HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12B5 TRƯỜNG THPT LỘC HƯNG HỌC TỐT TOÁN HÌNH HỌC VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN LOẠI THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TẬP THỰC HÀNH

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TÂY NINH
TRƯỜNG THPT LỘC HƯNG
TỔ BỘ MÔN: TOÁN
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12B
5
TRƯỜNG THPT LỘC HƯNG
HỌC TỐT TOÁN HÌNH HỌC VỀÀ
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN LOẠI
THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TẬP THỰC HÀNH
GIÁO VIÊN THỰC HIỆN:
Huỳnh Thò Hồng Anh

!
1. Túm tt ti Trang 2
2. Gii thiu Trang 3
2.1 Hin trng Trang 3
2.2 Gii phỏp thay th Trang 4
2.3 Vn nghiờn cu Trang 4
2.4 Gi thuyt nghiờn cu Trang 4
3. Phng phỏp Trang
3.1 Khỏch th nghiờn cu Trang 4
3.2 Thit k nghiờn cu Trang 5
3.3 Quy trỡnh nghiờn cu Trang 5
3.4 o lng Trang 6
4. Phõn tớch d liu v bn lun Trang 6
4.1 Phõn tớch d liu Trang 6
4.2 Bn lun Trang 7
5. Kt lun v khuyn ngh Trang 7
5.1 Kt lun Trang 7

5.2 Khuyn ngh Trang 8
Ti liu tham kho Trang
Ph lc ca ti Trang 10
A. K hoch bi hc Trang 10
I. Túm tt lý thuyt Trang 10
II. Mt s dng toỏn thng gp Trang 10
Bi toỏn 1: Tỡm tõm v bỏn kớnh ca mt cu Trang 10
Bi toỏn 2: Vit phng trỡnh mt cu Trang 12
B. v ỏp ỏn bi kim tra trc tỏc ng Trang 20
C. v ỏp ỏn bi kim tra sau tỏc ng Trang 22
D. Bng tng hp im Trang 23
Phiu ỏnh giỏ Trang 26
Giaựo vieõn "#"rửụứng THPT Loọc Hửng Trang 2
MC LC
 !
1. Tóm tắt đề tài:
Mơn Tốn trong trường phổ thơng ln giữ một vai trò và vị trí hết sức
quan trọng, là mơn học cơng cụ nếu học tốt mơn Tốn thì những tri thức trong
Tốn cùng với phương pháp làm việc trong tốn sẽ trở thành cơng cụ để học tốt
những mơn học khác.
Mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách, ngồi việc cung cấp cho học
sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng tốn học cần thiết mơn Tốn còn rèn luyện cho
học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có
tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Trong chương trình Tốn hình học lớp 12, phần kiến thức về phương
pháp tọa độ trong khơng gian thì có rất nhiều dạng bài tập đòi hỏi các em học
sinh cần phải nắm vững phương pháp giải và rèn luyện giải được các dạng tốn
này, nhưng thời lượng luyện tập trên lớp thì q ít ỏi, điều này gây khó khăn
cho đa số các em học sinh.
Các bài tốn về phương trình mặt cầu là dạng tốn hay và khơng q khó

đối với các em học sinh lớp 12, để làm được bài tốn dạng này ngồi u cầu
đọc kỹ đề bài, phân tích giả thuyết bài tốn, thì đòi hỏi các em phải nắm vững
kiến thức hình học khơng gian, mối quan hệ giữa mặt cầu, mặt phẳng và đường
thẳng. Mức độ tư duy lời giải tốn vừa phải nhẹ nhàng, logic hấp dẫn người học.
Đây là dạng tốn chiếm tỷ lệ khá nhiều trong phần phương pháp tọa độ
trong khơng gian trong các đề thi Tốt nghiệp THPT và thi vào Đại học cao
đẳng.
Là một giáo viên giảng dạy tốn ở trường THPT Lộc Hưng tơi thấy nhìn
chung đối tượng học sinh đa số ở mức trung bình yếu, mức độ tư duy vừa phải,
các em dể nhầm lẫn khi giải bài tốn dạng này, để giúp học sinh khơng bị khó
khăn khi gặp dạng tốn này tơi đã nghiên cứu và đưa ra giải pháp là phân loại
bài tập từ dể đến khó, cung cấp phương pháp giải và một số bài tập áp dụng để
học sinh tiếp cận một cách đơn giản dể nhớ thơng qua các tiết luyện tập trong
Giáo viên "#"rường THPT Lộc Hưng Trang 3
ĐỀ TÀI
!
cỏc gi hc t chn, ph o, nhng bui ụn tp chuyờn v phng phỏp ta
trong khụng gian hay cỏc bui ụn thi tt nghip lp 12 cui nm nhm giỳp
cỏc em hc tt mụn hỡnh hc 12 v mt cu.
Nghiờn cu c tin hnh trờn lp 12B5 l nhúm tỏc ng; lp 12B4 l
nhúm i chng. Kt qu cho thy tỏc ng ó cú nh hng n kh nng gii
tt cỏc dng bi tp v vit phng trỡnh mt cu trong khụng gian.
+ im trung bỡnh ca nhúm trc tỏc ng l: 4.973
+ im trung bỡnh ca nhúm sau tỏc ng l: 6.9459
Kt qu kim tra T-test (c lp) cho thy:
P (ca im bi kim tra trc tỏc ng) = 0.475263
P (ca im bi kim tra sau tỏc ng) = 0.000009
T kt qu trờn cho thy rng cú s khỏc bit ln i vi trung bỡnh ca
bi kim tra trc v sau tỏc ng. iu ú chng t rng khi hng dn hc
sinh phõn loi v lm nhiu bi tp v phng trỡnh mt cu ó lm tng kh

nng gii tt toỏn hỡnh hc khụng gian ca hc sinh.
2. Gii thiu:
2.1 Hin trng:
Trong quỏ trỡnh ging dy chng trỡnh Toỏn hỡnh hc lp 12, tụi nhn
thy rng cỏc bi toỏn v phng trỡnh mt cu thỡ thng xuyờn xut hin trong
cỏc thi Tt nghip THPT cng nh cỏc thi i hc cao ng.
Thy c tm quan trng ca nú nờn khi ụn tp mng: Cỏc bi toỏn v
phng trỡnh mt cu ca hỡnh hc 12 c bn, tụi rt bn khon nờn lm nh
th no giỳp cỏc em hc sinh tỏi hin li kin thc ó hc, phõn loi cỏc dng
bi tp v phng phỏp gii cỏc bi toỏn ú mt cỏch cú hiu qu, c bit i
tng hc sinh ca tụi l lp 12B5, õy l lp yu nht khi, hu ht cỏc em
u s hc toỏn, kh nng nhn thc ca cỏc em rt chm, nhanh quờn v tớnh
toỏn kộm, qu l mt thỏch thc!
Tụi ó suy ngh rt nhiu v a n mt quyt nh nh sau: dy i
tng hc sinh ny mt cỏch cú hiu qu thỡ phi m bo ba yờu cu sau õy:
1. C bn
Giaựo vieõn "#"rửụứng THPT Loọc Hửng Trang 4
!
2. Phự hp vi i tng hc sinh
3. Phự hp vi kỡ thi tt nghip
Tụi tin hnh xõy dng chng trỡnh v ni dung ging dy cho hc sinh
lp 12B5 theo b cc sau õy:
1. Phõn loi cỏc dng bi tp
2. Nờu phng phỏp lm c th v t m i vi tng loi bi
3. Mi loi bi ly vớ d minh ha
4. Bi tp ngh hc sinh lm
5. Kim tra vic lm bi tp v cha vo v cho hc sinh
Tụi chia thnh hai nhúm bi tp:
- Nhúm 1: Tỡm tõm v bỏn kớnh ca mt cu
- Nhúm 2: Vit phng trỡnh mt cu

2.2 Gii phỏp thay th:
Hng dn hc sinh lp 12B5 Trng THPT Lc Hng hc tt
toỏn hỡnh hc v phng trỡnh mt cu bng phng phỏp phõn loi thụng
qua mt s bi tp thc hnh.
2.3 Vn nghiờn cu:
Vic rốn k nng phõn loi v cung cp mt s bi tp v phng trỡnh
mt cu vi nhiu dng khỏc nhau hc sinh luyn tp thng xuyờn cú giỳp
hc sinh lp 12B5 hc tt cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian v phng trỡnh mt
cu khụng?
2.4 Gi thuyt nghiờn cu:
Rốn k nng phõn loi v cung cp mt s bi tp v phng trỡnh mt
cu vi nhiu dng khỏc nhau hc sinh luyn tp thng xuyờn ó giỳp hc
sinh lp 12B5 Trng THPT Lc Hng hc tt cỏc bi tp v phng trỡnh mt
cu trong khụng gian.
3. Phng phỏp:
3.1. Khỏch th nghiờn cu:
Giaựo vieõn "#"rửụứng THPT Loọc Hửng Trang 5
!
Nghiờn cu c tin hnh trờn hai nhúm i tng tng ng lp
12B5 v 12B4 Trng THPT Lc Hng do giỏo viờn: Hunh Th Hng Anh v
Phan Vn Hõy ging dy. C th nh sau:
Tng s v thnh phn nam n ca cỏc nhúm.

- V ý thc hc tp , a s hc sinh hai nhúm u tớch cc v ch ng
trong hc tp.
- V cht lng hc tp ca nm hc trc, hai nhúm gn nh tng
ng nhau v cht lng b mụn toỏn 11.
3.2. Thit k nghiờn cu:
Chn 37 hc sinh lp 12B5 l nhúm thc nghim, 37 hc sinh lp
12B4 l nhúm i chng. Dựng bi kim tra 15 phỳt lm bi kim tra trc

v sau tỏc ng. Hai ny cú tng ng nhau. Do chn thit k kim
tra trc v sau tỏc ng i vi hai nhúm tng ng nờn tụi ó s dng
phộp kim chng T-test (c lp) kim chng s chờnh lch gia im s
trung bỡnh ca hai bi kim tra trc v sau tỏc ng.
p = 0.475263 > 0.05, t ú kt lun s chờnh lch im s trung bỡnh
ca hai nhúm thc nghim v i chng l khụng cú ý ngha, hai nhúm
c coi l tng ng.
S dng thit k 2: Kim tra trc v sau tỏc ng i vi cỏc nhúm
tng ng.
3.3. Quy trỡnh nghiờn cu:
Giaựo vieõn "#"rửụứng THPT Loọc Hửng Trang 6
Lp S hc sinh cỏc nhúm
Tng s Nam N
12B5 37 19 18
12B4 37 18 19
Kt qu: Kim chng xỏc nh cỏc nhúm tng ng.
Thc nghim i chng
IM TRUNG BèNH
4.973 5.000
p =
0.475263
!
* Chun b bi ca giỏo viờn:
- Nhúm 1 l nhúm thc nghim: Thit k bi dy cú s dng
- Nhúm 2 l nhúm i chng: Thit k bi dy khụng cú s dng
* Tin hnh thc nghim:
Thi gian tin hnh thc nghim vn tuõn theo k hoch dy v hc t
chn, tng tit ca nh trng v theo thi khúa biu bi dng v chớnh khúa
m bo tớnh khỏch quan.
3.4. o lng:

- Bi kim tra sau tỏc ng.
- Tin hnh kim tra v chm bi.
- Sau khi thc hin dy xong cỏc kin thc v phng trỡnh mt cu tụi tin
hnh bi kim tra 15 phỳt. (Ni dung kim tra trỡnh by phn ph lc)
4. Phõn tớch d liu v bn lun kt qu:
4. 1 Phõn tớch d liu:
Phộp kim chng T-test so sỏnh cỏc giỏ tr trung bỡnh cỏc bi kim tra
gia nhúm thc nghim v nhúm i chng
Nh trờn ó chng minh rng kt qu hai nhúm trc tỏc ng l tng
ng. Sau tỏc ng kim chng chờnh lch TB bng T-test cho kt qu p =
0.000009 cho thy s chờnh lch gia im trung bỡnh nhúm thc nghim v
nhúm i chng l $%&'() tc l chờnh lch kt qu TB nhúm thc
nghim cao hn nhúm i chng l khụng ngu nhiờn m do kt qu ca tỏc
ng.
Giaựo vieõn "#"rửụứng THPT Loọc Hửng Trang 7
So sỏnh im trung bỡnh bi kim tra sau tỏc ng:
Thc nghim i chng
TB
6.9459 5.4054
lch chun
1.3 1.5
Giỏ tr p ca T-test
0.000009
Chờnh lch giỏ tr trung bỡnh chun
( SMD)
1.027
!
Chờnh lch giỏ tr trung bỡnh chun. SMD =1.027. iu ú cho thy mc
nh hng ca vic dy hc sinh phõn loi v lm nhiu bi toỏn v phng
trỡnh mt cu i vi nhúm thc nghim l $% *+,

-./0#/..$$+#/12.3"*456#
/12.3"*457&896&/:
4
.
2 Bn lun:
Kt qu bi kim tra sau tỏc ng ca nhúm thc nghim l TBC =
6.9459, kt qu bi kim tra sau tỏc ng ca nhúm i chng l TBC = 5.4054.
iu ú cho thy im TBC ca hai lp i chng v thc nghim ó cú s
khỏc bit rừ rt, lp c tỏc ng cú im TBC cao hn lp i chng. Chờnh
lch giỏ tr trung bỡnh chun ca hai bi kim tra l SMD =1.027. iu ny cú
mc nh hng ca tỏc ng l ln .
Phộp kim chng T-test TB sau tỏc ng ca hai lp l p =0.000009
< 0,05 . Kt qu ny khng nh s chờnh lch TB ca hai nhúm khụng phi l
do ngu nhiờn m l do tỏc ng.
5. Kt lun v khuyn ngh:
5.1 Kt lun:
Giaựo vieõn "#"rửụứng THPT Loọc Hửng Trang 8
 !
Qua việc thực hiện chun đề trên đối với lớp 12B5 là lớp có học lực yếu
nhất khối, tơi nhận thấy rằng việc giảng dạy cho học sinh yếu kém để đạt được
u cầu tối thiểu của giáo dục quả là rất gian nan và vất vả. u cầu của một
người giáo viên khi dạy đối tượng này phải là những người có trách nhiệm cao,
tỉ mỉ, kiên nhẫn và biết chịu đựng. Bên cạnh đó phải hiểu được tâm lí của các
em đó là sự thơng cảm và chia sẻ kết hợp với phương pháp dạy phù hợp với tư
duy của các em, giúp các em có hứng thú, có nhu cầu học bộ mơn tốn từ đó các
em sẽ tự giác hơn trong học tập đó là điều hết sức quan trọng đối với bất kì một
học sinh nào.
Trên đây chỉ là một vài kinh nghiệm nhỏ được rút ra từ thực tế những
năm giảng dạy của bản thân tơi. Phần giải các bài tốn về phương trình mặt cầu

trong khơng gian cũng rất đa dạng, tuy nhiên với khả năng của mình, tơi chỉ đề
cập đến một số dạng đơn giản mà các em thường gặp ở chương trình lớp 12. Tơi
cũng chỉ đi sâu vào vấn đề nhỏ đó là hướng dẫn, giúp các em có kỹ năng giải
tốn trên mảng viết phương trình mặt cầu trong khơng gian.
Việc hướng dẫn học sinh phân loại và làm các bài tập áp dụng về phương
trình mặt cầu trong khơng gian đã giúp cho học sinh tự tin làm tốt các bài tốn
về phương trình mặt cầu trong hình học khơng gian, đồng thời cũng đã nâng dần
kết quả học tập của học sinh lớp 12B5.
5
.
2 Khuyến nghị:
- Đối với giáo viên: Nên nghiên cứu kĩ các phương pháp và nhiều dạng
bài tập về hình học khơng gian khác (như các dạng tốn về phương trình mặt
phẳng, đường thẳng trong khơng gian ), chọn lọc sao cho phù hợp với đối
tượng học sinh để hướng dẫn học sinh nhằm nâng cao sự hiểu biết về mơn hình
khơng gian, từ đó giúp các em học tốt hơn về mơn hình học lớp 12.
- Với kết quả của đề tài này, bản thân tơi rất mong đồng nghiệp quan tâm,
chia sẻ và đóng góp ý kiến để đề tài được hồn chỉnh hơn, nhằm giúp tơi từng
bước hồn thiện phương pháp giảng dạy của mình. Đồng thời các giáo viên bộ
mơn tổ Tốn cũng có thể áp dụng cho học sinh lớp 12 của mình đang giảng dạy
Giáo viên "#"rường THPT Lộc Hưng Trang 9
!
nhm giỳp cho hc sinh cú nn tng vng chc v phng trỡnh mt cu trong
khụng gian.
1. Sỏch Hỡnh hc 12- Nh xut bn Giỏo dc, nm 2007
ca tỏc gi "$4;<.
2. Sỏch Bi tp Hỡnh hc 12- Nh xut bn giỏo dc, nm 2007
ca tỏc gi =>?1<=.
3. Sỏch Giỏo Viờn Hỡnh hc 12- Nh xut bn Giỏo dc, nm 2007
ca tỏc gi "$4;<(Tng Ch biờn).

4. Sỏch Bi Tp V Phng Phỏp gii Hỡnh Hc 12- NXB H Quc Gia H
Ni, nm 2011 ca tỏc gi @<AB.
5. Sỏch Bi Dng Hc Sinh Gii Toỏn Hỡnh Hc 12 - NXB H Quc Gia H
Ni, nm 2010 ca tỏc gi @<AB.
Giaựo vieõn "#"rửụứng THPT Loọc Hửng Trang 10
TI LIU THAM KHO
!
A. K hoch bi hc:
I. TểM TT Lí THUYT
1. nh ngha :
* Mt cu l tp hp nhng im M cỏch mt im I c nh mt khong khụng
i l R>0.
* im I c nh gi l tõm ca mt cu .
* Khong cỏch khụng i l R >0: Gi l bỏn kớnh ca mt cu .
2. Phng trỡnh ca mt cu :
- Gi s im c nh I=(a;b;c), R>0 l khong khụng i v M=(x;y;z) thỡ theo
nh ngha :
Ta cú:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2
1IM R x a y b z c R x a y b z c R= + + = + + =
- Nu khai trin (1) ta cú :
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2
2ax 2 2 z 0 2x y z by c d d a b c R + + + = = + +
- Nh vy (1) v (2) gi l phng trỡnh ca mt cu. Riờng trng hp phng
trỡnh (2) mun l phng trỡnh ca mt cu thỡ phi tha món iu kin :

( )
2 2 2 2
0 *R a b c d= + + >
2. iu kin cn v mt phng (P): Ax+By+Cz+D=0 tip xỳc vi cu
(S) l :
Khong cỏch t tõm I(a;b;c) ca mt cu n mt phng (P) phi bng bỏn kớnh
ca (S) :
( ) ( )
2 2 2
aA
; 3
bB cC D
R d I P
A B C
+ + +
= =

+ +
Khi ú mt phng (P) gi l tip din ca mt cu (S) .
II. MT S DNG TON THNG GP
-CD"EF: TèM TM V BN KNH CA MT CU
- Nu (S) c cho phng trỡnh dng (1) thỡ ta ng nht cỏc h s ca hai
phng trỡnh tỡm a, b, c, R v kt lun.
Giaựo vieõn "#"rửụứng THPT Loọc Hửng Trang 11
PH LC CA TI
!
- Nu (S) c cho phng trỡnh dng (2) thỡ trc ht ta phi chuyn ba h s
ca
2 2 2
, y , zx

v h s 1(nu cú), ri sau ú cng ng nht cỏc h s ca hai
phng trỡnh tỡm a, b, c v d. Xột iu kin:
2 2 2
0a b c d+ + >
v kt lun.
V D MINH HA
Vớ d 1: TNTHPT 2009
Trong khụng gian Oxyz, cho mt cu (S):
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 2 36x y z + + =
.
Xỏc nh ta tõm T v bỏn kớnh ca mt cu (S).
HD: Mt cu (S) cú tõm T(1;2;2) v cú bỏn kớnh R= 6.
Vớ d 2: TNTHPT 1999
Trong khụng gian Oxyz, cho mt cu (S):
2 2 2
3 4 5 6 0x y z x y z+ + + + + =
.
Xỏc nh ta tõm I v bỏn kớnh ca mt cu (S).
HD: Ta cú:
3
2 3
2
2 4 2
2 5 5
2
6
6
a

a
b b
c
c
d
d

=

=



= =



=

=

=


=


2 2 2
a b c d + + =
13

0
2
>
Vy mt cu (S) cú tõm
3 5
; 2;
2 2
I


ữ

v cú bỏn kớnh R=
26
2
.
Vớ d 3: Trong khụng gian Oxyz, cho mt cu (S):
2 2 2
2 2 2 8 4 12 10 0x y z x y z+ + + + + =
. Xỏc nh ta tõm I v bỏn kớnh ca mt
cu (S).
HD: Chia hai v phng trỡnh cho 2 ta c:
2 2 2
4 2 6 5 0x y z x y z+ + + + + =
Ta cú:
2 4 2
2 2 1
2 6 3
5 5
a a

b b
c c
d d
= =


= =



= =


= =


2 2 2
9 0a b c d + + = >
Vy mt cu (S) cú tõm I(-2;1;-3) v cú bỏn kớnh R= 3.
BI TP T LUYN
Trong khụng gian Oxyz, hóy xỏc nh tõm v bỏn kớnh cỏc mt cu cú phng
trỡnh sau:
a.
2 2 2
( 2) ( 1) ( 2) 9x y z + + + =
G,
0128
222
=++++
yxzyx

,
04284
222
=++++
zyxzyx
Giaựo vieõn "#"rửụứng THPT Loọc Hửng Trang 12
!
,
07524
222
=++ zyxzyx
H,
03936333
222
=++++ zyxzyx
I,
2 2 2
9 9 9 6 18 1 0x y z x y+ + + + =
,
2 2 2
4 4 4 4 6 10 4 0x y z x y z+ + + =
,
2 2 2
0x y z y+ + =
,
2 2 2
25
4 5 3 0
4
x y z x y z+ + + + + =

-CD"EF: VIT PHNG TRèNH MT CU.
AJ#
vit c phng trỡnh mt cu ta phi bit ta ca tõm I ca mt
cu ( Cú ba n s - l ba ta ca I ) v bit bỏn kớnh R ca mt cu. Nh vy
cú bn n s ta cn phi tỡm.
Sau õy chỳng ta cựng nhau tham kho mt s dng toỏn hay gp v mt
cu trong cỏc k thi Tt nghip cng nh thi i hc trong nhng nm qua.
Dng 1. ;KJ$LM42N5&OD6/P/.?,
Bc 1: Tớnh vect
IM
uuur
Bc 2: Suy ra bỏn kớnh ca mt cu (S) l: R = IM.
Bc 3: Vit phng trỡnh mt cu (S) dng (1).
V D MINH HA
Vớ d :TNTHPT 2007 (PB-ln 2)
Trong khụng gian Oxyz, cho 2 im E(-1;4;5) v F(3;2;7).
Vit phng trỡnh mt cu (S) i qua im F v cú tõm l E.
HD: Ta cú:
( )
4; 2;2EF =
uuur
. Suy ra bỏn kớnh ca mt cu (S) l:
( ) ( ) ( )
2 2 2
4 2 2 2 6R EF= = + + =
.
Vy phng trỡnh mt cu (S) l:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 4 5 24x y z+ + + =

.
BI TP T LUYN
Bi 1: TNTHPT 2012
Trong khụng gian Oxyz, cho im A(2;1;2). Vit phng trỡnh mt cu (S) tõm
A v i qua O.
Bi 2: Vit phng trỡnh mt cu (S) bit:
a. Tõm I(3;-2;1) v i qua im E(2;-1;-3).
b. Tõm M(1;3;-7) v i qua im N(5;-1;1).
c. Qua im H(4;-3;3) v cú tõm K(2;1;5).
Bi 3: Vit phng trỡnh mt cu (S) bit:
a. Tõm I( 4;-4;-2) v i qua gc ta .
Giaựo vieõn "#"rửụứng THPT Loọc Hửng Trang 13
!
b. Qua im M(2;-3;5) v cú tõm N( 4;1;-3).
c. Tõm B(-2;0;1) v i qua im D( 0;10;3).
Dng 2. ;KJ$LM42N5&/QRS-,
Bc 1: Tớnh vect
AB
uuur
Bc 2: Suy ra bỏn kớnh ca mt cu (S) l: R =
1
2
AB
.
Bc 3: Tỡm ta tõm I ca (S) chớnh l trung im ca on AB.
Bc 4: Vit phng trỡnh mt cu (S) dng (1).
* TU': Nu ta tỡm ta tõm I trc thỡ bỏn kớnh cũn cú th tớnh l R=IA
hoc R=IB.
V D MINH HA
Vớ d : Trong khụng gian Oxyz, cho hai im A(-1;2;3) v B(3;2;-7).

Vit phng trỡnh mt cu (S) cú ng kớnh AB.
HD: Ta cú:
( )
4;0; 10AB =
uuur
.
Suy ra bỏn kớnh ca mt cu (S) l:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1
. . 4 0 10 29
2 2
R AB= = + + =
Gi I(x; y; z) l tõm ca mt cu (S). Khi ú I l trung im ca on AB. Suy
ra: I(1; 2; -2).
Vy phng trỡnh mt cu (S) l:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 2 29x y z + + + =
.
BI TP T LUYN
Bi 1: TNTHPT 2006(PB)
Trong khụng gian Oxyz, cho ba im A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;6).
Gi G l trng tõm tam giỏc ABC. Vit phng trỡnh mt cu ng kớnh OG.
Bi 2: TNTHPT 2012
Trong khụng gian Oxyz, cho cỏc im A(2;2;1), B( 0;2;5) v mt phng
(P): 2x-y+5=0. CMR: (P) tip xỳc vi mt cu cú ng kớnh AB.
Bi 3: Vit phng trỡnh mt cu (S) cú:
a. ng kớnh l AB bit A(1;2;-4), B(1;-3;1).
b. ng kớnh l CD bit C(2;2;3), D(1;0;4).

c. ng kớnh l EF bit E(1;-2;-1), F(-5;10;-1).
d. ng kớnh l HK bit H(-1;2;3), K(3;2;-7).
Bi 4: C 2013
Trong khụng gian Oxyz, cho im A(-1;3;2) v mt phng
(P): 2x-5y+4z-36=0. Gi I l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn mt phng (P).
Vit phng trỡnh mt cu tõm I v i qua im A.
Giaựo vieõn "#"rửụứng THPT Loọc Hửng Trang 14
!
Dng 3. ;KJ$LM42N5&O*D6KVU6+MW
2A5,
Bc 1: Vỡ (P) tip xỳc vi (S) nờn bỏn kớnh ca mt cu (S) l:
R=
[ ]
,( )d I P
.
Bc 2: Vit phng trỡnh mt cu (S) dng (1).
V D MINH HA
Vớ d : TNTHPT 1997
Trong khụng gian Oxyz, cho im I(1;2;3) v mt phng (P): 2x-2y-z-4=0.
Vit phng trỡnh mt cu (S) cú tõm I v tip xỳc vi mt phng (P).
HD: Vỡ (P) tip xỳc vi (S) nờn bỏn kớnh ca mt cu (S) l:
R=
[ ]
,( )d I P
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
2.1 2.2 1.3 4
3
2 2 1

=
+ +
.
Vy phng trỡnh mt cu (S) l:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 9x y z + + =
.
BI TP T LUYN
Bi 1: TNTHPT 1994
Trong khụng gian Oxyz, cho bn im A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1), D(5;3;
-1). Gi (P) l mt phng i qua ba im A, B, C. Vit phng trỡnh mt cu
tõm D v tip xỳc vi mt phng (P).
Bi 2: TNTHPT 1996
Trong khụng gian Oxyz, cho bn im A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2).
Vit phng trỡnh mt cu tõm A tip xỳc vi mt phng (BCD).
Bi 3:TNTHPT 2007(PB)
Trong khụng gian Oxyz, cho im E(1;2;3) v mt phng
( )

cú phng trỡnh
x+2y-2z+6=0. Vit phng trỡnh mt cu (S) cú tõm l gc ta O v tip xỳc
vi mt phng
( )

.
Bi 4: TNTHPT 2013
Trong khụng gian Oxyz, cho im
( 1;2;1)M

v mt phng
( )P
cú phng trỡnh
2 2 3 0x y z+ + =
. Vit phng trỡnh mt cu
( )S
cú tõm l gc ta v tip xỳc
vi
( )P
.
Bi 5: Trong khụng gian Oxyz, cho hỡnh lng tr ng ABCA
1
B
1
C
1
Vi A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B
1
(4;0;4). Tỡm ta cỏc nh A
1
, C
1
. Vit
phng trỡnh mt cu tõm A tip xỳc vi mt phng (BCC
1
B
1
).
Bi 6: Vit phng trỡnh mt cu (S) bit:
a. Tõm I(0;-4; 3) v tip xỳc vi mt phng (P): 2x-y+z-1=0.

b. Tõm T(1;2;3) v tip xỳc vi mt phng (Oxz).
c. Tõm F(1;2;-2) v tip xỳc vi mt phng
( )

: 6x-3y+2z-11=0.
d. Tõm A(3,-2,-2) v tip xỳc vi mt phng (Oyz).
Bi 7: Vit phng trỡnh mt cu (S) cú tõm B v tip xỳc vi (ACD) bit:
A(1;1;1), B(-2;0;2), C(0;1;-3), D(4;-1;0).

Dng 4. ;KJ$LM42N5/PG:/.S)-)T)X
Giaựo vieõn "#"rửụứng THPT Loọc Hửng Trang 15
!
2K9S-TX5,
Bc 1: Vit phng trỡnh ca mt cu (S) dng (2).
Bc 2: Do (S) i qua ln lt bn im A, B, C, D nờn th ta bn
im vo phng trỡnh ta c bn phng trỡnh .
Bc 3: Gii h bn phng trỡnh tỡm c, suy ra bn n l: a,b,c v d .
Bc 4: Thay bn n tỡm c vo (2) ta suy ra phng trỡnh ca (S).
* Chỳ ý: Ta cú th gii bng cỏch khỏc nh sau:
- Gi I(a;b;c) l tõm ca mt cu (S).
- Vỡ A, B, C, D
( )
S
nờn IA=IB=IC=ID=R (*)
- Gii (*) tỡm a, b, c.
- Tớnh R=IA.
- Vit phng trỡnh mt cu (S) dng (1).
V D MINH HA
Vớ d . TNTHPT 2006 (KPB)
Trong khụng gian Oxyz, cho ba im A(1;0;-1), B(1;2;1), C(0;2;0). Vit

phng trỡnh mt cu (S) i qua bn im O, A, B v C.
HD: Gi s phng trỡnh (S) cú dng:
( )
2 2 2
2ax 2 2 z 0 *x y z by c d+ + + =

Vỡ (S) i qua bn im O, A, B, C nờn ta th ta bn im vo phng trỡnh
(*) ta c h phng trỡnh:
0 0 0
2 2 2 0 2 2 2 1
6 2 4 2 0 2 4 2 6 1
4 4 + 0 4 = 4 0
d d d
a c d a c a
a b c d a b c b
b d b c
= = =


+ + = + = =



+ = = =


= =

Vy phng trỡnh mt cu (S) l:
2 2 2

2x 2 0x y z y+ + =
.
BI TP T LUYN
Bi 1: TNTHPT 2001
Trong khụng gian Oxyz, cho mt phng(P): x+y+z-1=0 v ng thng (d):
1
1 1 1
x y z
= =

.Gi A, B, C l giao im tng ng ca mp(P) vi cỏc trc ta ,
cũn D l giao im ca ng thng (d) vi mp(Oxy). Vit phng trỡnh mt
cu (S) i qua bn im A, B, C, D.
Bi 2: TNTHPT 2002
Trong khụng gian Oxyz, cho bn im A, B, C, D cú ta xỏc nh bi h
thc A(2;4;-1),
4 ; (2;4;3); D 2 2OB i j k C O i j k= + = = +
uuur r r r uuur r r r
. Vit phng trỡnh mt
cu (S) i qua bn im A, B, C, D .
Bi 3: TNTHPT: 2003
Trong khụng gian Oxyz, cho bn im A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2) v
D(4;-1;2). Gi A l hỡnh chiu vuụng gúc ca im A trờn mt phng (Oxy) .
Hóy vit phng trỡnh mt cu (S) i qua bn im A, B, C, D.
Giaựo vieõn "#"rửụứng THPT Loọc Hửng Trang 16
!
Bi 4: TNTHPT 2010
Trong khụng gian Oxyz, cho ba im A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Tỡm ta
tõm mt cu ngoi tip t din OABC.
Bi 5: HVHCQG-2000

Trong khụng gian Oxyz, cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD sao cho A
trựng vi gc ta O, B(1;0;0), D(0;1;0), A(0;0;1) . Gi M l trung im ca
AB, N l tõm hỡnh vuụng ADDA.Vit phng trỡnh mt cu (S) i qua bn
im C, D, M, N.
Bi 6: HC-2001
Trong khụng gian Oxyz, cho A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3) v H l hỡnh chiu
vuụng gúc ca O trờn mt phng (ABC). Gi D l im i xng vi O qua H.
Vit phng trỡnh mt cu ngoi tip t din ABCD.
Bi 7: HKTCN-2001
Trong khụng gian Oxyz, cho bn im A(3;6;-2), B(6;0;1), C(-1;2;0), D(0;4;1).
Vit phng trỡnh mt cu ngoi tip t din ABCD.
Bi 8: CKTKT-2004
Trong khụng gian Oxyz, cho bn im S(2;2;6), A(4;0;0), B(4;4;0), C(0;4;0)
Vit phng trỡnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp S.ABCO.
Bi 9: H-KD-2008
Trong khụng Oxyz, cho bn im A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3). Vit
phng trỡnh mt cu (S) i qua bn im A, B, C, D.
Dng 5. ;KJ$LM42N5/PG/.S)-)T6&OD
Y$MW2A5,
Bc 1: Vit phng trỡnh mt cu (S) dng (2), sau ú cho (S) i qua ba
im A, B, C ta c ba phng trỡnh
Bc 2: Thay ta tõm I vi a, b, c vo phng trỡnh mt phng (P) ta
c phng trỡnh th t. Vy ta cú h bn phng trỡnh bn n .
Bc 3: Gii h, ta suy ra a, b, c v d . Thay vo phng trỡnh dng (2) ta
cú phng trỡnh ca (S).
V D MINH HA
Vớ d . Trong khụng gian Oxyz, vit phng trỡnh mt cu (S) qua ba im
A(-2;4;1), B(3;1;-3), C(-5;0;0) v cú tõm thuc mt phng (P): 2x+y-z+3=0 .
HD: Gi s phng trỡnh (S) cú dng:
( )

2 2 2
2ax 2 2 z 0 *x y z by c d+ + + =
Vỡ (S) i qua ba im A, B, C nờn ta th ta ba im vo phng trỡnh (*) ta
c h phng trỡnh:
( )
( )
( )
21 4 8 2 0 1
19 6 2 6 0 2
25 10 +d =0 3
a b c d
a b c d
a
+ + =

+ + =


+

Ly pt(1)-(2), pt(1)-(3) ta c h phng trỡnh:
( )
( )
10 6 8 3 4
6 8 2 4 5
a b c
a b c
=

=


Giaựo vieõn "#"rửụứng THPT Loọc Hửng Trang 17
!
Mt khỏc, (S) cú tõm I(a; b; c) thuc mt phng (P) nờn ta th ta im I vo
pt (P) ta c: 2a + b - c = -3 (6).
Gii h ba phng trỡnh (4), (5) v (6) ta tỡm c a =
7
8
, b =
15
8

, c =
23
8
.
Th a =
7
8
vo (3) suy ra d =
135
4

.
Vy phng trỡnh mt cu (S) l:
2 2 2
7 15 23 135
x+ z- 0

4 4 4 4
x y z y+ + =
.
BI TP T LUYN
Bi 1: (H-KD-2004)
Cho ba im A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) v mt phng (P): x+y+z-2=0. Vit
phng trỡnh mt cu (S) i qua A,B,C v cú tõm thuc (P).
Bi 2: Vit phng trỡnh mt cu (S) i qua ba im A(1;2;-4), B(1;-3;1),
C(2;2;3) v cú tõm nm trờn mt phng (Oxy).
Bi 3: Vit phng trỡnh mt cu (S) i qua ba im A(0;8;0), B(4;6;2),
C(0;12;4) v cú tõm nm trờn mt phng (Oyz).
Bi 4: Vit phng trỡnh mt cu (S) i qua ba im A(-1;2;1), B(1;-4;3),
C(-4;-1;-2) v cú tõm nm trờn mt phng (P): 2x- y+2z- 2=0.
Bi 5: Vit phng trỡnh mt cu (S) i qua ba im E(2;-3;1), F(-2;0;5),
G(3;2;0) v cú tõm nm trờn mt phng (

): x+4y-5=0.
Dng 6. ;KJ$LM42N5/P/.S)-6ODY
$$/1,
Bc 1: Gi s mt cu (S) cú tõm I(a;b;c).
Vỡ I
Ox
nờn ta ca tõm I l: I(a;0;0).
Hoc nu I
Oy
thỡ ta ca tõm I l: I(0;b;0).
I
Oz
thỡ ta ca tõm I l: I(0;0;c).
Bc 2: Tớnh di IA v IB

Bc 3: Gii phng trỡnh IA=IB=R tỡm tõm I v R
Bc 4: Vit phng trỡnh mt cu (S) dng (1).
V D MINH HA
Vớ d: Trong khụng gian Oxyz, cho hai im A(3;-2;1) v B(1;-1;2)
Vit phng trỡnh mt cu (S) cú tõm I thuc trc honh v i qua hai im A
v B.
HD: Gi s mt cu (S) cú tõm I(a;b;c).
Vỡ I
Ox

nờn ta ca tõm I l: I(a;0;0).
Ta cú:
( ) ( )
2
3 ; 2;1 3 5IA a IA a= = +
uur

( ) ( )
2
1 ; 1;2 1 5IB a IB a= = +
uur
Vỡ A, B nm trờn (S) nờn IA=IB
( ) ( )
2 2
3 5 1 5 2a a a + = + =
Giaựo vieõn "#"rửụứng THPT Loọc Hửng Trang 18
!
Khi ú, (S) cú tõm I(2;0;0) v R=IA=
6
.

Vy phng trỡnh ca mt cu (S) l:
( )
2
2 2
2 6x y z + + =
.
BI TP T LUYN
Bi 1: Trong khụng gian Oxyz, cho hai im A(3;-2;1) v B(1;-1;2)
a. Vit phng trỡnh mt cu cú tõm I thuc trc tung v i qua hai im A
v B.
b. Vit phng trỡnh mt cu cú tõm I thuc trc Oz v i qua hai im A
v B.
Bi 2: Trong khụng gian Oxyz , cho bn im A(3;6;-2), B(6;0;1), C(-1;2;0),
D(0;4;1).
a. Vit phng trỡnh mt cu cú tõm I thuc trc tung v i qua hai im A
v C.
b. Vit phng trỡnh mt cu cú tõm I thuc trc honh v i qua hai im B
v D.
c. Vit phng trỡnh mt cu cú tõm I thuc trc Oz v i qua hai im C v
D.
d. Vit phng trỡnh mt cu cú tõm I thuc trc honh v i qua hai im A
v B.
MT S BI TP T LUYN TNG HP
Bi 1 Trong cỏc phng trỡnh sau õy, phng trỡnh no l phng trỡnh ca
mt cu, khi ú ch rừ ta tõm v bỏn kớnh ca nú, bit:
1)
( )
09242:
222
=++++ zyxzyxS

2)
( )
2 2 2
: 2 2 2 8 4 12 100 0S x y z x y z+ + + =
3)
( )
07524:
222
=++ zyxzyxS
4)
( )
02642:
222
=++++ zyxzyxS
5)
( )
022:
222
=+++ yxzyxS
6)
( )
2 2 2
:3 3 3 6 3 15 2S x y z x y z+ + + + =
7)
( )
2 2 2
: 6 2 16 26S x y z x y z+ + + =
8)
( )
2 2 2

: ( 3) ( 2) ( 1) 100S x y z+ + + + =
Bi 2: Cho h mt cong (S
m
) cú phng trỡnh:
( )
04624:
2222
=++++ mmzmymxzyxS
m
. Tỡm iu kin ca m (S
m
) l mt
h mt cu.
Bi 3: Vit phng trỡnh mt cu (S), bit:
1) Tõm I(2;1;-1), bỏn kớnh R= 4.
2) i qua im A(2;1;-3) v cú tõm I(3;-2;-1).
3) i qua im A(1;3;0), B(1;1;0) v cú tõm I thuc Ox.
4) Hai u ng kớnh l A(-1;2;6), B(3;2;-5).
Giaựo vieõn "#"rửụứng THPT Loọc Hửng Trang 19
!
5) Tõm I(1;4;-7) v tip xỳc vi mt phng (P): 6x+6y-7z+42=0.
6) i qua bn im A(7;9;1), B(-2;-3;2), C(1;5;5), D(-6;2;5).
7) Qua ba im A(-2;4;1), B(3;1;-3), C(0;0;6) v cú tõm nm trờn mt phng
(P): x+2y-5z+1=0.
8) i qua ba im A(0;8;0), B(4;6;2), C(0;12;4) v cú tõm nm trờn mt
phng (Oyz).
9) Cú tõm I(1;2;3) v tip xỳc mt phng (Oxz).
10) Bỏn kớnh R = 9 v tip xỳc vi mt phng (P): x+2y+2z+3=0 ti im
M (1;1;-3).
Bi 4: Trong khụng gian Oxyz, cho bn im A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0),

D(1;2;1).
1) Vit phng trỡnh mt cu cú tõm B v i qua gc ta O.
2) Tỡm ta tõm I v bỏn kớnh R ca mt cu ngoi tip t din ABCD.
3) Vit phng trỡnh mt cu cú ng kớnh CD.
4) Vit phng trỡnh mt cu cú tõm I thuc trc Oz v i qua hai im A v C.
5) Vit phng trỡnh mt cu cú D v tip xỳc vi mt phng (ABC).
Bi 5: (H Hu - 96) Trong khụng gian Oxyz, cho bn im A(1;0;1), B(2;1;2),
C(1;-1;1), D(4;5;-5). Vit phng trỡnh mt cu ngoi tip t din ABCD.
Bi 6: (HVKTMM- 97) Trong khụng gian Oxyz, cho bn im A(1;2;2),
B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2). Vit phng trỡnh mt cu ngoi tip t din
ABCD.
Bi 7: Vit phng trỡnh mt cu (S) trong cỏc trng hp sau:
1) Tõm I(-4;6;-8) v i qua gc ta .
2) ng kớnh MN vi M(1;-3;5) v N(-2;1;3).
3) Qua bn im A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0).
4) Tõm K(3;-2;2) v tip xỳc vi mt phng (P): x+2y+3z-7=0.
5) Qua ba im A(-2;4;1),B(0;1;-3),C(-5;0;-1) v cú tõm nm trờn mp(P):
2x - y - z +3=0.
6) Tõm H( 1;0;-9) v cú ng kớnh 10.
7) Tõm B v tip xỳc vi (ACD) bit A(-2;0;1), B( 0;10;3), C(2;0;-1),
D(5;3;-1)
Bi 8: Cho mt cu (S):
( ) ( )
2 2
2
2 1 4x y z
+ + + =
. Tỡm tõm v bỏn kớnh mt cu,
xỏc nh cỏc giao im ca (S) vi cỏc trc ta .
Bi 9: Cho h mt cong (S

m
) cú phng trỡnh:
( )
05824:
22222
=+++ mymmxzyxS
m
. Tỡm iu kin ca m (S
m
) l mt h
mt cu.
Bi 10: Trong khụng gian Oxyz, cho bn im A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3).
1) Vit phng trỡnh tng quỏt cỏc mt phng (OAB), (OBC), (OCA), (ABC).
2) Xỏc nh tõm I ca mt cu ni tip t din OABC.
3) Xỏc nh tõm I v bỏn kớnh ca mt cu ngoi tip t din OABC .
Bi 11: (HSPV-99): Cho im I(1;2;-2) v mt phng 2x+2y+z+5=0 .
Lp phng trỡnh mt cu (S) tõm I sao cho giao ca (S) v (P) l ng trũn cú
chu vi bng 8

.
Bi 12: Cho hai mt cu
( )
0722:
222
1
=++ yxzyxS
,
( )
02:
222

2
=++ xzyxS
1) CMR hai mt cu (S
1
) v (S
2
) ct nhau.
Giaựo vieõn "#"rửụứng THPT Loọc Hửng Trang 20
!
2) Vit phng trỡnh mt cu qua giao im ca (S
1
), (S
2
) v qua im
M(2;0;1).
Bi 13: Vit phng trỡnh mt cu (S) trong cỏc trng hp sau:
1) (S) l mt cu i xng ca (S):
2 2 2
4 8 2 4 0x y z x y z+ + + + =
qua mp(Oxy).
2) (S) l mt cu i xng ca (S):
2 2 2
2 6 2 14 0x y z x y z+ + + + =
qua mp(Oxz).
3) Tõm E(3;5;2) v tip xỳc vi trc Ox.
4) Tõm I(1;-2;3) v (S) cú th tớch V= 972

.
5) Tõm C( 0;2;-2) v cú din tớch S=100

.
B. KIM TRA TRC TC NG
Trong khụng gian Oxyz, cho ba im A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2).
1. Chng minh rng: A, B, C l ba nh ca mt tam giỏc. (2 im)
2. Tớnh chu vi ca tam giỏc ABC. (2 im)
3. Tỡm ta trung im M ca cnh AB v ta trng tõm G ca tam
giỏc ABC. (3 im)
4. Tỡm ta im D sao cho ABCD l hỡnh bỡnh hnh. (3 im)
P N KIM TRA TRC TC NG
Ta cú:
( )
1;1;1AB =
uuur
,
( )
0; 2;4AC =
uuur
v
( )
1; 3;3BC =
uuur
. (1,5 im)
1. Ta thy:
0 2 4
1 1 1


nờn hai vect
AB
uuur

v
AC
uuur
khụng cựng phng.
Vy ba im A, B, C khụng thng hng hay A, B, C l ba nh ca tam
giỏc. (pcm) (0,5 im)
2. Ta cú:
2 2 2
1 1 1 3AB AB= = + + =
uuur
(0,5 im)

2 2 2
0 ( 2) 4 2 5AC AC= = + + =
uuur
(0,5 im)

2 2 2
( 1) ( 3) 3 19BC BC= = + + =
uuur
(0,5 im)
Vy chu vi ca tam giỏc ABC l:
3 2 5 19+ +
. (0,5 im)
3. * Gi M
( )
; ;
M M M
x y z
l trung im ca cnh AB.

Ta cú:
3
2 2
1
2 2
3
2 2
A B
M
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y
z z
z
+

= =


+

= =


+

= =


(1 im)
Giaựo vieõn "#"rửụứng THPT Loọc Hửng Trang 21
!
Vy
3 1 3
; ;
2 2 2
M


ữ

. (0,5 im)
* Gi G
( )
; ;
G G G
x y z
l trng tõm ca tam giỏc ABC.
Ta cú:
4
3 3
1
3 3
1
3 3

A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
z z z
z
+ +

= =


+ +

= =


+ +

= =


(1 im)
Vy
4 1 1

; ;
3 3 3
G


ữ

. (0,5 im)
4. Gi D
( )
; ;
D D D
x y z
l im cn tỡm.
Ta cú:
( )
1;1;1AB =
uuur
(0,5 im)

( )
1 ; 2 ;2
D D D
DC x y z=
uuur
(0,5 im)
ABCD l hỡnh bỡnh hnh
AB DC =
uuur uuur
(0,5 im)

1 1 0
1 2 3
1 2 1
D D
D D
D D
x x
y y
z z
= =


= =


= =

(1 im)
Vy D(0;-3;1). (0,5 im)
Giaựo vieõn "#"rửụứng THPT Loọc Hửng Trang 22
!
C. KIM TRA SAU TC NG
Trong khụng gian Oxyz, cho ba im A(1;-1;4), B(2;5;-3), C(1;-3;7).
1. Vit phng trỡnh mt cu (S) cú ng kớnh AC. (3 im)
2. Vit phng trỡnh mt cu (S) cú tõm B v tip xỳc vi mt phng (OAC).
(3 im)
3. Tỡm tõm v bỏn kớnh ca mt cu (S) i qua bn im A, B, C v gc ta
O. (4 im)
P N KIM TRA SAU TC NG

1. Ta cú:
( )
0; 2;3AC =
uuur
. (0,5 im)
Suy ra bỏn kớnh ca mt cu (S) l:

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 13
. . 0 2 3
2 2 2
R AC= = + + =
(0,5 im)
Gi I(x;y;z) l tõm ca mt cu (S). Khi ú I l trung im ca on AC.
Suy ra: I(
11
1; 2;
2

). (1 im)
Vy phng trỡnh mt cu (S) l:
( ) ( )
2
2 2
11 13
1 2
2 4
x y z

+ + + =
ữ

. (1 im)
3. Bc 1: Vit phng trỡnh mt phng (OAC).
Ta cú:
( )
1; 1;4OA =
uuur
v
( )
1; 3;7OA =
uuur
(0,5 im)
VTPT ca mp(OAC) l:
( )
, 5; 3; 2n OA OC

= =

r uuur uuur
(0,5 im)
Phng trỡnh tng quỏt mp(OAC) l: 5x - 3y - 2z = 0. (0,5 im)
Bc 2: Vit phng trỡnh mt cu tõm B v tip xỳc mp(OAC)
Vỡ (S) tip xỳc vi (OAC) nờn bỏn kớnh ca mt cu (S) l:
R=
[ ]
,( )d B OAC
=
( ) ( ) ( )

2 2 2
5.2 3.5 2.( 3)
1
38
5 3 2

=
+ +
. (1 im)
Vy phng trỡnh mt cu (S) l:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1
2 5 3
38
x y z + + + =
. (0,5 im)
4.
Gi s phng trỡnh (S) cú dng:
( )
2 2 2
2ax 2 2 z 0 *x y z by c d+ + + =
(0,5 im)
Vỡ (S) i qua bn im O, A, B v C nờn ta th ta bn im vo phng
trỡnh (*) ta c h phng trỡnh:
Giaựo vieõn "#"rửụứng THPT Loọc Hửng Trang 23
!
0
725
0 0

2
18 2 2 8 0 2 2 8 18
457
38 4 10 6 0 4 10 6 38
2
59 2a + 6b 14c+ 0 2a + 6 14 = 59
291
2
d
d d
a
a b c d a b c
a b c d a b c
b
d b c
c
=


= =


=


+ + = + =



+ + = + =

=


=


=


(2 im)
Vy phng trỡnh mt cu (S) l:
2 2 2
725x+457 291 0x y z y z+ + + =
. (1,5 im)
D. BNG TNG HP IM KIM TRA TRC V SAU TC NG
CA NHểM THC NGHIM V NHểM I CHNG
Lp 12B5 (NHểM THC NGHIM)
NHểM THC NGHIM
LP 12B5
TRC TC
NG
SAU TC
NG
TT H TấN IM IM
1 Lờ Tun Anh 6 8
2 Vừ Chớ Bo 5 7
3 Lờ Vn Cnh 7 8
4 Nguyn Th Hu Chõu 1 5
5 H Vn Chng 1 6
6 Nguyn Vừ Chớ Cụng 5 7

7 Nguyn Th Thựy Dung 4 5
8 Nguyn Th Trỳc Giang 8 9
9 ng Th Thỳy Hng 5 8
10 Trn Cụng Hu 3 5
11 ng Vit Hựng 7 8
12 Vừ Hi Khang 7 7
13 Nguyn Duy Hong Liờm 5 8
14 Vừ Th Thựy Linh 5 7
15 Nguyn Th Trỳc Linh 4 7
16 ng Cao i Lng 6 7
17 Nguyn Thỳy Mai 5 6
18 Nguyn Th Tr My 7 7
19 Li Th Hng Ngc 3 8
20 Vn Ngc Nhi 3 6
21 Trn Hng Nhung 6 8
22 Trng Vn Phỏch 5 8
23 Nguyn Hoi Phong 5 7
24 inh Hoi Phỳc 9 10
25 Phm Th Ngc Quyờn 5 6
26 Nguyn Th Nh Qunh 7 9
Giaựo vieõn "#"rửụứng THPT Loọc Hửng Trang 24
!
27 Ngụ Thnh Sang 2 3
28 Nguyn Minh Tõn 6 6
29 Trng Th Thu Tho 5 6
30 Vừ Quc Thỏi 5 7
31 Phan Hoi Thnh 8 6
32 Trn Quc Ton 5 8
33 Phan Th Thựy Trang 4 6
34 Hunh Th Ngc Trõm 4 7

35 Hunh Th Trinh 3 7
36 Trn Th nh Tuyt 2 6
37 Nguyn Thanh Tỳ 6 8
Trung bỡnh cng: 4.973 6.9459
lch chun: 1.9 1.3
TRC TC NG
Giỏ tr p ca ttest (c lp): 0.475263
Mc nh hng:
-0.015
Lp 12B4 (NHểM I CHNG)
NHểM I CHNG
LP 12B4
TRC
TC NG
SAU TC
NG
TT H TấN IM IM
1 H Hoi Anh 5 6
2 Nguyn Th Trỳc Anh 3 6
3 Phan Anh Bo 5 5
4 Dng Th Sn Ca 5 4
5 Trn Th Cỳc 4 5
6 Nguyn Phan Kiu Dim 2 3
7 Trn Th Thỳy Duy 6 7
8 Lờ Th Tr Dng 7 8
9 ng Thnh t 4 4
Giaựo vieõn "#"rửụứng THPT Loọc Hửng Trang 25