BÀI tập CHUYÊN đề CHUỖI số CHUỖI hàm

CHUỖI SỐ – CHUỖI HÀM

<VI.1> Tính tổng
n
n1
x
¥
=
å
với :
a)
n
n
xq(|q|1)
=<
b)
n
1
x
n(n1)
=
+

c)
n
2
1
x(n2)
n1
=³
-

d)
( )
n
1
x
n1nn(n1)
=
+++


. Giải:
Đặt
n12n
Sxx x
=+++

a)
2n
n
n
1q
Sqq qq
1q
-
=+++=
-


nn
n

n1
q
xlimS
1q
¥
®¥
=
==
-
å

b) Ta có
k
11
x,
kk1
=-
+
từ đó

n
111111
S1 1
223nn1n1
ỉưỉưỉư
=-+-++-=-
ç÷ç÷ç÷
++
èøèøèø

nn
n
n1
xlimS1
¥
®¥
=
==
å

c) Ta có
k
2
1111
x,k2
k12k1k1
ỉư
==-³
ç÷
+
èø


n23n
11111111
Sxx x1
232435n1n1
ỉư
ỉưỉưỉưỉư

=+++=-+-+-++-
ç÷ç÷ç÷ç÷
ç÷
-+
èøèøèøèø
èø


1111
1
22nn1
ỉư
=+
ç÷
+
èø


nn
n
n1
113
xlimS1
224
¥
®¥
=
ỉư
==+=
ç÷

èø
å

d) Ta có
( )
k
1k1k
x
k.k1
k1kk(k1)
+-
==
+
+++


11
kk1
=-
+

nên
n
111111
S
1223nn1
ỉư
ỉưỉư
=-+-++-
ç÷

ç÷ç÷
+
èøèø
èø


1
1
n1
=-
+
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Vậy
nn
n
n1
xlimS1
¥
®¥
=
==
å


<VI.2> Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau :
a)
2
n1
1

n
¥
=
å
b)
n
n1
1
2
¥
=
å

c)
n
n1
n
2
¥
=
å
d)
n1
1
n
¥
=
å

e)

n2
1
lnn
¥
=
å
f)
nn
n
n1
23
6
¥
=
+
å


. Giải:
a)
2
11
nn(n1)
£
+
,
n1
"³
và
n1

1
n(n1)
¥
=
-
å
hội tụ nên
2
n1
1
n
¥
=
å
hội tụ.
b)
n
n1
1
2
¥
=
å
=
n
q
å
với
1
0q1

2
<=<
nên
n
n1
1
2
¥
=
å
hội tụ.
c) do
( )
nn
n
2
nn
0
2
2
®¥
=®
nên
n
2
0
n2,nn
<"³
.
Từ đó

n
2
0
nn
n2
,nn
22
£³

hay
( )
0
n
n
n1
,nn
2
2
£³

mà
( )
n
1
2
å
hội tụ nên
n
n1
n

2
¥
=
å
hội tụ.
d) đặt
n
11
S1
2n
=+++

với
0
1
2
e=
, và mọi số nguyên
n
ỴN
lây
nN
³
và m =2n
thì
mn
1111
SS ()
n1n2nn2
-=+++³=e

+++

do đó theo tiêu chuẩn Cauchy,
(
)
n
n
S
không hội tụ, nên
1
n
å
phân kỳ.
e) Từ
nlnn,n2
>³
ta có
11
lnnn
>

mà
1
n
å
phân kỳ nên
n2
1
lnn
¥

=
å
phân kỳ.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
f) Với
nn
n
nnn
2311
x
632
+
==+
và các chuỗi :
n
1
3
å
và
n
1
2
å
hội tụ.
Vậy
nn
n
n1
23
6

¥
=
+
å
hội tụ.

<VI.3> Chứng minh rằng chuỗi:

2.42.4.6
1
1.31.3.5
+++
phân kỳ.

. Giải:
Số hạng tổng quát
n
2.4.6 2n
x
1.3.5 (2n1)
=
-
>1
Þ
dãy
(
)
n
n
x

không có giới hạn là 0 nên
n
1
x
¥
å
phân kỳ.
<VI.4> Cho
( )
n
n1
a
¥
=
å
và
( )
n
n1
b
¥
=
å
với
n
a0n
³"


n

b0n
³"

và
( )
n
n
n
a
limc0
b
®¥
=³
. CMR
a)
c0
=
, và
( )
n
n1
b
¥
=
å
hội tụ thì
( )
n
n1
a

¥
=
å
hội tụ.
b)
c
=¥
, và
( )
n
n1
b
¥
=
å
phân kỳ thì
( )
n
n1
a
¥
=
å
phân kỳ.
c) 0c
<<¥
thì
( )
n
n1

a
¥
=
å
và
( )
n
n1
b
¥
=
å
cùng bản chất, nghóa là cùng phân kỳ hay cùng
hội tụ, lúc đó sẽ ghi
nn
a~b(n)
®¥


. Giải:
a) do
n
n
n
a
lim0
b
®¥
=
nên

0
n
$
sao cho
nn0
0ab,nn
££"³

Vậy
( )
n
n1
b
¥
=
å
hội tụ dẫn đến
( )
n
n1
a
¥
=
å
hội tụ.
b) do
n
n
n
a

lim
b
®¥
=¥
nên
0
n
$
sao cho
nn
ba
£
,
0
nn
"³

Vậy
( )
n
n1
b
¥
=
å
phân kỳ dẫn đến
( )
n
n1
a

¥
=
å
phân kỳ.
c)
n
n
n
a
limc
b
®¥
=
với 0c
<<¥
,
0
n
$
:

nnn
c3c
ba.b
22
££ ,
0
nn
"³

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
nếu
( )
n
n1
b
¥
=
å
hội tụ thì
n
n1
3c
.b
2
¥
=
å
hội tụ, do đó
( )
n
n1
a
¥
=
å
hội tụ
nếu
( )
n

n1
b
¥
=
å
phân kỳ thì
n
n1
c
.b
2
¥
=
å
phân kỳ do đo
( )
n
n1
a
¥
=
å
phân kỳ.


<VI.5> Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
a)
1
n(n1)
+

å
b)
2
1
1n
+
å

c)
( )
n
1
lnn
å
d)
2
1
n(nn)
+
å

e)
2
n!
n
å
f)
1
nlnn
å

g)
n
n
x
(x0)
n
³
å
h)
n
x
n!
å

i)
2
n4
2n1
n4n3
¥
=
+
-+
å
j)
n1
1
sin
nn

¥
=
p
å


. Giải:
a)
11
~(n)
n
n(n1)
®¥
+
và do
n1
1
n
¥
=
å
phân kỳ nên
n1
1
n(n1)
¥
=
+
å
phân kỳ.

b)
22
11
1nn
£
+
nên
2
1
1n
+
å
hội tụ.
c) Đặt
( )
n
n
1
x
lnn
= ta có

n
n
n
1
x0
lnn
®¥
=®

(< 1)

( )
n
1
lnn
å
hội tụ
d)
3
2
2
11
~
n(nn)
n
+
(
n
®¥
) nên
2
1
n(nn)
+
å
hội tụ.
e)
n
2

n!
x
n
= từ đó
(
)
( )
22
n1
2
n
n1!
xnn
xn!n1
n1
+
+
=´=®¥
+
+
, nên chuỗi
2
n!
n
å
phân kỳ.
f) Xét
1
n
nlnn

1
lnn
n
=®¥

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
mà
1
n
å
phân kỳ, vậy
1
nlnn
å
phân kỳ.
g)
n
n
x
n
å
hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy.
h)
n
x
n!
å
hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert.
i) do
( )

2
2n11
~n
n4n3n
+
®¥
-+
nên
2
2n1
n4n3
+
-+
å
phân kỳ
j) Xét
n
2
1
sin
nn
nsin
1
n
n
®¥
p
p
=®p

nên
( )
2
1
nsin~n
nn
p
®¥
. Vậy
1
sin
nn
p
å
hội tụ.

< VI.6> Cho chuỗi số
p
n1
1.3.5 (2n1)
2.4.6 2n
¥
=
-
éù
êú
ëû
å

Chứng minh rằng chuỗi hội tụ khi và chỉ khi p > 2

. Giải:
Đặt
p
p
n
1.3.5 (2n1)
x
2.4.6 2n
-
éù
=
êú
ëû

ta có
2
n
135(2n1)35(2n1)(2n1)1
x 1
2462n24(2n2)2n2n1
+
=
-+


1111111
11 1.11 1.
242242n2n1
ỉưỉưỉưỉưỉưỉư

= +++
ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷
+
èøèøèøèøèøèø


222
1111
11 1.
24(2n)2n1
ỉư
ỉưỉư
=
ç÷
ç÷ç÷
+
èøèø
èø

do
( )
2
222
k1
1111111
2
244k42
2n
¥
=

+++=£=
å

nên
2
n
11
x.
22n1
³
+

mà vì
11
.
22n1
+
å
phân kỳ, ta có
2
n
x
å
phân kỳ.
Từ đó suy ra

p2
£
: ta có
p2

nn
xx
³
nên
p
n
1
x
¥
å
phân kỳ.

p2
>
:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Ta có
p
p
2
p2
2
nn
222
1111
x(x)11 1
24(2n)2n1
éù
ỉư
ỉưỉư

==
êú
ç÷ç÷ç÷
+
èøèø
èø
ëû


( )
p
2
1
2n1
£
+

mà
p
n1
2
1
(2n1)
¥
=
+
å
hội tụ
p
(1)

2
>
, nên
p
n
n1
x
¥
+
å
hội tụ.

<VI.7> Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối của
a)
( )
2n1
2n1
x
(1)
2n1!
+
+
-
+
å
b)
( )
n
n1
n

x
(1)
x2
+
-
+
å


. Giải:
a) Đặt
( ) ( )
2n1
2n1
2n1
n
x
x
a(1)
2n1!2n1!
+
+
+
=-=
++

Ta có
( )
( )
( )( )

2n32
n1
2n1
n
n
xx2n1!
a
.0
a2n3!2n22n3
x
+
+
+
®¥
+
==®
+++

Vậy
n
a
å
hội tụ với
x
"Ỵ

.
hay
( )
2n1

2n1
x
(1)
2n1!
+
+
-
+
å
hội tụ tuyệt đối tại
x
"Ỵ

.
b) Đặt
( )
n
n
n1
n
nn
x
x
a(1)(x2)
x2
x2
+
=-="¹-
+
+

.

n
n
x
a
x2
=
+

Ta có
x
1xx2
x2
<Û<+
+


x1
Û>-


x
1x1
x2
>Û<-
+

x = -1 thì a
n

=1 nên
n
a
å
phân kỳ.
Vậy
( )
n
n1
n
x
(1)
x2
+
-
+
å
hội tụ tuyệt đối khi và chỉ khi x > -1

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
<VI.8> Cho
(
)
n
n
b
bò chặn và
n
a0,n
³"

. Giả sử
n
a
å
hội tụ. CMR
nn
ab
å
hội tụ.

. Giải:
Do
(
)
n
n
b
bò chặn nên
n
M0:|b|M,n
$>£"

nên
nnn
M.a|a.b|,n
³"
(
n
a0
³

).
và
n
Ma
å
hội tụ nên
nn
ab
å
hội tụ, do đó
nn
ab
å
hội tụ.

<VI.9> Xét tính hội tụ của
( )
k
p
lnn
n
å
với
k1
>
và
p1
>

. Giải:
Với p > 1, ta có
p1
=+a
trong đó
0
a>
.
Xét
( )
( )
k
k
p
n
2
1
2
lnn
lnn
n
0(0)
1
2
n
n
a
®¥
a
+

a
=®>

Mà
1
2
1
n
a
+
å
hội tụ, nên
( )
k
p
n2
lnn
n
¥
=
å
hội tụ.

<VI.10> Khảo sát tính hội tụ của
n2
1
(,0)
nlnn
¥
ab

=
ab>
å


. Giải:
Xét hàm số
1
f(x)
xlnx
ab
= xác đònh trên
[2,)
¥
và là hàm số giảm.
Hơn nữa ở bài tập tích phân, ta có

1
a>

2
dx
xlnx
¥
ab
ò
hội tụ.

1
a<

2
dx
xlnx
¥
ab
ò
phân kỳ

1
a=

-
1
b>

2
dx
xlnx
¥
ab
ò
hội tụ
-
1
b£

2
dx
xlnx

¥
ab
ò
phân kỳ
Từ đó
n2
1
nlnn
¥
ab
=
å
hội tụ khi và chỉ khi
1
a>
hay
1
a=
và
1
b>


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
<VI.11> Cho
2
n
a
å
và

2
n
b
å
hội tụ. CMR
nn
ab
å
hội tụ

. Giải:
Ta có
22
nn
nn
ab
ab,n.
2
+
£"

mà
2
n
a
å
,
2
n
b

å
hội tụ nên
22
nn
ab
+
å
hội tụ và do đó
22
nn
ab
2
+
å
hội tụ vậy
nn
ab
å
hội tụ, suy ra
nn
ab
å
hội tụ.

<VI.12> Cho
n
a0,n
³"
và
n

a
å
phân kỳ
CMR
n
n1
n
a
1a
¥
=
+
å
phân kỳ, còn
n
2
n1
n
a
1na
¥
=
+
å
hội tụ.

. Giải:
Giả sử
n
n

n
a
0
1a
®¥
®
+
, nếu ngược lại thì
n
n1
n
a
1a
¥
=
+
å
phân kỳ.
Ta có :
0
"e>
, đặt
'
1
e
e=
+e


'

n
0
n
a
n:n0
1a
$³Þ<e
+


'
n0
'
a,nn
1
e
Þ<=e³
-e
.
Vậy
n
n
lima0
=

từ đó
nn0
aa,nN
£"³ (N
0

đủ lớn).
Suy ra lúc đó
n
a
å
phân kỳ.
Hơn nữa
nn
nn
n
n
aa1
a(a0)
1a2
2a
³=>
+

Và
n
n
n
a1
a
1a2
³
+
nếu a
n
= 0.

do
n
1
a
2
å
phân kỳ nên
n
n
a
1a
+
å
phân kỳ.
Dễ dàng kiểm chứng
n
22
n
a1
,n
1a.nn
£"
+

từ đó do
2
1
n
å
hội tụ, ta có

n
2
n
a
1na
+
å
hội tụ.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

<VI.13> Cho
n
a0
³
,
n
"
và
n
a
å
hội tụ. CM
n
a
n
å
hội tụ.

. Giải:
Từ

( )
2
nn
aa
=
åå
và
2
1
n
å
hội tụ.
Theo <V.11>,
n
a
n
å
hội tụ.

<VI.14> Tìm miền hội tụ của :
a)
n
nx
å
b)
n
n
x
n
å

c)
nn
2x
-
å
d)
n
2
x
n2n
+
å


. Giải:
a)
n
n
nn
n
anan1
®¥
=Þ=®
tại
x1
=±
chuỗi phân kỳ
Vậy miền hội tụ của
n

nx
å
là
(
)
1,1
-
b)
n
nn
n
n
11
aa0
nn
®¥
=Þ=®

chuỗi
n
n
x
n
å
có miền hội tụ là
(
)
,
-¥+¥

c)
n
n
nn
1
a2|a|
2
-
=Þ=


nn
2x
-
å
hội tụ trên
x:|x|2
"<
và phân kỳ với
x:|x|2
">

x=-2 :
( )
n
n
2
2
-
å

phân kỳ.
X= 2 :
n
n
2
2
å
phân kỳ
Vậy miền hội tụ là
(
)
2,2
- .
d)
n
nn
2
n2
n
11
aa1
n2n
n2n
®¥
=Þ=®
+
+

n
n

ax
å
hội tụ với
x:|x|1
"<

và phân kỳ với
x:|x|1
">

tại
x1
=±
chuỗi hội tụ.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Vậy miền hội tụ là
[
]
1,1
-


<VI.15> Tìm miền hội tụ của
a)
n
x
n
å
b)
n

xlnn
å

c)
( )
n
x
4n1!
-
å
d)
( )
n
n
2
x
2n7!
+
å


. Giải:
a) Bán kính hội tụ là R = 1.

x1
=
chuỗi phân kỳ.

x1
=-

chuỗi hội tụ (theo Leibnitz)
miền hội tụ là
[1,1)
-

b) Bán kính hội tụ là R=1
tại
x1
=±
chuỗi phân kỳ.
Miền hội tụ là (-1, 1).
c)
( )
n
1
a
4n1!
=
-
, thì
(
)
( ) ( )( )( )
n1
n
4n1!
a2
a4n3!4n4n14n24n3
+
-

==
++++

Bán kính hội tụ
R
=¥

Miền hội tụ là
(,)
-¥+¥

d)
( )
n
n
2
a
2n7!
=
+
thì
( )
(
)
( )( )
n1
n1
n
n
2n7!

a22
a2n9!22n82n9
+
+
+
=´=
+++

miền hội tụ là
(,)
-¥+¥
.

<VI.16> Chứng minh rằng
n
n0
x
¥
=
å
hội tụ đều trên
1
[0,]
2
và không hội tụ đều trên (0,
1).

. Giải:
Ta có
n

n
11
x,x[0,]
22
ỉư
£"Ỵ
ç÷
èø

Và
n
1
2
å
hội tụ nên
n
x
å
hội tụ đều trên [
1
0,
2
]
đặt
2n
n
S(x)1xx x
=++++

n1
1x
1x
+
-
=
-

x(0,1)
"Ỵ
ta có
n
n
1
limS(x)S(x)
1x
==
-

xét
n1
n
1x
S(x)
1x1x
+
-=


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

với n cho trước, ta có :

n
x1
x
lim
1x
®
=¥
-
nên
n
x
x:1
1x
$>
-

Vậy S
n
(x) không hội tụ đều về S(x) trên (0, 1).
<VI.17> CMR
( )
n
n0
1xx
¥
=
-
å

không hội tụ đều trên [0, 1].

. Giải:
Đặt
( ) ( ) ( )
n1
kn1
n
k0
1x
Sx1xx1x1x(k1)
1x
+
¥
+
=
-
=-=-=-¹
-
å


n
S(x)0
=
tại
x1
=
.
Vậy

n
1,x1
S(x)S(x)
0,x1
¹
ì
®=
í
=
ỵ

do đó :
(
)
n
n
f(x)1xx
=-
liên tục trên [0, 1] và
S(x)
không liên tục trên [0, 1] nên
n
S(x)
không hội tụ đều về S(x) trên [0, 1].

<VI.18> Chứng minh
22
1
nx
+

å
hội tụ đều trên
[0,)
¥


. Giải:
Với
[
)
nn
222
11
f(x)a,x0,
nxn
=£="Ỵ¥
+

do
n
a
å
hội tụ nên
n
f(x)
å
hội tụ đều.

<VI.19> Chứng minh
sinnx

nn
å
hội tụ đều trên

.

. Giải:
Với
n
sinnx
f(x)
nn
=
do
n
1
f(x)
nn
£ và
1
nn
å
hội tụ nên
n
f(x)
å
hội tụ đều.

<VI.20> Xét tính hội tụ đều của
nnx

xe
-
å
trên
[
)
0,
¥


. Giải:
Xét hàm số
nnx
n
f(x)xe
-
= ta có
'nxnnx
nn1
f(x)nx.enxe

-
=-
=
(
)
n1nx
nxe1x

-

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

Vậy
n
n
0f(x)e
-
££
[
)
,x0,
"Ỵ¥

mà
n
e
-
å
hội tụ vậy
n
f(x)
å
hội tụ đều.

<VI.21> Chứng minh chuỗi
n
n
x
1x

+
å
hội tụ đều trên mọi đoạn [0, c] với
0c1
<<
,
nhưng không hội tụ đều trên
[
)
0,1
.

. Giải:
Với mọi số
c(0,1)
Ỵ
.
Xét hàm số
n
n
n
x
f(x)
1x
=
+
tăng (theo biến x)
Do đó
[ ]
n

n
n
n
c
f(x)c,0,c
1x
££"Ỵ
+

Do
n
c
å
hội tụ nên
n
f(x)
å
hội tu đều trên [0, c].
Xét trên [0, 1)
Đặt
k
n
n
k
k1
x
S(x)
1x
=
=

+
å

m,n
"
cho trước ta có

( )
n1m1
mn
n1m1
xx
S(x)S(x) mn
1x1x
++
++
-=++>
++

do
n
n
x1
x1
lim
1x2
®
=
+
nên

[
)
n
n
x1
x0,1:
1x3
$Ỵ>
+

vậy
n
f(x)
å
không hội tụ đều trên [0, 1).
<VI.22> Cho
2
n1
1
f(x)
1nx
¥
=
=
+
å

a) Tìm miền xác đònh của f.
b) Xét tính liên tục của f.

. Giải:
a)
x = 0 , chuỗi không hội tụ nên f không xác đònh.
x 0 1
+¥

'
n
f(x)
+ 0 -
n
f(x)

n
e
-

0 0
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

2
1
x
n
=-
, số hạng tổng quát
2
1
1nx
+

không xác đònh, hàm số không xác đònh

22
111
x\{0,,,, }
123

"Ỵ được chọn trước
( )
22
11
~n
1nxn
®¥
+
nên
2
1
1nx
+
å
hội tụ tuyệt đối , f xác đònh.
Vậy miền xác đinh của f là
22
111
D\{0,,,, }
123

= 
b) Lấy x

0
bất kỳ trên D.
Tồn tại
[
]
0
,:x,D
abỴỴabÌ


Do
n
2
1
f(x)
1nx
=
+
giảm (theo biến x) trên
[
]
,
ab
nên
[
]
nnn
f()f(x)f(),x,,n
b££a"Ỵab"ỴN
, vì vậy

nnnn
f(x)max(f(),f())a
£ba=

Trong đó
nn
af()
=a
hay
nn
af()
=b
và có
n
a
å
hội tụ. Suy ra
n
f(x)
å
hội tụ đều
trên
[
]
,
ab
, mà các hàm f
n
liên tục trên
[

]
,
ab
, vậy f liên tục trên
[
]
,
ab
. Tức là f liên
tục tai x
0
và do đó f liên tục trên D.
<VI.23>Xét tính liên tục của
2
33
nx
f(x)
xn
=
+
å
trên
[
)
0,
¥


. Giải:
Với

x0
³
thì :
222
3332
nxnxx
xnxn
£=
+

Với bất kỳ
x0
³
tồn tại a > 0 thỏa
0xa
££
nên

222
3332
nxn.aa
0
xnnn
££=
+

mà
2
2
a

n
å
hội tụ
nên
2
33
nx
xn
+
å
hội tụ đều trên [0, a]
suy ra
2
33
nx
f(x)
xn
=
+
å
liên tục trên [0, a] (vì
2
n
33
nx
f(x)
xn
=
+
liên tục,

n
"
)
Þ
f liên tục tại moi
[
)
x0,
Ỵ¥
.

<VI.24> Tính đạo hàm của
22
1
f(x)
nx
=
+
å


. Giải:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
với
n
22
1
f(x)
nx
=

+
ta có
( )
'
n
2
22
2x
f(x)
nx
-
=
+
nên
'
n
4
2|x|
f(x)
n
£
với
0
x
Ỵ

cho trước

'
n

f(x)
å
hội tụ đều trên
[
]
00
x1,x1
-+


n
f(x)
å
hội tụ đều trên
[
]
00
x1,x1
-+
, ta lại có các hàm
'
n
f
liên tục nên
[ ]
'
'
nn00
f(x)f(x),xx1,x1
éù

="Ỵ-+
êú
ëû
åå

vậy
( )
'
2
22
2x
f(x),x
nx
-
="Ỵ
+
å



<VI.25> Tính các tổng vô hạn:
a)
35k2k1
2x4x6x (1)2k.x
-
-+-++-
|x|1
<

b)

2n1
23n
12x3xnx

aaaa
-
+++++

|x|a
<

c)
23n
xxx
x
23n
+++++

|x|1
<


. Giải:
a) Xét chuỗi
n2n1
n1
(1)2nx
¥
-
=

-
å
(1)
|x|1
<

với
n2n1
n
f(x)(1)2nx
-
=- có một nguyên hàm là

n2n
n
F(x)(1)x
=-
Chuỗi (1) có bán kính hội tụ là R = 1, nên với mọi
0
x(1,1)
Ỵ-
[
]
(
)
0
0:x,1,1
$a>Ỵ-a-
(1) hội tụ đều trên
[

]
,
-aa
. Hơn nữa
n
F(x)
å
cũng hội tụ trên
[
]
,
-aa
nên:

[ ]
'
nn
1n1
F(x)f(x),x,
¥¥
=
ỉư
="Ỵ-aa
ç÷
èø
åå

Và do đó
( )
'

nn
1n1
F(x)f(x),x1,1
¥¥
=
ỉư
="Ỵ-
ç÷
èø
åå


n1n
S(x)F(x) F(x)
=++

2n
24n2n2
2
1(x)
xx (1)xx
1x
ỉư

=-+++-=-
ç÷
+
èø

từ đó

( )
2
nn
2
n
1
x
F(x)limS(x),x1,1
1x
¥
®¥
-
==Ỵ-
+
å

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
nên
( )
'
2
n
2
2
2
x2x
f(x)
1x
1x
¥

ỉư
-
=-=
ç÷
+
èø
+
å

b) Chuỗi cho có dạng
n
f(x)
å
với

n1
n
n
nx
f(x)
a
-
= với
|x|a
<

có nguyên hàm là
n
n
n

n
xxx
F(x),1
aaa
ỉư
==<
ç÷
èø

Lý luận như trên :
'
n
n
2
xa
f(x)
a(ax)
ỉư
ỉư
==
ç÷
ç÷
ç÷
-
èø
èø
åå

c) Chuỗi đã cho có dạng
n

n1
f(x)
¥
=
å
với

x
n
n1
n
0
x
f(x)tdt
n
-
==
ò

do
n1
n1
t
¥
-
=
å
hội tụ đều trên [0, x], với
|x|1
<

nên
xx
n1n1
n
n1n1
00
f(x)tdttdt
¥¥

==
ỉư
==
ç÷
èø
ååå
òò


( )
x
0
dt
ln1x
1t
==
-
ò

<VI.26> Cho

2n1
n
n0
x
f(x)(1)
(2n1)!
+
¥
=
=-
+
å

và
2n
n
n0
x
g(x)(1)
(2n)!
¥
=
=-
å

a) CMR
f(0)0
=
và
f(0)1

=

b)
f,g
khả vi trên

và
'
'
f(x)g(x)
g(x)f(x)
ì
=
ï
í
=-
ï
ỵ


. Giải:
a) Bạn đọc tự kiểm tra.
b) Các chuỗi
f(x),g(x)
có bán kính hội tụ là
R
=¥
nên hội tụ đều trên mọi đoanj
[
]

a,b
. Các hàm thành phần
( )
2n1
n
n
x
f(x)(1)
2n1!
+
=-
+

và
2n
n
n
x
g(x)(1)
(2n)!
=-
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
khả vi liên tục trên

.
Do
'
nn1
f(x)g(x)
-

=
và
'
nn1
g(x)f(x)
-
=-
Sự hội tụ đều của
f(x),g(x)
dẫn đến sự hội tụ đều của
'
n
f(x)
å
và
'
n
g(x)
å

Từ đó

'
''
nnn
f(x)f(x)f(x)g(x)g(x)
ỉư
====
ç÷
èø

ååå

và
'
''
nnn
g(x)g(x)g(x)f(x)f(x)
ỉư
==+=-=-
ç÷
èø
ååå
.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version