TÍCH PHÂN VÀ LƯỢNG GIÁC, HAY VÀ KHÓ.pdf

Hệ thống trung tâm VINASTUDY – Đống Đa
Head office: 27 Huỳnh Thúc Kháng – Đống Đa - Hà Nội
Tích phân lượng giác

Vinastudy.vn - Hotline: 0932-39-39- 56 Giáo viên : Nguyễn Thành Long


1
Tổng hợp tích phân hàm lượng giác

Khai triển nhị thức Niutơn
(
)
nn
n
nn
n
kknk
n
n
n
n
n
n
bCabCbaCbaCaCba ++++++=+
−−−− 11110


Trong đó
( )
!!

!
knk
n
C
k
n
−
=
Công thức nguyên hàm lượng giác
( ) ( )
∫
++=+ Cbax
a
dxbax sin
1
cos

( ) ( )
∫
++−=+ Cbax
a
dxbax cos
1
sin

( )
( )
∫
++=
+

Cbax
a
bax
dx
tan
1
cos
2

( )
( )
∫
++−=
+
Cbax
a
bax
dx
cot
1
sin
2

Dạng 1
(
)
∫
= xdxxPI cossin
1.1

(
)
∫
= xdxxPI sincos
2.1

(
)
∫
= dxxRI tan
3.1

Bài 1:
∫
= xdxxI cossin
2
1

Bài 2:
∫
+
= xdx
x
x
I cos
sin
2
sin1

Bài 3:

( )
2
0
sinx 1 osx sin x
I c dx
π
= + +
∫

Dạng 2:
( )
∫
= dxxI
n
sin
1.2

( )
∫
= dxI
n
cos
2.2

Bài 4:
4
cos 3
I xdx
=
∫

Hệ thống trung tâm VINASTUDY – Đống Đa
Head office: 27 Huỳnh Thúc Kháng – Đống Đa - Hà Nội
Tích phân lượng giác

Vinastudy.vn - Hotline: 0932-39-39- 56 Giáo viên : Nguyễn Thành Long


2
Bài 5:
4
sin 5
I xdx
=
∫

Dạng 3:
( )
∫
= dxxI
n
tan
1.3

( )
∫
= dxI
n
cot
2.3

Bài 6.

1
tan
I xdx
=
∫

11
cot
I xdx
=
∫

2
2
tan
I xdx
=
∫

2
12
cot
I xdx
=
∫

3

3
tan
I xdx
=
∫

3
13
cot
I xdx
=
∫

4
4
tan
I xdx
=
∫

4
14
cot
I xdx
=
∫

5
5
tan

I xdx
=
∫

5
15
cot
I xdx
=
∫

6
6
tan
I xdx
=
∫

6
16
cot
I xdx
=
∫

7
7
tan
I xdx
=

∫

7
17
cot
I xdx
=
∫

9
8
tan
I xdx
=
∫

8
18
cot
I xdx
=
∫

9
9
tan
I xdx
=
∫

9
19
cot
I xdx
=
∫

10
10
tan
I xdx
=
∫

10
20
cot
I xdx
=
∫

Dạng 4:
(
)
∫
= dxxxI
nm
cos.sin
4

Bài 7.
2 3
sin cos
I x xdx
=
∫

Bài 8.
2 2
sin cos
I x xdx
=
∫

Bài 9.
2 4
sin cos
I x xdx
=
∫

Dạng 5:
(
)
(
)
∫
= dxbxaxI coscos
5

Hệ thống trung tâm VINASTUDY – Đống Đa
Head office: 27 Huỳnh Thúc Kháng – Đống Đa - Hà Nội
Tích phân lượng giác

Vinastudy.vn - Hotline: 0932-39-39- 56 Giáo viên : Nguyễn Thành Long


3

(
)
(
)
∫
= dxbxaxI sinsin'
5

Bài 10. cos 2 .cos5 .cos9
I x x xdx
=
∫

Bài 11.
3
cos .sin8
I x xdx
=
∫

Bài 12.

sin 3 .sin 4
tan cot 2
x x
I dx
x x
=
+
∫

Dạng 6:Sử Dụng Cụng Thức Cộng / biến đổi về tan
(
)
( )
bababa
abbaba
sinsincoscoscos
cossincossinsin
∓
=±
±
=
±

Tính các tích phân sau
Bài 12.
∫







+
=
4
coscos
π
xx
dx
I

Bài 13.
∫






+
=
4
sin.sin
π
xx
dx
I

Bài 14.
∫







+
=
4
sincos
π
xx
dx
I

Bài 15.
∫






+
=
3
cossin
π
xxx
dx

I


Bài 16.
∫






+
=
4
coscos
tan
π
xx
xdx
I

Dạng 7:
∫
++
= dx
c
x
b
x
a

I
cos
sin
1


Hệ thống trung tâm VINASTUDY – Đống Đa
Head office: 27 Huỳnh Thúc Kháng – Đống Đa - Hà Nội
Tích phân lượng giác

Vinastudy.vn - Hotline: 0932-39-39- 56 Giáo viên : Nguyễn Thành Long


4
Bài 18.
3sin 4 cos
dx
I
x x
=
+
∫

Bài 19.
2cos3 sin 3
dx
I
x x
=
+

∫

Dạng 8:
∫
+
+
= dx
xbxa
xbxa
I
coscos
cossin
22
11

Bài 20.
dx
x
x
xx
I
∫
+
+
=
cos
2
sin
cos3sin4

Bài 21.
dx
x
x
xx
I
∫
+
−
=
2
cos
3
2
sin
5
2cos72sin4

Dạng 8:
( )
∫
+
+
= dx
xbxa
xbxa
I
2
11
cossin

cossin

Bài 22.
( )
∫
+
−
= dx
xx
xx
I
2
cos4sin3
cos5sin7

Dạng 9:
∫
++
+
+
= dx
cxbxa
cxbxa
I
222
111
8
coscos
cossin

Bài 23.
∫
+−
−
+
=
3
cos
2
sin
3cos2sin
x
x
xx
I

Bài 24.
∫
++
+−
2
0
3cos2sin
1cossin
π
dx
xx
xx

Dạng 10:
∫
++
= dx
x
c
x
x
b
x
a
I
22
9
cos
cos
sin
sin
1


∫
++
=
x
dx
c
x
b
x

a
22
cos
.
tan
tan
1
( đặt
)tan xt
=

Bài 25.
∫
=
x
dx
I
4
1
cos

Hệ thống trung tâm VINASTUDY – Đống Đa
Head office: 27 Huỳnh Thúc Kháng – Đống Đa - Hà Nội
Tích phân lượng giác

Vinastudy.vn - Hotline: 0932-39-39- 56 Giáo viên : Nguyễn Thành Long


5
Bài 26.

∫
=
3
6
6
2
2
cos
sin
π
π
dx
x
x
I
Bài 27.
2
2
0
cos
I xdx
π
=
∫

Bài 28.
2
sin
I xdx
=

∫

Bài 29.
2
3
0
sin
I xdx
π
=
∫

Bài 30.
sin cos
1 sin 2
x x
I dx
x
−
=
+
∫

Dạng 11:
(
)
( )
∫
= dx
x

x
I
n
m
cos
tan

(
)
( )
∫
= dx
x
x
I
n
m
sin
cot

Bài 31.
∫
= dx
x
x
I
4
2
cos
tan

Bài 32.
∫
= dx
x
x
I
4
3
cos
tan


Bài 33.
∫
= dx
x
x
I
3
3
cos
tan

Bài 34.
∫
= dx
x
x
I

cos
tan
2

Bài 35.
∫
= dx
x
x
I
cos
tan
4

Dạng 12: Mẫu số là biểu thức thuần nhất của sinx, cosx
∫∫
==
x
dx
I
x
dx
I
n
2
cos
;
sin

Bài 36.

2
sin
dx
I
x
=
∫

Hệ thống trung tâm VINASTUDY – Đống Đa
Head office: 27 Huỳnh Thúc Kháng – Đống Đa - Hà Nội
Tích phân lượng giác

Vinastudy.vn - Hotline: 0932-39-39- 56 Giáo viên : Nguyễn Thành Long


6
Bài 37.
3
sin
dx
I
x
=
∫

Bài 38.
4
sin
dx
I

x
=
∫


Bài 39.
5
sin
dx
I
x
=
∫

Bài 40.
6
sin
dx
I
x
=
∫

Dạng 13: Sử dụng PP tích phân từng phần
Bài 41:
(
)
1 cos
I x xdx
= +

∫

Bài 42.
2
0
sin
3 cos
x x
I dx
x
π
=
+
∫

Bài 43.
4
0
1 cos 2
x
I dx
x
π
=
+
∫

Bài 44.
( )
2

0
1 sin 2
I x xdx
π
= +
∫

Bài 45.
( ) ( )
∫
3 5
dx
I =
sinx cosx

Bài 46 .
∫
4
dx
I =
sin xcosx

Bài 47:
∫
+
+
=
2
0
cos

1
sin1
π
dxe
x
x
I
x

Bài 48:
∫
+
−
=
2
0
).cos1(
sin1
π
dx
ex
x
I
x

Bài 49:
( )
∫
+=
2

0
cos
2sinsin
π
xdxxeI
x

Hệ thống trung tâm VINASTUDY – Đống Đa
Head office: 27 Huỳnh Thúc Kháng – Đống Đa - Hà Nội
Tích phân lượng giác

Vinastudy.vn - Hotline: 0932-39-39- 56 Giáo viên : Nguyễn Thành Long


7
Bài 50.
∫
−−
=
1
2
cos
3
2
sin
sin
x
x
xdx
I

Bài 51:
( )
∫
+
dx
xxx
x
cossin2cos
sin


Bài 52 :
( )
( )
∫






−= dxx
x
I sintan
coscos
1
2
2
(1)

Bài tập tổng hợp về tích phân hàm lượng giác
Bài 52: (ĐH-A-2011)
(
)
∫
+
++
=
4
0
cos
sin
cos1sin
π
x
x
xxxx
I

Bài 53 (ĐH-A-2009)
∫
−=
2
0
23
cos)1(cos
π
xdxxI
ĐS:

4
15
8
π
−

Bài 54 (ĐH-A-2008)
∫
=
6
0
4
2
cos
tan
π
dx
x
x
I
ĐS:
(
)
39
10
32ln
2
1
−+

Bài 55: (ĐH-B-2008)
( )
∫
+++






−
=
4
0
cossin122sin
4
sin
π
π
dx
xxx
x
I
ĐS:
4
234 −

Bài 56: (ĐH-A-2006)
∫
+

=
2
0
22
sin4cos
2sin
π
xx
xdx
I
ĐS:
3
2

Bài 57:(ĐH-A-2005)
dx
x
xx
I
∫
+
+
=
2
0
cos31
sin2sin
π
ĐS:
27

34

Bài 58: (ĐH-B-2005)
dx
x
xx
I
∫
+
=
2
0
cos
1
cos2sin
π
ĐS: 2ln2 -1
Bài 59:(ĐH-B-2003)
dx
x
x
I
∫
+
−
=
4
0
2
2

sin
1
sin21
π
ĐS:
2ln
2
1

Bài 60(DB-A-2008)
∫
−+
=
2
0
2
cos
sin
4
3
2sin
π
dx
x
x
x
I
ĐS: ln2-
2
1

Hệ thống trung tâm VINASTUDY – Đống Đa
Head office: 27 Huỳnh Thúc Kháng – Đống Đa - Hà Nội
Tích phân lượng giác

Vinastudy.vn - Hotline: 0932-39-39- 56 Giáo viên : Nguyễn Thành Long


8
Bài 61(DB-D-2007)
∫
=
2
0
2
cos
π
xdxxI
ĐS:
2
4
2
−
π

Bài 62(DB-D-2005)
∫
−=
2
0

2
cos)12(
π
xdxxI
ĐS:
2
1
4
8
2
−−
ππ

Bài 63(DB-A-2005)
∫
−=
3
0
tan)2(
π
xdxxI
ĐS:
8
3
2ln −

Bài 64(DB-D-2006)
∫
+=
2

0
2sin)1(
π
xdxxI
ĐS:
1
4
+
π

Bài 65
∫
+
=
6
0
cos
4
2
sin
π
x
x
dx
I

Bài 66
∫
−+
= dx

x
xx
I
2
2
cos1

Bài 67:
∫
−
−
+
=
4
2
2
sin1sin
cot
π
π
dx
xx
x
I

Bài 68:
∫
+
= dx
xx

x
I
2
cos1cos
tan

Bài 69:
∫






+
= dx
xx
x
I
4
coscos
tan
π

Bài 70:
sin 2 2sin
dx
I
x x
=

−
∫

Bài 71:
∫
=
x
xdx
I
2
sin


Bài 72:
2
6
1 sin 2 cos 2
sin cos
x x
I dx
x x
π
π
+ +
=
+
∫

Bài 73:
2

sin 4
1 cos
x
I dx
x
=
+
∫


Hệ thống trung tâm VINASTUDY – Đống Đa
Head office: 27 Huỳnh Thúc Kháng – Đống Đa - Hà Nội
Tích phân lượng giác

Vinastudy.vn - Hotline: 0932-39-39- 56 Giáo viên : Nguyễn Thành Long


9
Bài 74:
3
cos
1 cos
x
I dx
x
=
+
∫

Bài 75:

2
0
sin
sin cos
x
I dx
x x
π
=
+
∫

Bài 76:
3
2
4
6
sin
cos
x
I dx
x
π
π
=
∫

Bài 77:
3
3

4
1
cos .sin
I dx
x x
π
π
=
∫

Bài 78:
( )
2
3 3
0
sin cos
I x x dx
π
= +
∫

Bài 79:
( )
2
2
0
sin 2
2 sin
xdx
I

x
π
=
+
∫

Bài 80:
4
2
0
cos 2
(sin cos 2)
x
I dx
x x
π
=
+ +
∫

Bài 81:
( )
2
3 2
0
1 sin sin
I x xdx
π
= −
∫

Bài 82:
3
2
0
4sin
1 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫

Bài 83:
3
2
2
0
sin .cos
1 cos
x x
I dx
x
π
=
+
∫

Bài 84:
2
0
sin 2
3 4sin cos 2
x
I dx
x x
π
=
+ −
∫

Hệ thống trung tâm VINASTUDY – Đống Đa
Head office: 27 Huỳnh Thúc Kháng – Đống Đa - Hà Nội
Tích phân lượng giác

Vinastudy.vn - Hotline: 0932-39-39- 56 Giáo viên : Nguyễn Thành Long


10
Bài 85:
2
2 2
0
sin sin 2
3sin 4cos
x x
I dx
x x

π
+
=
+
∫


Bài 86:
2
2
6
1
sin sin
2
I x x dx
π
π
= +
∫


Bài 87:
5
cos
1 sin
x
I dx
x
=
−

∫


HỆ THỐNG TRUNG TÂM VINASTUDY CHÚC CÁC EM ĐẠT KẾT QUẢ CAO
MỌI HỖ TRỢ, TƯ VẤN CÁC EM LIÊN HỆ VỀ
GIÁO VIÊN : NGUYỄN THÀNH LONG – 0932-39-39-56 / 01232-64-64-64
WEBSIDE: VINASTUDY.VN
CÁC DỊCH VỤ CỦA VINASTUDY – HỌC TRỰC TUYẾN – HỌC ONLINE- HỌC OFFLINE – GIA SƯ TẠI NHÀ – NHÀ SÁCH