
a
.
• Biểu diễn số có hai chữ số :
10 ( , )ab a b a b N= + ∈
 a là chữ số hàng chục :
0 9a
< ≤
 b là chữ số hàng đơn vị :
0 9b≤ ≤
• Biểu diễn số có ba chữ số :
100 10 ( , , )abc a b c a b c N= + + ∈
 a là chữ số hàng trăm :
0 9a
< ≤
 b là chữ số hàng chục :
0 9b≤ ≤
 c là chữ số hàng đơn vị :
0 9c
≤ ≤

Ví dụ : 12 = 100.1 + 2 ; 235 = 100.2 + 10.3 + 5
Ví dụ : Bài tập 34 SGK toán 8 tập 2 - trang 25
Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và
mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì được phân số mới bằng
1
2
. Tìm phân số ban đầu ?
• Phân tích bài toán: Đây là bài toán liên quan đến số mà cụ thể là phân số.
trong phân số ta có tử số và mẫu số. Như vậy, trong bài toán này các đại lượng đã
biết là quan hệ giữa tử số và mẫu số, quan hệ của hai phân số khi tăng cả tử và
mẫu số; đại lượng cần phải đi tìm là phân số ban đầu.
Muốn tìm phân số ban đầu thì ta chỉ cần tìm được tử hoặc mẫu của phân số vì ta
đã biết quan hệ của tử và mẫu số ( mẫu lớn hơn tử 3 đơn vị). Vì vậy, ta có thể chọn
ẩn là mẫu hoặc tử số; thông thường học sinh sẽ điều kiện của ẩn là thuộc tập hợp
số nguyên Z bởi vì số cần tìm là một phân số hữu tỉ, nhưng ta phải lưu ý là mẫu số
là một số lớn hơn 3 và khi thêm tử và mẫu thêm hai đơn vị thì được một phân số
dương nên điều kiện của ẩn phải là số tự nhiên N.
• Sử dụng dữ kiện bài toán để lập phương trình
 Trường hợp, gọi x là tử số ( x ϵ N).
Dữ kiện bài toán Ngôn ngữ đại số
Mẫu số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị nên mẫu
là
x + 3
Phân số ban đầu
3+x
x
Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 2 đơn vị
2
3 2
x

x
+
+ +
Phân số mới
2
5
x
x
+
+
Phân số mới bằng
1
2
.
2
1
5
2
=
+
+
x
x
 Trường hợp gọi x là mẫu số ( x ϵ Z, x > 3 ).
Dữ kiện bài toán Ngôn ngữ đại số
Mẫu số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị nên tử số
là
x - 3
Phân số ban đầu
3x

x
−
Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 2 đơn vị
3 2
2
x
x
− +
+
Phân số mới
1
2
x
x
−
+
Phân số mới bằng
1
2
.
1 1
2 2
x
x
−
=
+
• Trình bày bài giải .
 Cách 1:
Giải :

Gọi tử số của phân số ban đầu là x ( điều kiện x > 0, x
∈
N)
Mẫu số của phân số ban đầu là x + 3
Phân số ban đầu là
3+x
x
Phân số mới là
5
2
23
2
+
+
=
++
+
x
x
x
x
Theo bài ra ta có phương trình:

2
1
5
2
=
+
+

x
x

⇔
2. (x+2) = x +5

⇔
2x +4 = x +5

⇔
2x - x = 5 - 4

⇔
x = 1
Vậy : Phân số ban đầu là:
1
4
(Sau khi tìm ra x = 1, giáo viên lưu ý học sinh đối chiếu với điều kiện, x=1
thoả mãn điều kiện bài toán nên tử số là 1, mẫu số là 1+3 = 4)
 Cách 2 :
Gọi mẫu số của phân số ban đầu là x ( điều kiện x
∈
Z, x > 3)
Tử số của phân số ban đầu là x - 3
Phân số ban đầu là
3x
x
−
Phân số mới là
3 2 1

2 2
x x
x x
− + −
=
+ +
Theo bài ra ta có phương trình:

1 1
2 2
x
x
−
=
+

⇔
x = 4
Vậy : Phân số ban đầu là:
1
4
(Sau khi tìm ra x = 4, giáo viên lưu ý học sinh đối chiếu với điều
kiện, x= 4 thoả mãn điều kiện x > 3 nên mẫu số là 4, tử số là 4 - 3 = 1)
Ví dụ 2 : “Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16, nếu
đổi chỗ hai chữ số cho nhau được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị. Tìm số
đã cho.
• Phân tích bài toán : đây cũng là một bài toán số, điều khác biệt của bài toán
này so với bài toán trên là muốn giải ta phải biểu diễn các số, cụ thể là biểu diễn số
có hai chữ số.
Đại lượng đã biết là : quan hệ của hai số ( tổng của chúng là 16), nếu đổi vị

trí của hai chữ số thì được số mới lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị. Đại lượng cần
phải đi tìm là số có hai chữ số (chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị).
Trong bài toán này vì biết tổng của hai số nên ta chỉ cần đặt ẩn là chữ số
hàng chục hoặc chữ số hàng đơn vị. Nếu đặt x là chữ số hàng đơn vị thì điều kiện
của x là
0 9x≤ ≤
, còn nếu gọi chữ số hàng chục là x thì điều kiện của x là
0 9x< ≤

và trong cả hai trường hợp thì x phải thuộc tập hợp số tự nhiên N.
• Sử dụng dữ kiện bài toán để lập phương trình
Dữ kiện bài toán Ngôn ngữ đại số
Chữ số hàng chục x
Tổng các chữ số của nó là 16, nên chữ số
hàng đơn vị là
16 - x
Số tự nhiên có hai chữ số có dạng
16 10. 16
9 16
x x x x
x
− = + −
= +
Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì số mới có
dạng
16 10.(16 )
160 9
x x x x
x
− = − +

= −
Số mới lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị
(số mới – số cũ = 18)
160 9 9 16 18x x− − + =
• Trình bày bài giải :
Gọi chữ số hàng chục là x (x
∈
N, 0 < x < 10).
Chữ số hàng đơn vị là : 16 – x
Số cần tìm có dạng :
16 10. 16 9 16x x x x x− = + − = +
Đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số mới được viết :
16 10.(16 ) 160 9x x x x x− = − + = −
Số mới lớn hơn số đã cho là 18 nên ta có phương trình :
(160 – 9x) – (9x + 16) = 18
Giải phương trình ta được: x = 7 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy chữ số hàng chục là 7.
Chữ số hàng đơn vị là 16 – 7 = 9.
Số cần tìm là 79.
• Lưu ý : trong các bài toán tìm số thông thường khi gặp các cụm từ “đổi
chỗ”, “thêm vào giữa”, “thêm vào đầu” thì ta cần phải biểu diễn số để đi
tìm đáp án của bài toán.
Dạng 2. Toán chuyển động
Ở chương trình lớp 8 chúng ta thường gặp các bài toán chuyển động ở dạng
đơn giản như : Chuyển động cùng chiều, ngược chiều trên cùng quãng đường…
hoặc chuyển động trên dòng nước.
Do vậy, trước tiên cần cho học sinh nắm chắc các kiến thức, công thức liên
quan, đơn vị các đại lượng.
• Gồm có 3 đại lượng tham gia vào bài toán là : vận tốc (v), thời gian (t) và
quãng đường (s).

• Mối liên hệ của ba đại lượng : v =
s
t
Đối với chuyển động trên sông có dòng nước chảy.
Thì : v
xuôi
= v
Thực
+ v
dòng nước
v
ngược
= v
Thực
- v
dòng nước
Trong một số bài toán thì giáo viên giúp học sinh khai thác triệt để bài
toán. Chẳng hạn nói A và B cùng đến C. Khi nói A đến trước B (hay đến sớm hơn
B) thì ta phải hiểu là A đi ít thời gian hơn B. Hoặc nói “A đi nhanh hơn B” thì có
thể hiểu là:
v
A
> v
B
( v là vận tốc)
S
A
> S
B
( S là quãng đường đi được trong cùng một đơn vị thời gian)

t
A
< t
B
( t : thời gian sử dụng để đi cùng một quãng đường)
Ví dụ : Bài toán SGK toán 8 tập 2 - trang 27
Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc 35 km/h. Sau đó
24 phút, trên cùng tuyến đường đó, một ô tô xuất phát từ Nam Định đi Hà Nội với
vận tốc 45 km/h. Biết quãng đường Nam Định - Hà Nội dài 90 km. Hỏi sau bao
lâu, kể từ khi xe máy khởi hành, hai xe gặp nhau?
Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích bài toán :
Hai đối tượng tham gia vào bài toán là ô tô và xe máy, còn các đại lượng
liên quan là vận tốc (đã biết), thời gian và quãng đường đi (chưa biết). Đối với
từng đối tượng, các đại lượng ấy quan hệ với nhau theo công thức s = v.t.
Nếu chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn, chẳng hạn, gọi thời gian từ lúc
xe máy khởi hành đến lúc hai xe gặp nhau là x giờ, ta có thể lập bảng để biểu diễn
các đại lượng trong bài toán như sau (trước hết đổi 24 phút thành
5
2
giờ) :
Vận tốc (km/h) Thời gian đi (h) Quãng đường đi (km)
Xe máy 35 x 35x
Ô tô 45 x -
5
2
45(x -
5
2
)
Hai xe (đi ngược chiều) gặp nhau nghĩa là đến lúc đó tổng quãng đường hai

xe đi được đúng bằng quãng đường Nam Định - Hà Nội. Do đó phương trình lập
được là : 35x + 45(x -
5
2
) = 90
Lời giải :
- Gọi thời gian từ lúc xe máy khởi hành đến lúc hai xe gặp nhau là x (h).
Điều kiện thích hợp của x là x >
5
2
- Trong thời gian đó, xe máy đi được quãng đường là 35x (km)
Vì ô tô xuất phát sau xe máy 24 phút (tức là
5
2
giờ) nên ô tô đi trong thời
gian là x -
5
2
(h) và đi được quãng đường là 45(x -
5
2
) (km)
Đến lúc hai xe gặp nhau, tổng quãng đường chúng đi được đúng bằng
quãng đường Nam Định - Hà Nội (dài 90 km) nên ta có phương trình
35x + 45(x -
5
2
) = 90
⇔ 35x + 45x - 18 = 90
⇔ 80x = 108

⇔ x =
20
27
80
108
=
- Giá trị này phù hợp với điều kiện của ẩn. Vậy thời gian để hai xe gặp nhau
là
20
27
giờ, tức là 1 giờ 21 phút, kể từ lúc xe máy khởi hành.
Trong ví dụ trên, nếu chọn ẩn số theo cách khác : Gọi x (km) là quãng
đường từ Hà Nội đến điểm gặp nhau của hai xe.
Vận tốc (km/h) Quãng đường đi (km) Thời gian đi (h)
Xe máy 35 x
35
x
Ô tô 45 90 - x
45
90 x−
Khi đó phương trình lập được là
5
2
45
90
35
=
−
−
xx

Qua đó ta thấy rằng khi chọn ẩn là quãng đường thì phương trình khó giải
hơn so với khi chọn ẩn là thời gian. Do đó khi giải cần chú ý đến việc chọn ẩn.
Ví dụ 2: Để đi đoạn đường từ A đến B, xe máy phải đi hết 3giờ 30’; ô tô đi
hết 2giờ 30’ phút. Tính quãng đường AB. Biết vận tốc ôtô lớn hơn vận tốc xe máy
là 20km/h.
Đối với bài toán chuyển động, khi ghi tóm tắt đề bài, đồng thời ta vẽ sơ đồ
minh họa thì học sinh dễ hình dung bài toán hơn
Tóm tắt:
Đoạn đường AB >
t
1
= 3 giờ 30 phút = 3,5 giờ; t
2
= 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ
v
2
lớn hơn v
1
là 20km/h (v
2
– v
1
= 20)
Tính quãng đường AB=?
- Các đối tượng tham gia :(ô tô- xe máy)
- Các đại lượng liên quan : quãng đường , vận tốc , thời gian.
- Các số liệu đã biết:
+ Thời gian xe máy đi : 3 giờ 30’
A

B
+ Thời gian ô tô đi :2 giờ 30’
+ Hiệu hai vận tốc : 20 km/h
- Số liệu chưa biết: v
xe máy
? v
ôtô
? s
AB
?
Cần lưu ý : Hai chuyển động này trên cùng một quãng đường không đổi.
Quan hệ giữa các đại lượng s, v, t được biểu diễn bởi công thức: s = v.t. Như vậy ở
bài toán này có đại lượng chưa biết, mà ta cần tính chiều dài đoạn AB, nên có thể
chọn x (km) là chiều dài đoạn đường AB; điều kiện: x > 0
Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và qua các đại lượng đã biết.
Vận tốc xe máy :
3, 5
x
(km/h)
Vận tốc ôtô :
2, 5
x
(km/h)
Dựa vào các mối liên hệ giữa các đại lượng(v
2
– v
1
= 20)

20

2, 5 3,5
x x
- =
- Giải phương trình trên ta được x = 175. Giá trị này của x phù hợp với
điều kiện trên. Vậy ta trả lời ngay được chiều dài đoạn AB là 175km.
Sau khi giải xong, giáo viên cần cho học sinh thấy rằng : Như ta đã phân
tích ở trên thì bài toán này còn có vận tốc của mỗi xe chưa biết, nên ngoài việc
chọn quãng đường là ẩn, ta cũng có thể chọn vận tốc xe máy hoặc vận tốc ôtô là
ẩn.
- Nếu gọi vận tốc xe máy là x (km/h) : x > 0
Thì vận tốc ôtô là x + 20 (km/h)
- Vì quãng đường AB không đổi nên có thể biểu diễn theo hai cách (quãng
đường xe máy đi hoặc của ôtô đi).
- Ta có phương trình : 3,5 x = 2,5 (x + 20)
Giải phương trình trên ta được: x = 50.
Đến đây học sinh dễ mắc sai lầm là dừng lại trả lời kết quả bài toán : Vận
tốc xe máy là 50 km/h. Do đó cần khắc sâu cho các em thấy được bài toán yêu cầu
tìm quãng đường nên khi có vận tốc rồi ra phải tìm quãng đường.
- Trong bước chọn kết quả thích hợp và trả lời, cần hướng dẫn học sinh đối
chiếu với điều kiện của ẩn, yêu cầu của đề bài. Chẳng hạn như bài toán trên, ẩn
chọn là vận tốc của xe máy, sau khi tìm được tích bằng 50, thì không thể trả lời bài
toán là vận tốc xe máy là 50 km/h, mà phải trả lời về chiều dài đoạn đường AB mà
đề bài đòi hỏi.
Tóm lại : Khi giảng dạng toán chuyển động, trong bài có nhiều đại lượng
chưa biết, nên ở bước lập phương trình ta tùy ý lựa chọn một trong các đại lượng
chưa biết làm ẩn. Nhưng ta nên chọn trực tiếp đại lượng bài toán yêu cầu cần phải
tìm là ẩn. Nhằm tránh những thiếu sót khi trả lời kết quả.
Song thực tế không phải bài nào ta cũng chọn được trực tiếp đại lượng phải
tìm là ẩn mà có thể phải chọn đại lượng trung gian là ẩn.
Dạng 3. Toán về công việc, năng suất

Chú ý : Tỉ lệ phần trăm : a% =
100
a
Ví dụ : Trong tháng đầu hai tổ công nhân của một xí nghiệp dệt được 800
tấm thảm len. Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 20% nên cả hai
tổ dệt được 945 tấm thảm len. Tính xem trong tháng thứ hai mỗi tổ đã dệt được
bao nhiêu tấm thảm len
Hướng dẫn : Trong bài toán số tấm thảm len cả hai tổ dệt được trang tháng
đầu và trong tháng thứ hai đã biết. Số tấm thảm len mỗi tổ dệt được trong
tháng đầu, tháng thứ hai chưa biết. Ta có thể chọn x là số tấm thảm len mà tổ I
dệt được trong tháng đầu. Theo mối quan hệ giữa các đại lượng trong đề bài ta
có bảng sau :
Số thảm len Tổ I Tổ II Cả hai tổ
Tháng đầu x 800 - x 800
Tháng thứ hai
100
115x
( )
100
800120 x−
945
Cơ sở để lập phương trình là tổng số tấm thảm len cả hai tổ dệt được trong
tháng thứ hai là 945
Giải :
Gọi số tấm thảm len tổ I dệt được trong tháng đầu là x (x ∈ Z
+
, x < 800)
Trong tháng đầu cả hai tổ dệt được 800 tấm thảm len nên số tấm thảm len tổ II
dệt được trong tháng đầu là (800 - x)
Tháng thứ hai tổ I dệt được

100
115
100
15 x
xx =+
(tấm thảm)
Tháng thứ hai tổ II dệt được
100
)800(120
)800(
100
20
)800(
x
xx
−
=−+−
(tấm thảm)
Theo đề bài trong tháng hai cả hai tổ dệt được 945 tấm thảm nên ta có phương
trình :
945
100
)800(120
100
115
=
−
+
xx
Giải phương trình, tìm được x = 300 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy : Trong tháng thứ hai tổ I dệt được
345
100
300.115
=
(tấm thảm len), tổ II
dệt được
600
100
)300800.(120
=
−
(tấm thảm len)
Chú ý : Bài toán yêu cầu tìm số tấm thảm len tổ I, tổ II dệt được trong
tháng thứ hai, trong cách giải trên ta đã không chọn một trong các đại lượng đó
làm ẩn mà chọn số tấm thảm len tổ I dệt được trong tháng đầu làm ẩn. Cách chọn
ẩn này giúp ta lập và giải phương trình một cách dễ dàng hơn, rồi từ đó suy ra đại
lượng cần tìm.
Như vậy, khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, thông thường bài
toán yêu cầu tìm đại lượng nào thì nên chọn đại lượng đó làm ẩn (chọn ẩn trực
tiếp) nhưng cũng có khi chọn một đại lượng khác làm ẩn (chọn ẩn gián tiếp) nếu
cách chọn ẩn này giúp ta giải bài toán một cách thuận lợi hơn.
Dạng 4 . Toán làm chung công việc
Gồm có 3 đại lượng tham gia là : toàn bộ công việc, phần việc làm làm
trong một đơn vị thời gian ( 1 ngày, 1 giờ …) và thời gian làm công việc .
Nếu một đội nào đó làm xong công việc trong x ngày thì một ngày đội đó
làm được 1/x công việc.
Nếu một vòi nước chảy đầy bể trong x giờ thì trong 1 giờ nó chỉ chảy
được 1/x phần của bể.
Nếu một người đi một đoạn đường trong x giờ thì trong 1 giờ anh ta chỉ

đi được 1/x đoạn đường.
Bài toán : Hai đội công nhân cùng sửa một con mương hết 24 ngày. Mỗi
ngày phần việc làm được của đội 1 bằng 1
1
2
phần việc của đội 2 làm được. Nếu
làm một mình, mỗi đội sẽ sửa xong con mương trong bao nhiêu ngày?
- Hướng dẫn giải:
+ Trong bài này ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc và biểu thị
bằng số 1.
+ Số phần công việc trong một ngày nhân với số ngày làm được là 1.
- Lời giải:
Gọi số ngày một mình đội 2 phải làm để sửa xong con mương là x ( ngày)
Điều kiện x > 0 .
Trong một ngày đội 2 làm được
1
2
công việc.
Trong một ngày đội 1 làm được 1
1 1 3
.
2 2x x
=
(công việc ).
Trong một ngày cả hai đội làm được
1
24
công việc.
Theo bài ra ta có phương trình:

1 3 1
2 24x x
+ =

⇔
24 + 36 = x

⇔
x = 60 thoả mãn điều kiện
Vậy, thời gian đội 2 làm một mình sửa xong con mương là 60 ngày.
Mỗi ngày đội 1 làm được
3 1
2.60 40
=
công việc.
Để sửa xong con mương đội 1 làm một mình trong 40 ngày.
Chú ý: Ở loại toán này , học sinh cần hiểu rõ đề bài, đặt đúng ẩn, biểu thị qua
đơn vị quy ước. Từ đó lập phương trình và giải phương trình.
Ngoài các dạng bài toán thường gặp nói trên, ta còn gặp một số dạng toán khác
như:
* Dạng 5 : Dạng toán về tỉ lệ chia phần.
* Dạng 6 : Dạng toán có liên quan hình học.
* Dạng 7 : Dạng toán có nội dung vật lý, hóa học
2. Kết quả đạt được :
Sau thời gian thực hiện, tôi đã nhận thấy sự tiến bộ rõ rệt của các em thể
hiện qua những kết quả như sau :
- Các em đã phân loại được các bài toán, biết phân tích bài toán, chọn lựa các
thông tin để phục vụ cho quá trình giải.
- Biết chọn ẩn và đặt điều kiện phù hợp.
- Biết suy luận và áp dụng vào giải các dạng bài tập khác trong chương

trình.
- Từng bước các em đã mạnh dạn hơn trong việc học môn toán, nhiệt tình
đóng góp ý kiến. Thầy trò trao đổi, tranh luận sôi nổi hơn.
Kết quả khảo sát bài kiểm tra cuối kỳ II của khối 8 năm học 2009 - 2010 như
sau :
Tổng
số
Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém
TS % TS % TS % TS % TS %
119 15 12,61% 34 28,57% 60 50,42% 8 6,72% 2 1,68%
IV/- KẾT LUẬN :
1. Tóm lược giải pháp :
Từ thực tế nghiên cứu giảng dạy, tôi nhận thấy việc giảng dạy giải bài toán
bằng cách lập phương trình có ý nghĩa thực tế rất cao, là tiền đề cho các em giải
các bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình bậc hai. Ngoài ra, nó
còn rèn luyện cho học sinh kỹ năng suy luận, khả năng sáng tạo, khả năng diễn đạt
chính xác các quan hệ toán học, … Do đó, khi giải dạng toán này ở lớp 8, giáo
viên cần giúp học sinh phân tích bài toán bao gồm các việc như đọc kỹ đề bài,tóm
tắt bài toán, nắm được các mối quan hệ đã biết và chưa biết giữa các đại lượng để
lập phương trình, biết kiểm tra và kết luận nghiệm của bài toán .
2. Phạm vi áp dụng của đề tài :
Đề tài “ Một số kinh nghiệm giảng dạy giải bài toán bằng cách lập
phương trình” đã áp dụng cho môn toán lớp 8 ở trường THCS Tân Hiệp A5-
huyện Tân Hiệp.
3. Bài học kinh nghiệm:
Sau khi thực hiện đề tài này tôi rút ra một số kinh nghiệm sau:
- Thường xuyên tham khảo các tài liệu liên quan đến môn học để nâng cao trình
độ chuyên môn nghiệp vụ, nắm bắt các vấn đề một cách sâu, rộng , tổng quát .
Thường xuyên theo dõi, kiểm tra học sinh để nắm bắt được sự tiếp thu của học
sinh. Từ đó có phương pháp giảng dạy phù hợp hơn với từng đối tượng học sinh.

- Thực tế giảng dạy cho thấy nếu giáo viên thực hiện tốt các bước giải bài tập
toán. Thường xuyên và liên tục hướng dẫn, yêu cầu học sinh khai thác và phát
triển bài toán thì hiệu quả học tập của học sinh có nhiều bước tiến mới. Việc tổ
chức giờ dạy trở nên sinh động, phát huy tốt khả năng tư duy , năng lực độc lập
sáng tạo của các học sinh.
- Để học sinh không chỉ học tốt giải bài toán bằng cách lập phương trình mà môn
toán nói chung thì không thể thực hiện trong một thời gian ngắn với toàn thể học
sinh. Do đó người giáo viên cần phải kiên trì và liên tục hướng dẫn từng bước,
linh hoạt trong phương pháp, đa dạng trong tổ chức để phát huy hiệu quả của tiết
dạy môn toán. Góp phần nâng cao chất lượng dạy học bộ môn toán trong nhà
trường.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi trong việc giảng dạy giải
bài toán bằng cách lập phương trình ở chương trình toán lớp 8. Cùng với sự giúp
đỡ tận tình của Ban Giám Hiệu nhà trường, của tổ chuyên môn, của các đồng
nghiệp và học sinh tôi đã hoàn thành đề tài “ Hướng dẫn học sinh giải bài toán
bằng cách lập phương trình”. Tuy tôi đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn rằng
vẫn còn nhiều thiếu sót.
Tôi xin trân trọng tất cả những ý kiến phê bình, đóng góp của cấp trên và
đồng nghiệp để đề tài của tôi ngày càng hoàn thiện và được áp dụng rộng rãi hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!