các dạng toán pt vi phân

CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Người soạn Út Nhỏ
DẠNG 1: Pt vi phân với biến phân li Dạng: M
(x)
dx+N
(y)
dy=0
Pp: Tích phân 2 vế M
(x)
dx + N
(y)
dy =C là nghiệm TQ
Dạng đưa được về biến phân li: M
1(x)
N
1(y)
dx+M
2(x)
N
2(y)
dy=0
Pp: chia 2 vế cho N
1(y)
M
2(x)
Ngoài ra N
1(y)
=0 cho ta nghiệm kì dị của nghiệm riêng
DẠNG 2: PT vi phân thuần nhất cấp 1. Dạng y’=f
(x;y) ,
trong đó hàm

f
(x;y)
là hàm thuần nhất
Pp: Đặt: u= => y=u.x (x≠0) =>y’=u’x+u
Pt trở thành: u’x+u=f(1; ) u’x+u=f(1; u) => u’x= f(1; u) -u
x = f(1; u) -u => = là pt phân li
Ngoài ra f(1; u) -u =0 cho nghiệm kì dị
DẠNG 3: pt đưa về pt thuần nhất. y’=f
( )

Pp: ● Nếu C
1
2
+C
2
2
=0 => C
1
=C
2
=0 → PT thuần nhất
● Nếu =0 , a
1
x+b
1
y=k(a
2
x+b
2

y)
Đặt a
2
x+b
2
y = z
Xét Đặt
y’ = f

xác định k & l : thế vào pt => pt thuần nhất
DẠNG 4: Pt vi phân toàn phần: M(x,y)dx + N(x,y)dy =0
Pp: ĐK để là pt vi phân toàn phần là = với mọi (x,y) thuộc TXĐ
Nghiệm của pt là: u(x,y) = C
Với u(x,y)= M(x,y)dx + N(x
o
,y)dy , hoặc u(x,y)=M(x,y
o
)dx+N(x,y)dy, x
o;
y
o
là điểm tùy ý
DẠNG 5: Thừa số tích phân. Nếu M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 chưa thỏa = khi đó nhân 2 vế với hàm µ
µ.M(x,y)dx + µ.N(x,y)dy =0  tìm µ: theo ĐK  toàn phần
=  .M + .µ= .N+ .µ ∂ = N. - M.
 - = - M => - = N. - M. là pt vi phân đạo hàm riêng
Xét ● TH1: µ= µ(x) → =0 → - = N. → =
lnµ= dx => µ= ℮
● TH2: µ= µ(y) tương tự = - → µ=℮
DẠNG 6: Phương trình vi phân tuyến tính: y’+p(x).y=q(x)

Pp: xát định P(x) và q(x) => nghiệm TQ là y= .℮
DẠNG 7: pt bécnuly: y’+P(x).y=q(x).y
Pp: ta được pt vi phân thuần nhất
chia 2 vế pt cho y
Pt: y.y’+P(x).y
1-α
=q(x)
Đặt z=y
=(1-α).y .y’ => y
-α
.y’=
Thế vào pt +P(x).z=q(x)
 z’+(1-α).P(x).z=(1-α).q(x) là pt vi phân thuần nhất
DẠNG 8: pt lagrăng y=g(y’).x+h(y’)
Pp: đặt y’=p pt: y=g(p)x+h(p)
y’=g’(p).x+g(p)+h’(p).
 p-g(p)= coi x là hàm của p
= tìm x qua p
Còn y=g(p)x+b(p)
Đường cong tìm được cho dưới dạng tham số
DẠNG 10: pt klêrô y=xy’+h(y’) là pt đặt biệt của lagrăng
Pp: đặt y’=p
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GIẢM CẤP ĐƯỢC
DẠNG 1: y”=f(x) vế phải chỉ chứa x
Pp: tích phân liên tiếp 2 lần
DẠNG 2: y”=f(x,y) vế phải không chứa y
Pp: Đặt y’= P=> y’=f(x,p) là pt cấp 1, hàm phải tìm là P(x).
DẠNG 3: y’=f(y,y”) vế phải không chứa x
Pp: đặt y’=P coi P là hàm của y
y”x=P’y.y’x=P’P thế vào

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2
Dạng: a
1
(x)y”+a
2
(x)y’+a
3
(x)y=g(x)
Vì a
1
(x)≠0 nên pt viết lại là y”+P(x)y’+q(x)y=f(x) là pt vi phân không thuần nhất
Khi f(x)=0 thì pt y”+P(x)y’+q(x)y=0 là pt thuần nhất
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO HỆ SỐ HẰNG
DẠNG pt không thuần nhất cấp 2 hệ số hằng: y”+Py’+qy=f(x) 
Pp: xét pt tn y”+Py’+qy=0 
Xét pt đặc trưng: k
2
+pk+q=0 (*)
■Tìm nghiệm của  : (*) có 2 n
o
pb k
1,
k
2
thì =C
1
e+C
2
e
(*) có n

o
kép k
1,2
thì =C
1
e+x.C
2
e
(*) có n
o
phức k=α+-ιβ => =e
(*) có 2 n
o
phức k=α+-ιβ => =e +e
■Tìm một nghiệm riêng y* của  nghiệm TQ của  là y=+y*
Có 2 cách tìm y*
●Cách 1: tìm nghiệm y*=C
1
(x)y
1
+C
2
(x)y
2
trong đó C
1
(x), C
2
(x) là nghiệm của hệ
●Cách 2: Dùng khi f(x) đặt biệt. Có 2 trường hợp

▪TH
1
: f(x)=℮.P(x)
 α≠k
1
,

k
2
=> y*=℮.Q(x)
 α≡ 1 n
o
đơn => y*= x℮.Q(x)
 α≡ k
1
≡k
2
=> y*=x
2
℮.Q(x) bậc của Q(x)=P(x)
▪TH
2
: f(x)= e
Xét α+-ιβ
 α+-ιβ không trùng với nghiệm của (*) =>y*=e ,
Q
1
(x);Q
2
(x)là đa thức bậc bằng bậc lớn nhất trong P

1
(x) và P
2
(x)
 α+-ιβ≡ với nghiệm của (*) => y*=x.e ■