Tải bản đầy đủ (.pdf) (16 trang)

BÀI tập CHUYÊN đề CHUỖI số CHUỖI hàm

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (143.62 KB, 16 trang )

CHUỖI SỐ – CHUỖI HÀM

<VI.1> Tính tổng
n
n1
x
¥
=
å
với :
a)
n
n
xq(|q|1)
=<
b)
n
1
x
n(n1)
=
+

c)
n
2
1
x(n2)
n1

-


d)
( )
n
1
x
n1nn(n1)
=
+++


. Giải:
Đặt
n12n
Sxx x
=+++

a)
2n
n
n
1q
Sqq qq
1q
-
=+++=
-


nn
n

n1
q
xlimS
1q
¥
®¥
=
==
-
å

b) Ta có
k
11
x,
kk1
=-
+
từ đó

n
111111
S1 1
223nn1n1
ỉưỉưỉư
=-+-++-=-
ç÷ç÷ç÷
++
èøèøèø



nn
n
n1
xlimS1
¥
®¥
=
==
å

c) Ta có
k
2
1111
x,k2
k12k1k1
ỉư
==-³
ç÷
+
èø


n23n
11111111
Sxx x1
232435n1n1
ỉư
ỉưỉưỉưỉư

=+++=-+-+-++-
ç÷ç÷ç÷ç÷
ç÷
-+
èøèøèøèø
èø


1111
1
22nn1
ỉư
=+
ç÷
+
èø


nn
n
n1
113
xlimS1
224
¥
®¥
=
ỉư
==+=
ç÷

èø
å

d) Ta có
( )
k
1k1k
x
k.k1
k1kk(k1)
+-
==
+
+++


11
kk1
=-
+

nên
n
111111
S
1223nn1
ỉư
ỉưỉư
=-+-++-
ç÷

ç÷ç÷
+
èøèø
èø


1
1
n1
=-
+
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Vậy
nn
n
n1
xlimS1
¥
®¥
=
==
å


<VI.2> Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau :
a)
2
n1
1

n
¥
=
å
b)
n
n1
1
2
¥
=
å

c)
n
n1
n
2
¥
=
å
d)
n1
1
n
¥
=
å

e)

n2
1
lnn
¥
=
å
f)
nn
n
n1
23
6
¥
=
+
å


. Giải:
a)
2
11
nn(n1)
£
+
,
n1


n1

1
n(n1)
¥
=
-
å
hội tụ nên
2
n1
1
n
¥
=
å
hội tụ.
b)
n
n1
1
2
¥
=
å
=
n
q
å
với
1
0q1

2
<=<
nên
n
n1
1
2
¥
=
å
hội tụ.
c) do
( )
nn
n
2
nn
0
2
2
®¥

nên
n
2
0
n2,nn
<"³
.
Từ đó

n
2
0
nn
n2
,nn
22
£³

hay
( )
0
n
n
n1
,nn
2
2
£³


( )
n
1
2
å
hội tụ nên
n
n1
n

2
¥
=
å
hội tụ.
d) đặt
n
11
S1
2n
=+++

với
0
1
2
e=
, và mọi số nguyên
n
ỴN
lây
nN
³
và m =2n
thì
mn
1111
SS ()
n1n2nn2
-=+++³=e

+++

do đó theo tiêu chuẩn Cauchy,
(
)
n
n
S
không hội tụ, nên
1
n
å
phân kỳ.
e) Từ
nlnn,n2

ta có
11
lnnn
>


1
n
å
phân kỳ nên
n2
1
lnn
¥

=
å
phân kỳ.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
f) Với
nn
n
nnn
2311
x
632
+
==+
và các chuỗi :
n
1
3
å

n
1
2
å
hội tụ.
Vậy
nn
n
n1
23
6

¥
=
+
å
hội tụ.

<VI.3> Chứng minh rằng chuỗi:

2.42.4.6
1
1.31.3.5
+++
phân kỳ.

. Giải:
Số hạng tổng quát
n
2.4.6 2n
x
1.3.5 (2n1)
=
-
>1
Þ
dãy
(
)
n
n
x

không có giới hạn là 0 nên
n
1
x
¥
å
phân kỳ.
<VI.4> Cho
( )
n
n1
a
¥
=
å

( )
n
n1
b
¥
=
å
với
n
a0n
³"


n

b0n
³"


( )
n
n
n
a
limc0
b
®¥

. CMR
a)
c0
=
, và
( )
n
n1
b
¥
=
å
hội tụ thì
( )
n
n1
a

¥
=
å
hội tụ.
b)
c

, và
( )
n
n1
b
¥
=
å
phân kỳ thì
( )
n
n1
a
¥
=
å
phân kỳ.
c) 0c
<<¥
thì
( )
n
n1

a
¥
=
å

( )
n
n1
b
¥
=
å
cùng bản chất, nghóa là cùng phân kỳ hay cùng
hội tụ, lúc đó sẽ ghi
nn
a~b(n)
®¥


. Giải:
a) do
n
n
n
a
lim0
b
®¥
=
nên

0
n
$
sao cho
nn0
0ab,nn
££"³

Vậy
( )
n
n1
b
¥
=
å
hội tụ dẫn đến
( )
n
n1
a
¥
=
å
hội tụ.
b) do
n
n
n
a

lim
b
®¥

nên
0
n
$
sao cho
nn
ba
£
,
0
nn


Vậy
( )
n
n1
b
¥
=
å
phân kỳ dẫn đến
( )
n
n1
a

¥
=
å
phân kỳ.
c)
n
n
n
a
limc
b
®¥
=
với 0c
<<¥
,
0
n
$
:

nnn
c3c
ba.b
22
££ ,
0
nn



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
nếu
( )
n
n1
b
¥
=
å
hội tụ thì
n
n1
3c
.b
2
¥
=
å
hội tụ, do đó
( )
n
n1
a
¥
=
å
hội tụ
nếu
( )
n

n1
b
¥
=
å
phân kỳ thì
n
n1
c
.b
2
¥
=
å
phân kỳ do đo
( )
n
n1
a
¥
=
å
phân kỳ.


<VI.5> Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
a)
1
n(n1)
+

å
b)
2
1
1n
+
å

c)
( )
n
1
lnn
å
d)
2
1
n(nn)
+
å

e)
2
n!
n
å
f)
1
nlnn
å


g)
n
n
x
(x0)
n
³
å
h)
n
x
n!
å

i)
2
n4
2n1
n4n3
¥
=
+
-+
å
j)
n1
1
sin
nn

¥
=
p
å


. Giải:
a)
11
~(n)
n
n(n1)
®¥
+
và do
n1
1
n
¥
=
å
phân kỳ nên
n1
1
n(n1)
¥
=
+
å
phân kỳ.

b)
22
11
1nn
£
+
nên
2
1
1n
+
å
hội tụ.
c) Đặt
( )
n
n
1
x
lnn
= ta có

n
n
n
1
x0
lnn
®¥


(< 1)

( )
n
1
lnn
å
hội tụ
d)
3
2
2
11
~
n(nn)
n
+
(
n
®¥
) nên
2
1
n(nn)
+
å
hội tụ.
e)
n
2

n!
x
n
= từ đó
(
)
( )
22
n1
2
n
n1!
xnn
xn!n1
n1
+
+
=´=®¥
+
+
, nên chuỗi
2
n!
n
å
phân kỳ.
f) Xét
1
n
nlnn

1
lnn
n
=®¥

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

1
n
å
phân kỳ, vậy
1
nlnn
å
phân kỳ.
g)
n
n
x
n
å
hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy.
h)
n
x
n!
å
hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert.
i) do
( )

2
2n11
~n
n4n3n
+
®¥
-+
nên
2
2n1
n4n3
+
-+
å
phân kỳ
j) Xét
n
2
1
sin
nn
nsin
1
n
n
®¥
p
p
=®p


nên
( )
2
1
nsin~n
nn
p
®¥
. Vậy
1
sin
nn
p
å
hội tụ.

< VI.6> Cho chuỗi số
p
n1
1.3.5 (2n1)
2.4.6 2n
¥
=
-
éù
êú
ëû
å

Chứng minh rằng chuỗi hội tụ khi và chỉ khi p > 2


. Giải:
Đặt
p
p
n
1.3.5 (2n1)
x
2.4.6 2n
-
éù
=
êú
ëû

ta có
2
n
135(2n1)35(2n1)(2n1)1
x 1
2462n24(2n2)2n2n1
+
=
-+


1111111
11 1.11 1.
242242n2n1
ỉưỉưỉưỉưỉưỉư

= +++
ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷
+
èøèøèøèøèøèø


222
1111
11 1.
24(2n)2n1
ỉư
ỉưỉư
=
ç÷
ç÷ç÷
+
èøèø
èø

do
( )
2
222
k1
1111111
2
244k42
2n
¥
=

+++=£=
å

nên
2
n
11
x.
22n1
³
+

mà vì
11
.
22n1
+
å
phân kỳ, ta có
2
n
x
å
phân kỳ.
Từ đó suy ra

p2
£
: ta có
p2

nn
xx
³
nên
p
n
1
x
¥
å
phân kỳ.

p2
>
:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Ta có
p
p
2
p2
2
nn
222
1111
x(x)11 1
24(2n)2n1
éù
ỉư
ỉưỉư

==
êú
ç÷ç÷ç÷
+
èøèø
èø
ëû


( )
p
2
1
2n1
£
+


p
n1
2
1
(2n1)
¥
=
+
å
hội tụ
p
(1)

2
>
, nên
p
n
n1
x
¥
+
å
hội tụ.

<VI.7> Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối của
a)
( )
2n1
2n1
x
(1)
2n1!
+
+
-
+
å
b)
( )
n
n1
n

x
(1)
x2
+
-
+
å


. Giải:
a) Đặt
( ) ( )
2n1
2n1
2n1
n
x
x
a(1)
2n1!2n1!
+
+
+
=-=
++

Ta có
( )
( )
( )( )

2n32
n1
2n1
n
n
xx2n1!
a
.0
a2n3!2n22n3
x
+
+
+
®¥
+
==®
+++

Vậy
n
a
å
hội tụ với
x
"Ỵ

.
hay
( )
2n1

2n1
x
(1)
2n1!
+
+
-
+
å
hội tụ tuyệt đối tại
x
"Ỵ

.
b) Đặt
( )
n
n
n1
n
nn
x
x
a(1)(x2)
x2
x2
+
=-="¹-
+
+

.

n
n
x
a
x2
=
+

Ta có
x
1xx2
x2
<Û<+
+


x1
Û>-


x
1x1
x2
>Û<-
+

x = -1 thì a
n

=1 nên
n
a
å
phân kỳ.
Vậy
( )
n
n1
n
x
(1)
x2
+
-
+
å
hội tụ tuyệt đối khi và chỉ khi x > -1

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
<VI.8> Cho
(
)
n
n
b
bò chặn và
n
a0,n
³"

. Giả sử
n
a
å
hội tụ. CMR
nn
ab
å
hội tụ.

. Giải:
Do
(
)
n
n
b
bò chặn nên
n
M0:|b|M,n
$>£"

nên
nnn
M.a|a.b|,n
³"
(
n
a0
³

).

n
Ma
å
hội tụ nên
nn
ab
å
hội tụ, do đó
nn
ab
å
hội tụ.

<VI.9> Xét tính hội tụ của
( )
k
p
lnn
n
å
với
k1
>

p1
>



. Giải:
Với p > 1, ta có
p1
=+a
trong đó
0
a>
.
Xét
( )
( )
k
k
p
n
2
1
2
lnn
lnn
n
0(0)
1
2
n
n
a
®¥
a
+

a
=®>


1
2
1
n
a
+
å
hội tụ, nên
( )
k
p
n2
lnn
n
¥
=
å
hội tụ.

<VI.10> Khảo sát tính hội tụ của
n2
1
(,0)
nlnn
¥
ab

=
ab>
å


. Giải:
Xét hàm số
1
f(x)
xlnx
ab
= xác đònh trên
[2,)
¥
và là hàm số giảm.
Hơn nữa ở bài tập tích phân, ta có

1
a>

2
dx
xlnx
¥
ab
ò
hội tụ.

1
a<


2
dx
xlnx
¥
ab
ò
phân kỳ

1
a=

-
1
b>

2
dx
xlnx
¥
ab
ò
hội tụ
-
1


2
dx
xlnx

¥
ab
ò
phân kỳ
Từ đó
n2
1
nlnn
¥
ab
=
å
hội tụ khi và chỉ khi
1
a>
hay
1
a=

1
b>


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
<VI.11> Cho
2
n
a
å


2
n
b
å
hội tụ. CMR
nn
ab
å
hội tụ

. Giải:
Ta có
22
nn
nn
ab
ab,n.
2
+
£"


2
n
a
å
,
2
n
b

å
hội tụ nên
22
nn
ab
+
å
hội tụ và do đó
22
nn
ab
2
+
å
hội tụ vậy
nn
ab
å
hội tụ, suy ra
nn
ab
å
hội tụ.

<VI.12> Cho
n
a0,n
³"

n

a
å
phân kỳ
CMR
n
n1
n
a
1a
¥
=
+
å
phân kỳ, còn
n
2
n1
n
a
1na
¥
=
+
å
hội tụ.

. Giải:
Giả sử
n
n

n
a
0
1a
®¥
®
+
, nếu ngược lại thì
n
n1
n
a
1a
¥
=
+
å
phân kỳ.
Ta có :
0
"e>
, đặt
'
1
e
e=
+e


'

n
0
n
a
n:n0
1a
$³Þ<e
+


'
n0
'
a,nn
1
e
Þ<=e³
-e
.
Vậy
n
n
lima0
=

từ đó
nn0
aa,nN
£"³ (N
0

đủ lớn).
Suy ra lúc đó
n
a
å
phân kỳ.
Hơn nữa
nn
nn
n
n
aa1
a(a0)
1a2
2a
³=>
+


n
n
n
a1
a
1a2
³
+
nếu a
n
= 0.

do
n
1
a
2
å
phân kỳ nên
n
n
a
1a
+
å
phân kỳ.
Dễ dàng kiểm chứng
n
22
n
a1
,n
1a.nn
£"
+

từ đó do
2
1
n
å
hội tụ, ta có

n
2
n
a
1na
+
å
hội tụ.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

<VI.13> Cho
n
a0
³
,
n
"

n
a
å
hội tụ. CM
n
a
n
å
hội tụ.

. Giải:
Từ

( )
2
nn
aa
=
åå

2
1
n
å
hội tụ.
Theo <V.11>,
n
a
n
å
hội tụ.

<VI.14> Tìm miền hội tụ của :
a)
n
nx
å
b)
n
n
x
n
å


c)
nn
2x
-
å
d)
n
2
x
n2n
+
å


. Giải:
a)
n
n
nn
n
anan1
®¥
=Þ=®
tại
x1

chuỗi phân kỳ
Vậy miền hội tụ của
n

nx
å

(
)
1,1
-
b)
n
nn
n
n
11
aa0
nn
®¥
=Þ=®

chuỗi
n
n
x
n
å
có miền hội tụ là
(
)
,
-¥+¥


c)
n
n
nn
1
a2|a|
2
-
=Þ=


nn
2x
-
å
hội tụ trên
x:|x|2
"<
và phân kỳ với
x:|x|2
">

x=-2 :
( )
n
n
2
2
-
å

phân kỳ.
X= 2 :
n
n
2
2
å
phân kỳ
Vậy miền hội tụ là
(
)
2,2
- .
d)
n
nn
2
n2
n
11
aa1
n2n
n2n
®¥
=Þ=®
+
+

n
n

ax
å
hội tụ với
x:|x|1
"<

và phân kỳ với
x:|x|1
">

tại
x1

chuỗi hội tụ.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Vậy miền hội tụ là
[
]
1,1
-


<VI.15> Tìm miền hội tụ của
a)
n
x
n
å
b)
n

xlnn
å

c)
( )
n
x
4n1!
-
å
d)
( )
n
n
2
x
2n7!
+
å


. Giải:
a) Bán kính hội tụ là R = 1.

x1
=
chuỗi phân kỳ.

x1
=-

chuỗi hội tụ (theo Leibnitz)
miền hội tụ là
[1,1)
-

b) Bán kính hội tụ là R=1
tại
x1

chuỗi phân kỳ.
Miền hội tụ là (-1, 1).
c)
( )
n
1
a
4n1!
=
-
, thì
(
)
( ) ( )( )( )
n1
n
4n1!
a2
a4n3!4n4n14n24n3
+
-

==
++++

Bán kính hội tụ
R


Miền hội tụ là
(,)
-¥+¥

d)
( )
n
n
2
a
2n7!
=
+
thì
( )
(
)
( )( )
n1
n1
n
n
2n7!

a22
a2n9!22n82n9
+
+
+
=´=
+++

miền hội tụ là
(,)
-¥+¥
.

<VI.16> Chứng minh rằng
n
n0
x
¥
=
å
hội tụ đều trên
1
[0,]
2
và không hội tụ đều trên (0,
1).

. Giải:
Ta có
n

n
11
x,x[0,]
22
ỉư
£"Ỵ
ç÷
èø


n
1
2
å
hội tụ nên
n
x
å
hội tụ đều trên [
1
0,
2
]
đặt
2n
n
S(x)1xx x
=++++



n1
1x
1x
+
-
=
-

x(0,1)
"Ỵ
ta có
n
n
1
limS(x)S(x)
1x
==
-

xét
n1
n
1x
S(x)
1x1x
+
-=


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

với n cho trước, ta có :

n
x1
x
lim
1x
®

-
nên
n
x
x:1
1x
$>
-

Vậy S
n
(x) không hội tụ đều về S(x) trên (0, 1).
<VI.17> CMR
( )
n
n0
1xx
¥
=
-
å

không hội tụ đều trên [0, 1].

. Giải:
Đặt
( ) ( ) ( )
n1
kn1
n
k0
1x
Sx1xx1x1x(k1)
1x
+
¥
+
=
-
=-=-=-¹
-
å


n
S(x)0
=
tại
x1
=
.
Vậy

n
1,x1
S(x)S(x)
0,x1
¹
ì
®=
í
=


do đó :
(
)
n
n
f(x)1xx
=-
liên tục trên [0, 1] và
S(x)
không liên tục trên [0, 1] nên
n
S(x)
không hội tụ đều về S(x) trên [0, 1].

<VI.18> Chứng minh
22
1
nx
+

å
hội tụ đều trên
[0,)
¥


. Giải:
Với
[
)
nn
222
11
f(x)a,x0,
nxn
=£="Ỵ¥
+

do
n
a
å
hội tụ nên
n
f(x)
å
hội tụ đều.

<VI.19> Chứng minh
sinnx

nn
å
hội tụ đều trên

.

. Giải:
Với
n
sinnx
f(x)
nn
=
do
n
1
f(x)
nn
£ và
1
nn
å
hội tụ nên
n
f(x)
å
hội tụ đều.

<VI.20> Xét tính hội tụ đều của
nnx

xe
-
å
trên
[
)
0,
¥


. Giải:
Xét hàm số
nnx
n
f(x)xe
-
= ta có
'nxnnx
nn1
f(x)nx.enxe

-
=-
=
(
)
n1nx
nxe1x

-


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

Vậy
n
n
0f(x)e
-
££
[
)
,x0,
"Ỵ¥


n
e
-
å
hội tụ vậy
n
f(x)
å
hội tụ đều.

<VI.21> Chứng minh chuỗi
n
n
x
1x

+
å
hội tụ đều trên mọi đoạn [0, c] với
0c1
<<
,
nhưng không hội tụ đều trên
[
)
0,1
.

. Giải:
Với mọi số
c(0,1)

.
Xét hàm số
n
n
n
x
f(x)
1x
=
+
tăng (theo biến x)
Do đó
[ ]
n

n
n
n
c
f(x)c,0,c
1x
££"Ỵ
+

Do
n
c
å
hội tụ nên
n
f(x)
å
hội tu đều trên [0, c].
Xét trên [0, 1)
Đặt
k
n
n
k
k1
x
S(x)
1x
=
=

+
å

m,n
"
cho trước ta có

( )
n1m1
mn
n1m1
xx
S(x)S(x) mn
1x1x
++
++
-=++>
++

do
n
n
x1
x1
lim
1x2
®
=
+
nên

[
)
n
n
x1
x0,1:
1x3
$Ỵ>
+

vậy
n
f(x)
å
không hội tụ đều trên [0, 1).
<VI.22> Cho
2
n1
1
f(x)
1nx
¥
=
=
+
å

a) Tìm miền xác đònh của f.
b) Xét tính liên tục của f.


. Giải:
a)
x = 0 , chuỗi không hội tụ nên f không xác đònh.
x 0 1


'
n
f(x)
+ 0 -
n
f(x)

n
e
-

0 0
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

2
1
x
n
=-
, số hạng tổng quát
2
1
1nx
+

không xác đònh, hàm số không xác đònh

22
111
x\{0,,,, }
123

"Ỵ được chọn trước
( )
22
11
~n
1nxn
®¥
+
nên
2
1
1nx
+
å
hội tụ tuyệt đối , f xác đònh.
Vậy miền xác đinh của f là
22
111
D\{0,,,, }
123

= 
b) Lấy x

0
bất kỳ trên D.
Tồn tại
[
]
0
,:x,D
abỴỴabÌ


Do
n
2
1
f(x)
1nx
=
+
giảm (theo biến x) trên
[
]
,
ab
nên
[
]
nnn
f()f(x)f(),x,,n
b££a"Ỵab"ỴN
, vì vậy

nnnn
f(x)max(f(),f())a
£ba=

Trong đó
nn
af()
=a
hay
nn
af()
=b
và có
n
a
å
hội tụ. Suy ra
n
f(x)
å
hội tụ đều
trên
[
]
,
ab
, mà các hàm f
n
liên tục trên
[

]
,
ab
, vậy f liên tục trên
[
]
,
ab
. Tức là f liên
tục tai x
0
và do đó f liên tục trên D.
<VI.23>Xét tính liên tục của
2
33
nx
f(x)
xn
=
+
å
trên
[
)
0,
¥


. Giải:
Với

x0
³
thì :
222
3332
nxnxx
xnxn
£=
+

Với bất kỳ
x0
³
tồn tại a > 0 thỏa
0xa
££
nên

222
3332
nxn.aa
0
xnnn
££=
+


2
2
a

n
å
hội tụ
nên
2
33
nx
xn
+
å
hội tụ đều trên [0, a]
suy ra
2
33
nx
f(x)
xn
=
+
å
liên tục trên [0, a] (vì
2
n
33
nx
f(x)
xn
=
+
liên tục,

n
"
)
Þ
f liên tục tại moi
[
)
x0,
Ỵ¥
.

<VI.24> Tính đạo hàm của
22
1
f(x)
nx
=
+
å


. Giải:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
với
n
22
1
f(x)
nx
=

+
ta có
( )
'
n
2
22
2x
f(x)
nx
-
=
+
nên
'
n
4
2|x|
f(x)
n
£
với
0
x


cho trước

'
n

f(x)
å
hội tụ đều trên
[
]
00
x1,x1
-+


n
f(x)
å
hội tụ đều trên
[
]
00
x1,x1
-+
, ta lại có các hàm
'
n
f
liên tục nên
[ ]
'
'
nn00
f(x)f(x),xx1,x1
éù

="Ỵ-+
êú
ëû
åå

vậy
( )
'
2
22
2x
f(x),x
nx
-
="Ỵ
+
å



<VI.25> Tính các tổng vô hạn:
a)
35k2k1
2x4x6x (1)2k.x
-
-+-++-
|x|1
<

b)

2n1
23n
12x3xnx

aaaa
-
+++++

|x|a
<

c)
23n
xxx
x
23n
+++++

|x|1
<


. Giải:
a) Xét chuỗi
n2n1
n1
(1)2nx
¥
-
=

-
å
(1)
|x|1
<

với
n2n1
n
f(x)(1)2nx
-
=- có một nguyên hàm là

n2n
n
F(x)(1)x
=-
Chuỗi (1) có bán kính hội tụ là R = 1, nên với mọi
0
x(1,1)
Ỵ-
[
]
(
)
0
0:x,1,1
$a>Ỵ-a-
(1) hội tụ đều trên
[

]
,
-aa
. Hơn nữa
n
F(x)
å
cũng hội tụ trên
[
]
,
-aa
nên:

[ ]
'
nn
1n1
F(x)f(x),x,
¥¥
=
ỉư
="Ỵ-aa
ç÷
èø
åå

Và do đó
( )
'

nn
1n1
F(x)f(x),x1,1
¥¥
=
ỉư
="Ỵ-
ç÷
èø
åå


n1n
S(x)F(x) F(x)
=++

2n
24n2n2
2
1(x)
xx (1)xx
1x
ỉư

=-+++-=-
ç÷
+
èø

từ đó

( )
2
nn
2
n
1
x
F(x)limS(x),x1,1
1x
¥
®¥
-
==Ỵ-
+
å

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
nên
( )
'
2
n
2
2
2
x2x
f(x)
1x
1x
¥

ỉư
-
=-=
ç÷
+
èø
+
å

b) Chuỗi cho có dạng
n
f(x)
å
với

n1
n
n
nx
f(x)
a
-
= với
|x|a
<

có nguyên hàm là
n
n
n

n
xxx
F(x),1
aaa
ỉư
==<
ç÷
èø

Lý luận như trên :
'
n
n
2
xa
f(x)
a(ax)
ỉư
ỉư
==
ç÷
ç÷
ç÷
-
èø
èø
åå

c) Chuỗi đã cho có dạng
n

n1
f(x)
¥
=
å
với

x
n
n1
n
0
x
f(x)tdt
n
-
==
ò

do
n1
n1
t
¥
-
=
å
hội tụ đều trên [0, x], với
|x|1
<


nên
xx
n1n1
n
n1n1
00
f(x)tdttdt
¥¥

==
ỉư
==
ç÷
èø
ååå
òò


( )
x
0
dt
ln1x
1t
==
-
ò

<VI.26> Cho

2n1
n
n0
x
f(x)(1)
(2n1)!
+
¥
=
=-
+
å


2n
n
n0
x
g(x)(1)
(2n)!
¥
=
=-
å

a) CMR
f(0)0
=

f(0)1

=

b)
f,g
khả vi trên


'
'
f(x)g(x)
g(x)f(x)
ì
=
ï
í
=-
ï



. Giải:
a) Bạn đọc tự kiểm tra.
b) Các chuỗi
f(x),g(x)
có bán kính hội tụ là
R

nên hội tụ đều trên mọi đoanj
[
]

a,b
. Các hàm thành phần
( )
2n1
n
n
x
f(x)(1)
2n1!
+
=-
+


2n
n
n
x
g(x)(1)
(2n)!
=-
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
khả vi liên tục trên

.
Do
'
nn1
f(x)g(x)
-

=

'
nn1
g(x)f(x)
-
=-
Sự hội tụ đều của
f(x),g(x)
dẫn đến sự hội tụ đều của
'
n
f(x)
å

'
n
g(x)
å

Từ đó

'
''
nnn
f(x)f(x)f(x)g(x)g(x)
ỉư
====
ç÷
èø

ååå


'
''
nnn
g(x)g(x)g(x)f(x)f(x)
ỉư
==+=-=-
ç÷
èø
ååå
.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

×